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11 分别求符合下列条件的抛物线$y=ax^2$的表达式。
(1) 经过点$(-3,2)$。
(2) 与$y=\frac{1}{2}x^2$开口大小相同，方向相反。
(3) $x$由1增加到2时，函数值减少4。
(1) 经过点$(-3,2)$。
(2) 与$y=\frac{1}{2}x^2$开口大小相同，方向相反。
(3) $x$由1增加到2时，函数值减少4。
答案
(1) 将点$(-3, 2)$代入抛物线$y=ax^2$,得$a=\dfrac{2}{9}$,所以抛物线的表达式为$y=\dfrac{2}{9}x^2$。
(2) 因为抛物线与$y=\dfrac{1}{2}x^2$开口大小相同,方向相反,所以$y=-\dfrac{1}{2}x^2$。
(3) 当$x=1$时,$y=a$;当$x=2$时,$y=4a$。因为$x$由1增加到2时,函数值减少4,所以$4=a-4a$,解得$a=-\dfrac{4}{3}$,所以抛物线的表达式为$y=-\dfrac{4}{3}x^2$。
(2) 因为抛物线与$y=\dfrac{1}{2}x^2$开口大小相同,方向相反,所以$y=-\dfrac{1}{2}x^2$。
(3) 当$x=1$时,$y=a$;当$x=2$时,$y=4a$。因为$x$由1增加到2时,函数值减少4,所以$4=a-4a$,解得$a=-\dfrac{4}{3}$,所以抛物线的表达式为$y=-\dfrac{4}{3}x^2$。
解析
【分析】
本题要求确定抛物线$y=ax^2$的表达式，核心是求解参数$a$的值，可根据每个小问的条件分别分析：
(1) 若点在抛物线上，则点的横、纵坐标满足抛物线的解析式，因此将点坐标代入解析式即可列方程求出$a$；
(2) 二次函数$y=ax^2$中，$a$的绝对值决定抛物线开口大小，$a$的符号决定开口方向，开口大小相同则$|a|$相等，方向相反则$a$的符号与已知抛物线的$a$相反，据此可直接确定$a$的值；
(3) 先分别求出$x=1$和$x=2$对应的函数值，根据“$x$由1增加到2时函数值减少4”，即$x=1$对应的函数值减去$x=2$对应的函数值等于4，列方程求解即可得到$a$的值。
【解析】
(1) 将点$(-3,2)$代入抛物线解析式$y=ax^2$中，可得：
$2=a×(-3)^2$
即$9a=2$，解得$a=\dfrac{2}{9}$，因此抛物线表达式为$y=\dfrac{2}{9}x^2$。
(2) 抛物线的开口大小由$|a|$决定，开口方向由$a$的符号决定。已知所求抛物线与$y=\dfrac{1}{2}x^2$开口大小相同、方向相反，因此$a=-\dfrac{1}{2}$，抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2$。
(3) 当$x=1$时，代入$y=ax^2$得函数值$y_1=a×1^2=a$；当$x=2$时，函数值$y_2=a×2^2=4a$。
由题意$x$从1增加到2时函数值减少4，可得$y_1-y_2=4$，即$a-4a=4$，
合并同类项得$-3a=4$，解得$a=-\dfrac{4}{3}$，因此抛物线表达式为$y=-\dfrac{4}{3}x^2$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{2}{9}x^2$；(2) $y=-\dfrac{1}{2}x^2$；(3) $y=-\dfrac{4}{3}x^2$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数$y=ax^2$的性质
3. 二次函数值变化计算
【点评】
本题围绕二次函数$y=ax^2$的核心参数$a$设置考点，既考查了点在函数图象上的坐标特征，又考查了$a$对抛物线开口的影响，以及函数值随自变量变化的计算，属于基础常规题，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.75
本题要求确定抛物线$y=ax^2$的表达式，核心是求解参数$a$的值，可根据每个小问的条件分别分析：
(1) 若点在抛物线上，则点的横、纵坐标满足抛物线的解析式，因此将点坐标代入解析式即可列方程求出$a$；
(2) 二次函数$y=ax^2$中，$a$的绝对值决定抛物线开口大小，$a$的符号决定开口方向，开口大小相同则$|a|$相等，方向相反则$a$的符号与已知抛物线的$a$相反，据此可直接确定$a$的值；
(3) 先分别求出$x=1$和$x=2$对应的函数值，根据“$x$由1增加到2时函数值减少4”，即$x=1$对应的函数值减去$x=2$对应的函数值等于4，列方程求解即可得到$a$的值。
【解析】
(1) 将点$(-3,2)$代入抛物线解析式$y=ax^2$中，可得：
$2=a×(-3)^2$
即$9a=2$，解得$a=\dfrac{2}{9}$，因此抛物线表达式为$y=\dfrac{2}{9}x^2$。
