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1.(2025·徐州泉山区月考)不论$x,y$取何有理数，$x^2 + y^2 -10x +8y +41$的值均为 （
A.正数
B.零
C.负数
D.非负数
D
）A.正数
B.零
C.负数
D.非负数
答案
1.D
解析
【分析】
遇到含有两个未知数的二次多项式，判断其取值范围时，优先考虑用配方法将式子变形为几个完全平方式与常数的和的形式，再利用平方的非负性判断整体的正负性。本题先将含x的项、含y的项分别分组，再根据完全平方公式的结构补充对应的常数项，将常数项41拆分为25和16，分别配成x和y的完全平方式，最终得到两个平方的和，即可判断取值。
【解析】
对原式进行配方变形：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 -10x +8y +41&=(x^2-10x+25)+(y^2+8y+16)\\&=(x-5)^2+(y+4)^2\end{aligned}$
∵ 任何有理数的平方都是非负数，即对于任意有理数x、y，都有$(x-5)^2≥0$，$(y+4)^2≥0$
∴ $(x-5)^2+(y+4)^2≥0$，即原式的值恒为非负数。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题考查配方法的应用，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过配方将原式转化为平方和的形式，结合非负数的性质即可快速求解，是配方法应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
遇到含有两个未知数的二次多项式，判断其取值范围时，优先考虑用配方法将式子变形为几个完全平方式与常数的和的形式，再利用平方的非负性判断整体的正负性。本题先将含x的项、含y的项分别分组，再根据完全平方公式的结构补充对应的常数项，将常数项41拆分为25和16，分别配成x和y的完全平方式，最终得到两个平方的和，即可判断取值。
【解析】
对原式进行配方变形：
$\begin{aligned}x^2 + y^2 -10x +8y +41&=(x^2-10x+25)+(y^2+8y+16)\\&=(x-5)^2+(y+4)^2\end{aligned}$
∵ 任何有理数的平方都是非负数，即对于任意有理数x、y，都有$(x-5)^2≥0$，$(y+4)^2≥0$
∴ $(x-5)^2+(y+4)^2≥0$，即原式的值恒为非负数。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
配方法；完全平方公式；平方的非负性
【点评】
本题考查配方法的应用，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，通过配方将原式转化为平方和的形式，结合非负数的性质即可快速求解，是配方法应用的典型基础题。
【难度系数】
0.8
2.(2025·宿迁沭阳县三模)在实数范围内,代数式$a^2 - 4a +7$的值不可能为 (
A.6
B.3.6
C.3
D.2.8
D
)A.6
B.3.6
C.3
D.2.8
答案
2.D
解析
【分析】
要判断代数式的值不可能是哪个选项，需先确定该代数式的取值范围。对于二次三项式类的代数式，优先使用配方法将其变形为“完全平方+常数”的形式，再结合完全平方的非负性求出代数式的最小值，最后对比各选项即可得到答案。
【解析】
对代数式进行配方：
$a^2 - 4a +7 = a^2 -4a +4 +3 = (a-2)^2 +3$
根据完全平方的非负性可知，$(a-2)^2 ≥ 0$，因此：
$(a-2)^2 +3 ≥ 3$
即代数式$a^2 -4a +7$的最小值为3，取值不可能小于3。
对比各选项，2.8＜3，故该代数式的值不可能为2.8。
【答案】
D
【知识点】
配方法；完全平方的非负性
【点评】
本题解题核心是利用配方法将二次代数式转化为含完全平方的形式，结合非负性确定取值范围，是配方法的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
要判断代数式的值不可能是哪个选项，需先确定该代数式的取值范围。对于二次三项式类的代数式，优先使用配方法将其变形为“完全平方+常数”的形式，再结合完全平方的非负性求出代数式的最小值，最后对比各选项即可得到答案。
【解析】
对代数式进行配方：
$a^2 - 4a +7 = a^2 -4a +4 +3 = (a-2)^2 +3$
根据完全平方的非负性可知，$(a-2)^2 ≥ 0$，因此：
$(a-2)^2 +3 ≥ 3$
即代数式$a^2 -4a +7$的最小值为3，取值不可能小于3。
对比各选项，2.8＜3，故该代数式的值不可能为2.8。
【答案】
D
【知识点】
配方法；完全平方的非负性
【点评】
本题解题核心是利用配方法将二次代数式转化为含完全平方的形式，结合非负性确定取值范围，是配方法的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
3.(徐州期中)阅读材料：
若$m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$，求$m,n$的值.
