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8.若一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的平均数是10，方差是3，则数据$2x_1+3,2x_2+3,\dots,2x_n+3$的平均数是
23
，方差是12
。答案
8.23 12
解析
【分析】
解题时首先回忆平均数和方差的定义，当一组数据每个元素都进行“乘a加b”的线性变换时，可通过展开平均数、方差的计算公式推导变换后的结果，也可直接用规律求解：新平均数等于a乘原平均数加b，方差只和乘数a有关，新方差等于a的平方乘原方差，常数b不影响方差大小。本题中a=2，b=3，代入对应公式计算即可。
【解析】
1. 计算新数据的平均数：
已知原数据平均数$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=10$，
新数据的平均数：
$\begin{aligned}\bar{x}'&=\frac{(2x_1+3)+(2x_2+3)+\dots+(2x_n+3)}{n}\\&=\frac{2(x_1+x_2+\dots+x_n)+3n}{n}\\&=2×\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}+3\\&=2×10+3=23\end{aligned}$
2. 计算新数据的方差：
已知原数据方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]=3$，
因为$\bar{x}'=2\bar{x}+3$，所以$2x_i+3-\bar{x}'=2(x_i-\bar{x})$，
新数据的方差：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}[(2x_1+3-\bar{x}')^2+(2x_2+3-\bar{x}')^2+\dots+(2x_n+3-\bar{x}')^2]\\&=\frac{1}{n}[4(x_1-\bar{x})^2+4(x_2-\bar{x})^2+\dots+4(x_n-\bar{x})^2]\\&=4×\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]\\&=4×3=12\end{aligned}$
【答案】
23；12
【知识点】
平均数的性质；方差的性质
【点评】
本题核心考查数据线性变换后平均数和方差的变化规律，既可以通过定义推导计算，也可以直接用规律快速求解，掌握平均数和方差的本质含义是解这类题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平均数和方差的定义，当一组数据每个元素都进行“乘a加b”的线性变换时，可通过展开平均数、方差的计算公式推导变换后的结果，也可直接用规律求解：新平均数等于a乘原平均数加b，方差只和乘数a有关，新方差等于a的平方乘原方差，常数b不影响方差大小。本题中a=2，b=3，代入对应公式计算即可。
【解析】
1. 计算新数据的平均数：
已知原数据平均数$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=10$，
新数据的平均数：
$\begin{aligned}\bar{x}'&=\frac{(2x_1+3)+(2x_2+3)+\dots+(2x_n+3)}{n}\\&=\frac{2(x_1+x_2+\dots+x_n)+3n}{n}\\&=2×\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}+3\\&=2×10+3=23\end{aligned}$
2. 计算新数据的方差：
已知原数据方差$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]=3$，
因为$\bar{x}'=2\bar{x}+3$，所以$2x_i+3-\bar{x}'=2(x_i-\bar{x})$，
新数据的方差：
$\begin{aligned}s'^2&=\frac{1}{n}[(2x_1+3-\bar{x}')^2+(2x_2+3-\bar{x}')^2+\dots+(2x_n+3-\bar{x}')^2]\\&=\frac{1}{n}[4(x_1-\bar{x})^2+4(x_2-\bar{x})^2+\dots+4(x_n-\bar{x})^2]\\&=4×\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]\\&=4×3=12\end{aligned}$
【答案】
23；12
【知识点】
平均数的性质；方差的性质
【点评】
本题核心考查数据线性变换后平均数和方差的变化规律，既可以通过定义推导计算，也可以直接用规律快速求解，掌握平均数和方差的本质含义是解这类题的关键。
【难度系数】
0.7
9.某科技兴趣小组成员的年龄分别是:12,9,10,8,14,12,12,这组数的中位数是
12
，极差为6
，离差平方和为26
，方差为$\frac{26}{7}$
.答案
9.12 6 26 $\frac{26}{7}$
解析
【分析】
解决本题需依次按各统计量的计算规则求解：①先将数据从小到大排序，奇数个数据的中位数是排序后最中间的数；②极差为数据中最大值与最小值的差；③先计算这组数据的平均数，再分别求出每个数据与平均数的差的平方，求和得到离差平方和；④方差等于离差平方和除以数据的总个数。
【解析】
1. 求中位数：将原数据从小到大排序为：8，9，10，12，12，12，14，共7个数据，最中间的是第4个数据12，故中位数为12。
2. 求极差：数据中最大值为14，最小值为8，极差=14-8=6。
3. 求离差平方和：先计算平均数$\bar{x}=\frac{8+9+10+12+12+12+14}{7}=\frac{77}{7}=11$，离差平方和为：$(8-11)^2+(9-11)^2+(10-11)^2+3×(12-11)^2+(14-11)^2=9+4+1+3×1+9=26$。
4. 求方差：方差为离差平方和除以数据个数，即$s^2=\frac{26}{7}$。
【答案】
12；6；26；$\frac{26}{7}$
【知识点】
中位数的计算；极差的计算；方差的计算
【点评】
本题是统计特征量计算的基础题，牢记各统计量的定义和计算流程即可顺利求解，计算时需注意数据排序和平均数的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
解决本题需依次按各统计量的计算规则求解：①先将数据从小到大排序，奇数个数据的中位数是排序后最中间的数；②极差为数据中最大值与最小值的差；③先计算这组数据的平均数，再分别求出每个数据与平均数的差的平方，求和得到离差平方和；④方差等于离差平方和除以数据的总个数。
【解析】