(2) 抛物线的开口大小由$|a|$决定，开口方向由$a$的符号决定。已知所求抛物线与$y=\dfrac{1}{2}x^2$开口大小相同、方向相反，因此$a=-\dfrac{1}{2}$，抛物线表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x^2$。
(3) 当$x=1$时，代入$y=ax^2$得函数值$y_1=a×1^2=a$；当$x=2$时，函数值$y_2=a×2^2=4a$。
由题意$x$从1增加到2时函数值减少4，可得$y_1-y_2=4$，即$a-4a=4$，
合并同类项得$-3a=4$，解得$a=-\dfrac{4}{3}$，因此抛物线表达式为$y=-\dfrac{4}{3}x^2$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{2}{9}x^2$；(2) $y=-\dfrac{1}{2}x^2$；(3) $y=-\dfrac{4}{3}x^2$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 二次函数$y=ax^2$的性质
3. 二次函数值变化计算
【点评】
本题围绕二次函数$y=ax^2$的核心参数$a$设置考点，既考查了点在函数图象上的坐标特征，又考查了$a$对抛物线开口的影响，以及函数值随自变量变化的计算，属于基础常规题，熟练掌握相关性质即可快速解答。
【难度系数】
0.75
12 函数 $y=ax^2(a≠0)$ 与直线 $y=2x-3$ 交于点$(1,b)$。
(1) 求$a$和$b$的值。
(2) 求抛物线 $y=ax^2$ 的表达式，并求顶点坐标和对称轴。
(3) 当$x$取何值时，二次函数 $y=ax^2$ 的$y$值随$x$的增大而增大？
(1) 求$a$和$b$的值。
(2) 求抛物线 $y=ax^2$ 的表达式，并求顶点坐标和对称轴。
(3) 当$x$取何值时，二次函数 $y=ax^2$ 的$y$值随$x$的增大而增大？
答案
(1) 将点$(1, b)$代入$y=2x-3$,得$b=-1$。再将点$(1, -1)$代入$y=ax^2(a ≠ 0)$,解得$a=-1$。
(2) 由(1)可知抛物线的表达式为$y=-x^2$,顶点坐标为$(0, 0)$,对称轴为$y$轴。
(3) 当$x ≤ 0$时,二次函数$y=-x^2$的$y$值随$x$的增大而增大。
(2) 由(1)可知抛物线的表达式为$y=-x^2$,顶点坐标为$(0, 0)$,对称轴为$y$轴。
(3) 当$x ≤ 0$时,二次函数$y=-x^2$的$y$值随$x$的增大而增大。
解析
【分析】
（1）函数交点的坐标同时满足两个函数的解析式，因此先把交点横坐标x=1代入直线解析式可求出b的值，再把完整的交点坐标代入二次函数解析式，即可求出a的值。
（2）将第（1）问求出的a代入y=ax²就能得到抛物线表达式；形如y=ax²的二次函数，顶点固定为原点，对称轴为y轴，直接根据性质写出结果即可。
（3）先根据a的正负判断抛物线开口方向，开口向下的抛物线在对称轴左侧y随x的增大而增大，结合对称轴就能确定对应x的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(1,b)$代入直线$y=2x-3$：
$b=2×1-3=-1$
得交点坐标为$(1,-1)$，再将该点代入$y=ax^2(a≠0)$：
$-1=a×1^2$
解得$a=-1$。
(2) 把$a=-1$代入$y=ax^2$，得抛物线表达式为$y=-x^2$；
根据二次函数$y=ax^2$的性质，其顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴（或直线$x=0$）。
(3) 抛物线$y=-x^2$中$a=-1＜0$，开口向下，对称轴为$y$轴，因此当$x≤0$时，$y$值随$x$的增大而增大。
【答案】
(1) $a=-1$，$b=-1$；
(2) 抛物线表达式为$y=-x^2$，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴；
(3) 当$x≤0$时，二次函数$y=ax^2$的$y$值随$x$的增大而增大。
【知识点】
1. 待定系数法求参数
2. 二次函数$y=ax^2$的性质
3. 函数增减性判断
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查$y=ax^2$的基础性质，解题关键是掌握函数交点的坐标特征、$y=ax^2$的图像规律，适合用于巩固二次函数基础知识点。
【难度系数】
0.85
（1）函数交点的坐标同时满足两个函数的解析式，因此先把交点横坐标x=1代入直线解析式可求出b的值，再把完整的交点坐标代入二次函数解析式，即可求出a的值。
（2）将第（1）问求出的a代入y=ax²就能得到抛物线表达式；形如y=ax²的二次函数，顶点固定为原点，对称轴为y轴，直接根据性质写出结果即可。
（3）先根据a的正负判断抛物线开口方向，开口向下的抛物线在对称轴左侧y随x的增大而增大，结合对称轴就能确定对应x的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(1,b)$代入直线$y=2x-3$：
