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8.已知一组数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的方差等于6,则另一组数据$x_1+2,x_2+2,x_3+2,x_4+2,x_5+2$的方差等于
6
,离差平方和等于30
.答案
8.6 30
解析
【分析】
首先明确已知条件：原数据共5个，方差为6，新数据是原数据每个数都加2得到的。解题时第一步回忆方差的性质：当一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数时，数据的波动幅度不变，因此方差不变，可直接得出第一空的结果；第二步回忆方差和离差平方和的关系：方差等于离差平方和除以数据个数，因此离差平方和=方差×数据个数，代入数值即可算出第二空的结果。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数为$\overline{x}$，根据方差公式得：
原方差$s^2=\frac{1}{5}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2+(x_5-\overline{x})^2]=6$
1. 求新数据的方差：
新数据$x_1+2,x_2+2,\dots,x_5+2$的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{(x_1+2)+(x_2+2)+\dots+(x_5+2)}{5}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_5}{5}+\frac{2×5}{5}=\overline{x}+2$
新数据的方差：
$s'^2=\frac{1}{5}[(x_1+2-(\overline{x}+2))^2+(x_2+2-(\overline{x}+2))^2+\dots+(x_5+2-(\overline{x}+2))^2]$
化简括号内的项得：$x_i+2-(\overline{x}+2)=x_i-\overline{x}$，因此$s'^2=s^2=6$
2. 求新数据的离差平方和：
离差平方和是各数据与平均数差的平方和，由方差公式可知：离差平方和$=s'^2× n$，其中$n$是数据个数，这里$n=5$，因此离差平方和$=6×5=30$
【答案】
6；30
【知识点】
方差的性质；方差与离差平方和的关系
【点评】
本题考查方差的相关性质，解题的关键是牢记“一组数据整体加减同一个常数时，方差保持不变”，同时要明确方差和离差平方和的数量关系，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
首先明确已知条件：原数据共5个，方差为6，新数据是原数据每个数都加2得到的。解题时第一步回忆方差的性质：当一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数时，数据的波动幅度不变，因此方差不变，可直接得出第一空的结果；第二步回忆方差和离差平方和的关系：方差等于离差平方和除以数据个数，因此离差平方和=方差×数据个数，代入数值即可算出第二空的结果。
【解析】
设原数据$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$的平均数为$\overline{x}$，根据方差公式得：
原方差$s^2=\frac{1}{5}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+(x_3-\overline{x})^2+(x_4-\overline{x})^2+(x_5-\overline{x})^2]=6$
1. 求新数据的方差：
新数据$x_1+2,x_2+2,\dots,x_5+2$的平均数为：
$\overline{x}'=\frac{(x_1+2)+(x_2+2)+\dots+(x_5+2)}{5}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_5}{5}+\frac{2×5}{5}=\overline{x}+2$
新数据的方差：
$s'^2=\frac{1}{5}[(x_1+2-(\overline{x}+2))^2+(x_2+2-(\overline{x}+2))^2+\dots+(x_5+2-(\overline{x}+2))^2]$
化简括号内的项得：$x_i+2-(\overline{x}+2)=x_i-\overline{x}$，因此$s'^2=s^2=6$
2. 求新数据的离差平方和：
离差平方和是各数据与平均数差的平方和，由方差公式可知：离差平方和$=s'^2× n$，其中$n$是数据个数，这里$n=5$，因此离差平方和$=6×5=30$
【答案】
6；30
【知识点】
方差的性质；方差与离差平方和的关系
【点评】
本题考查方差的相关性质，解题的关键是牢记“一组数据整体加减同一个常数时，方差保持不变”，同时要明确方差和离差平方和的数量关系，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
9.学校种植园中有4盆相同品种的植物,需要按植物的株高分成两组进行培养,使得同组内植物株高尽量接近,将4盆植物的株高从小到大排序后分成两组,共有3种情况,计算它们的组内离差平方和结果如表所示,则4盆植物的最优分组序号是
③
。答案
9.③
解析
【分析】
要找到最优分组，核心是满足“同组内植物株高尽量接近”的要求。组内离差平方和是衡量组内数据离散程度的统计量：组内离差平方和越小，说明组内数据的波动越小，株高就越接近。因此解题时只需比较三种分组的组内离差平方和的大小，选出数值最小的分组即可。
【解析】
组内离差平方和越小，代表组内数据离散程度越低，同组株高越接近。观察表格数据：
序号①的组内离差平方和为44，序号②为28，序号③为16.67，其中16.67最小，因此序号③的分组是最优分组。
【答案】
③
【知识点】
离差平方和的意义；数据离散程度的判断
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对离差平方和这一统计量含义的理解，只要掌握“离差平方和越小，组内数据越接近”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要找到最优分组，核心是满足“同组内植物株高尽量接近”的要求。组内离差平方和是衡量组内数据离散程度的统计量：组内离差平方和越小，说明组内数据的波动越小，株高就越接近。因此解题时只需比较三种分组的组内离差平方和的大小，选出数值最小的分组即可。
【解析】
组内离差平方和越小，代表组内数据离散程度越低，同组株高越接近。观察表格数据：
序号①的组内离差平方和为44，序号②为28，序号③为16.67，其中16.67最小，因此序号③的分组是最优分组。
【答案】
③
【知识点】
离差平方和的意义；数据离散程度的判断
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对离差平方和这一统计量含义的理解，只要掌握“离差平方和越小，组内数据越接近”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
10.按照“组内离差平方和达到最小”的方法，小张将一组数据分成了两组{2,4}和{8,10,12}，求这两组数据的组内离差平方和.
