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1.(2025·徐州泉山区月考)不论$x,y$取何有理数，$x^2 + y^2 -10x +8y +41$的值均为 （
A.正数
B.零
C.负数
D.非负数
D
）A.正数
B.零
C.负数
D.非负数
答案
1.D
2.(2025·宿迁沭阳县三模)在实数范围内,代数式$a^2 - 4a +7$的值不可能为 (
A.6
B.3.6
C.3
D.2.8
D
)A.6
B.3.6
C.3
D.2.8
答案
2.D
3.(徐州期中)阅读材料：
若$m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$，求$m,n$的值.
解：$\because m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$，
$\therefore (m^2 -2mn +n^2)+(n^2 -8n +16)=0$，即$(m-n)^2 + (n-4)^2=0$，
$\therefore (m-n)^2=0$，$(n-4)^2=0$，$\therefore m=4$，$n=4$.
根据你的观察，解答下面的问题：
(1)已知$x^2 +2xy +2y^2 +2y +1=0$，求$2x+3y$的值；
(2)已知$△ ABC$的边长$a,b,c$是三个互不相等的正整数，且满足$a^2 +b^2 -4a -6b +13=0$，求$c$的值；
(3)已知$a-b=10$，$ab +c^2 -16c +89=0$，求$a+b+c$的值.
若$m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$，求$m,n$的值.
解：$\because m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$，
$\therefore (m^2 -2mn +n^2)+(n^2 -8n +16)=0$，即$(m-n)^2 + (n-4)^2=0$，
$\therefore (m-n)^2=0$，$(n-4)^2=0$，$\therefore m=4$，$n=4$.
根据你的观察，解答下面的问题：
(1)已知$x^2 +2xy +2y^2 +2y +1=0$，求$2x+3y$的值；
(2)已知$△ ABC$的边长$a,b,c$是三个互不相等的正整数，且满足$a^2 +b^2 -4a -6b +13=0$，求$c$的值；
(3)已知$a-b=10$，$ab +c^2 -16c +89=0$，求$a+b+c$的值.
答案
3.解:(1)$\because x^2 +2xy +2y^2 +2y +1=0$,
$\therefore (x^2 +2xy +y^2)+(y^2 +2y +1)=0$,
即$(x+y)^2+(y+1)^2=0$,
$\therefore x+y=0,y+1=0,\therefore y=-1,x=1$,
$\therefore 2x+3y=2-3=-1$.
(2)$\because a^2 +b^2 -4a -6b +13=0$,
$\therefore a^2-4a+4+b^2-6b+9=0$,
即$(a-2)^2+(b-3)^2=0$,
$\therefore a-2=0,b-3=0,\therefore a=2,b=3$.
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长,$\therefore 1＜c＜5$.
$\because a,b,c$是三个互不相等的正整数,$\therefore c=4$.
(3)由$a-b=10$,得$a=b+10$,
代入$ab+c^2-16c+89=0$,得
$b(b+10)+c^2-16c+89=0$,
整理,得$(b^2+10b+25)+(c^2-16c+64)=0$,
即$(b+5)^2+(c-8)^2=0,\therefore b+5=0,c-8=0$,
$\therefore b=-5,c=8,\therefore a=5,\therefore a+b+c=5-5+8=8$.
$\therefore (x^2 +2xy +y^2)+(y^2 +2y +1)=0$,
即$(x+y)^2+(y+1)^2=0$,
$\therefore x+y=0,y+1=0,\therefore y=-1,x=1$,
$\therefore 2x+3y=2-3=-1$.
(2)$\because a^2 +b^2 -4a -6b +13=0$,
$\therefore a^2-4a+4+b^2-6b+9=0$,
即$(a-2)^2+(b-3)^2=0$,
$\therefore a-2=0,b-3=0,\therefore a=2,b=3$.
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长,$\therefore 1＜c＜5$.
$\because a,b,c$是三个互不相等的正整数,$\therefore c=4$.
(3)由$a-b=10$,得$a=b+10$,
代入$ab+c^2-16c+89=0$,得
$b(b+10)+c^2-16c+89=0$,
整理,得$(b^2+10b+25)+(c^2-16c+64)=0$,
即$(b+5)^2+(c-8)^2=0,\therefore b+5=0,c-8=0$,
$\therefore b=-5,c=8,\therefore a=5,\therefore a+b+c=5-5+8=8$.
4.(2025·南京江宁区二模)(1)比较$a^2 - ab$与$ab - b^2$的大小；
(2)比较$x^2 - 3x$与$x - 5$的大小。
(2)比较$x^2 - 3x$与$x - 5$的大小。
答案
4.解:(1)$\because a^2 - ab-(ab - b^2)=(a-b)^2≥0$,
$\therefore a^2 - ab≥ ab - b^2$.
(2)$\because x^2 - 3x-(x-5)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1≥1＞0$,$\therefore x^2 - 3x＞x-5$.
$\therefore a^2 - ab≥ ab - b^2$.
(2)$\because x^2 - 3x-(x-5)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1≥1＞0$,$\therefore x^2 - 3x＞x-5$.
