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1.某水果店记录了某周星期一～五某种水果的日销量(单位:kg):12,15,13,16,14,则该组数据的离差平方和为 （
A.10
B.14
C.20
D.28
A
）A.10
B.14
C.20
D.28
答案
1.A
解析
【分析】
要计算这组数据的离差平方和，需按三步进行：第一步先求出该组数据的平均数；第二步分别计算每个数据与平均数的差值（离差），再对每个离差求平方；第三步将所有离差的平方相加，所得结果即为离差平方和，按此步骤逐步运算即可得到正确答案。
【解析】
首先计算该组数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{12+15+13+16+14}{5}=\frac{70}{5}=14$
再计算离差平方和：
$\begin{aligned}S&=(12-14)^2+(15-14)^2+(13-14)^2+(16-14)^2+(14-14)^2\\&=(-2)^2+1^2+(-1)^2+2^2+0^2\\&=4+1+1+4+0\\&=10\end{aligned}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算，离差平方和的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对离差平方和计算方法的掌握，运算量小，只要牢记计算步骤、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
要计算这组数据的离差平方和，需按三步进行：第一步先求出该组数据的平均数；第二步分别计算每个数据与平均数的差值（离差），再对每个离差求平方；第三步将所有离差的平方相加，所得结果即为离差平方和，按此步骤逐步运算即可得到正确答案。
【解析】
首先计算该组数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{12+15+13+16+14}{5}=\frac{70}{5}=14$
再计算离差平方和：
$\begin{aligned}S&=(12-14)^2+(15-14)^2+(13-14)^2+(16-14)^2+(14-14)^2\\&=(-2)^2+1^2+(-1)^2+2^2+0^2\\&=4+1+1+4+0\\&=10\end{aligned}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平均数的计算，离差平方和的计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对离差平方和计算方法的掌握，运算量小，只要牢记计算步骤、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
2.在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是
（
A.使每组数据量相等
B.使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大
C.减少计算复杂度
D.保证组间均值相等
（
B
）A.使每组数据量相等
B.使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大
C.减少计算复杂度
D.保证组间均值相等
答案
2.B
解析
【分析】
首先结合已学的离散程度相关知识思考：离差平方和和我们学过的方差密切相关，方差是离差平方和的平均数，二者都可以反映一组数据的离散程度，数值越小说明组内数据的差异越小、波动越小。分组要求“组内离差平方和最小”，就是要让组内数据的差异尽可能小，相应的不同组之间的数据差异就会尽可能大，这样的分组才更有统计意义。接下来逐一辨析选项即可得出答案。
【解析】
我们先明确离差平方和的意义：它和九年级所学的方差一样，都是衡量一组数据离散程度的指标，数值越小，说明该组数据的差异越小、波动越小。
对各选项逐一分析：
A. 组内离差平方和的大小和每组的数据量多少没有直接关联，该选项错误；
B. 组内离差平方和最小，意味着组内数据的差异尽可能小，此时分组后不同组之间的数据差异就会尽可能大，符合分组的目的，该选项正确；
C. 要求组内离差平方和最小和减少计算复杂度没有关系，该选项错误；
D. 组内离差平方和最小不会保证组间均值相等，若组间均值相等，分组就失去了统计意义，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 数据离散程度的意义