解：$\because m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$，
$\therefore (m^2 -2mn +n^2)+(n^2 -8n +16)=0$，即$(m-n)^2 + (n-4)^2=0$，
$\therefore (m-n)^2=0$，$(n-4)^2=0$，$\therefore m=4$，$n=4$.
根据你的观察，解答下面的问题：
(1)已知$x^2 +2xy +2y^2 +2y +1=0$，求$2x+3y$的值；
(2)已知$△ ABC$的边长$a,b,c$是三个互不相等的正整数，且满足$a^2 +b^2 -4a -6b +13=0$，求$c$的值；
(3)已知$a-b=10$，$ab +c^2 -16c +89=0$，求$a+b+c$的值.
若$m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$，求$m,n$的值.
解：$\because m^2 -2mn +2n^2 -8n +16=0$，
$\therefore (m^2 -2mn +n^2)+(n^2 -8n +16)=0$，即$(m-n)^2 + (n-4)^2=0$，
$\therefore (m-n)^2=0$，$(n-4)^2=0$，$\therefore m=4$，$n=4$.
根据你的观察，解答下面的问题：
(1)已知$x^2 +2xy +2y^2 +2y +1=0$，求$2x+3y$的值；
(2)已知$△ ABC$的边长$a,b,c$是三个互不相等的正整数，且满足$a^2 +b^2 -4a -6b +13=0$，求$c$的值；
(3)已知$a-b=10$，$ab +c^2 -16c +89=0$，求$a+b+c$的值.
答案
3.解:(1)$\because x^2 +2xy +2y^2 +2y +1=0$,
$\therefore (x^2 +2xy +y^2)+(y^2 +2y +1)=0$,
即$(x+y)^2+(y+1)^2=0$,
$\therefore x+y=0,y+1=0,\therefore y=-1,x=1$,
$\therefore 2x+3y=2-3=-1$.
(2)$\because a^2 +b^2 -4a -6b +13=0$,
$\therefore a^2-4a+4+b^2-6b+9=0$,
即$(a-2)^2+(b-3)^2=0$,
$\therefore a-2=0,b-3=0,\therefore a=2,b=3$.
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长,$\therefore 1＜c＜5$.
$\because a,b,c$是三个互不相等的正整数,$\therefore c=4$.
(3)由$a-b=10$,得$a=b+10$,
代入$ab+c^2-16c+89=0$,得
$b(b+10)+c^2-16c+89=0$,
整理,得$(b^2+10b+25)+(c^2-16c+64)=0$,
即$(b+5)^2+(c-8)^2=0,\therefore b+5=0,c-8=0$,
$\therefore b=-5,c=8,\therefore a=5,\therefore a+b+c=5-5+8=8$.
$\therefore (x^2 +2xy +y^2)+(y^2 +2y +1)=0$,
即$(x+y)^2+(y+1)^2=0$,
$\therefore x+y=0,y+1=0,\therefore y=-1,x=1$,
$\therefore 2x+3y=2-3=-1$.
(2)$\because a^2 +b^2 -4a -6b +13=0$,
$\therefore a^2-4a+4+b^2-6b+9=0$,
即$(a-2)^2+(b-3)^2=0$,
$\therefore a-2=0,b-3=0,\therefore a=2,b=3$.
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长,$\therefore 1＜c＜5$.
$\because a,b,c$是三个互不相等的正整数,$\therefore c=4$.
(3)由$a-b=10$,得$a=b+10$,
代入$ab+c^2-16c+89=0$,得
$b(b+10)+c^2-16c+89=0$,
整理,得$(b^2+10b+25)+(c^2-16c+64)=0$,
即$(b+5)^2+(c-8)^2=0,\therefore b+5=0,c-8=0$,
$\therefore b=-5,c=8,\therefore a=5,\therefore a+b+c=5-5+8=8$.
