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1.已知圆的半径为3，某直线到圆心的距离是2，则此直线与圆的位置关系为 （
A.相离
B.相切
C.相离或相切
D.相交
D
）A.相离
B.相切
C.相离或相切
D.相交
答案
1.D
解析
【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心方法是比较圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小，不同的大小关系对应不同的位置关系：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。解题时先从题干中提取r和d的数值，再按规则比较即可得出结论。
【解析】
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆的位置关系判定规则如下：
1. 若$d＞r$，直线与圆相离；
2. 若$d=r$，直线与圆相切；
3. 若$d＜r$，直线与圆相交。
由题干可知，圆的半径$r=3$，直线到圆心的距离$d=2$，显然$2＜3$，即$d＜r$，因此直线与圆相交。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础概念应用题，只要牢记直线与圆位置关系的判定规则就能快速得分，侧重对基础知识点掌握情况的考查。
【难度系数】
0.9
要判断直线与圆的位置关系，核心方法是比较圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小，不同的大小关系对应不同的位置关系：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。解题时先从题干中提取r和d的数值，再按规则比较即可得出结论。
【解析】
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆的位置关系判定规则如下：
1. 若$d＞r$，直线与圆相离；
2. 若$d=r$，直线与圆相切；
3. 若$d＜r$，直线与圆相交。
由题干可知，圆的半径$r=3$，直线到圆心的距离$d=2$，显然$2＜3$，即$d＜r$，因此直线与圆相交。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题是基础概念应用题，只要牢记直线与圆位置关系的判定规则就能快速得分，侧重对基础知识点掌握情况的考查。
【难度系数】
0.9
2. 如图，直线AB，BC，CD分别与$\odot O$相切于点E，F，G且$AB // CD$，若$OB=8\ \mathrm{cm}$，$OC=6\ \mathrm{cm}$，则$BE+CG$等于（
A.7 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
D
）A.7 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
答案
2.D
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：①先结合切线的性质，由切线长定理可得OB、OC分别平分∠ABC、∠BCD，且BE=BF、CG=CF；②再利用AB//CD的性质得到∠ABC与∠BCD互补，进而推出∠OBC与∠OCB的和为90°，判断出△BOC是直角三角形；③用勾股定理计算出BC的长度；④最后通过线段等量代换，将BE+CG转化为BC的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵直线AB、BC、CD分别与$\odot O$相切于点E、F、G，
∴根据切线长定理：OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，且$BE=BF$，$CG=CF$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ ABC + ∠ BCD = 180°$，
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = \frac{1}{2}×180°=90°$，
∴$∠ BOC=90°$，即$△ BOC$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$OB=8\ \mathrm{cm}$，$OC=6\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$。
又
∵$BE=BF$，$CG=CF$，