2. 统计分组的要求
【点评】
这道题属于基础概念考查题，只要明确离差平方和是衡量数据离散程度的指标，理解统计分组的基本目的，就能快速做出判断。
【难度系数】
0.8
首先结合已学的离散程度相关知识思考：离差平方和和我们学过的方差密切相关，方差是离差平方和的平均数，二者都可以反映一组数据的离散程度，数值越小说明组内数据的差异越小、波动越小。分组要求“组内离差平方和最小”，就是要让组内数据的差异尽可能小，相应的不同组之间的数据差异就会尽可能大，这样的分组才更有统计意义。接下来逐一辨析选项即可得出答案。
【解析】
我们先明确离差平方和的意义：它和九年级所学的方差一样，都是衡量一组数据离散程度的指标，数值越小，说明该组数据的差异越小、波动越小。
对各选项逐一分析：
A. 组内离差平方和的大小和每组的数据量多少没有直接关联，该选项错误；
B. 组内离差平方和最小，意味着组内数据的差异尽可能小，此时分组后不同组之间的数据差异就会尽可能大，符合分组的目的，该选项正确；
C. 要求组内离差平方和最小和减少计算复杂度没有关系，该选项错误；
D. 组内离差平方和最小不会保证组间均值相等，若组间均值相等，分组就失去了统计意义，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 数据离散程度的意义
2. 统计分组的要求
【点评】
这道题属于基础概念考查题，只要明确离差平方和是衡量数据离散程度的指标，理解统计分组的基本目的，就能快速做出判断。
【难度系数】
0.8
3.将数据34,23,21,56,61,57,83,25分成两组,以便找到组内离差平方和最小的分组方法,那么分法有（
A.6种
B.7种
C.8种
D.9种
B
）A.6种
B.7种
C.8种
D.9种
答案
3.B
解析
【分析】
要找到组内离差平方和最小的分组方法，首先明确离差平方和反映的是组内数据的离散程度，组内数据越集中，离差平方和越小。解题思路如下：第一步先将所有数据从小到大排序，避免大小数据混杂增大组内离散程度；第二步可知最优分组一定是在排序后相邻两个数据的间隔处切分，只要计算相邻间隔的数量就能得到符合要求的分法总数。
【解析】
1. 先把给定数据按从小到大排序：$21,23,25,34,56,57,61,83$，共8个数据。
2. 若要两组的组内离差平方和最小，两组数据都需尽可能集中，因此只能在相邻两个数据的间隔处切分，不能打乱排序将不相邻的数据分到同一组，否则会增大组内离散程度，导致离差平方和变大。
3. 8个排序后的数据之间共有$8-1=7$个相邻间隔，每个间隔对应1种符合要求的非空分组方法，因此共7种分法。
【答案】
B
【知识点】
离差平方和，数据的离散程度，最优分组
【点评】
本题侧重对离差平方和实际意义的理解，不需要复杂计算，核心是掌握“组内离差平方和最小等价于组内数据尽可能集中”的规律，进而想到通过排序找相邻间隔的方法解题。
【难度系数】
0.6
要找到组内离差平方和最小的分组方法，首先明确离差平方和反映的是组内数据的离散程度，组内数据越集中，离差平方和越小。解题思路如下：第一步先将所有数据从小到大排序，避免大小数据混杂增大组内离散程度；第二步可知最优分组一定是在排序后相邻两个数据的间隔处切分，只要计算相邻间隔的数量就能得到符合要求的分法总数。
【解析】
1. 先把给定数据按从小到大排序：$21,23,25,34,56,57,61,83$，共8个数据。
2. 若要两组的组内离差平方和最小，两组数据都需尽可能集中，因此只能在相邻两个数据的间隔处切分，不能打乱排序将不相邻的数据分到同一组，否则会增大组内离散程度，导致离差平方和变大。
3. 8个排序后的数据之间共有$8-1=7$个相邻间隔，每个间隔对应1种符合要求的非空分组方法，因此共7种分法。
【答案】
B
【知识点】
离差平方和，数据的离散程度，最优分组
【点评】
本题侧重对离差平方和实际意义的理解，不需要复杂计算，核心是掌握“组内离差平方和最小等价于组内数据尽可能集中”的规律，进而想到通过排序找相邻间隔的方法解题。
【难度系数】
0.6
4.若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需 （
A.仅计算第一组的离差平方和
B.计算两组离差平方和的总和
C.仅计算最大值与最小值的差
D.计算两组离差平方和的平均数
B
）A.仅计算第一组的离差平方和
B.计算两组离差平方和的总和
C.仅计算最大值与最小值的差
D.计算两组离差平方和的平均数
答案
4.B
解析
【分析】
