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1.(2025·徐州模拟)如图,点A,B,C,D在$\odot O$上,$BO// CD$,$∠ A=25°$,则$∠ O=$ (
A.$120°$
B.$130°$
C.$100°$
D.$125°$
B
)A.$120°$
B.$130°$
C.$100°$
D.$125°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先从已知的圆周角∠A出发，第一步根据圆周角定理，求出同弧BC所对的圆心角∠BOC的度数；第二步结合$BO// CD$的平行线性质，得到内错角相等推出∠OCD的度数；第三步根据圆的半径相等可知$△ OCD$是等腰三角形，利用等腰三角形内角和算出∠COD的度数；最后将∠BOC和∠COD相加即可得到∠BOD（即∠O）的度数。
【解析】
1. 求∠BOC的度数：
∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ BOC=2∠ A=2×25°=50°$。
2. 求∠OCD的度数：
$\because BO// CD$，根据两直线平行，内错角相等，$\therefore ∠ OCD=∠ BOC=50°$。
3. 求∠COD的度数：
$\because OC、OD$都是$\odot O$的半径，$\therefore OC=OD$，$△ OCD$为等腰三角形，$∠ ODC=∠ OCD=50°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ COD=180°-∠ OCD-∠ ODC=180°-50°-50°=80°$。
4. 计算∠O的度数：
$∠ O=∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=50°+80°=130°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆相关的基础角度计算题，将圆的性质和三角形、平行线的基础性质结合考查，解题的核心是找准同弧对应的圆周角和圆心角，再逐步推导关联角度即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的圆周角∠A出发，第一步根据圆周角定理，求出同弧BC所对的圆心角∠BOC的度数；第二步结合$BO// CD$的平行线性质，得到内错角相等推出∠OCD的度数；第三步根据圆的半径相等可知$△ OCD$是等腰三角形，利用等腰三角形内角和算出∠COD的度数；最后将∠BOC和∠COD相加即可得到∠BOD（即∠O）的度数。
【解析】
1. 求∠BOC的度数：
∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ BOC=2∠ A=2×25°=50°$。
2. 求∠OCD的度数：
$\because BO// CD$，根据两直线平行，内错角相等，$\therefore ∠ OCD=∠ BOC=50°$。
3. 求∠COD的度数：
$\because OC、OD$都是$\odot O$的半径，$\therefore OC=OD$，$△ OCD$为等腰三角形，$∠ ODC=∠ OCD=50°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ COD=180°-∠ OCD-∠ ODC=180°-50°-50°=80°$。
4. 计算∠O的度数：
$∠ O=∠ BOD=∠ BOC+∠ COD=50°+80°=130°$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆相关的基础角度计算题，将圆的性质和三角形、平行线的基础性质结合考查，解题的核心是找准同弧对应的圆周角和圆心角，再逐步推导关联角度即可，难度较低。
【难度系数】
0.8
2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径。若∠BEC=20°，则∠ADC的度数为
（
A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
（
B
）A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
答案
2.B
解析
【分析】
解题可按三步推导：第一步，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠BEC和∠BAC度数相等，先确定∠BAC的大小；第二步，AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB=90°，在直角三角形ABC中即可求出∠ABC的度数；第三步，利用圆内接四边形对角互补的性质，即可计算出∠ADC的度数。
【解析】
∵∠BEC与∠BAC均为弧BC所对的圆周角，
∴∠BAC=∠BEC=20°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=180°-90°-20°=70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠ADC=180°-70°=110°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，直径所对圆周角为直角
【点评】
本题是圆的角度计算基础题，核心是熟练运用圆的相关角度性质逐步推导，难度较低，是圆相关角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题可按三步推导：第一步，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠BEC和∠BAC度数相等，先确定∠BAC的大小；第二步，AB是圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB=90°，在直角三角形ABC中即可求出∠ABC的度数；第三步，利用圆内接四边形对角互补的性质，即可计算出∠ADC的度数。
