登录
①[2025·四川达州中考]如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F.若∠1+∠2=35°,则∠AFB的度数为
（
A.$35°$
B.$55°$
C.$70°$
D.$145°$
（
A
）A.$35°$
B.$55°$
C.$70°$
D.$145°$
答案
1.A
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，已知两条入射光线均平行于主光轴，可结合平行线内错角相等的性质，将∠AFB拆分为两个角的和，分别与∠1、∠2建立等量关系，代入已知的∠1+∠2=35°即可求解。
【解析】
∵两条入射光线都平行于主光轴，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
∠1=∠AFO，∠2=∠BFO，
∴∠AFB=∠AFO+∠BFO=∠1+∠2，
又
∵∠1+∠2=35°，
∴∠AFB=35°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，角的和差计算
【点评】
本题将光学透镜的特点与几何知识结合考查，解题的核心是利用平行线的性质将所求角转化为已知角度的和，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形特征，已知两条入射光线均平行于主光轴，可结合平行线内错角相等的性质，将∠AFB拆分为两个角的和，分别与∠1、∠2建立等量关系，代入已知的∠1+∠2=35°即可求解。
【解析】
∵两条入射光线都平行于主光轴，
根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
∠1=∠AFO，∠2=∠BFO，
∴∠AFB=∠AFO+∠BFO=∠1+∠2，
又
∵∠1+∠2=35°，
∴∠AFB=35°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，角的和差计算
【点评】
本题将光学透镜的特点与几何知识结合考查，解题的核心是利用平行线的性质将所求角转化为已知角度的和，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7
②[2024·湖北黄冈期末]在平面直角坐标系中，属于第三象限的点是（
A.$P(3,5)$
B.$P(-3,5)$
C.$P(-3,-5)$
D.$P(3,-5)$
C
）A.$P(3,5)$
B.$P(-3,5)$
C.$P(-3,-5)$
D.$P(3,-5)$
答案
2.C
解析
【分析】
要判断属于第三象限的点，首先要牢记平面直角坐标系四个象限内点的坐标符号规律：第一象限横、纵坐标都为正，第二象限横坐标负、纵坐标正，第三象限横、纵坐标都为负，第四象限横坐标正、纵坐标负。我们只需逐一核对每个选项中点的横、纵坐标符号，找到横纵坐标均为负数的点即可得到答案。
【解析】
平面直角坐标系各象限内点的坐标符号特征如下：
第一象限：(+,+)，第二象限：(-,+)，第三象限：(-,-)，第四象限：(+,-)。
对各选项逐一判断：
A. $P(3,5)$，横、纵坐标均为正，属于第一象限，不符合要求；
B. $P(-3,5)$，横坐标为负、纵坐标为正，属于第二象限，不符合要求；
C. $P(-3,-5)$，横、纵坐标均为负，属于第三象限，符合要求；
D. $P(3,-5)$，横坐标为正、纵坐标为负，属于第四象限，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
各象限内点的坐标特征
【点评】
本题是坐标系模块的基础常考题，核心考查对各象限坐标符号规律的记忆，只要熟练掌握对应规律就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
要判断属于第三象限的点，首先要牢记平面直角坐标系四个象限内点的坐标符号规律：第一象限横、纵坐标都为正，第二象限横坐标负、纵坐标正，第三象限横、纵坐标都为负，第四象限横坐标正、纵坐标负。我们只需逐一核对每个选项中点的横、纵坐标符号，找到横纵坐标均为负数的点即可得到答案。
【解析】
平面直角坐标系各象限内点的坐标符号特征如下：
第一象限：(+,+)，第二象限：(-,+)，第三象限：(-,-)，第四象限：(+,-)。
对各选项逐一判断：
A. $P(3,5)$，横、纵坐标均为正，属于第一象限，不符合要求；
B. $P(-3,5)$，横坐标为负、纵坐标为正，属于第二象限，不符合要求；
C. $P(-3,-5)$，横、纵坐标均为负，属于第三象限，符合要求；
D. $P(3,-5)$，横坐标为正、纵坐标为负，属于第四象限，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
各象限内点的坐标特征
【点评】
本题是坐标系模块的基础常考题，核心考查对各象限坐标符号规律的记忆，只要熟练掌握对应规律就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