解题时首先要明确组内离差平方和的基本概念：它是衡量每组内部数据离散程度的指标，计算的是每组内各数据与本组平均数的差的平方和。当数据被分为多组时，总的组内离差平方和需要汇总所有组的离差平方和。接下来逐一判断选项：A只计算单组不符合要求，C是极差的计算方法和离差平方和无关，D计算平均数不符合计算规则，只有B符合要求。
【解析】
组内离差平方和的定义为：每组中各个数据与该组平均数的差的平方之和，用于反映组内数据的波动大小。当数据被分为两组时，总的组内离差平方和需要将两组各自的离差平方和相加。
对各选项分析如下：
A. 仅计算第一组的离差平方和，遗漏第二组的结果，计算不完整，错误；
B. 计算两组离差平方和的总和，符合总组内离差平方和的计算规则，正确；
C. 最大值与最小值的差是极差，不属于离差平方和的计算范畴，错误；
D. 计算两组离差平方和的平均数，不符合组内离差平方和的计算要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 组内离差平方和
2. 数据的离散程度
3. 极差的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对不同离散程度指标计算规则的区分，只要熟记相关定义，就能快速判断出正确选项，注意不要混淆离差平方和、极差等指标的计算方法。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确组内离差平方和的基本概念：它是衡量每组内部数据离散程度的指标，计算的是每组内各数据与本组平均数的差的平方和。当数据被分为多组时，总的组内离差平方和需要汇总所有组的离差平方和。接下来逐一判断选项：A只计算单组不符合要求，C是极差的计算方法和离差平方和无关，D计算平均数不符合计算规则，只有B符合要求。
【解析】
组内离差平方和的定义为：每组中各个数据与该组平均数的差的平方之和，用于反映组内数据的波动大小。当数据被分为两组时，总的组内离差平方和需要将两组各自的离差平方和相加。
对各选项分析如下：
A. 仅计算第一组的离差平方和，遗漏第二组的结果，计算不完整，错误；
B. 计算两组离差平方和的总和，符合总组内离差平方和的计算规则，正确；
C. 最大值与最小值的差是极差，不属于离差平方和的计算范畴，错误；
D. 计算两组离差平方和的平均数，不符合组内离差平方和的计算要求，错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 组内离差平方和
2. 数据的离散程度
3. 极差的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对不同离散程度指标计算规则的区分，只要熟记相关定义，就能快速判断出正确选项，注意不要混淆离差平方和、极差等指标的计算方法。
【难度系数】
0.8
5. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13,15,7,9,12.要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和(结果保留小数点后一位).
根据“组内离差平方和最小”的原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（
A.{7}和{9,12,13,15}
B.{7,9}和{12,13,15}
C.{7,9,12}和{13,15}
D.{7,9,12,13}和{15}
根据“组内离差平方和最小”的原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（
B
）A.{7}和{9,12,13,15}
B.{7,9}和{12,13,15}
C.{7,9,12}和{13,15}
D.{7,9,12,13}和{15}
答案
5.B
解析
【分析】
本题要求按照“组内离差平方和最小”的原则选择最优分组，解题思路清晰：首先明确组内离差平方和越小，组内数据的差异越小，越符合“个数相差较小的同学分在一组”的要求；接下来提取每个选项对应分组的组内离差平方和数值，比较大小后找到数值最小的分组即可。
【解析】
首先提取表格中四种分组对应的组内离差平方和：
1. 分组$\{7\},\{9,12,13,15\}$的组内离差平方和为$18.8$；
2. 分组$\{7,9\},\{12,13,15\}$的组内离差平方和为$6.7$；
3. 分组$\{7,9,12\},\{13,15\}$的组内离差平方和为$14.7$；
4. 分组$\{7,9,12,13\},\{15\}$的组内离差平方和为$22.8$。
