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8. $\odot P$的半径为2，圆心$P$在直线$y=2x-1$上运动. 当$\odot P$与$x$轴相切时，圆心$P$的坐标为
(1.5,2)或(-0.5,-2)
. A答案
8.(1.5,2)或(-0.5,-2)
解析
【分析】
解题时首先回忆直线与圆相切的性质：当圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中⊙P与x轴相切，x轴对应的直线为y=0，因此圆心P到x轴的距离等于P点纵坐标的绝对值，等于半径2，可得|y|=2，分y=2和y=-2两种情况，再结合圆心P在直线y=2x-1上，将y值代入解析式即可求出对应的x值，进而得到P点坐标，注意不要漏解。
【解析】
解：设圆心P的坐标为$(x,y)$。
∵ ⊙P与x轴相切，⊙P的半径为2，
∴ 圆心P到x轴的距离等于半径，即$|y|=2$，
∴ $y=2$或$y=-2$。
又
∵ 圆心P在直线$y=2x-1$上，
① 当$y=2$时，代入直线解析式得：$2=2x-1$，
解得$x=1.5$，此时P点坐标为$(1.5,2)$；
② 当$y=-2$时，代入直线解析式得：$-2=2x-1$，
解得$x=-0.5$，此时P点坐标为$(-0.5,-2)$。
综上，圆心P的坐标为$(1.5,2)$或$(-0.5,-2)$。
【答案】
$(1.5,2)$或$(-0.5,-2)$
【知识点】
直线与圆相切的性质；一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础常考题，解题关键是掌握相切时圆心到切线的距离等于半径，注意纵坐标可取正负两种情况，避免漏解，同时要熟练运用一次函数解析式求点的坐标。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆直线与圆相切的性质：当圆与直线相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。本题中⊙P与x轴相切，x轴对应的直线为y=0，因此圆心P到x轴的距离等于P点纵坐标的绝对值，等于半径2，可得|y|=2，分y=2和y=-2两种情况，再结合圆心P在直线y=2x-1上，将y值代入解析式即可求出对应的x值，进而得到P点坐标，注意不要漏解。
【解析】
解：设圆心P的坐标为$(x,y)$。
∵ ⊙P与x轴相切，⊙P的半径为2，
∴ 圆心P到x轴的距离等于半径，即$|y|=2$，
∴ $y=2$或$y=-2$。
又
∵ 圆心P在直线$y=2x-1$上，
① 当$y=2$时，代入直线解析式得：$2=2x-1$，
解得$x=1.5$，此时P点坐标为$(1.5,2)$；
② 当$y=-2$时，代入直线解析式得：$-2=2x-1$，
解得$x=-0.5$，此时P点坐标为$(-0.5,-2)$。
综上，圆心P的坐标为$(1.5,2)$或$(-0.5,-2)$。
【答案】
$(1.5,2)$或$(-0.5,-2)$
【知识点】
直线与圆相切的性质；一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础常考题，解题关键是掌握相切时圆心到切线的距离等于半径，注意纵坐标可取正负两种情况，避免漏解，同时要熟练运用一次函数解析式求点的坐标。
【难度系数】
0.7
9. 如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过$\overset{\frown}{DE}$上任一点P（不包括端点D，E）作⊙O的切线MN，与AB，BC分别交于点M，N。若⊙O的半径为4 cm，则Rt△MBN的周长为
8 cm
。答案
9.8 cm
解析
【分析】
解题时先结合切线性质判断内切圆与直角边切点构成的四边形形状，得到基础边长，再利用切线长定理对所求三角形的周长进行等量转化即可求解。第一步：连接OD、OE，由内切圆切线性质可得OD⊥AB、OE⊥BC，结合∠B为直角、OD=OE，可证四边形ODBE是正方形，得到BD、BE的长度等于半径；第二步：根据切线长定理，可得点M到圆的两条切线MD、MP长度相等，点N到圆的两条切线NE、NP长度相等；第三步：将Rt△MBN的周长拆解，转化为BD与BE的和即可算出结果。
【解析】
连接OD、OE，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，与AB相切于D，与BC相切于E，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，且OD=OE=4cm，
又
∵∠B=90°，
∴四边形ODBE是矩形，
又OD=OE，
∴四边形ODBE是正方形，
∴BD=BE=4cm。
∵MN是⊙O的切线，切点为P，