$b=2×1-3=-1$
得交点坐标为$(1,-1)$，再将该点代入$y=ax^2(a≠0)$：
$-1=a×1^2$
解得$a=-1$。
(2) 把$a=-1$代入$y=ax^2$，得抛物线表达式为$y=-x^2$；
根据二次函数$y=ax^2$的性质，其顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴（或直线$x=0$）。
(3) 抛物线$y=-x^2$中$a=-1＜0$，开口向下，对称轴为$y$轴，因此当$x≤0$时，$y$值随$x$的增大而增大。
【答案】
(1) $a=-1$，$b=-1$；
(2) 抛物线表达式为$y=-x^2$，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴；
(3) 当$x≤0$时，二次函数$y=ax^2$的$y$值随$x$的增大而增大。
【知识点】
1. 待定系数法求参数
2. 二次函数$y=ax^2$的性质
3. 函数增减性判断
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查$y=ax^2$的基础性质，解题关键是掌握函数交点的坐标特征、$y=ax^2$的图像规律，适合用于巩固二次函数基础知识点。
【难度系数】
0.85
13 已知函数$y=(m+2)x^{m^2+m-4}$是关于x的二次函数，求：
(1) 满足条件的m的值。
(2) m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，并写出x为何值时，y随x的增大而增大。
(3) m为何值时，在对称轴左侧的图像中，y随x的增大而增大。
(1) 满足条件的m的值。
(2) m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，并写出x为何值时，y随x的增大而增大。
(3) m为何值时，在对称轴左侧的图像中，y随x的增大而增大。
答案
(1) 由题意得$m^2+m-4=2$,且$m+2 ≠ 0$,解得$m_1=-3$,$m_2=2$,所以满足条件的$m$值为$-3$或$2$。
(2) 当$m$为$2$时,抛物线$y=4x^2$开口向上,图像有最低点,最低点为$(0, 0)$,当$x ≥ 0$时,$y$随$x$的增大而增大。
(3) 当$m$为$-3$时,抛物线$y=-x^2$开口向下,在对称轴的左侧的图像中,$y$随$x$的增大而增大。
(2) 当$m$为$2$时,抛物线$y=4x^2$开口向上,图像有最低点,最低点为$(0, 0)$,当$x ≥ 0$时,$y$随$x$的增大而增大。
(3) 当$m$为$-3$时,抛物线$y=-x^2$开口向下,在对称轴的左侧的图像中,$y$随$x$的增大而增大。
解析
【分析】
这道题围绕二次函数$y=ax^2$的定义与性质展开，解题思路如下：
(1) 要确定$m$的值，需紧扣二次函数的定义：一是自变量的最高次数为2，二是二次项系数不能为0，据此列方程和不等式求解即可；
(2) 抛物线有最低点说明开口向上，即二次项系数大于0，从第(1)问求出的$m$值中筛选出符合条件的取值，再结合$y=ax^2$的性质，开口向上时顶点为最低点，对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大；
(3) 对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，说明抛物线开口向下，即二次项系数小于0，同样从第(1)问的结果中筛选对应$m$值即可。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，自变量$x$的最高次数为2，且二次项系数不为0，因此可得：
$\begin{cases}m^2+m-4=2 \\ m+2≠0 \end{cases}$
解方程$m^2+m-4=2$，整理得$m^2+m-6=0$，因式分解得$(m+3)(m-2)=0$，解得$m_1=-3$，$m_2=2$。
又因为$m+2≠0$即$m≠-2$，两个解均符合要求，因此满足条件的$m$值为$-3$或$2$。
(2) 抛物线有最低点，说明抛物线开口向上，即二次项系数$m+2＞0$，解得$m＞-2$，结合(1)的结果得$m=2$。
此时函数为$y=4x^2$，其顶点坐标为$(0,0)$，即最低点为$(0,0)$；
该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），因此当$x≥0$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，说明抛物线开口向下，即二次项系数$m+2＜0$，解得$m＜-2$，结合(1)的结果得$m=-3$。
此时函数为$y=-x^2$，开口向下，对称轴为y轴，在对称轴左侧图像中$y$随$x$的增大而增大，符合题意。
【答案】
(1) 满足条件的$m$值为$-3$或$2$；
