三、解答题(共48分)
8.(14分)(2025·仪征二模)如图,CD是Rt△ABC斜边上的中线,以CD为直径作⊙O,分别交AC,BC于点M,N,过点M作ME⊥AB,交AB于点E.
(1)求证:ME是⊙O的切线;
(2)若CD=5,AC=8,求ME的长.

8.(1)证明:如答图①,连接OM.
∵∠ACB=90°,D为斜边AB的中点,
∴CD=DA=DB=$\frac{1}{2}$AB,
∴∠ACD=∠A.
∵OC=OM,
∴∠ACD=∠OMC,
∴∠OMC=∠A,
∴OM//AB.
∵ME⊥AB,
∴ME⊥OM.又
∵OM为⊙O的半径,
∴ME为⊙O的切线.

(2)解:如答图②,连接DM.
∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,
∴BD=CD=AD=5.
∵CD为⊙O的直径,
∴∠CMD=90°,
∴AM=CM=$\frac{1}{2}$AC=4,
∴DM=$\sqrt{CD^2-CM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
∵$S_{△ADM}=\frac{1}{2}AM·DM=\frac{1}{2}AD·ME$,
∴ME=$\frac{AM·DM}{AD}=\frac{4×3}{5}=2.4$.

9.(16分)如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，$∠ ACB$的平分线交$\odot O$于点D，过点D作$DE // AB$，交CB的延长线于点E.
(1)求证：ED是$\odot O$的切线；
(2)若$AC=3\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{2}$，求BD，CD的长.

9.(1)证明:连接OD,如答图.
∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠ACD=∠BCD,
∴∠AOD=∠BOD.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AOD=∠BOD=$\frac{1}{2}×180°=90°$,
∴OD⊥AB.
∵DE//AB,
∴OD⊥DE.
∵OD为⊙O的半径,
∴ED是⊙O的切线.

(2)解:
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,∠ADB=90°.
∵AC=3$\sqrt{2}$,BC=$\sqrt{2}$,
∴AB=$\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(3\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2\sqrt{5}$.
∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D,
∴∠ACD=∠BCD,
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{10}$.
如答图,过点B作BH⊥CD于点H.
∵∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°,
∴BH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=1,
∴DH=$\sqrt{BD^2-BH^2}=\sqrt{(\sqrt{10})^2-1^2}=3$,
∴CD=CH+DH=1+3=4.

10.(18分)如图，AB是$\odot O$的直径，点D,E在$\odot O$上，连接AE,ED,DA，连接BD并延长至点C，使得$∠ DAC=∠ AED$。
(1)求证:AC是$\odot O$的切线。
(2)若E是$\overset{\frown}{BD}$的中点，AE与BC交于点F。
①求证:$CA=CF$；
②若$\odot O$的半径为3，$BF=2$，求AC的长。

10.(1)证明:
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠DBA+∠DAB=90°.
∵∠DEA=∠DBA,∠DAC=∠DEA,
∴∠DBA=∠DAC,
∴∠DAC+∠DAB=90°.
∵AB是⊙O的直径,∠CAB=90°,
∴AC是⊙O的切线.
(2)①证明:
∵E是$\overset{\frown}{BD}$的中点,
∴∠BAE=∠DAE.
∵∠CFA = ∠DBA + ∠BAE, ∠CAF = ∠DAC + ∠DAE,∠DBA=∠DAC,
∴∠CFA=∠CAF,
∴CA=CF.
②解:设CA=CF=x,则BC=CF+BF=x+2.
∵⊙O的半径为3,
∴AB=6.
在Rt△ABC中,$CA^2+AB^2=BC^2$,
即$x^2+6^2=(x+2)^2$,解得x=8,
∴AC的长为8.