根据切线长定理可得：MP=MD，NP=NE，
∴Rt△MBN的周长=BM+BN+MN
=BM+BN+MP+NP
=BM+BN+MD+NE
=(BM+MD)+(BN+NE)
=BD+BE
=4+4=8(cm)
【答案】
8 cm
【知识点】
切线长定理，正方形的判定与性质，三角形内切圆性质
【点评】
本题核心是利用切线长定理做线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知的正方形边长之和，解题的关键是熟练掌握切线相关性质，能灵活对线段进行拆分重组。
【难度系数】
0.7
解题时先结合切线性质判断内切圆与直角边切点构成的四边形形状，得到基础边长，再利用切线长定理对所求三角形的周长进行等量转化即可求解。第一步：连接OD、OE，由内切圆切线性质可得OD⊥AB、OE⊥BC，结合∠B为直角、OD=OE，可证四边形ODBE是正方形，得到BD、BE的长度等于半径；第二步：根据切线长定理，可得点M到圆的两条切线MD、MP长度相等，点N到圆的两条切线NE、NP长度相等；第三步：将Rt△MBN的周长拆解，转化为BD与BE的和即可算出结果。
【解析】
连接OD、OE，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，与AB相切于D，与BC相切于E，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，且OD=OE=4cm，
又
∵∠B=90°，
∴四边形ODBE是矩形，
又OD=OE，
∴四边形ODBE是正方形，
∴BD=BE=4cm。
∵MN是⊙O的切线，切点为P，
根据切线长定理可得：MP=MD，NP=NE，
∴Rt△MBN的周长=BM+BN+MN
=BM+BN+MP+NP
=BM+BN+MD+NE
=(BM+MD)+(BN+NE)
=BD+BE
=4+4=8(cm)
【答案】
8 cm
【知识点】
切线长定理，正方形的判定与性质，三角形内切圆性质
【点评】
本题核心是利用切线长定理做线段的等量转化，将未知的三角形周长转化为已知的正方形边长之和，解题的关键是熟练掌握切线相关性质，能灵活对线段进行拆分重组。
【难度系数】
0.7
10.如图,在△ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC的长为半径作圆,与BC相切于点C,过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.
(1)若∠AOD=60°,求∠CBD的度数;
(2)求证:AB为⊙O的切线.
(1)若∠AOD=60°,求∠CBD的度数;
(2)求证:AB为⊙O的切线.
答案
10.(1)解:$\because$BC是$\odot O$的切线,C是切点,
$\therefore OC⊥ BC$,即$∠ OCB=90°$,
$\therefore ∠ BOC+∠ OBC=90°$.
$\because ∠ BOC=∠ AOD=60°$,$\therefore ∠ CBD=30°$.
(2)证明:如答图,过点O作$OE⊥ AB$于点E.
由题意可知$∠ CBD=∠ OAD$.$\because AD⊥ BO$,$\therefore ∠ D=90°$,
即$∠ OAD+∠ AOD=90°$,$∠ ABD+∠ BAD=90°$.
$\because ∠ AOD=∠ BAD$,$\therefore ∠ OAD=∠ ABD$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,即BD是$∠ ABC$的平分线.
$\because OC⊥ BC$,$OE⊥ AB$,$\therefore OC=OE$.
$\because OC$是$\odot O$的半径,$\therefore$点O到AB的距离OE等于$\odot O$的半径,$\therefore AB$是$\odot O$的切线.
解析
【分析】
(1) 求解∠CBD时，先利用切线的性质得到OC⊥BC，可知△OBC为直角三角形，两个锐角互余，再结合对顶角相等得到∠BOC=∠AOD，代入已知角度即可求出∠CBD的度数。
(2) 证明AB为⊙O的切线时，根据切线判定规则，若未知直线与圆的公共点，需过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。因此先作OE⊥AB于E，再结合已知AD⊥BO、∠AOD=∠BAD，利用直角三角形两锐角互余推导得出BD是∠ABC的角平分线，最后根据角平分线的性质得到OE=OC，即可证明AB是切线。
【解析】
(1) 解:$\because$BC是$\odot O$的切线,C是切点,
$\therefore OC⊥ BC$,即$∠ OCB=90°$,
$\therefore ∠ BOC+∠ OBC=90°$.
