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三、耐心做一做。
⑧(1)解方程组：$\begin{cases}2x + 5y = 12,\\3x + 2y = 7;\end{cases}$
(2)解不等式组：
⑧(1)解方程组：$\begin{cases}2x + 5y = 12,\\3x + 2y = 7;\end{cases}$
(2)解不等式组：
答案
8.(1)$\begin{cases} x=1,\\ y=2; \end{cases}$ (2)$-\frac{1}{2}＜x＜2.$
解析
【分析】
(1)求解二元一次方程组可使用加减消元法：先给两个方程乘合适的系数，让其中一个未知数的系数相等或互为相反数，消去该未知数后得到一元一次方程，解出一个未知数的值，再代入原方程求出另一个未知数的值即可。
(2)求解一元一次不等式组的思路是：先分别解出每个不等式的解集，再根据解集的取值规律找到两个解集的公共部分，该公共部分就是不等式组的解集。
【解析】
(1) 先给方程组标号：
$\begin{cases}2x + 5y = 12&①\\3x + 2y = 7&②\end{cases}$
选择消去未知数$x$：
①$×3$得：$6x + 15y = 36$ ③
②$×2$得：$6x + 4y = 14$ ④
用③减去④得：$11y = 22$，解得$y=2$
把$y=2$代入①式，得$2x + 5×2 = 12$，计算得$x=1$。
(2) 先给不等式组标号：
$\begin{cases}2x + 1 ＞ 0&①\\\frac{x+1}{3} ＞ x -1&②\end{cases}$
解不等式①：
移项得$2x ＞ -1$，系数化为1得$x ＞ -\frac{1}{2}$。
解不等式②：
两边同时乘3（正数，不等号方向不变），得$x+1 ＞ 3(x-1)$
展开后移项合并同类项得$2x ＜ 4$，系数化为1得$x ＜ 2$。
两个解集的公共部分为$-\frac{1}{2}＜x＜2$，即为不等式组的解集。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=1,\\ y=2; \end{cases}$ (2)$-\frac{1}{2}＜x＜2.$
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，不等式组解集的确定
【点评】
本题是基础运算题，主要考察消元思想和解不等式的基本步骤，计算时要注意移项要变号，不等式两边乘正数时不等号方向不变，确定不等式组解集时要准确找到两个解集的公共部分。
【难度系数】
0.8
(1)求解二元一次方程组可使用加减消元法：先给两个方程乘合适的系数，让其中一个未知数的系数相等或互为相反数，消去该未知数后得到一元一次方程，解出一个未知数的值，再代入原方程求出另一个未知数的值即可。
(2)求解一元一次不等式组的思路是：先分别解出每个不等式的解集，再根据解集的取值规律找到两个解集的公共部分，该公共部分就是不等式组的解集。
【解析】
(1) 先给方程组标号：
$\begin{cases}2x + 5y = 12&①\\3x + 2y = 7&②\end{cases}$
选择消去未知数$x$：
①$×3$得：$6x + 15y = 36$ ③
②$×2$得：$6x + 4y = 14$ ④
用③减去④得：$11y = 22$，解得$y=2$
把$y=2$代入①式，得$2x + 5×2 = 12$，计算得$x=1$。
(2) 先给不等式组标号：
$\begin{cases}2x + 1 ＞ 0&①\\\frac{x+1}{3} ＞ x -1&②\end{cases}$
解不等式①：
移项得$2x ＞ -1$，系数化为1得$x ＞ -\frac{1}{2}$。
解不等式②：
两边同时乘3（正数，不等号方向不变），得$x+1 ＞ 3(x-1)$
展开后移项合并同类项得$2x ＜ 4$，系数化为1得$x ＜ 2$。
两个解集的公共部分为$-\frac{1}{2}＜x＜2$，即为不等式组的解集。
【答案】
(1)$\begin{cases} x=1,\\ y=2; \end{cases}$ (2)$-\frac{1}{2}＜x＜2.$
【知识点】
二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，不等式组解集的确定
【点评】
本题是基础运算题，主要考察消元思想和解不等式的基本步骤，计算时要注意移项要变号，不等式两边乘正数时不等号方向不变，确定不等式组解集时要准确找到两个解集的公共部分。
【难度系数】
0.8
⑨已知$\sqrt{x+y+9} + |2x - y - 18| = 0$，求$x - y$的平方根.
