3. 如图，E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD=10，DE=BF，连接AE,AF,CE,CF.
(1)求证：$△ ADE ≌ △ CBF$.
(2)若四边形AECF的周长为$4\sqrt{34}$，求EF的长.

3. (1) 证明:
∵ 四边形 ABCD 为正方形,
∴ AD = BC,∠ADE = ∠CBF = 45°. 又
∵ DE = BF,
∴ △ADE ≌ △CBF(SAS).
(2) 解:连接 AC 交 BD 于点 O,如图.
∵ 四边形 ABCD 为正方形, BD = 10,
∴ BD 垂直平分 AC,OA = OB = $\frac{1}{2}BD = 5$.
∴ AF = CF,AE = CE. 由(1)知 △ADE ≌ △CBF,
∴ AE = CF.
∴ AF = CF = AE = CE.
∵ 四边形 AECF 的周长为 $4\sqrt{34}$,
∴ AF = $\sqrt{34}$. 在 Rt △AOF 中, OF = $\sqrt{AF^2 - OA^2} = 3$.
∴ DE = BF = OB - OF = 5 - 3 = 2.
∴ EF = BD - BF - DE = 6.

【分析】
(1) 要证明△ADE≌△CBF，可从全等判定定理入手：首先根据正方形的性质可得AD与BC相等，对角线BD平分正方形内角，故∠ADE=∠CBF=45°，结合题目已知的DE=BF，刚好满足SAS的全等判定条件，即可完成证明。
(2) 求解EF的长度时，可利用正方形对角线互相垂直平分的性质，连接AC交BD于点O，得到垂直关系与OA、OB的长度；再结合(1)的全等结论可推出四边形AECF四边相等，是菱形，结合周长可求出单条边的长度，之后在直角三角形AOF中用勾股定理求出OF的长度，进而得到BF、DE的长度，最后用BD的总长减去BF和DE的长度，即可得到EF的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AD = BC，∠ADE = ∠CBF = 45°，
又
∵ DE = BF，
∴ △ADE ≌ △CBF（SAS）。
(2) 解：连接AC交BD于点O，如图。
∵ 四边形ABCD为正方形，BD=10，
∴ BD垂直平分AC，OA = OB = $\frac{1}{2}$BD = 5，
∴ AF = CF，AE = CE。
由(1)知△ADE≌△CBF，
∴ AE = CF，
∴ AF = CF = AE = CE，即四边形AECF为菱形。
∵ 四边形AECF的周长为$4\sqrt{34}$，
∴ 边长AF = $4\sqrt{34}÷4=\sqrt{34}$。
在Rt△AOF中，由勾股定理得：
$OF = \sqrt{AF^2 - OA^2} = \sqrt{(\sqrt{34})^2 - 5^2}=3$，
∴ DE = BF = OB - OF = 5 - 3 = 2，
∴ EF = BD - BF - DE = 10 - 2 - 2 = 6。
【答案】
(1) △ADE ≌ △CBF得证；(2) EF的长为$\boldsymbol{6}$，辅助线如图
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，将全等证明、正方形性质和勾股定理结合考查，解题的关键是熟练掌握正方形对角线的性质，通过作辅助线构造直角三角形，将未知线段的求解转化为直角三角形边长计算，对几何逻辑推理能力有较好的锻炼作用。
【难度系数】
0.6

4.已知:如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,对角线AC,BD相交于点P,点E,F分别是BD,AC的中点,连接EF,AE,DF.
(1)求证:EF//BC;
(2)若AE⊥EF,求证:四边形AEFD是矩形.

4. 证明:(1) 延长 AE 交 BC 于点 G,如图,
∵ 点 E 是 BD 的中点,
∴ BE = DE,
∵ AD//BC,
∴ ∠ADE = ∠GBE,∠DAE = ∠BGE,
∴ △DAE ≌ △BGE(AAS),
∴ AE = EG,
∵ 点 F 是 AC 的中点,
∴ EF是△AGC 的中位线,
∴ EF//CG,
∴ EF//BC.
(2) 延长 DF 交 BC 于点 H,如图.
∵ 在梯形 ABCD 中,AD//BC,AB = DC,
∴ 四边形 ABCD 为等腰梯形,
∴ ∠ABG = ∠DCH. 由(1) 可知, EF//BC,又
∵ AD // BC,
∴ EF // BC // AD.
∵ AE ⊥ EF,
∴ ∠AEF = ∠AGH = ∠AGB = 90°. 由(1)得 △DAE ≌ △BGE,
∴ AD = BG. 同理,△DAF ≌ △HCF(AAS),
∴ AD = CH.
∴ BG = CH.
∵ AB = DC, ∠ABG = ∠DCH,
∴ △ABG ≌ △DCH (SAS).
∴ ∠AGB = ∠DHC = 90°,
∴ ∠AGH = ∠DHC = 90°.
∴ AG//DH.
∵ AD//EF,AE//DF,
∴ 四边形 AEFD 为平行四边形. 又
∵ ∠AEF = 90°,
∴ 四边形 AEFD 是矩形.