(2) 当$m=2$时抛物线有最低点，最低点为$(0,0)$，当$x≥0$时，$y$随$x$的增大而增大；
(3) 当$m=-3$时，在对称轴左侧的图像中，$y$随$x$的增大而增大。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题核心是牢记二次函数定义的两个限制条件，以及开口方向与函数增减性、最值的对应关系，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这道题围绕二次函数$y=ax^2$的定义与性质展开，解题思路如下：
(1) 要确定$m$的值，需紧扣二次函数的定义：一是自变量的最高次数为2，二是二次项系数不能为0，据此列方程和不等式求解即可；
(2) 抛物线有最低点说明开口向上，即二次项系数大于0，从第(1)问求出的$m$值中筛选出符合条件的取值，再结合$y=ax^2$的性质，开口向上时顶点为最低点，对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大；
(3) 对称轴左侧$y$随$x$增大而增大，说明抛物线开口向下，即二次项系数小于0，同样从第(1)问的结果中筛选对应$m$值即可。
【解析】
(1) 根据二次函数的定义，自变量$x$的最高次数为2，且二次项系数不为0，因此可得：
$\begin{cases}m^2+m-4=2 \\ m+2≠0 \end{cases}$
解方程$m^2+m-4=2$，整理得$m^2+m-6=0$，因式分解得$(m+3)(m-2)=0$，解得$m_1=-3$，$m_2=2$。
又因为$m+2≠0$即$m≠-2$，两个解均符合要求，因此满足条件的$m$值为$-3$或$2$。
(2) 抛物线有最低点，说明抛物线开口向上，即二次项系数$m+2＞0$，解得$m＞-2$，结合(1)的结果得$m=2$。
此时函数为$y=4x^2$，其顶点坐标为$(0,0)$，即最低点为$(0,0)$；
该抛物线开口向上，对称轴为直线$x=0$（y轴），因此当$x≥0$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，说明抛物线开口向下，即二次项系数$m+2＜0$，解得$m＜-2$，结合(1)的结果得$m=-3$。
此时函数为$y=-x^2$，开口向下，对称轴为y轴，在对称轴左侧图像中$y$随$x$的增大而增大，符合题意。
【答案】
(1) 满足条件的$m$值为$-3$或$2$；
(2) 当$m=2$时抛物线有最低点，最低点为$(0,0)$，当$x≥0$时，$y$随$x$的增大而增大；
(3) 当$m=-3$时，在对称轴左侧的图像中，$y$随$x$的增大而增大。
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数$y=ax^2$的性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，解题核心是牢记二次函数定义的两个限制条件，以及开口方向与函数增减性、最值的对应关系，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
14 已知两点$A(2,0)$，$B(1,1)$，直线$AB$与抛物线$y=ax^2$相交于B、C两点。
（1）求直线AB及抛物线的函数表达式。
（2）求点C的坐标。
（3）若抛物线上有一点D，使$S_{△ AOD}=S_{△ OBC}$，求D点坐标。
（1）求直线AB及抛物线的函数表达式。
（2）求点C的坐标。
（3）若抛物线上有一点D，使$S_{△ AOD}=S_{△ OBC}$，求D点坐标。
答案
(1) 设直线$AB$的表达式为$y=kx+b(k ≠ 0)$,将$A(2, 0)$,$B(1, 1)$代入得,
$\begin{cases}2k+b=0,\\k+b=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=2,\end{cases}$所以直线$AB$的表达式为$y=-x+2$。
将$B(1, 1)$代入抛物线$y=ax^2$,得$a=1$,所以抛物线表达式$y=x^2$。
(2) 联立得$\begin{cases}y=x^2,\\y=-x+2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-2,\\y=4\end{cases}$或$\begin{cases}x=1,\\y=1,\end{cases}$所以点$C$的坐标为$(-2, 4)$。
(3) 由题意得$OB^2=2$,$OC^2=20$,$BC^2=18$,所以$OB^2+BC^2=18+2=20=OC^2$,所以$△ OBC$是直角三角形,$S_{△ OBC}=\dfrac{1}{2} · OB · BC=3$。因为$S_{△ AOD}=S_{△ OBC}$,所以$S_{△ AOD}=3$,所以$S_{△ AOD}=\dfrac{1}{2}OA · y_D=\dfrac{1}{2} × 2 × y_D=3$,所以$y_D=3$,代入$y=x^2$可得$x_1=\sqrt{3}$,$x_2=-\sqrt{3}$,所以点$D$的坐标为$(\sqrt{3}, 3)$或$(-\sqrt{3}, 3)$。