答案
解:第一组数据:$\bar{x}=\frac{2+4}{2}=3$,离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=2$；
第二组数据:$\bar{x}=\frac{8+10+12}{3}=10$,离差平方和为$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=8$，
故这两组数据的组内离差平方和为2+8=10.
第二组数据:$\bar{x}=\frac{8+10+12}{3}=10$,离差平方和为$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=8$，
故这两组数据的组内离差平方和为2+8=10.
解析
【分析】
要计算两组数据的总组内离差平方和，需分三步思考：首先明确组内离差平方和的计算逻辑，即先分别算出每组的离差平方和，再将两组结果相加；其次每组的离差平方和需要先求出该组的平均数，再计算组内每个数据与平均数差值的平方之和；最后将两组的离差平方和相加得到最终结果。
【解析】
先计算第一组数据$\{2,4\}$的离差平方和：
该组平均数$\bar{x}_1=\frac{2+4}{2}=3$，
离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2$；
再计算第二组数据$\{8,10,12\}$的离差平方和：
该组平均数$\bar{x}_2=\frac{8+10+12}{3}=10$，
离差平方和为$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=4+0+4=8$；
最后求和得总组内离差平方和：$2+8=10$。
【答案】
$10$
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算
【点评】
本题属于基础计算类题型，核心考查离差平方和的计算规则，只要牢记计算步骤，细心运算即可得分，是对数据离散程度相关基础概念的直接应用。
【难度系数】
0.8
要计算两组数据的总组内离差平方和，需分三步思考：首先明确组内离差平方和的计算逻辑，即先分别算出每组的离差平方和，再将两组结果相加；其次每组的离差平方和需要先求出该组的平均数，再计算组内每个数据与平均数差值的平方之和；最后将两组的离差平方和相加得到最终结果。
【解析】
先计算第一组数据$\{2,4\}$的离差平方和：
该组平均数$\bar{x}_1=\frac{2+4}{2}=3$，
离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2$；
再计算第二组数据$\{8,10,12\}$的离差平方和：
该组平均数$\bar{x}_2=\frac{8+10+12}{3}=10$，
离差平方和为$(8-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2=4+0+4=8$；
最后求和得总组内离差平方和：$2+8=10$。
【答案】
$10$
【知识点】
平均数计算；离差平方和计算
【点评】
本题属于基础计算类题型，核心考查离差平方和的计算规则，只要牢记计算步骤，细心运算即可得分，是对数据离散程度相关基础概念的直接应用。
【难度系数】
0.8
11.某环保组织开发了一个AI模型，用于识别不同树种的年龄(单位:年)，现已收集6种树木的年龄数据，并按从小到大的顺序排列为5,8,12,15,18,35.
工程师需按照“组内离差平方和最小”的原则，将树木分为幼树组和成树组两组.
(1)共有
(2)填写表格(保留整数)；
(3)对应分组：
幼树组：
成树组：
工程师需按照“组内离差平方和最小”的原则，将树木分为幼树组和成树组两组.
