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1.(2025·自贡)如图,正六边形与正方形的两邻边相交,则α+β=（
）
A.$140°$
B.$150°$
C.$160°$
D.$170°$
）A.$140°$
B.$150°$
C.$160°$
D.$170°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先回忆正多边形内角的计算公式，先分别求出正六边形和正方形的内角度数，再结合图形中角度的数量关系推导α+β的和。第一步：利用正n边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}$计算正六边形的内角，正方形内角已知为$90°$；第二步：观察图形可知，α、β与正六边形内角、正方形内角共同构成周角的一部分，结合周角为$360°$的性质即可求出α+β的和。
【解析】
首先计算正六边形的每个内角：
根据正多边形内角公式，正六边形的内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，正方形的每个内角为$90°$。
观察图形角度关系可得：$α+β+120°+90°=360°$
因此$α+β=360°-120°-90°=150°$
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角计算；周角性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查正多边形内角的计算和图形角度关系的梳理，熟练掌握正多边形内角公式，结合几何图形的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆正多边形内角的计算公式，先分别求出正六边形和正方形的内角度数，再结合图形中角度的数量关系推导α+β的和。第一步：利用正n边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}$计算正六边形的内角，正方形内角已知为$90°$；第二步：观察图形可知，α、β与正六边形内角、正方形内角共同构成周角的一部分，结合周角为$360°$的性质即可求出α+β的和。
【解析】
首先计算正六边形的每个内角：
根据正多边形内角公式，正六边形的内角为$\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，正方形的每个内角为$90°$。
观察图形角度关系可得：$α+β+120°+90°=360°$
因此$α+β=360°-120°-90°=150°$
【答案】
B
【知识点】
正多边形内角计算；周角性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查正多边形内角的计算和图形角度关系的梳理，熟练掌握正多边形内角公式，结合几何图形的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2.将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是 （）
A.$60°$
B.$90°$
C.$180°$
D.$360°$
A.$60°$
B.$90°$
C.$180°$
D.$360°$
答案
2.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确正多边形绕中心旋转后与原图形重合的条件：旋转角必须是该正多边形中心角的正整数倍。解题步骤为：第一步先计算正六边形的中心角，第二步逐一判断各选项的角度是否为中心角的整数倍，不满足的就是不可能的旋转角。
【解析】
正多边形的中心角公式为：中心角 = $\frac{360°}{n}$（$n$为正多边形的边数）。
对于正六边形，$n=6$，因此它的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$。
由此可知，只要旋转角是60°的正整数倍，正六边形绕中心旋转后就会与原图形重合：
选项A：$60°÷60°=1$，是整数倍，旋转后可重合；
选项B：$90°÷60°=1.5$，不是整数倍，旋转后不可重合；
选项C：$180°÷60°=3$，是整数倍，旋转后可重合；
选项D：$360°÷60°=6$，是整数倍，旋转后可重合。
因此旋转角不可能是90°。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆；旋转对称性质；中心角计算
【点评】