【解析】
∵∠BEC与∠BAC均为弧BC所对的圆周角，
∴∠BAC=∠BEC=20°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=180°-90°-20°=70°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°（圆内接四边形对角互补），
∴∠ADC=180°-70°=110°。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，直径所对圆周角为直角
【点评】
本题是圆的角度计算基础题，核心是熟练运用圆的相关角度性质逐步推导，难度较低，是圆相关角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
3.如图，点A，B，C，D，E在$\odot O$上，$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为$50°$，则$∠ C+∠ E$的度数为
155°
。答案
3.155°
解析
【分析】
解题时首先回忆圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，圆心角的度数等于其所对弧的度数。已知$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角为$50°$，可先得到$\overset{\frown}{AB}$的度数，再分析$∠C$和$∠E$两个圆周角所对的弧的总度数，即可求出两角之和。具体步骤：1. 由圆心角度数得到$\overset{\frown}{AB}$的度数；2. 计算$∠C$和$∠E$所对弧的度数总和；3. 结合圆周角定理求两个角的和。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为$50°$，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$50°$，
根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
$∠C$作为圆周角所对的弧为$\overset{\frown}{DEB}$，$∠E$作为圆周角所对的弧为$\overset{\frown}{DCB}$，
两个角所对弧的度数之和为$360° - 50° = 310°$，
∴$∠C + ∠E = \frac{1}{2}×310° = 155°$。
【答案】
$155°$
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题核心是找到圆周角和对应弧的关系，通过整体计算两个角所对弧的总度数简化计算，避免分别求两个角度数的复杂步骤。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，圆心角的度数等于其所对弧的度数。已知$\overset{\frown}{AB}$对应的圆心角为$50°$，可先得到$\overset{\frown}{AB}$的度数，再分析$∠C$和$∠E$两个圆周角所对的弧的总度数，即可求出两角之和。具体步骤：1. 由圆心角度数得到$\overset{\frown}{AB}$的度数；2. 计算$∠C$和$∠E$所对弧的度数总和；3. 结合圆周角定理求两个角的和。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为$50°$，
∴$\overset{\frown}{AB}$的度数为$50°$，
根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧度数的一半，
$∠C$作为圆周角所对的弧为$\overset{\frown}{DEB}$，$∠E$作为圆周角所对的弧为$\overset{\frown}{DCB}$，
两个角所对弧的度数之和为$360° - 50° = 310°$，
∴$∠C + ∠E = \frac{1}{2}×310° = 155°$。
【答案】
$155°$
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题核心是找到圆周角和对应弧的关系，通过整体计算两个角所对弧的总度数简化计算，避免分别求两个角度数的复杂步骤。
【难度系数】
0.7
4.如图,以$△ ABC$的边$BC$为直径的$\odot O$分别交$AB$,$AC$于点$D$,$E$,连接$OD$,$OE$.若$∠ A=62°$,则$∠ DOE$的度数是________.
答案
4.56°
解析
【分析】
已知∠A的度数，可先由三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的度数和；再结合圆的半径相等，得到△OBD和△OEC均为等腰三角形，用等腰三角形内角和表示出∠BOD和∠EOC的度数；最后根据平角的定义，用180°减去∠BOD与∠EOC的和，即可求出∠DOE的度数。
【解析】
在△ABC中，∠A=62°，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 62° = 118°$
∵OB、OD、OE、OC都是$\odot O$的半径
∴$OB=OD$，$OE=OC$
∴$∠ ODB=∠ B$，$∠ OEC=∠ C$
由三角形内角和可得：
$∠ BOD = 180° - 2∠ B$，$∠ EOC = 180° - 2∠ C$
∵$∠ BOD + ∠ DOE + ∠ EOC = 180°$
∴$∠ DOE = 180° - ∠ BOD - ∠ EOC$
代入得：
$∠ DOE = 180° - (180° - 2∠ B) - (180° - 2∠ C) = 2(∠ B + ∠ C) - 180°$
将$∠ B + ∠ C=118°$代入上式：
$∠ DOE = 2×118° - 180° = 56°$
【答案】
$56°$
