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5. 已知任意实数满足等式 $ x = a^2 - 4ab + 4b^2 $，$ y = 4a - 8b - 5 $，比较 $ x, y $ 的大小.
答案
5.解:$\because x-y=a^2-4ab+4b^2-(4a-8b-5)=(a-2b)^2-4(a-2b)+4+1=[(a-2b)-2]^2+1＞0$,$\therefore x＞y$.
解析
【分析】
比较两个代数式的大小，通常采用作差法：计算$x-y$的取值符号，若$x-y＞0$则$x＞y$，若$x-y=0$则$x=y$，若$x-y＜0$则$x＜y$。观察$x$的表达式可整理为完全平方形式$(a-2b)^2$，$y$的表达式中$4a-8b$可提取公因式得到$4(a-2b)$，因此可将$(a-2b)$看作整体，对$x-y$的结果进行配方，再结合平方的非负性即可判断差的符号，进而得到$x$和$y$的大小关系。
【解析】
解：计算$x-y$得：
$\begin{aligned}x-y&=a^2 - 4ab + 4b^2 - (4a - 8b - 5)\\&=(a-2b)^2 - 4(a-2b) + 5\\&=(a-2b)^2 - 4(a-2b) + 4 + 1\\&=[(a-2b)-2]^2 + 1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$[(a-2b)-2]^2 ≥ 0$
因此$[(a-2b)-2]^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，即$x-y＞0$
故$x＞y$
【答案】
$x＞y$
【知识点】
1.作差法比较大小 2.完全平方公式 3.平方的非负性
【点评】
本题是配方法的基础应用类题目，解题的关键是观察代数式的结构特征，将$(a-2b)$视为整体进行配方，再利用非负数的性质判断差的符号，解题思路清晰，技巧性不强，掌握配方法和作差法即可轻松解决。
【难度系数】
0.7
比较两个代数式的大小，通常采用作差法：计算$x-y$的取值符号，若$x-y＞0$则$x＞y$，若$x-y=0$则$x=y$，若$x-y＜0$则$x＜y$。观察$x$的表达式可整理为完全平方形式$(a-2b)^2$，$y$的表达式中$4a-8b$可提取公因式得到$4(a-2b)$，因此可将$(a-2b)$看作整体，对$x-y$的结果进行配方，再结合平方的非负性即可判断差的符号，进而得到$x$和$y$的大小关系。
【解析】
解：计算$x-y$得：
$\begin{aligned}x-y&=a^2 - 4ab + 4b^2 - (4a - 8b - 5)\\&=(a-2b)^2 - 4(a-2b) + 5\\&=(a-2b)^2 - 4(a-2b) + 4 + 1\\&=[(a-2b)-2]^2 + 1\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$[(a-2b)-2]^2 ≥ 0$
因此$[(a-2b)-2]^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，即$x-y＞0$
故$x＞y$
【答案】
$x＞y$
【知识点】
1.作差法比较大小 2.完全平方公式 3.平方的非负性
【点评】
本题是配方法的基础应用类题目，解题的关键是观察代数式的结构特征，将$(a-2b)$视为整体进行配方，再利用非负数的性质判断差的符号，解题思路清晰，技巧性不强，掌握配方法和作差法即可轻松解决。
【难度系数】
0.7
6.【阅读材料】配方法是数学中很重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.我们定义:若一个整数能表示成 $a^2 + b^2$（$a,b$ 是整数）的形式，则称这个数是“完美数”，如因为 $5 = 2^2 + 1^2$，所以5是“完美数”.
【解决问题】(1)53
【探究问题】(2)已知 $x^2 + y^2 - 4x + 2y +5=0$，则 $x+y=$
(3)已知 $S=2x^2 + y^2 + 2xy +12x +k$（$x,y$ 是整数，$k$ 是常数），要使 $S$ 是“完美数”，试求出符合条件的 $k$ 值，并说明理由；
【拓展结论】(4)已知实数 $x,y$ 满足 $-x^2 + \frac{7}{2}x + y -3=0$，求 $x-2y$ 的最大值.
易错知识点 利用配方法求代数式的值
【解决问题】(1)53
是
“完美数”;(填“是”或“不是”)【探究问题】(2)已知 $x^2 + y^2 - 4x + 2y +5=0$，则 $x+y=$
1
；(3)已知 $S=2x^2 + y^2 + 2xy +12x +k$（$x,y$ 是整数，$k$ 是常数），要使 $S$ 是“完美数”，试求出符合条件的 $k$ 值，并说明理由；
【拓展结论】(4)已知实数 $x,y$ 满足 $-x^2 + \frac{7}{2}x + y -3=0$，求 $x-2y$ 的最大值.
易错知识点 利用配方法求代数式的值
答案
6.(1)是 (2)1
(3)解:当$k=36$时,$S$是“完美数”.理由如下:
$S=2x^2+y^2+2xy+12x+k$
$=(x^2+12x+k)+(y^2+2xy+x^2)$
$=(x^2+12x+k)+(y+x)^2$.
$\because S$是“完美数”,$\therefore x^2+12x+k$是完全平方式,$\therefore k=36$.
(4)解:$\because -x^2+\frac{7}{2}x+y-3=0$,
$\therefore -y=-x^2+\frac{7}{2}x-3$,即$-2y=-2x^2+7x-6$,
$\therefore x-2y=x-2x^2+7x-6=-2x^2+8x-6=-2(x^2-4x+4)+2=-2(x-2)^2+2$.
当$x=2$时,$x-2y$的值最大,最大值为2.
(3)解:当$k=36$时,$S$是“完美数”.理由如下:
$S=2x^2+y^2+2xy+12x+k$
$=(x^2+12x+k)+(y^2+2xy+x^2)$
$=(x^2+12x+k)+(y+x)^2$.