解析
【分析】
本题核心考查配方法的应用，解题思路是借助完全平方公式将多项式拆分为若干个完全平方式的和，再结合“若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解：
(1) 先把原式拆分为含$(x+y)$的完全平方和含$(y+1)$的完全平方，令两个平方式分别为0，求出$x$、$y$后代入计算$2x+3y$即可；
(2) 对等式左边配方得到$(a-2)^2+(b-3)^2=0$，求出$a$、$b$的值后，结合三角形三边关系，再根据三边长互不相等且为正整数的条件确定$c$的值；
(3) 先将$a=b+10$代入第二个等式，再对等式左边配方得到两个平方式的和为0，求出$b$、$c$的值后计算$a$的值，最后代入求$a+b+c$即可。
【解析】
(1) $\because x^2 +2xy +2y^2 +2y +1=0$,
$\therefore (x^2 +2xy +y^2)+(y^2 +2y +1)=0$,
即$(x+y)^2+(y+1)^2=0$,
$\because$ 平方数具有非负性，
$\therefore x+y=0,y+1=0$，解得$y=-1,x=1$,
$\therefore 2x+3y=2×1 +3×(-1)=2-3=-1$.
(2) $\because a^2 +b^2 -4a -6b +13=0$,
$\therefore (a^2-4a+4)+(b^2-6b+9)=0$,
即$(a-2)^2+(b-3)^2=0$,
$\because$ 平方数具有非负性，
$\therefore a-2=0,b-3=0$，解得$a=2,b=3$.
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长，
$\therefore b-a ＜ c ＜ a+b$，即$1＜c＜5$,
又$\because a,b,c$是三个互不相等的正整数，
$\therefore c=4$.
(3) 由$a-b=10$，得$a=b+10$,
将$a=b+10$代入$ab +c^2 -16c +89=0$，得：
$b(b+10)+c^2-16c+89=0$,
整理得$(b^2+10b+25)+(c^2-16c+64)=0$,
即$(b+5)^2+(c-8)^2=0$,
$\because$ 平方数具有非负性，
$\therefore b+5=0,c-8=0$，解得$b=-5,c=8$,
$\therefore a=b+10=5$,
$\therefore a+b+c=5+(-5)+8=8$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{4}$；(3) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于材料阅读类题型，重点考查对配方法的迁移应用能力，需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，解题时要结合题干给出的限定条件综合分析，能有效提升知识迁移运用和综合解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题核心考查配方法的应用，解题思路是借助完全平方公式将多项式拆分为若干个完全平方式的和，再结合“若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解：
(1) 先把原式拆分为含$(x+y)$的完全平方和含$(y+1)$的完全平方，令两个平方式分别为0，求出$x$、$y$后代入计算$2x+3y$即可；
(2) 对等式左边配方得到$(a-2)^2+(b-3)^2=0$，求出$a$、$b$的值后，结合三角形三边关系，再根据三边长互不相等且为正整数的条件确定$c$的值；
(3) 先将$a=b+10$代入第二个等式，再对等式左边配方得到两个平方式的和为0，求出$b$、$c$的值后计算$a$的值，最后代入求$a+b+c$即可。
【解析】
(1) $\because x^2 +2xy +2y^2 +2y +1=0$,
$\therefore (x^2 +2xy +y^2)+(y^2 +2y +1)=0$,
即$(x+y)^2+(y+1)^2=0$,
$\because$ 平方数具有非负性，
$\therefore x+y=0,y+1=0$，解得$y=-1,x=1$,
$\therefore 2x+3y=2×1 +3×(-1)=2-3=-1$.
(2) $\because a^2 +b^2 -4a -6b +13=0$,
$\therefore (a^2-4a+4)+(b^2-6b+9)=0$,
即$(a-2)^2+(b-3)^2=0$,
$\because$ 平方数具有非负性，
$\therefore a-2=0,b-3=0$，解得$a=2,b=3$.
$\because a,b,c$是$△ ABC$的三边长，
$\therefore b-a ＜ c ＜ a+b$，即$1＜c＜5$,
又$\because a,b,c$是三个互不相等的正整数，
$\therefore c=4$.