1. 求中位数：将原数据从小到大排序为：8，9，10，12，12，12，14，共7个数据，最中间的是第4个数据12，故中位数为12。
2. 求极差：数据中最大值为14，最小值为8，极差=14-8=6。
3. 求离差平方和：先计算平均数$\bar{x}=\frac{8+9+10+12+12+12+14}{7}=\frac{77}{7}=11$，离差平方和为：$(8-11)^2+(9-11)^2+(10-11)^2+3×(12-11)^2+(14-11)^2=9+4+1+3×1+9=26$。
4. 求方差：方差为离差平方和除以数据个数，即$s^2=\frac{26}{7}$。
【答案】
12；6；26；$\frac{26}{7}$
【知识点】
中位数的计算；极差的计算；方差的计算
【点评】
本题是统计特征量计算的基础题，牢记各统计量的定义和计算流程即可顺利求解，计算时需注意数据排序和平均数的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.75
10.(2025·宿迁宿豫区期中)北京时间8月5日15:30分，巴黎奥运射击男子25米手枪速射决赛正式开始，中国选手李越宏40枪得到32分，领先第二名7分，拿到金牌，在连续两届奥运会获得铜牌后，终于圆梦，这也是中国射击本届奥运会的第五枚金牌，也是中国代表团的第20枚金牌，比赛分为8轮，每轮5枪，9.7环以上视为命中，命中1枪得1分.李越宏的8轮成绩分别为5分，3分，4分，2分，4分，5分，4分，5分.
(1)李越宏的8轮成绩的中位数为
(2)求李越宏8轮得分的方差.
(1)李越宏的8轮成绩的中位数为
4
；(2)求李越宏8轮得分的方差.
答案
(1)4
(2)解:$\because \overline{x}=\frac{1}{8}×(2+3+4×3+5×3)=4$(分),
$\therefore s^2=\frac{1}{8}×[(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2×3+(5-4)^2×3]=1$(分$^2$).
(2)解:$\because \overline{x}=\frac{1}{8}×(2+3+4×3+5×3)=4$(分),
$\therefore s^2=\frac{1}{8}×[(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2×3+(5-4)^2×3]=1$(分$^2$).
解析
【分析】
(1)求中位数的思路：先将8轮成绩按照从小到大的顺序排列，由于数据总个数是偶数，中位数为排序后中间两个数据的平均数；(2)求方差的思路：先根据平均数的计算公式算出8轮得分的平均值，再代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算即可，其中n为数据总个数，$\overline{x}$为数据的平均数。
【解析】
(1)将8轮成绩从小到大排列为：2，3，4，4，4，5，5，5。
数据共8个，属于偶数个，中位数是第4个和第5个数据的平均数，即$\frac{4+4}{2}=4$。
(2)先计算8轮得分的平均数：
$\overline{x}=\frac{1}{8}×(2+3+4×3+5×3)=4$（分）
再代入方差公式计算：
$s^2=\frac{1}{8}×[(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2×3+(5-4)^2×3]$
$=\frac{1}{8}×(4+1+0+3)=1$（分²）
【答案】
(1)4；(2)1分²
【知识点】
中位数计算,平均数计算,方差计算
【点评】
本题属于统计类基础题，主要考查中位数和方差的计算，牢记相关定义和运算公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1)求中位数的思路：先将8轮成绩按照从小到大的顺序排列，由于数据总个数是偶数，中位数为排序后中间两个数据的平均数；(2)求方差的思路：先根据平均数的计算公式算出8轮得分的平均值，再代入方差公式$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$计算即可，其中n为数据总个数，$\overline{x}$为数据的平均数。
【解析】
(1)将8轮成绩从小到大排列为：2，3，4，4，4，5，5，5。
数据共8个，属于偶数个，中位数是第4个和第5个数据的平均数，即$\frac{4+4}{2}=4$。
(2)先计算8轮得分的平均数：
$\overline{x}=\frac{1}{8}×(2+3+4×3+5×3)=4$（分）
再代入方差公式计算：
$s^2=\frac{1}{8}×[(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2×3+(5-4)^2×3]$
$=\frac{1}{8}×(4+1+0+3)=1$（分²）
【答案】
(1)4；(2)1分²
【知识点】
中位数计算,平均数计算,方差计算
【点评】
本题属于统计类基础题，主要考查中位数和方差的计算，牢记相关定义和运算公式即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
11.(2025·甘肃)某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛.在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩(单位:环)信息如下:
信息一:甲、乙队员的射击成绩
甲:10,8,8,10,6,8,6,9,10,8
乙:8,9,10,9,6,7,7,9,10,8
信息二:甲、乙队员射击成绩的部分统计量
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中$m,n$的值:$m=$
(2)
(3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样,推荐哪位队员参赛都可以,你认为他说的对吗?请说明理由(写出一条合理的理由即可)
信息一:甲、乙队员的射击成绩
甲:10,8,8,10,6,8,6,9,10,8
乙:8,9,10,9,6,7,7,9,10,8
信息二:甲、乙队员射击成绩的部分统计量
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中$m,n$的值:$m=$
8.5
,$n=$8
;(2)
乙
队员在射击选拔赛中发挥得更稳定(填“甲”或“乙”);(3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样,推荐哪位队员参赛都可以,你认为他说的对吗?请说明理由(写出一条合理的理由即可)
答案
(1)8.5 8
(2)乙
(3)解:小瑜说的不对,理由:甲、乙两人射击成绩的平均数相同,但甲的方差大于乙的方差,故乙队员发挥更稳定,故应选乙队员参赛.