$\because S$是“完美数”,$\therefore x^2+12x+k$是完全平方式,$\therefore k=36$.
(4)解:$\because -x^2+\frac{7}{2}x+y-3=0$,
$\therefore -y=-x^2+\frac{7}{2}x-3$,即$-2y=-2x^2+7x-6$,
$\therefore x-2y=x-2x^2+7x-6=-2x^2+8x-6=-2(x^2-4x+4)+2=-2(x-2)^2+2$.
当$x=2$时,$x-2y$的值最大,最大值为2.
解析
【分析】
(1) 根据“完美数”定义，判断是否存在整数a、b满足a²+b²=53，计算可知7²+2²=53，即可得出结论；
(2) 对给定方程左边用配方法拆分为两个完全平方式的和，结合非负数“和为0则各自为0”的性质求出x、y的值，再计算x+y即可；
(3) 先对S的代数式分组，先将含y的项配成完全平方式，剩余含x的二次三项式需也为完全平方式，根据完全平方公式的结构特征即可求出k值；
(4) 从已知等式变形得到-2y关于x的代数式，代入x-2y得到关于x的二次多项式，用配方法化为顶点式后结合平方的非负性即可求出最大值。
【解析】
(1)
∵53=7²+2²，符合“完美数”定义，
∴53是完美数；
(2) 对$x^2 + y^2 - 4x + 2y +5=0$配方得：
$(x^2-4x+4)+(y^2+2y+1)=0$，即$(x-2)^2+(y+1)^2=0$，
∵$(x-2)^2≥0$，$(y+1)^2≥0$，
∴$x-2=0$，$y+1=0$，解得$x=2$，$y=-1$，
∴$x+y=2+(-1)=1$；
(3) 当$k=36$时，$S$是“完美数”，理由如下：
$S=2x^2 + y^2 + 2xy +12x +k$
$=(x^2+12x+k)+(y^2+2xy+x^2)$
$=(x^2+12x+k)+(y+x)^2$，
∵$S$是“完美数”，$(x+y)^2$已经是整数的平方，
∴$x^2+12x+k$需为完全平方式，
根据完全平方公式特征，一次项系数12对应$2×6$，故常数项$k=6^2=36$；
(4) 由$-x^2 + \frac{7}{2}x + y -3=0$，等式两边同乘$-2$得：$2x^2-7x-2y+6=0$，
整理得$-2y=-2x^2+7x-6$，
代入$x-2y$得：$x-2y=x-2x^2+7x-6=-2x^2+8x-6$，
配方得：$-2x^2+8x-6=-2(x^2-4x+4)+2=-2(x-2)^2+2$，
∵$(x-2)^2≥0$，
∴$-2(x-2)^2≤0$，
当$x=2$时，$-2(x-2)^2=0$，此时$x-2y$取得最大值2。
【答案】
(1) 是；(2) 1；(3) $k=36$；(4) $x-2y$的最大值为2
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式
【点评】
本题以新定义“完美数”为载体，综合考查配方法在代数式变形、求值、最值问题中的应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，能够对代数式合理分组拆分完成配方，结合非负数性质解决对应问题。
【难度系数】
0.7
(1) 根据“完美数”定义，判断是否存在整数a、b满足a²+b²=53，计算可知7²+2²=53，即可得出结论；
(2) 对给定方程左边用配方法拆分为两个完全平方式的和，结合非负数“和为0则各自为0”的性质求出x、y的值，再计算x+y即可；
(3) 先对S的代数式分组，先将含y的项配成完全平方式，剩余含x的二次三项式需也为完全平方式，根据完全平方公式的结构特征即可求出k值；
(4) 从已知等式变形得到-2y关于x的代数式，代入x-2y得到关于x的二次多项式，用配方法化为顶点式后结合平方的非负性即可求出最大值。
【解析】
(1)
∵53=7²+2²，符合“完美数”定义，
∴53是完美数；
(2) 对$x^2 + y^2 - 4x + 2y +5=0$配方得：
$(x^2-4x+4)+(y^2+2y+1)=0$，即$(x-2)^2+(y+1)^2=0$，
∵$(x-2)^2≥0$，$(y+1)^2≥0$，
∴$x-2=0$，$y+1=0$，解得$x=2$，$y=-1$，
∴$x+y=2+(-1)=1$；
(3) 当$k=36$时，$S$是“完美数”，理由如下：
$S=2x^2 + y^2 + 2xy +12x +k$
$=(x^2+12x+k)+(y^2+2xy+x^2)$
$=(x^2+12x+k)+(y+x)^2$，
∵$S$是“完美数”，$(x+y)^2$已经是整数的平方，
∴$x^2+12x+k$需为完全平方式，
根据完全平方公式特征，一次项系数12对应$2×6$，故常数项$k=6^2=36$；
(4) 由$-x^2 + \frac{7}{2}x + y -3=0$，等式两边同乘$-2$得：$2x^2-7x-2y+6=0$，
整理得$-2y=-2x^2+7x-6$，
代入$x-2y$得：$x-2y=x-2x^2+7x-6=-2x^2+8x-6$，
配方得：$-2x^2+8x-6=-2(x^2-4x+4)+2=-2(x-2)^2+2$，
∵$(x-2)^2≥0$，
∴$-2(x-2)^2≤0$，
当$x=2$时，$-2(x-2)^2=0$，此时$x-2y$取得最大值2。
【答案】
(1) 是；(2) 1；(3) $k=36$；(4) $x-2y$的最大值为2
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式
【点评】
本题以新定义“完美数”为载体，综合考查配方法在代数式变形、求值、最值问题中的应用，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构，能够对代数式合理分组拆分完成配方，结合非负数性质解决对应问题。
【难度系数】
0.7