比较四个数值大小可得：$6.7＜14.7＜18.8＜22.8$，最小的组内离差平方和对应分组为$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$。
【答案】
B
【知识点】
数据的离散程度；离差平方和的应用
【点评】
本题属于信息类基础题，解题核心是读懂题干给出的分组原则，正确提取表格中的数据进行大小比较即可求解，不需要复杂计算。
【难度系数】
0.85
本题要求按照“组内离差平方和最小”的原则选择最优分组，解题思路清晰：首先明确组内离差平方和越小，组内数据的差异越小，越符合“个数相差较小的同学分在一组”的要求；接下来提取每个选项对应分组的组内离差平方和数值，比较大小后找到数值最小的分组即可。
【解析】
首先提取表格中四种分组对应的组内离差平方和：
1. 分组$\{7\},\{9,12,13,15\}$的组内离差平方和为$18.8$；
2. 分组$\{7,9\},\{12,13,15\}$的组内离差平方和为$6.7$；
3. 分组$\{7,9,12\},\{13,15\}$的组内离差平方和为$14.7$；
4. 分组$\{7,9,12,13\},\{15\}$的组内离差平方和为$22.8$。
比较四个数值大小可得：$6.7＜14.7＜18.8＜22.8$，最小的组内离差平方和对应分组为$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$。
【答案】
B
【知识点】
数据的离散程度；离差平方和的应用
【点评】
本题属于信息类基础题，解题核心是读懂题干给出的分组原则，正确提取表格中的数据进行大小比较即可求解，不需要复杂计算。
【难度系数】
0.85
6.若一组数据$x_1,x_2,\dots,x_{10}$的方差为16，则这组数据的离差平方和为
160
.答案
6.160
解析
【分析】
解题时首先回忆方差的定义公式，明确方差、数据总个数、离差平方和三者的数量关系：方差等于离差平方和除以数据的总个数。本题已知数据总个数为10，方差为16，将已知量代入变形后的公式（离差平方和=方差×数据总个数）即可求出结果。
【解析】
设这组数据的平均数为$\overline{x}$，根据方差的计算公式：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
其中$[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$就是这组数据的离差平方和。
由题意可知，数据个数$n=10$，方差$s^2=16$，代入变形公式可得：
离差平方和$=s^2 × n=16×10=160$
【答案】
160
【知识点】
方差的计算公式；离差平方和
【点评】
本题属于基础题，核心考查对方差定义式的理解和简单变形应用，只要熟记方差公式中各部分的含义，理清数量关系即可快速得分。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆方差的定义公式，明确方差、数据总个数、离差平方和三者的数量关系：方差等于离差平方和除以数据的总个数。本题已知数据总个数为10，方差为16，将已知量代入变形后的公式（离差平方和=方差×数据总个数）即可求出结果。
【解析】
设这组数据的平均数为$\overline{x}$，根据方差的计算公式：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
其中$[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$就是这组数据的离差平方和。
由题意可知，数据个数$n=10$，方差$s^2=16$，代入变形公式可得：
离差平方和$=s^2 × n=16×10=160$
【答案】
160
【知识点】
方差的计算公式；离差平方和
【点评】
本题属于基础题，核心考查对方差定义式的理解和简单变形应用，只要熟记方差公式中各部分的含义，理清数量关系即可快速得分。
【难度系数】
0.85
7.把数据0,6,8,2,10按大小顺序分成两组,能使“组内离差平方和达到最小”的是 （
A.0为一组,2,6,8,10为一组
B.0,2为一组,6,8,10为一组
C.0,2,6为一组,8,10为一组
D.0,2,6,8为一组,10为一组
B
）A.0为一组,2,6,8,10为一组
B.0,2为一组,6,8,10为一组
C.0,2,6为一组,8,10为一组
D.0,2,6,8为一组,10为一组
答案
7.B
解析
【分析】