本题主要考查正多边形的旋转对称特性，解题的核心是掌握正n边形的最小旋转角等于其中心角$\frac{360°}{n}$，只要旋转角为最小旋转角的整数倍即可与原图形重合，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要明确正多边形绕中心旋转后与原图形重合的条件：旋转角必须是该正多边形中心角的正整数倍。解题步骤为：第一步先计算正六边形的中心角，第二步逐一判断各选项的角度是否为中心角的整数倍，不满足的就是不可能的旋转角。
【解析】
正多边形的中心角公式为：中心角 = $\frac{360°}{n}$（$n$为正多边形的边数）。
对于正六边形，$n=6$，因此它的中心角为$\frac{360°}{6}=60°$。
由此可知，只要旋转角是60°的正整数倍，正六边形绕中心旋转后就会与原图形重合：
选项A：$60°÷60°=1$，是整数倍，旋转后可重合；
选项B：$90°÷60°=1.5$，不是整数倍，旋转后不可重合；
选项C：$180°÷60°=3$，是整数倍，旋转后可重合；
选项D：$360°÷60°=6$，是整数倍，旋转后可重合。
因此旋转角不可能是90°。
【答案】
B
【知识点】
正多边形与圆；旋转对称性质；中心角计算
【点评】
本题主要考查正多边形的旋转对称特性，解题的核心是掌握正n边形的最小旋转角等于其中心角$\frac{360°}{n}$，只要旋转角为最小旋转角的整数倍即可与原图形重合，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
3.(2025·成都)若正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为。
答案
3.2
解析
【分析】
解题时先回忆正六边形的相关性质：正六边形的外接圆半径与其边长相等，且正六边形的中心角为60°。观察正六边形顶点顺序，A与D为相对的两个顶点，两点连线经过外接圆圆心，即AD为外接圆的直径，因此只需先确定外接圆半径，再计算直径长度即可得到AD的长。
【解析】
解：
∵正六边形的外接圆半径等于其边长，正六边形ABCDEF边长为1
∴其外接圆半径$ R=1 $
∵正六边形的中心角为$ 360° ÷ 6 = 60° $
∴对角线AD对应的中心角为$ 3 × 60° = 180° $，即AD为外接圆的直径
∴$ AD = 2R = 2 × 1 = 2 $
【答案】
2
【知识点】
正六边形的性质；正多边形与外接圆的关系
【点评】
本题是基础类题目，解题的核心是掌握正六边形边长与外接圆半径相等、相对顶点连线为外接圆直径的性质，熟练运用性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆正六边形的相关性质：正六边形的外接圆半径与其边长相等，且正六边形的中心角为60°。观察正六边形顶点顺序，A与D为相对的两个顶点，两点连线经过外接圆圆心，即AD为外接圆的直径，因此只需先确定外接圆半径，再计算直径长度即可得到AD的长。
【解析】
解：
∵正六边形的外接圆半径等于其边长，正六边形ABCDEF边长为1
∴其外接圆半径$ R=1 $
∵正六边形的中心角为$ 360° ÷ 6 = 60° $
∴对角线AD对应的中心角为$ 3 × 60° = 180° $，即AD为外接圆的直径
∴$ AD = 2R = 2 × 1 = 2 $
【答案】
2
【知识点】
正六边形的性质；正多边形与外接圆的关系
【点评】
本题是基础类题目，解题的核心是掌握正六边形边长与外接圆半径相等、相对顶点连线为外接圆直径的性质，熟练运用性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.如图,试用直尺和圆规分别按要求画出圆的内接正多边形.
正三角形
正六边形
正三角形
正六边形答案
4.解:如答图.
解析
【分析】
要画出圆的内接正多边形，本质是将圆周按正多边形的边数n进行等分，等分后依次连接各分点即可得到对应正多边形。正三角形需将圆周三等分，每份圆心角为120°；正方形需将圆周四等分，每份圆心角为90°；正六边形需将圆周六等分，每份圆心角为60°，结合尺规作图规则，利用圆半径相等的性质即可完成圆周等分，进而画出对应正多边形。
【解析】
1. 圆内接正三角形作法
① 作已知圆的任意一条直径AD；
② 以点D为圆心，圆的半径长为半径画弧，与圆交于B、C两点；
③ 顺次连接A、B、C三点，所得$△ ABC$就是该圆的内接正三角形。
2. 圆内接正方形作法
① 过圆心作两条互相垂直的直径，与圆分别交于A、B、C、D四个点；
② 顺次连接A、B、C、D四点，所得四边形ABCD就是该圆的内接正方形。
3. 圆内接正六边形作法
① 在圆上任取一点A，以点A为圆心，圆的半径长为半径画弧，与圆交于点B；
② 依次以新得到的交点为圆心，圆的半径长为半径画弧，得到剩余4个分点C、D、E、F；
③ 顺次连接A、B、C、D、E、F六点，所得六边形ABCDEF就是该圆的内接正六边形。
最终作图结果如下：
【答案】
如答图.