$\because ∠ BOC=∠ AOD=60°$,$\therefore ∠ CBD=30°$.
(2) 证明:如答图,过点O作$OE⊥ AB$于点E.
由题意可知$∠ CBD=∠ OAD$.$\because AD⊥ BO$,$\therefore ∠ D=90°$,
即$∠ OAD+∠ AOD=90°$,$∠ ABD+∠ BAD=90°$.
$\because ∠ AOD=∠ BAD$,$\therefore ∠ OAD=∠ ABD$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,即BD是$∠ ABC$的平分线.
$\because OC⊥ BC$,$OE⊥ AB$,$\therefore OC=OE$.
$\because OC$是$\odot O$的半径,$\therefore$点O到AB的距离OE等于$\odot O$的半径,$\therefore AB$是$\odot O$的切线.
【答案】
(1) $∠ CBD=30°$；(2) AB为$\odot O$的切线，证明过程如上，辅助线如下：
【知识点】
切线的判定与性质；角平分线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的典型综合题，解题核心是掌握切线判定的辅助线作法：当未知直线与圆的公共点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径即可。本题兼顾了几何逻辑推导的考查，对学生的知识点综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
(1) 求解∠CBD时，先利用切线的性质得到OC⊥BC，可知△OBC为直角三角形，两个锐角互余，再结合对顶角相等得到∠BOC=∠AOD，代入已知角度即可求出∠CBD的度数。
(2) 证明AB为⊙O的切线时，根据切线判定规则，若未知直线与圆的公共点，需过圆心作直线的垂线，证明垂线段长度等于半径。因此先作OE⊥AB于E，再结合已知AD⊥BO、∠AOD=∠BAD，利用直角三角形两锐角互余推导得出BD是∠ABC的角平分线，最后根据角平分线的性质得到OE=OC，即可证明AB是切线。
【解析】
(1) 解:$\because$BC是$\odot O$的切线,C是切点,
$\therefore OC⊥ BC$,即$∠ OCB=90°$,
$\therefore ∠ BOC+∠ OBC=90°$.
$\because ∠ BOC=∠ AOD=60°$,$\therefore ∠ CBD=30°$.
(2) 证明:如答图,过点O作$OE⊥ AB$于点E.
由题意可知$∠ CBD=∠ OAD$.$\because AD⊥ BO$,$\therefore ∠ D=90°$,
即$∠ OAD+∠ AOD=90°$,$∠ ABD+∠ BAD=90°$.
$\because ∠ AOD=∠ BAD$,$\therefore ∠ OAD=∠ ABD$,
$\therefore ∠ ABD=∠ CBD$,即BD是$∠ ABC$的平分线.
$\because OC⊥ BC$,$OE⊥ AB$,$\therefore OC=OE$.
$\because OC$是$\odot O$的半径,$\therefore$点O到AB的距离OE等于$\odot O$的半径,$\therefore AB$是$\odot O$的切线.
【答案】
(1) $∠ CBD=30°$；(2) AB为$\odot O$的切线，证明过程如上，辅助线如下：
【知识点】
切线的判定与性质；角平分线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是直线与圆位置关系的典型综合题，解题核心是掌握切线判定的辅助线作法：当未知直线与圆的公共点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径即可。本题兼顾了几何逻辑推导的考查，对学生的知识点综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
11.如图，AB是$\odot O$的直径，AD和BC分别切$\odot O$于A，B两点，CD与$\odot O$有公共点E，且$AD=DE$.
(1)求证:CD是$\odot O$的切线；
(2)若$AB=12$，$BC=4$，求AD的长.
(1)求证:CD是$\odot O$的切线；
(2)若$AB=12$，$BC=4$，求AD的长.
答案
11.(1)证明:如答图,连接OD,OE.
$\because AD$切$\odot O$于点A,AB是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ DAB=90°$.
$\because AD=DE$,$OA=OE$,$OD=OD$,
$\therefore △ ADO≌△ EDO(\mathrm{SSS})$,
$\therefore ∠ OED=∠ OAD=90°$,
$\therefore CD$是$\odot O$的切线.
(2)解:如答图,过点C作$CH⊥ AD$于点H.
$\because AB$是$\odot O$的直径,AD和BC分别切$\odot O$于A,B两点,
$\therefore ∠ DAB=∠ ABC=∠ CHA=90°$,
$\therefore$四边形ABCH是矩形,
$\therefore CH=AB=12$,$AH=BC=4$.