∴$BE+CG=BF+CF=BC=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，平行线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质与几何计算的综合题，解题的核心是借助切线长定理实现角的关系推导和线段的等量转化，同时结合平行线、直角三角形的性质完成计算，能够有效考查学生对几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：①先结合切线的性质，由切线长定理可得OB、OC分别平分∠ABC、∠BCD，且BE=BF、CG=CF；②再利用AB//CD的性质得到∠ABC与∠BCD互补，进而推出∠OBC与∠OCB的和为90°，判断出△BOC是直角三角形；③用勾股定理计算出BC的长度；④最后通过线段等量代换，将BE+CG转化为BC的长度即可得到结果。
【解析】
解：
∵直线AB、BC、CD分别与$\odot O$相切于点E、F、G，
∴根据切线长定理：OB平分∠ABC，OC平分∠BCD，且$BE=BF$，$CG=CF$。
∵$AB// CD$，
∴$∠ ABC + ∠ BCD = 180°$，
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = \frac{1}{2}×180°=90°$，
∴$∠ BOC=90°$，即$△ BOC$是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，$OB=8\ \mathrm{cm}$，$OC=6\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$。
又
∵$BE=BF$，$CG=CF$，
∴$BE+CG=BF+CF=BC=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理，平行线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质与几何计算的综合题，解题的核心是借助切线长定理实现角的关系推导和线段的等量转化，同时结合平行线、直角三角形的性质完成计算，能够有效考查学生对几何知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
3.如图，$\odot O$的半径为20 cm，直线AB与$\odot O$相切于点C，动点P从点C出发沿圆周匀速运动一周，共用时12 s，当点P到直线AB的距离是10 cm时，点P运动的时间为（
A.2 s或10 s
B.4 s或8 s
C.2 s
D.8 s
A
）A.2 s或10 s
B.4 s或8 s
C.2 s
D.8 s
答案
3.A
解析
【分析】
首先根据切线的性质可知OC垂直于AB，要求点P到直线AB的距离为10cm时的运动时间，我们可以先找到满足距离条件的点P的位置：作平行于AB且到AB距离为10cm的直线，该直线与圆的两个交点就是符合条件的P点；接下来计算这两个点对应的弧CP的圆心角，再结合点P的运动速度即可求出对应时间，注意要分两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
解：连接OC，
∵直线AB与$\odot O$相切于点C，
∴$OC⊥ AB$，$OC=20\mathrm{cm}$。
过P作$PD⊥ AB$于D，由题意得$PD=10\mathrm{cm}$，再过P作$PE⊥ OC$于E，
则四边形PDCE为矩形，
∴$CE=PD=10\mathrm{cm}$，
∴$OE=OC-CE=20-10=10\mathrm{cm}$。
在$Rt△ OPE$中，$OP=20\mathrm{cm}$，$OE=10\mathrm{cm}$，
∴$\cos∠ POE=\frac{OE}{OP}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$，
∴$∠ POE=60°$。
分两种情况：
1. 当点P在OC右侧时，弧CP对应的圆心角为$60°$，
点P运动速度为$360°÷12\mathrm{s}=30°/\mathrm{s}$，
此时运动时间$t_1=60°÷30°/\mathrm{s}=2\mathrm{s}$；
2. 当点P在OC左侧时，弧CP对应的圆心角为$360°-60°=300°$，
此时运动时间$t_2=300°÷30°/\mathrm{s}=10\mathrm{s}$。
综上，点P运动的时间为2s或10s。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质，特殊角的三角函数，圆的动点计算
【点评】
本题属于圆的动点综合题，解题的关键是将点到直线的距离条件转化为圆心角的计算，同时要注意分类讨论，避免漏掉另一侧的符合条件的点。
【难度系数】
0.6
首先根据切线的性质可知OC垂直于AB，要求点P到直线AB的距离为10cm时的运动时间，我们可以先找到满足距离条件的点P的位置：作平行于AB且到AB距离为10cm的直线，该直线与圆的两个交点就是符合条件的P点；接下来计算这两个点对应的弧CP的圆心角，再结合点P的运动速度即可求出对应时间，注意要分两种情况讨论，避免漏解。
【解析】
解：连接OC，
∵直线AB与$\odot O$相切于点C，
∴$OC⊥ AB$，$OC=20\mathrm{cm}$。
过P作$PD⊥ AB$于D，由题意得$PD=10\mathrm{cm}$，再过P作$PE⊥ OC$于E，
则四边形PDCE为矩形，
∴$CE=PD=10\mathrm{cm}$，