③[2024·湖北黄冈期末]要调查下列问题，你觉得应用全面调查的是（
A.了解黄冈市居民的环保意识
B.对某品牌口罩合格率的调查
C.企业招聘，对应聘人员进行面试
D.对洋澜湖水质情况的调查
C
）A.了解黄冈市居民的环保意识
B.对某品牌口罩合格率的调查
C.企业招聘，对应聘人员进行面试
D.对洋澜湖水质情况的调查
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先要明确全面调查（普查）和抽样调查的核心区别：全面调查是对所有考察对象逐一调查，适合调查范围小、无破坏性、对结果精确度要求高的场景；抽样调查是只抽取部分考察对象进行调查，适合调查范围大、调查具有破坏性、对结果精确度要求不高的场景。接下来我们逐一分析每个选项对应的调查场景，判断是否适合用全面调查即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 黄冈市居民人数众多，全面调查耗时耗力成本极高，适合采用抽样调查，不符合要求；
B. 调查口罩合格率时，检测口罩是否合格属于破坏性检测，不可能对所有口罩逐一检验，适合采用抽样调查，不符合要求；
C. 企业招聘对应聘人员面试时，需要对每一位应聘人员的情况进行逐一了解，必须采用全面调查，符合要求；
D. 洋澜湖水域范围大，不可能对所有水质样本逐一检测，适合采用抽样调查，不符合要求。
综上，应选C。
【答案】
C
【知识点】
全面调查；抽样调查；调查方式选取
【点评】
本题考查不同调查方式的适用场景，解题核心是结合实际情况判断调查是否需要覆盖全部考察对象，属于基础类题型，易错点是对各类调查场景的实际特点判断失误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确全面调查（普查）和抽样调查的核心区别：全面调查是对所有考察对象逐一调查，适合调查范围小、无破坏性、对结果精确度要求高的场景；抽样调查是只抽取部分考察对象进行调查，适合调查范围大、调查具有破坏性、对结果精确度要求不高的场景。接下来我们逐一分析每个选项对应的调查场景，判断是否适合用全面调查即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 黄冈市居民人数众多，全面调查耗时耗力成本极高，适合采用抽样调查，不符合要求；
B. 调查口罩合格率时，检测口罩是否合格属于破坏性检测，不可能对所有口罩逐一检验，适合采用抽样调查，不符合要求；
C. 企业招聘对应聘人员面试时，需要对每一位应聘人员的情况进行逐一了解，必须采用全面调查，符合要求；
D. 洋澜湖水域范围大，不可能对所有水质样本逐一检测，适合采用抽样调查，不符合要求。
综上，应选C。
【答案】
C
【知识点】
全面调查；抽样调查；调查方式选取
【点评】
本题考查不同调查方式的适用场景，解题核心是结合实际情况判断调查是否需要覆盖全部考察对象，属于基础类题型，易错点是对各类调查场景的实际特点判断失误。
【难度系数】
0.8
④[2024·湖北黄冈期末]用统计图描述防城港市某一周内每天最高气温的变化趋势，最合适的是（
A.条形统计图
B.扇形统计图
C.折线统计图
D.频数分布直方图
C
）A.条形统计图
B.扇形统计图
C.折线统计图
D.频数分布直方图
答案
4.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确四类常用统计图的特征与适用场景，再结合题目需求匹配最合适的统计图。首先回忆各统计图的作用：条形统计图侧重展示不同类别数据的具体数值、便于比较数量差异；扇形统计图侧重展示各部分占总体的比例关系；折线统计图侧重反映数据随某一维度（如时间）的变化趋势；频数分布直方图侧重展示数据的频数分布情况。题目要求描述一周内每天最高气温的变化趋势，对应折线统计图的适用场景，即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项的适用性：
A. 条形统计图：能清楚表示每天最高气温的具体数值，但无法直观体现气温的变化趋势，不符合要求；
B. 扇形统计图：用于表示各部分占总体的百分比，本题不需要体现气温占比，不符合要求；
C. 折线统计图：可以清晰展示数据随时间的变化情况，能直观反映一周内每天最高气温的升降变化趋势，符合要求；
D. 频数分布直方图：用于展示各组数据的频数分布，本题不需要统计气温的频数分布，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
统计图的特点；统计图的选择
【点评】
本题是基础类题型，核心考查不同统计图的适用场景，只要熟练掌握各类统计图的特征，结合题干需求就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确四类常用统计图的特征与适用场景，再结合题目需求匹配最合适的统计图。首先回忆各统计图的作用：条形统计图侧重展示不同类别数据的具体数值、便于比较数量差异；扇形统计图侧重展示各部分占总体的比例关系；折线统计图侧重反映数据随某一维度（如时间）的变化趋势；频数分布直方图侧重展示数据的频数分布情况。题目要求描述一周内每天最高气温的变化趋势，对应折线统计图的适用场景，即可得出答案。