【知识点】
正多边形与圆；尺规作图；圆的基本性质
【点评】
本题是基础作图类题目，考查圆内接正多边形的尺规作图方法，解题核心是理解正多边形和圆的对应关系，掌握常见正三、四、六边形的圆周等分方法，这类内容是几何作图的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要画出圆的内接正多边形，本质是将圆周按正多边形的边数n进行等分，等分后依次连接各分点即可得到对应正多边形。正三角形需将圆周三等分，每份圆心角为120°；正方形需将圆周四等分，每份圆心角为90°；正六边形需将圆周六等分，每份圆心角为60°，结合尺规作图规则，利用圆半径相等的性质即可完成圆周等分，进而画出对应正多边形。
【解析】
1. 圆内接正三角形作法
① 作已知圆的任意一条直径AD；
② 以点D为圆心，圆的半径长为半径画弧，与圆交于B、C两点；
③ 顺次连接A、B、C三点，所得$△ ABC$就是该圆的内接正三角形。
2. 圆内接正方形作法
① 过圆心作两条互相垂直的直径，与圆分别交于A、B、C、D四个点；
② 顺次连接A、B、C、D四点，所得四边形ABCD就是该圆的内接正方形。
3. 圆内接正六边形作法
① 在圆上任取一点A，以点A为圆心，圆的半径长为半径画弧，与圆交于点B；
② 依次以新得到的交点为圆心，圆的半径长为半径画弧，得到剩余4个分点C、D、E、F；
③ 顺次连接A、B、C、D、E、F六点，所得六边形ABCDEF就是该圆的内接正六边形。
最终作图结果如下：
【答案】
如答图.
【知识点】
正多边形与圆；尺规作图；圆的基本性质
【点评】
本题是基础作图类题目，考查圆内接正多边形的尺规作图方法，解题核心是理解正多边形和圆的对应关系，掌握常见正三、四、六边形的圆周等分方法，这类内容是几何作图的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
5. 如图，M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P.
(1)求证：$△ ABM ≌ △ BCN$；
(2)求$∠ APN$的度数.
(1)求证：$△ ABM ≌ △ BCN$；
(2)求$∠ APN$的度数.
答案
5.(1)证明:
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC,∠ABM=∠C.
在△ABM和△BCN中,$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABM=∠C, \\ BM=CN, \end{cases}$
∴△ABM≌△BCN(SAS).
(2)解:
∵△ABM≌△BCN,
∴∠BAM=∠CBN.
∵∠BAM+∠ABP=∠APN,∠CBN+∠ABP=∠ABC,
∴∠APN=∠ABC=$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$.
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC,∠ABM=∠C.
在△ABM和△BCN中,$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABM=∠C, \\ BM=CN, \end{cases}$
∴△ABM≌△BCN(SAS).
(2)解:
∵△ABM≌△BCN,
∴∠BAM=∠CBN.
∵∠BAM+∠ABP=∠APN,∠CBN+∠ABP=∠ABC,
∴∠APN=∠ABC=$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$.