【分析】
(1) 要证明$EF// BC$，已知$E$、$F$分别是$BD$、$AC$的中点，可联想到三角形中位线定理，因此需要构造以$EF$为中位线的三角形。通过延长$AE$交$BC$于点$G$，先利用$AD// BC$的平行性质和$E$是$BD$中点的条件，证明$△ DAE≌△ BGE$，得到$E$是$AG$的中点，此时$EF$即为$△ AGC$的中位线，根据中位线性质即可证得$EF// BC$。
(2) 要证明四边形$AEFD$是矩形，需先证明它是平行四边形，再结合直角条件判定。首先由$AD// BC$和(1)的结论可得$EF// AD$；再延长$DF$交$BC$于点$H$，同理证明$△ DAF≌△ HCF$得到$AD=CH$，结合等腰梯形的性质证明$△ ABG≌△ DCH$，得到$AG// DH$即$AE// DF$，即可判定四边形$AEFD$是平行四边形，再结合已知$AE⊥ EF$的直角条件，即可判定其为矩形。
【解析】
(1) 延长 $AE$ 交 $BC$ 于点 $G$，如图，
∵ 点 $E$ 是 $BD$ 的中点，
∴ $BE = DE$，
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ ADE = ∠ GBE$，$∠ DAE = ∠ BGE$，
∴ $△ DAE ≌ △ BGE(\mathrm{AAS})$，
∴ $AE = EG$，
∵ 点 $F$ 是 $AC$ 的中点，
∴ $EF$是$△ AGC$ 的中位线，
∴ $EF// CG$，
∴ $EF// BC$。
(2) 延长 $DF$ 交 $BC$ 于点 $H$，如图。
∵ 在梯形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$AB = DC$，
∴ 四边形 $ABCD$ 为等腰梯形，
∴ $∠ ABG = ∠ DCH$。由(1) 可知， $EF// BC$，又
∵ $AD // BC$，
∴ $EF // BC // AD$。
∵ $AE ⊥ EF$，
∴ $∠ AEF = ∠ AGH = ∠ AGB = 90°$。由(1)得 $△ DAE ≌ △ BGE$，
∴ $AD = BG$。同理，$△ DAF ≌ △ HCF(\mathrm{AAS})$，
∴ $AD = CH$。
∴ $BG = CH$。
∵ $AB = DC$， $∠ ABG = ∠ DCH$，
∴ $△ ABG ≌ △ DCH (\mathrm{SAS})$。
∴ $∠ AGB = ∠ DHC = 90°$，
∴ $∠ AGH = ∠ DHC = 90°$。
∴ $AG// DH$。
∵ $AD// EF$，$AE// DF$，
∴ 四边形 $AEFD$ 为平行四边形。 又
∵ $∠ AEF = 90°$，
∴ 四边形 $AEFD$ 是矩形。
【答案】
4. 证明:(1) 延长 AE 交 BC 于点 G,如图,
∵ 点 E 是 BD 的中点,
∴ BE = DE,
∵ AD//BC,
∴ ∠ADE = ∠GBE,∠DAE = ∠BGE,
∴ △DAE ≌ △BGE(AAS),
∴ AE = EG,
∵ 点 F 是 AC 的中点,
∴ EF是△AGC 的中位线,
∴ EF//CG,
∴ EF//BC.
(2) 延长 DF 交 BC 于点 H,如图.
∵ 在梯形 ABCD 中,AD//BC,AB = DC,
∴ 四边形 ABCD 为等腰梯形,
∴ ∠ABG = ∠DCH. 由(1) 可知, EF//BC,又
∵ AD // BC,
∴ EF // BC // AD.
∵ AE ⊥ EF,
∴ ∠AEF = ∠AGH = ∠AGB = 90°. 由(1)得 △DAE ≌ △BGE,
∴ AD = BG. 同理,△DAF ≌ △HCF(AAS),
∴ AD = CH.
∴ BG = CH.
∵ AB = DC, ∠ABG = ∠DCH,
∴ △ABG ≌ △DCH (SAS).
∴ ∠AGB = ∠DHC = 90°,
∴ ∠AGH = ∠DHC = 90°.
∴ AG//DH.
∵ AD//EF,AE//DF,
∴ 四边形 AEFD 为平行四边形. 又
∵ ∠AEF = 90°,
∴ 四边形 AEFD 是矩形.
【知识点】
等腰梯形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定
【点评】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质、特殊四边形的性质与判定，构造辅助线将中点条件转化为全等或中位线的条件是解题的关键，能有效锻炼逻辑推理能力和辅助线构造能力。
【难度系数】
0.6