(1)共有
5
种分组方式；(2)填写表格(保留整数)；
(3)对应分组：
幼树组：
{5,8,12,15,18}
；成树组：
{35}
.答案
11.(1)5
(2)
| 分组 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- |
| {5},{8,12,15,18,35} | 433 |
| {5,8},{12,15,18,35} | 323 |
| {5,8,12},{15,18,35} | 257 |
| {5,8,12,15},{18,35} | 203 |
| {5,8,12,15,18},{35} | 109 |
(3){5,8,12,15,18} {35}
(2)
| 分组 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- |
| {5},{8,12,15,18,35} | 433 |
| {5,8},{12,15,18,35} | 323 |
| {5,8,12},{15,18,35} | 257 |
| {5,8,12,15},{18,35} | 203 |
| {5,8,12,15,18},{35} | 109 |
(3){5,8,12,15,18} {35}
解析
【分析】
(1) 已知数据已按从小到大排序，要分为幼树组（年龄更小）和成树组（年龄更大），分组需保证幼树组所有数据均小于成树组数据，因此分界点只能在相邻两个数据之间，6个数据共有5个相邻间隔，即可得到分组方式总数；
(2) 组内离差平方和的计算规则为：先求每组数据的平均数，再计算组内每个数据与该组平均数的差的平方，将所有平方求和，再把两组的和相加得到该分组的总离差平方和，依次计算5种分组的结果即可；
(3) 对比5种分组的总离差平方和，找到数值最小的对应的分组即为所求。
【解析】
(1) 6个按序排列的数据，分组分界点可在第1和第2个、第2和第3个、第3和第4个、第4和第5个、第5和第6个数据之间，共5种分组方式。
(2) 逐一计算各分组的总组内离差平方和：
① 分组$\{5\},\{8,12,15,18,35\}$：
第一组离差平方和：$(5-5)^2=0$，
第二组平均数$\bar{x_2}=\frac{8+12+15+18+35}{5}=17.6$，
第二组离差平方和：$(8-17.6)^2+(12-17.6)^2+(15-17.6)^2+(18-17.6)^2+(35-17.6)^2\approx433$，
总和：$0+433=433$；
② 分组$\{5,8\},\{12,15,18,35\}$：
第一组平均数$\bar{x_1}=\frac{5+8}{2}=6.5$，第一组离差平方和：$(5-6.5)^2+(8-6.5)^2=4.5$，
第二组平均数$\bar{x_2}=\frac{12+15+18+35}{4}=20$，第二组离差平方和：$(12-20)^2+(15-20)^2+(18-20)^2+(35-20)^2=318$，
总和：$4.5+318\approx323$；
③ 分组$\{5,8,12\},\{15,18,35\}$：
两组离差平方和相加约为257；
④ 分组$\{5,8,12,15\},\{18,35\}$：
第一组平均数$\bar{x_1}=\frac{5+8+12+15}{4}=10$，第一组离差平方和：$(5-10)^2+(8-10)^2+(12-10)^2+(15-10)^2=58$，
第二组平均数$\bar{x_2}=\frac{18+35}{2}=26.5$，第二组离差平方和：$(18-26.5)^2+(35-26.5)^2=144.5$，
总和：$58+144.5\approx203$；
⑤ 分组$\{5,8,12,15,18\},\{35\}$：
第一组平均数$\bar{x_1}=\frac{5+8+12+15+18}{5}=11.6$，第一组离差平方和约为109，
第二组离差平方和：$(35-35)^2=0$，
总和：$109+0=109$。
(3) 对比5组总离差平方和：$433＞323＞257＞203＞109$，最小的对应分组为幼树组$\{5,8,12,15,18\}$，成树组$\{35\}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$
(2)
| 分组 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- |
| $\{5\},\{8,12,15,18,35\}$ | 433 |
| $\{5,8\},\{12,15,18,35\}$ | 323 |
| $\{5,8,12\},\{15,18,35\}$ | 257 |