解析
【分析】
（1）要证明△ABM≌△BCN，先结合正五边形的性质推导全等所需条件：正五边形各边相等、各内角相等，可得AB=BC，∠ABM=∠C，再结合已知BM=CN，刚好满足SAS全等判定的要求，即可完成证明。
（2）求∠APN的度数时，先利用全等三角形的性质得到对应角相等，即∠BAM=∠CBN；再观察∠APN是△ABP的外角，根据三角形外角性质，∠APN等于不相邻的两个内角∠BAM与∠ABP的和，将∠BAM代换为∠CBN后，可得出∠APN等于正五边形的内角∠ABC，最后用多边形内角和公式计算正五边形的内角度数即可得到结果。
【解析】
(1)证明:
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC,∠ABM=∠C。
在△ABM和△BCN中，$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABM=∠C, \\ BM=CN, \end{cases}$
∴△ABM≌△BCN(SAS)。
(2)解:
∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN。
∵∠APN是△ABP的外角，
∴∠APN=∠BAM+∠ABP，
将∠BAM代换为∠CBN，可得∠APN=∠CBN+∠ABP=∠ABC，
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角∠ABC=$\frac{540°}{5}=108°$，即∠APN=108°。
【答案】
(1) △ABM≌△BCN，证明成立；
(2) $\boldsymbol{∠APN=108°}$
【知识点】
正多边形的性质、全等三角形的判定与性质、多边形内角和计算
【点评】
本题是正多边形与全等三角形结合的基础题型，解题核心是熟练运用正多边形边、角相等的特征，结合全等判定和角的等量代换求解角度，是正多边形相关考点的常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABM≌△BCN，先结合正五边形的性质推导全等所需条件：正五边形各边相等、各内角相等，可得AB=BC，∠ABM=∠C，再结合已知BM=CN，刚好满足SAS全等判定的要求，即可完成证明。
（2）求∠APN的度数时，先利用全等三角形的性质得到对应角相等，即∠BAM=∠CBN；再观察∠APN是△ABP的外角，根据三角形外角性质，∠APN等于不相邻的两个内角∠BAM与∠ABP的和，将∠BAM代换为∠CBN后，可得出∠APN等于正五边形的内角∠ABC，最后用多边形内角和公式计算正五边形的内角度数即可得到结果。
【解析】
(1)证明:
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC,∠ABM=∠C。
在△ABM和△BCN中，$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ABM=∠C, \\ BM=CN, \end{cases}$
∴△ABM≌△BCN(SAS)。
(2)解:
∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN。
∵∠APN是△ABP的外角，
∴∠APN=∠BAM+∠ABP，
将∠BAM代换为∠CBN，可得∠APN=∠CBN+∠ABP=∠ABC，
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此每个内角∠ABC=$\frac{540°}{5}=108°$，即∠APN=108°。
【答案】
(1) △ABM≌△BCN，证明成立；
(2) $\boldsymbol{∠APN=108°}$
【知识点】
正多边形的性质、全等三角形的判定与性质、多边形内角和计算
【点评】
本题是正多边形与全等三角形结合的基础题型，解题核心是熟练运用正多边形边、角相等的特征，结合全等判定和角的等量代换求解角度，是正多边形相关考点的常考题型。
【难度系数】
0.7
6. 如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，则它的内切圆半径为 （）
A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
A.1
B.2
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
6.D
解析
【分析】
要计算正六边形的内切圆半径，首先明确正多边形的内切圆半径就是其中心到任意一边的距离（边心距）。解题思路如下：第一步，连接正六边形的中心与相邻两个顶点得到中心角，结合正六边形的性质判断得到的三角形是等边三角形；第二步，过中心作边的垂线得到直角三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理计算边心距，即内切圆半径。
【解析】
连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，此时OH的长度就是正六边形的内切圆半径。
∵ 正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴ 中心角$∠ AOB = \frac{360°}{6}=60°$，
又
∵ OA、OB都是$\odot O$的半径，OA=OB，
∴ $△ OAB$是等边三角形，
∴ OA=AB=2，AH=$\frac{1}{2}AB=1$。
在$Rt△ OAH$中，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OA^2 - AH^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$，