∴$OE=OC-CE=20-10=10\mathrm{cm}$。
在$Rt△ OPE$中，$OP=20\mathrm{cm}$，$OE=10\mathrm{cm}$，
∴$\cos∠ POE=\frac{OE}{OP}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$，
∴$∠ POE=60°$。
分两种情况：
1. 当点P在OC右侧时，弧CP对应的圆心角为$60°$，
点P运动速度为$360°÷12\mathrm{s}=30°/\mathrm{s}$，
此时运动时间$t_1=60°÷30°/\mathrm{s}=2\mathrm{s}$；
2. 当点P在OC左侧时，弧CP对应的圆心角为$360°-60°=300°$，
此时运动时间$t_2=300°÷30°/\mathrm{s}=10\mathrm{s}$。
综上，点P运动的时间为2s或10s。
【答案】
A
【知识点】
切线的性质，特殊角的三角函数，圆的动点计算
【点评】
本题属于圆的动点综合题，解题的关键是将点到直线的距离条件转化为圆心角的计算，同时要注意分类讨论，避免漏掉另一侧的符合条件的点。
【难度系数】
0.6
4.一个直角三角形的两条直角边长是方程$x^2 -7x +12=0$的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为
1
。答案
4.1
解析
【分析】
解题可按三步进行：①先解一元二次方程，得到直角三角形两条直角边的长度；②运用勾股定理计算出直角三角形的斜边长；③代入直角三角形内切圆半径的计算公式求出结果即可。
【解析】
解：先解方程$x^2 -7x +12=0$，
因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=4$，
即直角三角形的两条直角边长分别为3和4。
由勾股定理得，斜边长$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（其中a、b为直角边长，c为斜边长），
代入数据得$r=\frac{3+4-5}{2}=1$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的解法；勾股定理；直角三角形内切圆计算
【点评】
本题是基础综合题，将方程求解与直角三角形的性质结合考查，掌握一元二次方程的解法和直角三角形内切圆半径的计算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题可按三步进行：①先解一元二次方程，得到直角三角形两条直角边的长度；②运用勾股定理计算出直角三角形的斜边长；③代入直角三角形内切圆半径的计算公式求出结果即可。
【解析】
解：先解方程$x^2 -7x +12=0$，
因式分解得$(x-3)(x-4)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=4$，
即直角三角形的两条直角边长分别为3和4。
由勾股定理得，斜边长$c=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$。
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（其中a、b为直角边长，c为斜边长），
代入数据得$r=\frac{3+4-5}{2}=1$。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的解法；勾股定理；直角三角形内切圆计算
【点评】
本题是基础综合题，将方程求解与直角三角形的性质结合考查，掌握一元二次方程的解法和直角三角形内切圆半径的计算方法是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5.已知$△ ABC$内接于$\odot O$，点$I$是$△ ABC$的内心.若$∠ BIC=∠ BOC$，则$∠ BAC$的度数是________.
答案
5.60°或108°
解析
【分析】
我们可以设∠BAC的度数为α，先分别推导∠BIC和∠BOC与α的关系，再结合二者相等的条件列方程求解。首先利用三角形内心是角平分线交点的性质，结合三角形内角和推导∠BIC的表达式；再根据圆周角定理，分点A在优弧BC、劣弧BC两种情况推导∠BOC的表达式，分别列方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
设∠BAC=α。
1. 推导∠BIC的表达式：
∵点I是△ABC的内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△IBC中，由三角形内角和得：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
又
∵在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=180°-α$，
代入得：$∠ BIC=180°-\frac{1}{2}(180°-α)=90°+\frac{1}{2}α$。
2. 分情况讨论∠BOC并列方程求解：