| $\{5,8,12,15\},\{18,35\}$ | 203 |
| $\{5,8,12,15,18\},\{35\}$ | 109 |
(3) $\boldsymbol{\{5,8,12,15,18\}}$；$\boldsymbol{\{35\}}$
【知识点】
离差平方和计算，数据分组，数据的离散程度
【点评】
本题结合实际应用考查数据离散程度的相关计算，解题关键是明确分组规则和离差平方和的计算方法，计算时需细心避免出错，通过对比结果即可找到最优分组。
【难度系数】
0.7
(1) 已知数据已按从小到大排序，要分为幼树组（年龄更小）和成树组（年龄更大），分组需保证幼树组所有数据均小于成树组数据，因此分界点只能在相邻两个数据之间，6个数据共有5个相邻间隔，即可得到分组方式总数；
(2) 组内离差平方和的计算规则为：先求每组数据的平均数，再计算组内每个数据与该组平均数的差的平方，将所有平方求和，再把两组的和相加得到该分组的总离差平方和，依次计算5种分组的结果即可；
(3) 对比5种分组的总离差平方和，找到数值最小的对应的分组即为所求。
【解析】
(1) 6个按序排列的数据，分组分界点可在第1和第2个、第2和第3个、第3和第4个、第4和第5个、第5和第6个数据之间，共5种分组方式。
(2) 逐一计算各分组的总组内离差平方和：
① 分组$\{5\},\{8,12,15,18,35\}$：
第一组离差平方和：$(5-5)^2=0$，
第二组平均数$\bar{x_2}=\frac{8+12+15+18+35}{5}=17.6$，
第二组离差平方和：$(8-17.6)^2+(12-17.6)^2+(15-17.6)^2+(18-17.6)^2+(35-17.6)^2\approx433$，
总和：$0+433=433$；
② 分组$\{5,8\},\{12,15,18,35\}$：
第一组平均数$\bar{x_1}=\frac{5+8}{2}=6.5$，第一组离差平方和：$(5-6.5)^2+(8-6.5)^2=4.5$，
第二组平均数$\bar{x_2}=\frac{12+15+18+35}{4}=20$，第二组离差平方和：$(12-20)^2+(15-20)^2+(18-20)^2+(35-20)^2=318$，
总和：$4.5+318\approx323$；
③ 分组$\{5,8,12\},\{15,18,35\}$：
两组离差平方和相加约为257；
④ 分组$\{5,8,12,15\},\{18,35\}$：
第一组平均数$\bar{x_1}=\frac{5+8+12+15}{4}=10$，第一组离差平方和：$(5-10)^2+(8-10)^2+(12-10)^2+(15-10)^2=58$，
第二组平均数$\bar{x_2}=\frac{18+35}{2}=26.5$，第二组离差平方和：$(18-26.5)^2+(35-26.5)^2=144.5$，
总和：$58+144.5\approx203$；
⑤ 分组$\{5,8,12,15,18\},\{35\}$：
第一组平均数$\bar{x_1}=\frac{5+8+12+15+18}{5}=11.6$，第一组离差平方和约为109，
第二组离差平方和：$(35-35)^2=0$，
总和：$109+0=109$。
(3) 对比5组总离差平方和：$433＞323＞257＞203＞109$，最小的对应分组为幼树组$\{5,8,12,15,18\}$，成树组$\{35\}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$
(2)
| 分组 | 组内离差平方和 |
| ---- | ---- |
| $\{5\},\{8,12,15,18,35\}$ | 433 |
| $\{5,8\},\{12,15,18,35\}$ | 323 |
| $\{5,8,12\},\{15,18,35\}$ | 257 |
| $\{5,8,12,15\},\{18,35\}$ | 203 |
| $\{5,8,12,15,18\},\{35\}$ | 109 |
(3) $\boldsymbol{\{5,8,12,15,18\}}$；$\boldsymbol{\{35\}}$
【知识点】
离差平方和计算，数据分组，数据的离散程度
【点评】
本题结合实际应用考查数据离散程度的相关计算，解题关键是明确分组规则和离差平方和的计算方法，计算时需细心避免出错，通过对比结果即可找到最优分组。
【难度系数】
0.7
12.一家售楼部的6名销售员工10月份销售的住房数量(单位:套)如下:12,10,3,9,6,2,按照“组内离差平方和最小”的原则,将这组数据分成两组.