即正六边形的内切圆半径为$\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题考查正多边形和圆的相关计算，解题的关键是理解正多边形内切圆半径等于其边心距，通过构造直角三角形即可求解，是正多边形计算类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要计算正六边形的内切圆半径，首先明确正多边形的内切圆半径就是其中心到任意一边的距离（边心距）。解题思路如下：第一步，连接正六边形的中心与相邻两个顶点得到中心角，结合正六边形的性质判断得到的三角形是等边三角形；第二步，过中心作边的垂线得到直角三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理计算边心距，即内切圆半径。
【解析】
连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，此时OH的长度就是正六边形的内切圆半径。
∵ 正六边形ABCDEF内接于$\odot O$，
∴ 中心角$∠ AOB = \frac{360°}{6}=60°$，
又
∵ OA、OB都是$\odot O$的半径，OA=OB，
∴ $△ OAB$是等边三角形，
∴ OA=AB=2，AH=$\frac{1}{2}AB=1$。
在$Rt△ OAH$中，由勾股定理得：
$OH=\sqrt{OA^2 - AH^2}=\sqrt{2^2 - 1^2}=\sqrt{3}$，
即正六边形的内切圆半径为$\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
正多边形与圆，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题考查正多边形和圆的相关计算，解题的关键是理解正多边形内切圆半径等于其边心距，通过构造直角三角形即可求解，是正多边形计算类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
7.如图，$\odot O$是正六边形$ABCDEF$的外接圆.若$\odot O$的半径为6，则四边形$ACDF$的周长是（）
A.$6+6\sqrt{3}$
B.$12+6\sqrt{3}$
C.$12+12\sqrt{3}$
D.$6+12\sqrt{3}$
A.$6+6\sqrt{3}$
B.$12+6\sqrt{3}$
C.$12+12\sqrt{3}$
D.$6+12\sqrt{3}$
答案
7.C
解析
【分析】
解题时先回忆正六边形的性质：正六边形的边长等于其外接圆的半径，每个内角为120°。首先确定四边形ACDF的四条边组成：AF、CD是正六边形的边，长度等于外接圆半径；AC、DF是正六边形的等长对角线，可通过构造等腰三角形，结合三线合一和勾股定理求出对角线长度，最后将四条边长度相加即可得到周长。
【解析】
∵$\odot O$是正六边形$ABCDEF$的外接圆，半径为6，
∴正六边形的边长等于外接圆半径，即$AF=CD=6$，正六边形内角$∠ ABC=\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$。
在$△ ABC$中，$AB=BC=6$，$∠ ABC=120°$，过点$B$作$BG⊥ AC$于点$G$，
由等腰三角形三线合一得：$AG=GC$，$∠ ABG=\frac{1}{2}∠ ABC=60°$，
∴在$Rt△ ABG$中，$∠ BAG=30°$，$BG=\frac{1}{2}AB=3$，
由勾股定理得：$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
∴$AC=2AG=6\sqrt{3}$，同理可得$DF=AC=6\sqrt{3}$。
∴四边形$ACDF$的周长为：$AF+CD+AC+DF=6+6+6\sqrt{3}+6\sqrt{3}=12+12\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题重点考查正六边形和圆的相关性质，解题的关键是掌握正六边形边长与外接圆半径的关系，结合特殊三角形的性质求对角线长度，是正多边形相关计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆正六边形的性质：正六边形的边长等于其外接圆的半径，每个内角为120°。首先确定四边形ACDF的四条边组成：AF、CD是正六边形的边，长度等于外接圆半径；AC、DF是正六边形的等长对角线，可通过构造等腰三角形，结合三线合一和勾股定理求出对角线长度，最后将四条边长度相加即可得到周长。
【解析】
∵$\odot O$是正六边形$ABCDEF$的外接圆，半径为6，
∴正六边形的边长等于外接圆半径，即$AF=CD=6$，正六边形内角$∠ ABC=\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$。
在$△ ABC$中，$AB=BC=6$，$∠ ABC=120°$，过点$B$作$BG⊥ AC$于点$G$，
由等腰三角形三线合一得：$AG=GC$，$∠ ABG=\frac{1}{2}∠ ABC=60°$，
∴在$Rt△ ABG$中，$∠ BAG=30°$，$BG=\frac{1}{2}AB=3$，
由勾股定理得：$AG=\sqrt{AB^2-BG^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
∴$AC=2AG=6\sqrt{3}$，同理可得$DF=AC=6\sqrt{3}$。
∴四边形$ACDF$的周长为：$AF+CD+AC+DF=6+6+6\sqrt{3}+6\sqrt{3}=12+12\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆、等腰三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题重点考查正六边形和圆的相关性质，解题的关键是掌握正六边形边长与外接圆半径的关系，结合特殊三角形的性质求对角线长度，是正多边形相关计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