情况1：点A在优弧BC上
根据圆周角定理，劣弧BC对应的圆心角$∠ BOC=2∠ BAC=2α$，
由$∠ BIC=∠ BOC$得：
$90°+\frac{1}{2}α=2α$
解得：$α=60°$。
情况2：点A在劣弧BC上
此时∠BAC是优弧BC对应的圆周角，优弧BC对应的圆心角为$2α$，因此劣弧BC对应的圆心角$∠ BOC=360°-2α$，
由$∠ BIC=∠ BOC$得：
$90°+\frac{1}{2}α=360°-2α$
解得：$α=108°$。
【答案】
60°或108°
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是容易忽略点A在劣弧BC的情况导致漏解，熟练掌握内心相关的角度推导公式、圆周角定理的两种应用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.6
我们可以设∠BAC的度数为α，先分别推导∠BIC和∠BOC与α的关系，再结合二者相等的条件列方程求解。首先利用三角形内心是角平分线交点的性质，结合三角形内角和推导∠BIC的表达式；再根据圆周角定理，分点A在优弧BC、劣弧BC两种情况推导∠BOC的表达式，分别列方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
设∠BAC=α。
1. 推导∠BIC的表达式：
∵点I是△ABC的内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∴$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△IBC中，由三角形内角和得：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
又
∵在△ABC中，$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ BAC=180°-α$，
代入得：$∠ BIC=180°-\frac{1}{2}(180°-α)=90°+\frac{1}{2}α$。
2. 分情况讨论∠BOC并列方程求解：
情况1：点A在优弧BC上
根据圆周角定理，劣弧BC对应的圆心角$∠ BOC=2∠ BAC=2α$，
由$∠ BIC=∠ BOC$得：
$90°+\frac{1}{2}α=2α$
解得：$α=60°$。
情况2：点A在劣弧BC上
此时∠BAC是优弧BC对应的圆周角，优弧BC对应的圆心角为$2α$，因此劣弧BC对应的圆心角$∠ BOC=360°-2α$，
由$∠ BIC=∠ BOC$得：
$90°+\frac{1}{2}α=360°-2α$
解得：$α=108°$。
【答案】
60°或108°
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是容易忽略点A在劣弧BC的情况导致漏解，熟练掌握内心相关的角度推导公式、圆周角定理的两种应用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.6
6.(2025·南京玄武区二模)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,经过A,B,C三点的⊙O与AD相切于点A,与CD交于点E,连接BE.若∠ABC=58°,则∠BEC的度数为
64
°.答案
6.64
解析
【分析】
要求∠BEC的度数，观察发现A、B、C、E均在⊙O上，∠BEC与∠BAC是同弧BC所对的圆周角，因此只需先求出∠BAC的度数即可。首先利用切线的性质和平行线的性质，结合垂径定理可推出弧AB=弧AC，进而得到△ABC为等腰三角形，求出∠BAC后，再根据圆周角定理即可得到∠BEC的度数。
【解析】
连接OA，
∵ AD与⊙O相切于点A，
∴ OA⊥AD（圆的切线垂直于过切点的半径），
∵ AD//BC，
∴ OA⊥BC，
又
∵ OA是⊙O的半径，
∴ 弧AB=弧AC（垂直于弦的半径平分弦所对的弧），
∴ ∠ACB=∠ABC=58°（等弧所对的圆周角相等），
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-58°-58°=64°，
∵ ∠BEC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BEC=∠BAC=64°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
64
【知识点】
切线的性质；垂径定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质综合应用题，解题的关键是合理作辅助线，结合切线性质、平行线性质得到弧相等，再通过圆周角定理完成角度的转化，考查了学生对圆相关基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
要求∠BEC的度数，观察发现A、B、C、E均在⊙O上，∠BEC与∠BAC是同弧BC所对的圆周角，因此只需先求出∠BAC的度数即可。首先利用切线的性质和平行线的性质，结合垂径定理可推出弧AB=弧AC，进而得到△ABC为等腰三角形，求出∠BAC后，再根据圆周角定理即可得到∠BEC的度数。