答案
解:将数据从小到大排列为2,3,6,9,10,12，
按照“组内离差平方和最小”的原则，将这组数据分成两组共有5种情况，
第一种情况:{2}和{3,6,9,10,12}，
第一组1个数据，离差平方和为0；
第二组5个数据，平均数是$\frac{3+6+9+10+12}{5}=8$，
离差平方和为$(3-8)^2+(6-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2+(12-8)^2=25+4+1+4+16=50$，
故第一种情况的组内离差平方和为0+50=50；
第二种情况:{2,3}和{6,9,10,12}；
第一组2个数据，平均数是$\frac{2+3}{2}=2.5$，离差平方和为$(2-2.5)^2+(3-2.5)^2=0.25+0.25=0.5$；
第二组4个数据，平均数是$\frac{6+9+10+12}{4}=9.25$，
离差平方和为$(6-9.25)^2+(9-9.25)^2+(10-9.25)^2+(12-9.25)^2=10.5625+0.0625+0.5625+7.5625=18.75$，
故第二种情况的组内离差平方和为0.5+18.75=19.25；
第三种情况:{2,3,6}和{9,10,12}；
第一组3个数据，平均数是$\frac{2+3+6}{3}=\frac{11}{3}$，离差平方和为$(2-\frac{11}{3})^2+(3-\frac{11}{3})^2+(6-\frac{11}{3})^2=\frac{25}{9}+\frac{4}{9}+\frac{49}{9}=\frac{26}{3}$；
第二组3个数据，平均数是$\frac{9+10+12}{3}=\frac{31}{3}$，
离差平方和为$(9-\frac{31}{3})^2+(10-\frac{31}{3})^2+(12-\frac{31}{3})^2=\frac{16}{9}+\frac{1}{9}+\frac{25}{9}=\frac{14}{3}$，
故第三种情况的组内离差平方和为$\frac{26}{3}+\frac{14}{3}=\frac{40}{3}\approx13.33$；
第四种情况:{2,3,6,9}和{10,12}，
第一组4个数据，平均数是$\frac{2+3+6+9}{4}=5$，离差平方和为$(2-5)^2+(3-5)^2+(6-5)^2+(9-5)^2=9+4+1+16=30$，
第二组2个数据，平均数是$\frac{10+12}{2}=11$，离差平方和为$(10-11)^2+(12-11)^2=1+1=2$，
故第四种情况的组内离差平方和为30+2=32；
第五种情况:{2,3,6,9,10}和{12}，
第一组5个数据，平均数是$\frac{2+3+6+9+10}{5}=6$，离差平方和为$(2-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2+(10-6)^2=16+9+0+9+16=50$，
第二组1个数据，离差平方和为0，
故第五种情况的组内离差平方和为50+0=50.
$\because 50＞32＞19.25＞13.33$，
$\therefore$组内离差平方和最小的分组为第三种情况，即{2,3,6}和{9,10,12}。
按照“组内离差平方和最小”的原则，将这组数据分成两组共有5种情况，
第一种情况:{2}和{3,6,9,10,12}，
第一组1个数据，离差平方和为0；
第二组5个数据，平均数是$\frac{3+6+9+10+12}{5}=8$，
离差平方和为$(3-8)^2+(6-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2+(12-8)^2=25+4+1+4+16=50$，
故第一种情况的组内离差平方和为0+50=50；
第二种情况:{2,3}和{6,9,10,12}；
第一组2个数据，平均数是$\frac{2+3}{2}=2.5$，离差平方和为$(2-2.5)^2+(3-2.5)^2=0.25+0.25=0.5$；
第二组4个数据，平均数是$\frac{6+9+10+12}{4}=9.25$，
离差平方和为$(6-9.25)^2+(9-9.25)^2+(10-9.25)^2+(12-9.25)^2=10.5625+0.0625+0.5625+7.5625=18.75$，
故第二种情况的组内离差平方和为0.5+18.75=19.25；
第三种情况:{2,3,6}和{9,10,12}；
第一组3个数据，平均数是$\frac{2+3+6}{3}=\frac{11}{3}$，离差平方和为$(2-\frac{11}{3})^2+(3-\frac{11}{3})^2+(6-\frac{11}{3})^2=\frac{25}{9}+\frac{4}{9}+\frac{49}{9}=\frac{26}{3}$；
第二组3个数据，平均数是$\frac{9+10+12}{3}=\frac{31}{3}$，
离差平方和为$(9-\frac{31}{3})^2+(10-\frac{31}{3})^2+(12-\frac{31}{3})^2=\frac{16}{9}+\frac{1}{9}+\frac{25}{9}=\frac{14}{3}$，
故第三种情况的组内离差平方和为$\frac{26}{3}+\frac{14}{3}=\frac{40}{3}\approx13.33$；
第四种情况:{2,3,6,9}和{10,12}，
第一组4个数据，平均数是$\frac{2+3+6+9}{4}=5$，离差平方和为$(2-5)^2+(3-5)^2+(6-5)^2+(9-5)^2=9+4+1+16=30$，
第二组2个数据，平均数是$\frac{10+12}{2}=11$，离差平方和为$(10-11)^2+(12-11)^2=1+1=2$，
故第四种情况的组内离差平方和为30+2=32；
第五种情况:{2,3,6,9,10}和{12}，
第一组5个数据，平均数是$\frac{2+3+6+9+10}{5}=6$，离差平方和为$(2-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2+(10-6)^2=16+9+0+9+16=50$，
第二组1个数据，离差平方和为0，
故第五种情况的组内离差平方和为50+0=50.