$\begin{cases}2k+b=0,\\k+b=1,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1,\\b=2,\end{cases}$所以直线$AB$的表达式为$y=-x+2$。
将$B(1, 1)$代入抛物线$y=ax^2$,得$a=1$,所以抛物线表达式$y=x^2$。
(2) 联立得$\begin{cases}y=x^2,\\y=-x+2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=-2,\\y=4\end{cases}$或$\begin{cases}x=1,\\y=1,\end{cases}$所以点$C$的坐标为$(-2, 4)$。
(3) 由题意得$OB^2=2$,$OC^2=20$,$BC^2=18$,所以$OB^2+BC^2=18+2=20=OC^2$,所以$△ OBC$是直角三角形,$S_{△ OBC}=\dfrac{1}{2} · OB · BC=3$。因为$S_{△ AOD}=S_{△ OBC}$,所以$S_{△ AOD}=3$,所以$S_{△ AOD}=\dfrac{1}{2}OA · y_D=\dfrac{1}{2} × 2 × y_D=3$,所以$y_D=3$,代入$y=x^2$可得$x_1=\sqrt{3}$,$x_2=-\sqrt{3}$,所以点$D$的坐标为$(\sqrt{3}, 3)$或$(-\sqrt{3}, 3)$。
解析
【分析】
（1）求直线AB的解析式时，已知直线过两个点，可采用待定系数法，设直线表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将A、B两点坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到k、b的值，确定直线解析式；抛物线$y=ax^2$只有未知参数a，将在抛物线上的B点坐标代入即可求出a，得到抛物线解析式。
（2）直线与抛物线的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此联立直线与抛物线的解析式得到方程组，解方程组得到两组解，其中一组对应已知的B点，另一组就是点C的坐标。
（3）先计算$△ OBC$的面积：根据O、B、C三点坐标求出三边长度，用勾股定理逆定理判断$△ OBC$为直角三角形，进而求出其面积；再分析$△ AOD$，OA边在x轴上，长度为2，OA边上的高就是D点的纵坐标，根据两个三角形面积相等列方程求出D点的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出对应的横坐标，得到D点坐标。
【解析】
(1) 设直线$AB$的表达式为$y=kx+b(k ≠ 0)$，将$A(2, 0)$，$B(1, 1)$代入得：
$\begin{cases}2k+b=0\\k+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$，所以直线$AB$的表达式为$y=-x+2$。
将$B(1, 1)$代入抛物线$y=ax^2$，得$1=a×1^2$，解得$a=1$，所以抛物线表达式为$y=x^2$。
(2) 联立直线与抛物线的解析式得：
$\begin{cases}y=x^2\\y=-x+2\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-2\\y=4\end{cases}$或$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$，其中$(1,1)$为点B的坐标，所以点$C$的坐标为$(-2, 4)$。
(3) 由O(0,0)、B(1,1)、C(-2,4)三点坐标计算得：
$OB^2=1^2+1^2=2$，$OC^2=(-2)^2+4^2=20$，$BC^2=(-2-1)^2+(4-1)^2=18$
所以$OB^2+BC^2=2+18=20=OC^2$，根据勾股定理逆定理可得$△ OBC$是直角三角形，直角边为OB和BC。
$OB=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，所以$S_{△ OBC}=\dfrac{1}{2} × OB × BC=\dfrac{1}{2}×\sqrt{2}×3\sqrt{2}=3$。
因为$S_{△ AOD}=S_{△ OBC}$，所以$S_{△ AOD}=3$。
$△ AOD$中，$OA=2$，OA边上的高为D点的纵坐标$y_D$，因此：
$S_{△ AOD}=\dfrac{1}{2}× OA × y_D=\dfrac{1}{2} × 2 × y_D=3$，解得$y_D=3$。
将$y=3$代入$y=x^2$得$x^2=3$，解得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$，所以点D的坐标为$(\sqrt{3}, 3)$或$(-\sqrt{3}, 3)$。