(2)乙
(3)解:小瑜说的不对,理由:甲、乙两人射击成绩的平均数相同,但甲的方差大于乙的方差,故乙队员发挥更稳定,故应选乙队员参赛.
解析
【分析】
（1）求众数$n$，需要统计甲的成绩里出现次数最多的数；求中位数$m$，要先把乙的成绩从小到大排序，10个数据的中位数是排序后第5、第6个数据的平均数。
（2）方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据越稳定，直接对比甲、乙的方差即可判断谁发挥更稳定。
（3）判断推荐哪位队员不能只看平均数，还可以结合方差、中位数、众数等统计量的实际意义分析，给出合理理由即可。
【解析】
（1）整理甲的成绩：10,8,8,10,6,8,6,9,10,8，其中数字8出现了4次，出现次数最多，因此甲的众数$n=8$。
将乙的成绩从小到大排序：6,7,7,8,8,9,9,9,10,10，共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$m=\frac{8+9}{2}=8.5$。
（2）已知甲的方差为2.01，乙的方差为1.61，因为$1.61＜2.01$，乙的方差更小，说明乙的成绩波动更小，发挥更稳定。
（3）小瑜说的不对，理由：甲、乙两人射击成绩的平均数相同，但甲的方差大于乙的方差，说明乙的成绩更稳定，更适合参加比赛（也可从中位数、众数角度说明，合理即可）。
【答案】
(1) $8.5$，$8$
(2) 乙
(3) 不对，理由：甲、乙两人射击成绩的平均数相同，但甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，应选乙队员参赛（合理即可）
【知识点】
众数；中位数；方差的意义
【点评】
本题考查统计量的实际应用，解题关键是熟练掌握众数、中位数、方差的计算方法和实际意义，能结合不同统计量的特点对数据进行综合分析。
【难度系数】
0.8
（1）求众数$n$，需要统计甲的成绩里出现次数最多的数；求中位数$m$，要先把乙的成绩从小到大排序，10个数据的中位数是排序后第5、第6个数据的平均数。
（2）方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据越稳定，直接对比甲、乙的方差即可判断谁发挥更稳定。
（3）判断推荐哪位队员不能只看平均数，还可以结合方差、中位数、众数等统计量的实际意义分析，给出合理理由即可。
【解析】
（1）整理甲的成绩：10,8,8,10,6,8,6,9,10,8，其中数字8出现了4次，出现次数最多，因此甲的众数$n=8$。
将乙的成绩从小到大排序：6,7,7,8,8,9,9,9,10,10，共10个数据，中位数为第5个和第6个数据的平均数，即$m=\frac{8+9}{2}=8.5$。
（2）已知甲的方差为2.01，乙的方差为1.61，因为$1.61＜2.01$，乙的方差更小，说明乙的成绩波动更小，发挥更稳定。
（3）小瑜说的不对，理由：甲、乙两人射击成绩的平均数相同，但甲的方差大于乙的方差，说明乙的成绩更稳定，更适合参加比赛（也可从中位数、众数角度说明，合理即可）。
【答案】
(1) $8.5$，$8$
(2) 乙
(3) 不对，理由：甲、乙两人射击成绩的平均数相同，但甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，应选乙队员参赛（合理即可）
【知识点】
众数；中位数；方差的意义
【点评】
本题考查统计量的实际应用，解题关键是熟练掌握众数、中位数、方差的计算方法和实际意义，能结合不同统计量的特点对数据进行综合分析。
【难度系数】
0.8