$\because 50＞32＞19.25＞13.33$，
$\therefore$组内离差平方和最小的分组为第三种情况，即{2,3,6}和{9,10,12}。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确“组内离差平方和最小”的本质是让每组内的数据差异尽可能小，因此数值接近的数据应分到同一组。第一步先将所有数据从小到大排序，此时合理的分组方式均为在相邻两个数据之间划分（打乱顺序分组会导致组内数据差异更大，离差平方和更高，无需考虑）。6个数据共有5种不同的分组方式，接下来依次计算每种分组下两组的离差平方和之和，最后比较5个总和的大小，总和最小的分组即为所求。
【解析】
首先将数据从小到大排列为：2,3,6,9,10,12，共有5种分组情况，分别计算如下：
1. 分组为$\{2\}$和$\{3,6,9,10,12\}$：
第一组仅1个数据，离差平方和为0；
第二组平均数为$\frac{3+6+9+10+12}{5}=8$，离差平方和为$(3-8)^2+(6-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2+(12-8)^2=50$；
总离差平方和为$0+50=50$。
2. 分组为$\{2,3\}$和$\{6,9,10,12\}$：
第一组平均数为$\frac{2+3}{2}=2.5$，离差平方和为$(2-2.5)^2+(3-2.5)^2=0.5$；
第二组平均数为$\frac{6+9+10+12}{4}=9.25$，离差平方和为$(6-9.25)^2+(9-9.25)^2+(10-9.25)^2+(12-9.25)^2=18.75$；
总离差平方和为$0.5+18.75=19.25$。
3. 分组为$\{2,3,6\}$和$\{9,10,12\}$：
第一组平均数为$\frac{2+3+6}{3}=\frac{11}{3}$，离差平方和为$(2-\frac{11}{3})^2+(3-\frac{11}{3})^2+(6-\frac{11}{3})^2=\frac{26}{3}$；
第二组平均数为$\frac{9+10+12}{3}=\frac{31}{3}$，离差平方和为$(9-\frac{31}{3})^2+(10-\frac{31}{3})^2+(12-\frac{31}{3})^2=\frac{14}{3}$；
总离差平方和为$\frac{26}{3}+\frac{14}{3}=\frac{40}{3}\approx13.33$。
4. 分组为$\{2,3,6,9\}$和$\{10,12\}$：
第一组平均数为$\frac{2+3+6+9}{4}=5$，离差平方和为$(2-5)^2+(3-5)^2+(6-5)^2+(9-5)^2=30$；
第二组平均数为$\frac{10+12}{2}=11$，离差平方和为$(10-11)^2+(12-11)^2=2$；
总离差平方和为$30+2=32$。
5. 分组为$\{2,3,6,9,10\}$和$\{12\}$：
第一组平均数为$\frac{2+3+6+9+10}{5}=6$，离差平方和为$(2-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2+(10-6)^2=50$；
第二组仅1个数据，离差平方和为0；
总离差平方和为$50+0=50$。
比较5种情况的总离差平方和：$50＞32＞19.25＞13.33$，可知第三种分组的组内离差平方和最小。
【答案】
两组分别为$\boldsymbol{\{2,3,6\}}$和$\boldsymbol{\{9,10,12\}}$
【知识点】
离差平方和计算、平均数计算、数据分组
【点评】
本题重点考查对离差平方和意义的理解，解题的关键是明确要使组内离差平方和最小，需将数值相近的数据划分到同一组，通过枚举所有合理的分组方式，分别计算比较总离差平方和即可得到结果，计算过程需仔细，避免平均数或平方运算出错。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需明确“组内离差平方和最小”的本质是让每组内的数据差异尽可能小，因此数值接近的数据应分到同一组。第一步先将所有数据从小到大排序，此时合理的分组方式均为在相邻两个数据之间划分（打乱顺序分组会导致组内数据差异更大，离差平方和更高，无需考虑）。6个数据共有5种不同的分组方式，接下来依次计算每种分组下两组的离差平方和之和，最后比较5个总和的大小，总和最小的分组即为所求。
【解析】
首先将数据从小到大排列为：2,3,6,9,10,12，共有5种分组情况，分别计算如下：
1. 分组为$\{2\}$和$\{3,6,9,10,12\}$：
第一组仅1个数据，离差平方和为0；
第二组平均数为$\frac{3+6+9+10+12}{5}=8$，离差平方和为$(3-8)^2+(6-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2+(12-8)^2=50$；
总离差平方和为$0+50=50$。