【答案】
(1) 直线AB的表达式为$\boldsymbol{y=-x+2}$，抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=x^2}$；
(2) 点C的坐标为$\boldsymbol{(-2, 4)}$；
(3) D点坐标为$\boldsymbol{(\sqrt{3}, 3)}$或$\boldsymbol{(-\sqrt{3}, 3)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，二次函数与面积综合
【点评】
本题是二次函数基础综合题，覆盖了函数解析式求解、函数交点计算、三角形面积运算等核心考点，解题时结合数形结合思想分析会更直观，计算过程中注意解的取舍，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.7
（1）求直线AB的解析式时，已知直线过两个点，可采用待定系数法，设直线表达式为$y=kx+b(k≠0)$，将A、B两点坐标代入得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可得到k、b的值，确定直线解析式；抛物线$y=ax^2$只有未知参数a，将在抛物线上的B点坐标代入即可求出a，得到抛物线解析式。
（2）直线与抛物线的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此联立直线与抛物线的解析式得到方程组，解方程组得到两组解，其中一组对应已知的B点，另一组就是点C的坐标。
（3）先计算$△ OBC$的面积：根据O、B、C三点坐标求出三边长度，用勾股定理逆定理判断$△ OBC$为直角三角形，进而求出其面积；再分析$△ AOD$，OA边在x轴上，长度为2，OA边上的高就是D点的纵坐标，根据两个三角形面积相等列方程求出D点的纵坐标，代入抛物线解析式即可求出对应的横坐标，得到D点坐标。
【解析】
(1) 设直线$AB$的表达式为$y=kx+b(k ≠ 0)$，将$A(2, 0)$，$B(1, 1)$代入得：
$\begin{cases}2k+b=0\\k+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=-1\\b=2\end{cases}$，所以直线$AB$的表达式为$y=-x+2$。
将$B(1, 1)$代入抛物线$y=ax^2$，得$1=a×1^2$，解得$a=1$，所以抛物线表达式为$y=x^2$。
(2) 联立直线与抛物线的解析式得：
$\begin{cases}y=x^2\\y=-x+2\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=-2\\y=4\end{cases}$或$\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}$，其中$(1,1)$为点B的坐标，所以点$C$的坐标为$(-2, 4)$。
(3) 由O(0,0)、B(1,1)、C(-2,4)三点坐标计算得：
$OB^2=1^2+1^2=2$，$OC^2=(-2)^2+4^2=20$，$BC^2=(-2-1)^2+(4-1)^2=18$
所以$OB^2+BC^2=2+18=20=OC^2$，根据勾股定理逆定理可得$△ OBC$是直角三角形，直角边为OB和BC。
$OB=\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，所以$S_{△ OBC}=\dfrac{1}{2} × OB × BC=\dfrac{1}{2}×\sqrt{2}×3\sqrt{2}=3$。
因为$S_{△ AOD}=S_{△ OBC}$，所以$S_{△ AOD}=3$。
$△ AOD$中，$OA=2$，OA边上的高为D点的纵坐标$y_D$，因此：
$S_{△ AOD}=\dfrac{1}{2}× OA × y_D=\dfrac{1}{2} × 2 × y_D=3$，解得$y_D=3$。
将$y=3$代入$y=x^2$得$x^2=3$，解得$x=\sqrt{3}$或$x=-\sqrt{3}$，所以点D的坐标为$(\sqrt{3}, 3)$或$(-\sqrt{3}, 3)$。
【答案】
(1) 直线AB的表达式为$\boldsymbol{y=-x+2}$，抛物线的表达式为$\boldsymbol{y=x^2}$；
(2) 点C的坐标为$\boldsymbol{(-2, 4)}$；
(3) D点坐标为$\boldsymbol{(\sqrt{3}, 3)}$或$\boldsymbol{(-\sqrt{3}, 3)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数交点求解，二次函数与面积综合
【点评】
本题是二次函数基础综合题，覆盖了函数解析式求解、函数交点计算、三角形面积运算等核心考点，解题时结合数形结合思想分析会更直观，计算过程中注意解的取舍，避免出现漏解或多解的错误。
【难度系数】
0.7