【解析】
我们逐一分析各选项的适用性：
A. 条形统计图：能清楚表示每天最高气温的具体数值，但无法直观体现气温的变化趋势，不符合要求；
B. 扇形统计图：用于表示各部分占总体的百分比，本题不需要体现气温占比，不符合要求；
C. 折线统计图：可以清晰展示数据随时间的变化情况，能直观反映一周内每天最高气温的升降变化趋势，符合要求；
D. 频数分布直方图：用于展示各组数据的频数分布，本题不需要统计气温的频数分布，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
统计图的特点；统计图的选择
【点评】
本题是基础类题型，核心考查不同统计图的适用场景，只要熟练掌握各类统计图的特征，结合题干需求就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9
⑤[2024·湖北襄阳期末]下列各式正确的是 （
A.$\sqrt{36}=\pm6$
B.$\sqrt[3]{-8}=-2$
C.$\sqrt{(-6)^2}=-6$
D.$-\sqrt[3]{-125}=-5$
B
）A.$\sqrt{36}=\pm6$
B.$\sqrt[3]{-8}=-2$
C.$\sqrt{(-6)^2}=-6$
D.$-\sqrt[3]{-125}=-5$
答案
5.B
解析
【分析】
本题考查算术平方根、立方根的基本运算规则，解题时可逐一分析每个选项，结合对应性质判断对错即可。首先要明确：算术平方根的计算结果为非负数，立方根的符号与被开方数的符号保持一致。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：$\sqrt{36}$表示36的算术平方根，算术平方根只有非负结果，因此$\sqrt{36}=6$，A错误；
B选项：因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$，B正确；
C选项：先计算根号内的部分，$(-6)^2=36$，因此$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$，C错误；
D选项：先计算立方根，$\sqrt[3]{-125}=-5$，因此$-\sqrt[3]{-125}=-(-5)=5$，D错误。
综上，正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根计算、立方根计算
【点评】
本题属于根式运算的基础题型，核心是区分算术平方根和平方根的差异，掌握立方根的符号规律，做题时注意运算顺序和符号判断，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
本题考查算术平方根、立方根的基本运算规则，解题时可逐一分析每个选项，结合对应性质判断对错即可。首先要明确：算术平方根的计算结果为非负数，立方根的符号与被开方数的符号保持一致。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：$\sqrt{36}$表示36的算术平方根，算术平方根只有非负结果，因此$\sqrt{36}=6$，A错误；
B选项：因为$(-2)^3=-8$，所以$\sqrt[3]{-8}=-2$，B正确；
C选项：先计算根号内的部分，$(-6)^2=36$，因此$\sqrt{(-6)^2}=\sqrt{36}=6$，C错误；
D选项：先计算立方根，$\sqrt[3]{-125}=-5$，因此$-\sqrt[3]{-125}=-(-5)=5$，D错误。
综上，正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根计算、立方根计算
【点评】
本题属于根式运算的基础题型，核心是区分算术平方根和平方根的差异，掌握立方根的符号规律，做题时注意运算顺序和符号判断，避免粗心出错。
【难度系数】
0.8
⑥[2024·湖北武汉期末]要使五边形木架(用5根木条钉成)不变形，至少要再钉
2
根木条。答案
6.2
解析
【分析】
首先回忆相关性质：三角形具有稳定性，边数≥4的多边形不具备稳定性，因此要让五边形木架不变形，核心是通过添加木条把五边形分割为若干个三角形。接下来思考最少添加木条的数量：任选五边形的一个顶点，只需将该顶点和所有不相邻的顶点用木条连接，就能将五边形全部分割为三角形。五边形每个顶点共有2个不相邻的顶点，因此只需添加2根木条即可。
【解析】
解：因为三角形具有稳定性，要使五边形木架不变形，需要将五边形分割为若干个三角形。
任选五边形的一个顶点，该顶点相邻的顶点有2个，除去自身和相邻顶点，不相邻的顶点数量为：$5-1-2=2$个。