$\because CD$是$\odot O$的切线,$\therefore AD=DE$,$CE=BC$,
$\therefore DH=AD-BC=AD-4$,$CD=AD+4$.
$\because CH^2+DH^2=CD^2$,
$\therefore 12^2+(AD-4)^2=(AD+4)^2$,解得$AD=9$.
解析
【分析】
(1) 要证明CD是⊙O的切线，根据切线判定定理，已知E在⊙O上，只需证明OE⊥CD即可。连接OD、OE，由AD是切线得∠OAD=90°，结合AD=DE、OA=OE、OD为公共边，可证△ADO≌△EDO，得到∠OED=∠OAD=90°，即可完成证明。
(2) 求AD的长时，先根据切线长定理得AD=DE、CE=BC，因此CD=AD+BC。过C作CH⊥AD，可证四边形ABCH是矩形，得到CH=AB=12，DH=AD-BC，在Rt△CHD中利用勾股定理列方程，即可解出AD的长度。
【解析】
(1) 证明：如答图，连接OD，OE。
∵AD切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴∠DAB=90°。
∵AD=DE，OA=OE，OD=OD，
∴△ADO≌△EDO(SSS)，
∴∠OED=∠OAD=90°，
∴CD是⊙O的切线。
(2) 解：如答图，过点C作CH⊥AD于点H。
∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，
∴∠DAB=∠ABC=∠CHA=90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴CH=AB=12，AH=BC=4。
∵CD是⊙O的切线，
∴AD=DE，CE=BC，
∴DH=AD - BC = AD - 4，CD = DE + CE = AD + 4。
在Rt△CHD中，由勾股定理得$CH^2+DH^2=CD^2$，
代入得$12^2+(AD-4)^2=(AD+4)^2$，
展开计算：$144 + AD^2 - 8AD + 16 = AD^2 + 8AD + 16$，
移项整理得$16AD=144$，解得$AD=9$。
【答案】
(1) CD是$\odot O$的切线，证明见解析；
(2) $AD=9$
【知识点】
切线的判定与性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查直线与圆相切的判定、切线长定理的应用，同时结合矩形的判定和勾股定理求解线段长度，解题时要熟练掌握切线相关的辅助线构造方法，学会用方程思想解决几何计算类问题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明CD是⊙O的切线，根据切线判定定理，已知E在⊙O上，只需证明OE⊥CD即可。连接OD、OE，由AD是切线得∠OAD=90°，结合AD=DE、OA=OE、OD为公共边，可证△ADO≌△EDO，得到∠OED=∠OAD=90°，即可完成证明。
(2) 求AD的长时，先根据切线长定理得AD=DE、CE=BC，因此CD=AD+BC。过C作CH⊥AD，可证四边形ABCH是矩形，得到CH=AB=12，DH=AD-BC，在Rt△CHD中利用勾股定理列方程，即可解出AD的长度。
【解析】
(1) 证明：如答图，连接OD，OE。
∵AD切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，
∴∠DAB=90°。
∵AD=DE，OA=OE，OD=OD，
∴△ADO≌△EDO(SSS)，
∴∠OED=∠OAD=90°，
∴CD是⊙O的切线。
(2) 解：如答图，过点C作CH⊥AD于点H。
∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，
∴∠DAB=∠ABC=∠CHA=90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴CH=AB=12，AH=BC=4。
∵CD是⊙O的切线，
∴AD=DE，CE=BC，
∴DH=AD - BC = AD - 4，CD = DE + CE = AD + 4。
在Rt△CHD中，由勾股定理得$CH^2+DH^2=CD^2$，
代入得$12^2+(AD-4)^2=(AD+4)^2$，
展开计算：$144 + AD^2 - 8AD + 16 = AD^2 + 8AD + 16$，
移项整理得$16AD=144$，解得$AD=9$。
【答案】
(1) CD是$\odot O$的切线，证明见解析；
(2) $AD=9$
【知识点】
切线的判定与性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查直线与圆相切的判定、切线长定理的应用，同时结合矩形的判定和勾股定理求解线段长度，解题时要熟练掌握切线相关的辅助线构造方法，学会用方程思想解决几何计算类问题。
【难度系数】
0.7