(3) 由$a-b=10$，得$a=b+10$,
将$a=b+10$代入$ab +c^2 -16c +89=0$，得：
$b(b+10)+c^2-16c+89=0$,
整理得$(b^2+10b+25)+(c^2-16c+64)=0$,
即$(b+5)^2+(c-8)^2=0$,
$\because$ 平方数具有非负性，
$\therefore b+5=0,c-8=0$，解得$b=-5,c=8$,
$\therefore a=b+10=5$,
$\therefore a+b+c=5+(-5)+8=8$.
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{4}$；(3) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
配方法的应用；非负数的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于材料阅读类题型，重点考查对配方法的迁移应用能力，需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，解题时要结合题干给出的限定条件综合分析，能有效提升知识迁移运用和综合解决问题的能力。
【难度系数】
0.7
4.(2025·南京江宁区二模)(1)比较$a^2 - ab$与$ab - b^2$的大小；
(2)比较$x^2 - 3x$与$x - 5$的大小。
(2)比较$x^2 - 3x$与$x - 5$的大小。
答案
4.解:(1)$\because a^2 - ab-(ab - b^2)=(a-b)^2≥0$,
$\therefore a^2 - ab≥ ab - b^2$.
(2)$\because x^2 - 3x-(x-5)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1≥1＞0$,$\therefore x^2 - 3x＞x-5$.
$\therefore a^2 - ab≥ ab - b^2$.
(2)$\because x^2 - 3x-(x-5)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1≥1＞0$,$\therefore x^2 - 3x＞x-5$.
解析
【分析】
比较两个代数式的大小通常采用作差法，解题思路为：第一步作两个代数式的差，第二步对差进行化简（可通过因式分解或配方变形），第三步判断差和0的大小关系，第四步根据差的符号推导两个代数式的大小关系。本题两小问均先作差，再利用完全平方的非负性判断差的符号，即可得到结论。
【解析】
(1) 对两个代数式作差并化简：
$a^2 - ab-(ab - b^2)=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
由完全平方的非负性可得$(a-b)^2≥0$，即两个代数式的差大于等于0，因此$a^2 - ab≥ ab - b^2$。
(2) 对两个代数式作差并化简配方：
$x^2 - 3x-(x-5)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$
由完全平方的非负性可得$(x-2)^2≥0$，因此$(x-2)^2+1≥1＞0$，即两个代数式的差大于0，因此$x^2 - 3x＞x-5$。
【答案】
(1) $a^2 - ab ≥ ab - b^2$；(2) $x^2 - 3x ＞ x - 5$
【知识点】
作差法比较大小，完全平方的非负性，配方法
【点评】
本题是代数式大小比较的常规题型，核心考查作差法的应用，解题关键是作差后将差变形为可直接判断符号的形式，需要熟练掌握因式分解、配方法以及完全平方非负性的应用。
【难度系数】
0.7
比较两个代数式的大小通常采用作差法，解题思路为：第一步作两个代数式的差，第二步对差进行化简（可通过因式分解或配方变形），第三步判断差和0的大小关系，第四步根据差的符号推导两个代数式的大小关系。本题两小问均先作差，再利用完全平方的非负性判断差的符号，即可得到结论。
【解析】
(1) 对两个代数式作差并化简：
$a^2 - ab-(ab - b^2)=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$
由完全平方的非负性可得$(a-b)^2≥0$，即两个代数式的差大于等于0，因此$a^2 - ab≥ ab - b^2$。
(2) 对两个代数式作差并化简配方：
$x^2 - 3x-(x-5)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1$
由完全平方的非负性可得$(x-2)^2≥0$，因此$(x-2)^2+1≥1＞0$，即两个代数式的差大于0，因此$x^2 - 3x＞x-5$。
【答案】
(1) $a^2 - ab ≥ ab - b^2$；(2) $x^2 - 3x ＞ x - 5$
【知识点】
作差法比较大小，完全平方的非负性，配方法
【点评】
本题是代数式大小比较的常规题型，核心考查作差法的应用，解题关键是作差后将差变形为可直接判断符号的形式，需要熟练掌握因式分解、配方法以及完全平方非负性的应用。
【难度系数】
0.7