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，解题的核心是利用半径相等得到等腰三角形，再通过角的和差关系建立已知角和所求角的联系，解题时要注意角的转化不要出错。
【难度系数】
0.7
已知∠A的度数，可先由三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的度数和；再结合圆的半径相等，得到△OBD和△OEC均为等腰三角形，用等腰三角形内角和表示出∠BOD和∠EOC的度数；最后根据平角的定义，用180°减去∠BOD与∠EOC的和，即可求出∠DOE的度数。
【解析】
在△ABC中，∠A=62°，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ B + ∠ C = 180° - ∠ A = 180° - 62° = 118°$
∵OB、OD、OE、OC都是$\odot O$的半径
∴$OB=OD$，$OE=OC$
∴$∠ ODB=∠ B$，$∠ OEC=∠ C$
由三角形内角和可得：
$∠ BOD = 180° - 2∠ B$，$∠ EOC = 180° - 2∠ C$
∵$∠ BOD + ∠ DOE + ∠ EOC = 180°$
∴$∠ DOE = 180° - ∠ BOD - ∠ EOC$
代入得：
$∠ DOE = 180° - (180° - 2∠ B) - (180° - 2∠ C) = 2(∠ B + ∠ C) - 180°$
将$∠ B + ∠ C=118°$代入上式：
$∠ DOE = 2×118° - 180° = 56°$
【答案】
$56°$
【知识点】
三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础题，解题的核心是利用半径相等得到等腰三角形，再通过角的和差关系建立已知角和所求角的联系，解题时要注意角的转化不要出错。
【难度系数】
0.7
5. 在半径为2的$\odot O$中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为
30°或150°
。答案
5. 30°或150°
解析
【分析】
解题时首先要明确：一条弦所对的圆周角有两类，分别位于弦的两侧，两类圆周角互补。首先我们可以通过半径和弦长的关系求出弦对应的圆心角，再结合圆周角定理分别计算两类圆周角的度数即可。第一步：连接圆心和弦的两个端点，构造圆心角所在的三角形；第二步：根据三角形边长判断三角形形状，求出圆心角的度数；第三步：分别计算劣弧、优弧所对的圆周角度数，注意不要漏解。
【解析】
连接OA、OB，
∵⊙O的半径为2，
∴OA=OB=2，
又
∵AB=2，
∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°。
①当圆周角的顶点在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得此时圆周角的度数为$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°；
②当圆周角的顶点在劣弧AB上时，根据圆内接四边形的对角互补，可得此时圆周角的度数为180°-30°=150°。
综上，弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
1.圆周角定理 2.等边三角形的判定与性质 3.圆内接四边形的性质
【点评】
本题的易错点是漏解，解题时要注意弦所对的圆周角有两种情况，分别在弦的两侧，二者互补，考虑问题要全面。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确：一条弦所对的圆周角有两类，分别位于弦的两侧，两类圆周角互补。首先我们可以通过半径和弦长的关系求出弦对应的圆心角，再结合圆周角定理分别计算两类圆周角的度数即可。第一步：连接圆心和弦的两个端点，构造圆心角所在的三角形；第二步：根据三角形边长判断三角形形状，求出圆心角的度数；第三步：分别计算劣弧、优弧所对的圆周角度数，注意不要漏解。
【解析】
连接OA、OB，
∵⊙O的半径为2，
∴OA=OB=2，
又
∵AB=2，
∴OA=OB=AB，即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°。
①当圆周角的顶点在优弧AB上时，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得此时圆周角的度数为$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×60°=30°；
②当圆周角的顶点在劣弧AB上时，根据圆内接四边形的对角互补，可得此时圆周角的度数为180°-30°=150°。
综上，弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°。
【答案】
30°或150°
【知识点】
1.圆周角定理 2.等边三角形的判定与性质 3.圆内接四边形的性质
【点评】
本题的易错点是漏解，解题时要注意弦所对的圆周角有两种情况，分别在弦的两侧，二者互补，考虑问题要全面。
【难度系数】
0.6
6.(建邺区期末)如图,在$\odot O$的内接四边形ABCD中,AB=BC,直径AE⊥CD,垂足为F.当$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$时,求∠D的度数. 
答案
6.解:如答图,连接 AC,OC,OD,BD.
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD},\therefore ∠BAC=∠CAD.$
$\because AB=BC,\therefore ∠BCA=∠BAC=∠CAD.$
$\because A,B,C,D$在同一个圆上,$\therefore ∠BAD+∠BCD=180^{\circ },$
$\therefore ∠BCA+∠ACD+∠BAC+∠CAD=180^{\circ },$
即$3∠CAD+∠ACD=180^{\circ }.$