答案
9.$\pm\sqrt{x-y}=\pm\sqrt{15}.$
解析
【分析】
本题考查非负数的性质与平方根的计算，解题思路如下：首先算术平方根和绝对值都属于非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数的值都为0，据此可以列出关于x和y的二元一次方程组；接下来解方程组求出x、y的值，再计算x-y的值，最后根据平方根的定义求出x-y的平方根即可。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{x+y+9} ≥ 0$，$|2x - y - 18| ≥ 0$，且二者的和为0
∴ 可列方程组：
$\begin{cases}x + y + 9 = 0 \quad ① \\2x - y - 18 = 0 \quad ②\end{cases}$
将①+②消去y，得：$3x - 9 = 0$，解得 $x = 3$
把$x=3$代入①，得：$3 + y + 9 = 0$，解得 $y = -12$
∴ $x - y = 3 - (-12) = 15$
根据平方根的定义，15的平方根是$\pm\sqrt{15}$，即$x - y$的平方根为$\pm\sqrt{15}$。
【答案】
$\pm\sqrt{15}$
【知识点】
非负数的性质；二元一次方程组的解法；平方根的定义
【点评】
本题的解题核心是掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质，求解平方根时要注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解负的平方根。
【难度系数】
0.7
本题考查非负数的性质与平方根的计算，解题思路如下：首先算术平方根和绝对值都属于非负数，若两个非负数的和为0，则这两个非负数的值都为0，据此可以列出关于x和y的二元一次方程组；接下来解方程组求出x、y的值，再计算x-y的值，最后根据平方根的定义求出x-y的平方根即可。
【解析】
解：
∵ $\sqrt{x+y+9} ≥ 0$，$|2x - y - 18| ≥ 0$，且二者的和为0
∴ 可列方程组：
$\begin{cases}x + y + 9 = 0 \quad ① \\2x - y - 18 = 0 \quad ②\end{cases}$
将①+②消去y，得：$3x - 9 = 0$，解得 $x = 3$
把$x=3$代入①，得：$3 + y + 9 = 0$，解得 $y = -12$
∴ $x - y = 3 - (-12) = 15$
根据平方根的定义，15的平方根是$\pm\sqrt{15}$，即$x - y$的平方根为$\pm\sqrt{15}$。
【答案】
$\pm\sqrt{15}$
【知识点】
非负数的性质；二元一次方程组的解法；平方根的定义
【点评】
本题的解题核心是掌握“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质，求解平方根时要注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解负的平方根。
【难度系数】
0.7
⑩[2024·湖北襄阳中考]如图，是一块体积为216立方厘米的立方体铁块.
(1)求出这个铁块的棱长；
(2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长.
(1)求出这个铁块的棱长；
(2)现在工厂要将这个铁块熔化，重新锻造成两个棱长为2厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为8厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长.
答案
10.(1)6 cm；(2)5 cm.
解析
【分析】
(1) 立方体体积公式为棱长的立方，已知体积求棱长，只需对体积开正的立方根即可求解。
(2) 铁块熔化前后总体积不变，先算出两个小立方体的总体积，用原大立方体体积减去两个小立方体体积得到长方体体积；再结合长方体体积=底面积×高的公式，已知高可求出底面正方形面积，对面积开正的平方根就能得到底面边长。
【解析】
(1) 设该立方体铁块的棱长为$x\ \mathrm{cm}$，根据立方体体积公式可得：
$x^3=216$
开立方得$x=\sqrt[3]{216}=6$，棱长为正数，符合实际意义。
(2) 先计算2个棱长为2cm的小立方体的总体积：
单个小立方体体积：$2^3=8\ \mathrm{cm}^3$，两个小立方体总体积：$2×8=16\ \mathrm{cm}^3$
熔化前后体积不变，因此长方体铁块体积为：$216-16=200\ \mathrm{cm}^3$
设长方体底面正方形边长为$a\ \mathrm{cm}$，已知长方体高为8cm，根据长方体体积公式$V=a^2h$代入得：
$8a^2=200$
化简得$a^2=25$，边长为正数，因此$a=\sqrt{25}=5$。
【答案】
(1) $6\ \mathrm{cm}$；(2) $5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
立方体体积计算，等积变形应用，长方体体积计算
【点评】
本题是几何体积的基础应用题，解题核心是抓住物体熔化前后总体积不变的特点，结合立方、平方的逆运算求解未知量，计算时要注意几何图形的边长均为正数，需取非负的方根。
【难度系数】
0.8
(1) 立方体体积公式为棱长的立方，已知体积求棱长，只需对体积开正的立方根即可求解。
(2) 铁块熔化前后总体积不变，先算出两个小立方体的总体积，用原大立方体体积减去两个小立方体体积得到长方体体积；再结合长方体体积=底面积×高的公式，已知高可求出底面正方形面积，对面积开正的平方根就能得到底面边长。
【解析】
(1) 设该立方体铁块的棱长为$x\ \mathrm{cm}$，根据立方体体积公式可得：
$x^3=216$
开立方得$x=\sqrt[3]{216}=6$，棱长为正数，符合实际意义。
(2) 先计算2个棱长为2cm的小立方体的总体积：
单个小立方体体积：$2^3=8\ \mathrm{cm}^3$，两个小立方体总体积：$2×8=16\ \mathrm{cm}^3$
熔化前后体积不变，因此长方体铁块体积为：$216-16=200\ \mathrm{cm}^3$
设长方体底面正方形边长为$a\ \mathrm{cm}$，已知长方体高为8cm，根据长方体体积公式$V=a^2h$代入得：
$8a^2=200$
化简得$a^2=25$，边长为正数，因此$a=\sqrt{25}=5$。
【答案】
(1) $6\ \mathrm{cm}$；(2) $5\ \mathrm{cm}$
【知识点】
立方体体积计算，等积变形应用，长方体体积计算
【点评】
本题是几何体积的基础应用题，解题核心是抓住物体熔化前后总体积不变的特点，结合立方、平方的逆运算求解未知量，计算时要注意几何图形的边长均为正数，需取非负的方根。
【难度系数】
0.8