首先明确组内离差平方和的含义：组内每个数据与本组平均数的差的平方之和，该值越小说明组内数据越集中。要使两组总离差平方和最小，需保证每组内部数据尽可能接近，组间差距尽可能大。解题时可先将原数据从小到大排序，再分别计算每个选项的总组内离差平方和，比较大小即可得出答案。
【解析】
先将原数据从小到大排序：$0,2,6,8,10$，组内离差平方和=组内各数据与组平均数差的平方之和，总离差平方和为两组离差平方和相加，分别计算各选项：
选项A：第一组$\{0\}$，离差平方和为$0$；第二组平均数$\frac{2+6+8+10}{4}=6.5$，离差平方和$=(2-6.5)^2+(6-6.5)^2+(8-6.5)^2+(10-6.5)^2=35$，总离差平方和$=0+35=35$。
选项B：第一组平均数$\frac{0+2}{2}=1$，离差平方和$=(0-1)^2+(2-1)^2=2$；第二组平均数$\frac{6+8+10}{3}=8$，离差平方和$=(6-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2=8$，总离差平方和$=2+8=10$。
选项C：第一组平均数$\frac{0+2+6}{3}=\frac{8}{3}$，离差平方和$=(0-\frac{8}{3})^2+(2-\frac{8}{3})^2+(6-\frac{8}{3})^2=\frac{168}{9}\approx18.67$；第二组平均数$\frac{8+10}{2}=9$，离差平方和$=(8-9)^2+(10-9)^2=2$，总离差平方和$\approx18.67+2=20.67$。
选项D：第一组平均数$\frac{0+2+6+8}{4}=4$，离差平方和$=(0-4)^2+(2-4)^2+(6-4)^2+(8-4)^2=40$；第二组$\{10\}$，离差平方和为$0$，总离差平方和$=40+0=40$。
比较得$10＜20.67＜35＜40$，选项B的总离差平方和最小。
【答案】
B
【知识点】
离差平方和，平均数计算，数据离散程度
【点评】
本题重点考查对数据离散程度的理解，解题核心是明确离差平方和越小代表组内数据越集中，既可以通过逐一计算验证结果，也可以通过观察相邻数据的最大差值快速定位分组边界，计算时需细心避免出错。
【难度系数】
0.7
首先明确组内离差平方和的含义：组内每个数据与本组平均数的差的平方之和，该值越小说明组内数据越集中。要使两组总离差平方和最小，需保证每组内部数据尽可能接近，组间差距尽可能大。解题时可先将原数据从小到大排序，再分别计算每个选项的总组内离差平方和，比较大小即可得出答案。
【解析】
先将原数据从小到大排序：$0,2,6,8,10$，组内离差平方和=组内各数据与组平均数差的平方之和，总离差平方和为两组离差平方和相加，分别计算各选项：
选项A：第一组$\{0\}$，离差平方和为$0$；第二组平均数$\frac{2+6+8+10}{4}=6.5$，离差平方和$=(2-6.5)^2+(6-6.5)^2+(8-6.5)^2+(10-6.5)^2=35$，总离差平方和$=0+35=35$。
选项B：第一组平均数$\frac{0+2}{2}=1$，离差平方和$=(0-1)^2+(2-1)^2=2$；第二组平均数$\frac{6+8+10}{3}=8$，离差平方和$=(6-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2=8$，总离差平方和$=2+8=10$。
选项C：第一组平均数$\frac{0+2+6}{3}=\frac{8}{3}$，离差平方和$=(0-\frac{8}{3})^2+(2-\frac{8}{3})^2+(6-\frac{8}{3})^2=\frac{168}{9}\approx18.67$；第二组平均数$\frac{8+10}{2}=9$，离差平方和$=(8-9)^2+(10-9)^2=2$，总离差平方和$\approx18.67+2=20.67$。
选项D：第一组平均数$\frac{0+2+6+8}{4}=4$，离差平方和$=(0-4)^2+(2-4)^2+(6-4)^2+(8-4)^2=40$；第二组$\{10\}$，离差平方和为$0$，总离差平方和$=40+0=40$。
比较得$10＜20.67＜35＜40$，选项B的总离差平方和最小。
【答案】
B
【知识点】
离差平方和，平均数计算，数据离散程度
【点评】
本题重点考查对数据离散程度的理解，解题核心是明确离差平方和越小代表组内数据越集中，既可以通过逐一计算验证结果，也可以通过观察相邻数据的最大差值快速定位分组边界，计算时需细心避免出错。
【难度系数】
0.7
