特殊平行四边形的解题策略——巧用变换妙添线

在解决与平行四边形、菱形、矩形、正方形有关的问题时,通过平移、轴对称、旋转等图形变换,可以将分散的条件集中,将复杂的图形简化,从而让问题的本质更加清晰地呈现出来.而辅助线则如同解题的桥梁,在关键时刻发挥着关键作用.当面对特殊四边形中的角度、边长关系不明朗时,恰当引入辅助线能创造出新的条件和关系.以特殊四边形为基石,巧妙运用图形变换,添加恰当的辅助线,便能在解题的道路上披荆斩棘,领略数学的奇妙与精彩.

方法解读; 典例剖析

【分析】
我们先梳理这段学习方法指导的内容结构：开头先点明本次的主题是特殊平行四边形的解题策略，接下来第一个空缺部分之后的内容是对平移、轴对称、旋转等变换搭配辅助线的解题思路进行讲解，属于方法的阐释部分；第二个空缺部分之后对应搭配具体的题目演示方法的使用，符合学习内容“先讲方法、再练例题”的常规编排逻辑，由此就能推出两个空缺的栏目名称。
【解析】
首先看第一处空缺的后续内容：核心是讲解用图形变换、添加辅助线解决特殊平行四边形问题的思路，属于方法的解读说明，因此第一空填“方法解读”；
再看第二处空缺的位置，在方法讲解完成后，按照学习内容的常规编排，接下来要通过具体例题演示方法的运用，因此第二空填“典例剖析”。
【答案】
方法解读；典例剖析
【知识点】
文本结构梳理，栏目逻辑归纳
【点评】
本题结合特殊平行四边形的解题方法指导设置填空，引导学生掌握学习类内容“先明方法、再看典例”的编排规律，能帮助学生后续更有针对性地吸收相关解题技巧。
【难度系数】
0.9

【典例】 如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=√5,点P在AD上,点Q在BC上,且AP=CQ,连接CP,QD,则PC+QD的最小值为.

思路点拨:连接BP,根据平行四边形的判定和性质,将PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值,然后根据“牧民饮马”问题的解决思路解决问题.
【解析】 如下图,连接BP,

∵四边形ABCD为矩形,∴AD//BC,AD=BC,∠CBA=∠DAB=90°.
∵AP=CQ,∴AD-AP=BC-CQ,即DP=QB.
又DP//BQ,∴四边形DPBQ是平行四边形,
∴PB=DQ,∴PC+QD=PC+PB.
在BA的延长线上截取AE=AB=3,连接PE,CE,则PB=PE,
∴PC+PB=PC+PE≥CE.
∵BE=2AB=6,BC=AD=√5,∴CE=√(BE²+BC²)=√(6²+(√5)²)=√41,
∴PC+PB≥√41,即PC+PB的最小值为√41,
∴PC+QD的最小值为√41.
答案:√41

$\sqrt{41}$

【分析】
解题核心是通过线段转化将分散的两条线段和转化为常见的最短路径模型求解。首先观察到矩形中AP=CQ的条件，可推导得出DP与BQ平行且相等，进而证明四边形DPBQ是平行四边形，将QD等量转化为BP，此时PC+QD就转化为PC+BP，属于典型的“将军饮马”类最短路径问题。接着作点B关于AD所在直线的对称点E，利用垂直平分线的性质将PB转化为PE，即可将PC+BP进一步转化为PC+PE，根据两点之间线段最短，PC+PE的最小值就是线段CE的长度，最后用勾股定理计算CE的长度即可得到答案。
【解析】
解：连接BP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，即DP=QB，
又
∵DP//QB，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB=QD，
∴PC+QD=PC+PB。
延长BA到点E，使AE=AB=3，连接PE、CE，
∵AD⊥BE，AB=AE，
∴AD是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
根据两点之间线段最短，可知PC+PE≥CE，即CE为PC+PB的最小值。
在Rt△CBE中，BE=AB+AE=6，BC=AD=√5，
由勾股定理得：$CE=\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{6^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{36+5}=\sqrt{41}$，
∴PC+QD的最小值为$\sqrt{41}$。
【答案】
$\sqrt{41}$
【知识点】
矩形的性质；平行四边形的判定与性质；勾股定理
【点评】
这道题是线段和最值问题的典型考法，解题关键是利用几何图形的性质完成线段的等量转化，将陌生的最值问题转化为熟悉的最短路径模型，再结合勾股定理计算，有效考察了转化思想和几何建模能力。
【难度系数】
0.6