$\because OC=OD$且$OF⊥CD,\therefore CF=FD,$
$\therefore △ACD$为等腰三角形,$\therefore ∠ACD=∠ADC,$
$\therefore ∠CAD+2∠ACD=180^{\circ }.$
联立$\begin{cases} 3∠CAD+∠ACD=180^{\circ }, \\ ∠CAD+2∠ACD=180^{\circ }, \end{cases}$解得$\begin{cases} ∠CAD=36^{\circ }, \\ ∠ACD=72^{\circ }. \end{cases}$
$\therefore ∠ADC=∠ACD=72^{\circ }.$
解析
【分析】
解题时首先根据已知的弧相等、弦相等条件，结合圆周角定理得到角的等量关系；再利用垂径定理得出AE垂直平分CD，进而得到AC=AD，推出△ACD为等腰三角形，得到底角相等的关系；再结合圆内接四边形对角互补的性质，将相关角用同一个未知量表示，建立方程组求解即可得到∠D的度数。解题第一步先构造辅助线，连接AC、OC、OD，方便转化角的关系。
【解析】
解：如答图，连接$AC,OC,OD$。
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，同圆中相等的弧所对的圆周角相等，$\therefore ∠BAC=∠CAD$。
$\because AB=BC$，$\therefore △ ABC$为等腰三角形，$∠BCA=∠BAC=∠CAD$。
$\because A,B,C,D$在$\odot O$上，圆内接四边形对角互补，$\therefore ∠BAD+∠BCD=180^{\circ }$，
拆分角可得$∠BCA+∠ACD+∠BAC+∠CAD=180^{\circ }$，
代入等量关系得：$3∠CAD+∠ACD=180^{\circ }$ ①。
$\because OC=OD$且$AE⊥CD$，由垂径定理得$CF=FD$，即AE是CD的垂直平分线，
$\therefore AC=AD$，$△ ACD$为等腰三角形，$\therefore ∠ACD=∠ADC$。
在$△ ACD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ }$得：$∠CAD+∠ACD+∠ADC=∠CAD+2∠ACD=180^{\circ }$ ②。
联立①②得方程组：
$\begin{cases} 3∠CAD+∠ACD=180^{\circ }, \\ ∠CAD+2∠ACD=180^{\circ }, \end{cases}$
解得$\begin{cases} ∠CAD=36^{\circ }, \\ ∠ACD=72^{\circ }. \end{cases}$
$\therefore ∠ADC=∠ACD=72^{\circ }$。
【答案】
∠D的度数为$\boldsymbol{72°}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质的综合应用题型，核心是通过弧、弦的相等关系实现角的等量转化，结合方程思想求解角度，需要熟练掌握圆中各类性质的适用条件，学会构造合适的辅助线简化问题。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据已知的弧相等、弦相等条件，结合圆周角定理得到角的等量关系；再利用垂径定理得出AE垂直平分CD，进而得到AC=AD，推出△ACD为等腰三角形，得到底角相等的关系；再结合圆内接四边形对角互补的性质，将相关角用同一个未知量表示，建立方程组求解即可得到∠D的度数。解题第一步先构造辅助线，连接AC、OC、OD，方便转化角的关系。
【解析】
解：如答图，连接$AC,OC,OD$。
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，同圆中相等的弧所对的圆周角相等，$\therefore ∠BAC=∠CAD$。
$\because AB=BC$，$\therefore △ ABC$为等腰三角形，$∠BCA=∠BAC=∠CAD$。
$\because A,B,C,D$在$\odot O$上，圆内接四边形对角互补，$\therefore ∠BAD+∠BCD=180^{\circ }$，
拆分角可得$∠BCA+∠ACD+∠BAC+∠CAD=180^{\circ }$，
代入等量关系得：$3∠CAD+∠ACD=180^{\circ }$ ①。
$\because OC=OD$且$AE⊥CD$，由垂径定理得$CF=FD$，即AE是CD的垂直平分线，
$\therefore AC=AD$，$△ ACD$为等腰三角形，$\therefore ∠ACD=∠ADC$。
在$△ ACD$中，根据三角形内角和为$180^{\circ }$得：$∠CAD+∠ACD+∠ADC=∠CAD+2∠ACD=180^{\circ }$ ②。
联立①②得方程组：
$\begin{cases} 3∠CAD+∠ACD=180^{\circ }, \\ ∠CAD+2∠ACD=180^{\circ }, \end{cases}$
解得$\begin{cases} ∠CAD=36^{\circ }, \\ ∠ACD=72^{\circ }. \end{cases}$
$\therefore ∠ADC=∠ACD=72^{\circ }$。
【答案】
∠D的度数为$\boldsymbol{72°}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆性质的综合应用题型，核心是通过弧、弦的相等关系实现角的等量转化，结合方程思想求解角度，需要熟练掌握圆中各类性质的适用条件，学会构造合适的辅助线简化问题。
【难度系数】
0.6
7. 如图，AB是$\odot O$的直径，CD是$\odot O$的一条弦，且$CD⊥ AB$于点E，连接AC，OC，BC.
(1)求证：$∠ 1=∠ 2$；
(2)若$BE=2$，$CD=6$，求$\odot O$的半径.
(1)求证：$∠ 1=∠ 2$；
(2)若$BE=2$，$CD=6$，求$\odot O$的半径.