【解析】
连接OA，
∵ AD与⊙O相切于点A，
∴ OA⊥AD（圆的切线垂直于过切点的半径），
∵ AD//BC，
∴ OA⊥BC，
又
∵ OA是⊙O的半径，
∴ 弧AB=弧AC（垂直于弦的半径平分弦所对的弧），
∴ ∠ACB=∠ABC=58°（等弧所对的圆周角相等），
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-58°-58°=64°，
∵ ∠BEC和∠BAC都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BEC=∠BAC=64°（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
64
【知识点】
切线的性质；垂径定理；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的性质综合应用题，解题的关键是合理作辅助线，结合切线性质、平行线性质得到弧相等，再通过圆周角定理完成角度的转化，考查了学生对圆相关基础性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.65
7.如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴上,以AB为弦的$\odot D$与y轴相切.若点A的坐标为$(4,0)$,则点D的坐标为
$(\frac{5}{2},2)$
.答案
7.$(\frac{5}{2},2)$
解析
【分析】
首先根据正方形的性质确定AB的长度及A、B两点坐标，再由垂径定理可知圆心D在AB的垂直平分线上，可直接得到D点的纵坐标；接下来设D点横坐标为x，结合圆与y轴相切的性质可得圆的半径等于x，同时A点在圆上，故DA的长度等于半径，最后利用两点间距离公式列方程求解即可得到x的值，进而得到D点坐标。
【解析】
∵ 四边形OABC是正方形，点A坐标为$(4,0)$，
∴ $OA=AB=4$，$A(4,0)$，$B(4,4)$。
∵ AB是$\odot D$的弦，D是圆心，根据垂径定理，圆心在弦的垂直平分线上，
∴ 点D在AB的垂直平分线上，AB的纵坐标范围是0~4，故D的纵坐标为$\frac{0+4}{2}=2$。
设点D的坐标为$(x,2)$，
∵ $\odot D$与y轴相切，
∴ $\odot D$的半径$r=x$（圆心到y轴的距离等于半径）。
又
∵ 点A在$\odot D$上，
∴ $DA=r=x$，
由两点间距离公式得：$DA=\sqrt{(4-x)^2+(0-2)^2}=x$，
两边平方得：$(4-x)^2+4=x^2$，
展开化简：$16-8x+x^2+4=x^2$，
$20-8x=0$，解得$x=\frac{5}{2}$。
∴ 点D的坐标为$(\frac{5}{2},2)$。
【答案】
$(\frac{5}{2},2)$
【知识点】
正方形的性质，垂径定理，切线的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与圆的综合基础题，解题的突破口是结合垂径定理和切线性质找到圆心坐标的特征，再通过列方程求解坐标，考察了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
首先根据正方形的性质确定AB的长度及A、B两点坐标，再由垂径定理可知圆心D在AB的垂直平分线上，可直接得到D点的纵坐标；接下来设D点横坐标为x，结合圆与y轴相切的性质可得圆的半径等于x，同时A点在圆上，故DA的长度等于半径，最后利用两点间距离公式列方程求解即可得到x的值，进而得到D点坐标。
【解析】
∵ 四边形OABC是正方形，点A坐标为$(4,0)$，
∴ $OA=AB=4$，$A(4,0)$，$B(4,4)$。
∵ AB是$\odot D$的弦，D是圆心，根据垂径定理，圆心在弦的垂直平分线上，
∴ 点D在AB的垂直平分线上，AB的纵坐标范围是0~4，故D的纵坐标为$\frac{0+4}{2}=2$。
设点D的坐标为$(x,2)$，
∵ $\odot D$与y轴相切，
∴ $\odot D$的半径$r=x$（圆心到y轴的距离等于半径）。
又
∵ 点A在$\odot D$上，
∴ $DA=r=x$，
由两点间距离公式得：$DA=\sqrt{(4-x)^2+(0-2)^2}=x$，
两边平方得：$(4-x)^2+4=x^2$，
展开化简：$16-8x+x^2+4=x^2$，
$20-8x=0$，解得$x=\frac{5}{2}$。
∴ 点D的坐标为$(\frac{5}{2},2)$。
【答案】
$(\frac{5}{2},2)$
【知识点】
正方形的性质，垂径定理，切线的性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与圆的综合基础题，解题的突破口是结合垂径定理和切线性质找到圆心坐标的特征，再通过列方程求解坐标，考察了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.7