2. 分组为$\{2,3\}$和$\{6,9,10,12\}$：
第一组平均数为$\frac{2+3}{2}=2.5$，离差平方和为$(2-2.5)^2+(3-2.5)^2=0.5$；
第二组平均数为$\frac{6+9+10+12}{4}=9.25$，离差平方和为$(6-9.25)^2+(9-9.25)^2+(10-9.25)^2+(12-9.25)^2=18.75$；
总离差平方和为$0.5+18.75=19.25$。
3. 分组为$\{2,3,6\}$和$\{9,10,12\}$：
第一组平均数为$\frac{2+3+6}{3}=\frac{11}{3}$，离差平方和为$(2-\frac{11}{3})^2+(3-\frac{11}{3})^2+(6-\frac{11}{3})^2=\frac{26}{3}$；
第二组平均数为$\frac{9+10+12}{3}=\frac{31}{3}$，离差平方和为$(9-\frac{31}{3})^2+(10-\frac{31}{3})^2+(12-\frac{31}{3})^2=\frac{14}{3}$；
总离差平方和为$\frac{26}{3}+\frac{14}{3}=\frac{40}{3}\approx13.33$。
4. 分组为$\{2,3,6,9\}$和$\{10,12\}$：
第一组平均数为$\frac{2+3+6+9}{4}=5$，离差平方和为$(2-5)^2+(3-5)^2+(6-5)^2+(9-5)^2=30$；
第二组平均数为$\frac{10+12}{2}=11$，离差平方和为$(10-11)^2+(12-11)^2=2$；
总离差平方和为$30+2=32$。
5. 分组为$\{2,3,6,9,10\}$和$\{12\}$：
第一组平均数为$\frac{2+3+6+9+10}{5}=6$，离差平方和为$(2-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2+(9-6)^2+(10-6)^2=50$；
第二组仅1个数据，离差平方和为0；
总离差平方和为$50+0=50$。
比较5种情况的总离差平方和：$50＞32＞19.25＞13.33$，可知第三种分组的组内离差平方和最小。
【答案】
两组分别为$\boldsymbol{\{2,3,6\}}$和$\boldsymbol{\{9,10,12\}}$
【知识点】
离差平方和计算、平均数计算、数据分组
【点评】
本题重点考查对离差平方和意义的理解，解题的关键是明确要使组内离差平方和最小，需将数值相近的数据划分到同一组，通过枚举所有合理的分组方式，分别计算比较总离差平方和即可得到结果，计算过程需仔细，避免平均数或平方运算出错。
【难度系数】
0.6
13.现有5个数据:2,4,5,6,10,需将其分成3组(每组至少1个数据),根据组内离差平方和最小的原则,应该如何分？
答案
解:由题意,数据:2,4,5,6,10,共有5个,分成3组(每组至少1个),只有两种分组形式:(1,1,3)和(1,2,2)，
$\because$组内离差平方和:单个数据为0,数据越集中、差值越小,平方和越小，
$\therefore$①:{2},{10},{4,5,6}，
$\because${2},{10}:离差平方和均为0,{4,5,6}:数据的平均值为5,离差平方和为$(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=1+0+1=2$，
$\therefore$组内离差平方和为0+0+2=2；
②:{2,4},{5,6},{10}，
{2,4}:数据平均值为3,离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2$，
{5,6}:数据平均值为5.5,离差平方和为$(5-5.5)^2+(6-5.5)^2=0.25+0.25=0.5$，
{10}:离差平方和为0，
$\therefore$组内离差平方和为0+2+0.5=2.5.
$\because 2＜2.5$，
$\therefore$组内离差平方和最小的分组为{2},{4,5,6},{10}。
$\because$组内离差平方和:单个数据为0,数据越集中、差值越小,平方和越小，
$\therefore$①:{2},{10},{4,5,6}，
$\because${2},{10}:离差平方和均为0,{4,5,6}:数据的平均值为5,离差平方和为$(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=1+0+1=2$，
$\therefore$组内离差平方和为0+0+2=2；
②:{2,4},{5,6},{10}，
{2,4}:数据平均值为3,离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2$，
{5,6}:数据平均值为5.5,离差平方和为$(5-5.5)^2+(6-5.5)^2=0.25+0.25=0.5$，
{10}:离差平方和为0，
$\therefore$组内离差平方和为0+2+0.5=2.5.