答案
7.(1)证明:$\because AB$是$\odot O$的直径,$CD⊥AB,$
$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD},\therefore ∠A=∠2.$
$\because OA=OC,\therefore ∠1=∠A,\therefore ∠1=∠2.$
(2)解:$\because AB$为$\odot O$的直径,弦$CD⊥AB,CD=6,$
$\therefore ∠CEO=90^{\circ },CE=ED=3.$
设$\odot O$的半径是$R$,$\because EB=2,\therefore OE=R-2.$
在$\mathrm{Rt}△OEC$中,$R^{2}=(R-2)^{2}+3^{2}$,解得$R=\frac{13}{4}$,
即$\odot O$的半径是$\frac{13}{4}.$
$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD},\therefore ∠A=∠2.$
$\because OA=OC,\therefore ∠1=∠A,\therefore ∠1=∠2.$
(2)解:$\because AB$为$\odot O$的直径,弦$CD⊥AB,CD=6,$
$\therefore ∠CEO=90^{\circ },CE=ED=3.$
设$\odot O$的半径是$R$,$\because EB=2,\therefore OE=R-2.$
在$\mathrm{Rt}△OEC$中,$R^{2}=(R-2)^{2}+3^{2}$,解得$R=\frac{13}{4}$,
即$\odot O$的半径是$\frac{13}{4}.$
解析
【分析】
(1) 要证明∠1=∠2，可通过中间角等量代换推导：首先利用垂径定理，由AB垂直CD得到弧BC等于弧BD，进而推出对应圆周角∠A=∠2；再结合OA=OC，根据等腰三角形等边对等角的性质得∠1=∠A，通过等量代换即可得证。
(2) 求圆的半径时，先由垂径定理求出CE的长度，设半径为R，用R表示出OE的长度，在直角三角形OEC中利用勾股定理列方程，解方程即可求出半径。
【解析】
(1) 证明：$\because AB$是$\odot O$的直径，$CD⊥AB$，
$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得$∠A=∠2$。
$\because OA=OC$（均为$\odot O$的半径），
$\therefore ∠1=∠A$（等边对等角），
$\therefore ∠1=∠2$。
(2) 解：$\because AB$为$\odot O$的直径，弦$CD⊥AB$，$CD=6$，
$\therefore ∠CEO=90^{\circ }$，由垂径定理得$CE=ED=\frac{1}{2}CD=3$。
设$\odot O$的半径是$R$，则$OC=R$，$OE=OB-BE=R-2$，
在$\mathrm{Rt}△OEC$中，由勾股定理得$OC^2=OE^2+CE^2$，
即$R^{2}=(R-2)^{2}+3^{2}$，
展开整理得$4R=13$，解得$R=\frac{13}{4}$。
【答案】
(1) 已证得$∠ 1=∠ 2$；
(2) $\odot O$的半径为$\frac{13}{4}$。
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问侧重考查角的等量代换，需要掌握弧、圆周角、等腰三角形性质之间的关联；第二问是圆中弦长计算的常考模型，运用方程思想结合勾股定理求解是圆相关计算的核心方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明∠1=∠2，可通过中间角等量代换推导：首先利用垂径定理，由AB垂直CD得到弧BC等于弧BD，进而推出对应圆周角∠A=∠2；再结合OA=OC，根据等腰三角形等边对等角的性质得∠1=∠A，通过等量代换即可得证。
(2) 求圆的半径时，先由垂径定理求出CE的长度，设半径为R，用R表示出OE的长度，在直角三角形OEC中利用勾股定理列方程，解方程即可求出半径。
【解析】
(1) 证明：$\because AB$是$\odot O$的直径，$CD⊥AB$，
$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，根据等弧所对的圆周角相等，可得$∠A=∠2$。
$\because OA=OC$（均为$\odot O$的半径），
$\therefore ∠1=∠A$（等边对等角），
$\therefore ∠1=∠2$。
(2) 解：$\because AB$为$\odot O$的直径，弦$CD⊥AB$，$CD=6$，
$\therefore ∠CEO=90^{\circ }$，由垂径定理得$CE=ED=\frac{1}{2}CD=3$。
设$\odot O$的半径是$R$，则$OC=R$，$OE=OB-BE=R-2$，
在$\mathrm{Rt}△OEC$中，由勾股定理得$OC^2=OE^2+CE^2$，
即$R^{2}=(R-2)^{2}+3^{2}$，
展开整理得$4R=13$，解得$R=\frac{13}{4}$。
【答案】
(1) 已证得$∠ 1=∠ 2$；
(2) $\odot O$的半径为$\frac{13}{4}$。
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问侧重考查角的等量代换，需要掌握弧、圆周角、等腰三角形性质之间的关联；第二问是圆中弦长计算的常考模型，运用方程思想结合勾股定理求解是圆相关计算的核心方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