每连接1个不相邻的顶点需要钉1根木条，因此至少要再钉2根木条，就能将五边形分为3个三角形，使木架保持固定不变形。
【答案】
2
【知识点】
三角形的稳定性；多边形的分割
【点评】
本题是几何性质在实际生活中的应用类题目，解题关键是理解三角形稳定性的特点，掌握多边形拆分为三角形的方法，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.85
首先回忆相关性质：三角形具有稳定性，边数≥4的多边形不具备稳定性，因此要让五边形木架不变形，核心是通过添加木条把五边形分割为若干个三角形。接下来思考最少添加木条的数量：任选五边形的一个顶点，只需将该顶点和所有不相邻的顶点用木条连接，就能将五边形全部分割为三角形。五边形每个顶点共有2个不相邻的顶点，因此只需添加2根木条即可。
【解析】
解：因为三角形具有稳定性，要使五边形木架不变形，需要将五边形分割为若干个三角形。
任选五边形的一个顶点，该顶点相邻的顶点有2个，除去自身和相邻顶点，不相邻的顶点数量为：$5-1-2=2$个。
每连接1个不相邻的顶点需要钉1根木条，因此至少要再钉2根木条，就能将五边形分为3个三角形，使木架保持固定不变形。
【答案】
2
【知识点】
三角形的稳定性；多边形的分割
【点评】
本题是几何性质在实际生活中的应用类题目，解题关键是理解三角形稳定性的特点，掌握多边形拆分为三角形的方法，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.85
⑦[2024·湖北武汉期末]若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$40°$，则这个等腰三角形的底角度数是
65°或25°
。答案
7.65°或25°
解析
【分析】
解决本题首先要明确等腰三角形腰上的高的位置不唯一，需分两种情况讨论：①等腰三角形为锐角三角形，此时腰上的高在三角形内部；②等腰三角形为钝角三角形，此时腰上的高在三角形外部。先结合高与腰的夹角求出顶角的度数，再根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算底角度数即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时：
腰上的高在三角形内部，高与另一腰的夹角为40°，在高、腰构成的直角三角形中，两个锐角互余，因此顶角为$90° - 40° = 50°$。
因为等腰三角形两底角相等，所以底角度数为$\frac{180° - 50°}{2} = 65°$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时：
腰上的高在三角形外部，高与另一腰的夹角为40°，在高、腰的延长线构成的直角三角形中，两个锐角互余，可得顶角的外角为$90° - 40° = 50°$，因此顶角为$180° - 50° = 130°$。
此时底角度数为$\frac{180° - 130°}{2} = 25°$。
综上，底角度数为65°或25°。
【答案】
$65°$或$25°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，仅考虑高在三角形内部的锐角等腰三角形情况，导致漏解，解题时要结合等腰三角形的形状判断高的位置，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要明确等腰三角形腰上的高的位置不唯一，需分两种情况讨论：①等腰三角形为锐角三角形，此时腰上的高在三角形内部；②等腰三角形为钝角三角形，此时腰上的高在三角形外部。先结合高与腰的夹角求出顶角的度数，再根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°计算底角度数即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时：
腰上的高在三角形内部，高与另一腰的夹角为40°，在高、腰构成的直角三角形中，两个锐角互余，因此顶角为$90° - 40° = 50°$。
因为等腰三角形两底角相等，所以底角度数为$\frac{180° - 50°}{2} = 65°$。
2. 当等腰三角形为钝角三角形时：
腰上的高在三角形外部，高与另一腰的夹角为40°，在高、腰的延长线构成的直角三角形中，两个锐角互余，可得顶角的外角为$90° - 40° = 50°$，因此顶角为$180° - 50° = 130°$。
此时底角度数为$\frac{180° - 130°}{2} = 25°$。
综上，底角度数为65°或25°。
【答案】
$65°$或$25°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，仅考虑高在三角形内部的锐角等腰三角形情况，导致漏解，解题时要结合等腰三角形的形状判断高的位置，全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6