$\because 2＜2.5$，
$\therefore$组内离差平方和最小的分组为{2},{4,5,6},{10}。
解析
【分析】
首先明确5个数据分成每组至少1个的3组，分组的数量结构只有(1,1,3)和(1,2,2)两种情况。组内离差平方和反映组内数据的离散程度，组内数据越集中，离差平方和越小，单个数据的组离差平方和为0。我们只需分别计算两种分组结构下最小的离差平方和，再比较大小就能得到最优分组。
【解析】
5个数据分成3组（每组至少1个），分组的数量形式仅为两类：(1,1,3)型和(1,2,2)型。
根据组内离差平方和的性质：单个数据的组离差平方和为0，组内数据差值越小、越集中，离差平方和越小。
① 计算(1,1,3)型的最小离差平方和：
选择最集中的三个数4、5、6组成一组，剩余2、10各为一组：$\{2\},\{10\},\{4,5,6\}$
其中$\{2\}$、$\{10\}$的离差平方和均为0；
$\{4,5,6\}$的平均值为$\frac{4+5+6}{3}=5$，离差平方和为$(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=1+0+1=2$
总离差平方和为$0+0+2=2$。
② 计算(1,2,2)型的最小离差平方和：
选择最集中的两组数(2,4)、(5,6)，剩余10单独为一组：$\{2,4\},\{5,6\},\{10\}$
其中$\{10\}$的离差平方和为0；
$\{2,4\}$的平均值为$\frac{2+4}{2}=3$，离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2$；
$\{5,6\}$的平均值为$\frac{5+6}{2}=5.5$，离差平方和为$(5-5.5)^2+(6-5.5)^2=0.25+0.25=0.5$
总离差平方和为$2+0.5+0=2.5$。
因为$2＜2.5$，所以离差平方和最小的分组为$\{2\},\{10\},\{4,5,6\}$。
【答案】
$\{2\},\{10\},\{4,5,6\}$
【知识点】
1. 离差平方和计算 2. 数据离散程度 3. 分类讨论
【点评】
本题重点考查对离差平方和含义的理解，解题的关键是先确定所有可能的分组结构，再利用“组内数据越集中，离差平方和越小”的性质筛选出每种结构下的最优分组，最后通过计算比较得到结果，能有效锻炼分类讨论思维和运算能力。
【难度系数】
0.7
首先明确5个数据分成每组至少1个的3组，分组的数量结构只有(1,1,3)和(1,2,2)两种情况。组内离差平方和反映组内数据的离散程度，组内数据越集中，离差平方和越小，单个数据的组离差平方和为0。我们只需分别计算两种分组结构下最小的离差平方和，再比较大小就能得到最优分组。
【解析】
5个数据分成3组（每组至少1个），分组的数量形式仅为两类：(1,1,3)型和(1,2,2)型。
根据组内离差平方和的性质：单个数据的组离差平方和为0，组内数据差值越小、越集中，离差平方和越小。
① 计算(1,1,3)型的最小离差平方和：
选择最集中的三个数4、5、6组成一组，剩余2、10各为一组：$\{2\},\{10\},\{4,5,6\}$
其中$\{2\}$、$\{10\}$的离差平方和均为0；
$\{4,5,6\}$的平均值为$\frac{4+5+6}{3}=5$，离差平方和为$(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2=1+0+1=2$
总离差平方和为$0+0+2=2$。
② 计算(1,2,2)型的最小离差平方和：
选择最集中的两组数(2,4)、(5,6)，剩余10单独为一组：$\{2,4\},\{5,6\},\{10\}$
其中$\{10\}$的离差平方和为0；
$\{2,4\}$的平均值为$\frac{2+4}{2}=3$，离差平方和为$(2-3)^2+(4-3)^2=1+1=2$；
$\{5,6\}$的平均值为$\frac{5+6}{2}=5.5$，离差平方和为$(5-5.5)^2+(6-5.5)^2=0.25+0.25=0.5$
总离差平方和为$2+0.5+0=2.5$。
因为$2＜2.5$，所以离差平方和最小的分组为$\{2\},\{10\},\{4,5,6\}$。
【答案】
$\{2\},\{10\},\{4,5,6\}$
【知识点】
1. 离差平方和计算 2. 数据离散程度 3. 分类讨论
【点评】
本题重点考查对离差平方和含义的理解，解题的关键是先确定所有可能的分组结构，再利用“组内数据越集中，离差平方和越小”的性质筛选出每种结构下的最优分组，最后通过计算比较得到结果，能有效锻炼分类讨论思维和运算能力。
【难度系数】
0.7
