登录
12. 游泳池在一次换水前存水$936\ \mathrm{m}^3$,换水时关闭进水孔打开排水孔,以每小时$78\ \mathrm{m}^3$的速度将水放出.换水时游泳池剩余水的体积$y$(单位:$\mathrm{m}^3$)随换水时间$x$(单位:$\mathrm{h}$)的变化而变化.
(1)写出其中的常量与变量；
(2)求$y$与$x$的函数关系式及自变量的取值范围.
(1)写出其中的常量与变量；
(2)求$y$与$x$的函数关系式及自变量的取值范围.
答案
12.解:(1)常量:936,78.
变量:y(或换水时游泳池剩余水的体积),x(或换水时间).
(2)根据题意,得$y = 936 - 78x$. $\because 936 - 78x\ge0$,
$\therefore x\le12$. $\because x\ge0$,$\therefore 0\le x\le12$. $\therefore y$与$x$的函数关系式为$y = 936 - 78x$,自变量$x$的取值范围为$0\le x\le12$.
变量:y(或换水时游泳池剩余水的体积),x(或换水时间).
(2)根据题意,得$y = 936 - 78x$. $\because 936 - 78x\ge0$,
$\therefore x\le12$. $\because x\ge0$,$\therefore 0\le x\le12$. $\therefore y$与$x$的函数关系式为$y = 936 - 78x$,自变量$x$的取值范围为$0\le x\le12$.
解析
【分析】
解决第(1)问时，先回忆常量和变量的定义：在一个变化过程中，数值固定不变的量为常量，数值随过程发生改变的量为变量，结合题目给出的换水场景，逐一对应查找即可。解决第(2)问时，首先梳理等量关系：剩余水的体积=原有存水体积-已排出的水的体积，而已排出的水的体积=排水速度×排水时间，代入对应数值就能得到函数关系式；再结合实际意义分析：时间不能为负数，剩余水量也不能为负数，据此列不等式求解就能得到自变量的取值范围。
【解析】
(1) 根据常量与变量的定义判断：
换水过程中，原有存水量936、排水速度78的数值固定不变，因此常量为936、78；
换水时间x、剩余水的体积y的数值随排水过程不断变化，因此变量为x、y。
(2) 由剩余水量的等量关系可得：
$y = 936 - 78x$
结合实际意义，换水时间不能为负，即$x\ge0$；剩余水量不能为负，即$936-78x\ge0$，解得$x\le12$。
因此自变量x的取值范围为$0\le x\le12$。
【答案】
(1) 常量:936,78；变量:y(换水时游泳池剩余水的体积),x(换水时间)。
(2) $y$与$x$的函数关系式为$y = 936 - 78x$,自变量$x$的取值范围为$0\le x\le12$。
【知识点】
常量与变量，一次函数解析式，自变量取值范围
【点评】
本题属于函数基础应用题，结合生活场景考查函数的基础概念，解题时要注意自变量的取值范围不能仅考虑代数式本身有意义，还要结合实际场景的隐含条件判断，避免取值范围出错。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，先回忆常量和变量的定义：在一个变化过程中，数值固定不变的量为常量，数值随过程发生改变的量为变量，结合题目给出的换水场景，逐一对应查找即可。解决第(2)问时，首先梳理等量关系：剩余水的体积=原有存水体积-已排出的水的体积，而已排出的水的体积=排水速度×排水时间，代入对应数值就能得到函数关系式；再结合实际意义分析：时间不能为负数，剩余水量也不能为负数，据此列不等式求解就能得到自变量的取值范围。
【解析】
(1) 根据常量与变量的定义判断：
换水过程中，原有存水量936、排水速度78的数值固定不变，因此常量为936、78；
换水时间x、剩余水的体积y的数值随排水过程不断变化，因此变量为x、y。
(2) 由剩余水量的等量关系可得：
$y = 936 - 78x$
结合实际意义，换水时间不能为负，即$x\ge0$；剩余水量不能为负，即$936-78x\ge0$，解得$x\le12$。
因此自变量x的取值范围为$0\le x\le12$。
【答案】
(1) 常量:936,78；变量:y(换水时游泳池剩余水的体积),x(换水时间)。
(2) $y$与$x$的函数关系式为$y = 936 - 78x$,自变量$x$的取值范围为$0\le x\le12$。
【知识点】
常量与变量，一次函数解析式，自变量取值范围
【点评】
本题属于函数基础应用题，结合生活场景考查函数的基础概念，解题时要注意自变量的取值范围不能仅考虑代数式本身有意义，还要结合实际场景的隐含条件判断，避免取值范围出错。
【难度系数】
0.8
13.王老师计划组织朋友暑假去延安两日游.经了解,现有甲、乙两家旅行社比较合适,报价均为每人640元,且提供的服务完全相同,针对组团两日游的游客,甲旅行社表示,每人都按八五折收费;乙旅行社表示,若人数不超过20人,每人都按九折收费,超过20人,则超出部分每人按七五折收费.假设组团参加两日游的人数均为x.
(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式;
(2)若王老师组团参加两日游的共有32人,请你通过计算,在甲、乙两家旅行社中,帮助王老师选择收取总费用较少的一家.
(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式;
(2)若王老师组团参加两日游的共有32人,请你通过计算,在甲、乙两家旅行社中,帮助王老师选择收取总费用较少的一家.
答案
13.解:(1)甲旅行社:$y = 640 × 0. 85x = 544x(x ＞ 0)$. 乙旅行社:当$0 ＜ x \le 20$时,$y = 640 × 0. 9x = 576x$;当$x ＞ 20$时,$y = 640 × 0. 9 × 20 + 640 × 0. 75(x - 20) = 480x + 1 920$.
(2)甲旅行社:当$x = 32$时,$y = 544 × 32 = 17 408$. 乙旅行社:$\because 32 ＞ 20$,$\therefore$ 当$x = 32$ 时,$y = 480 × 32 + 1 920 = 17 280$.
$\because 17 408 ＞ 17 280$,$\therefore$ 王老师应选择乙旅行社.
(2)甲旅行社:当$x = 32$时,$y = 544 × 32 = 17 408$. 乙旅行社:$\because 32 ＞ 20$,$\therefore$ 当$x = 32$ 时,$y = 480 × 32 + 1 920 = 17 280$.
$\because 17 408 ＞ 17 280$,$\therefore$ 王老师应选择乙旅行社.
解析
【分析】
(1) 求解两家旅行社的费用函数时，先明确甲旅行社收费无人数限制，统一按八五折计算，直接利用“总费用=单人折扣价×人数”列关系式即可；乙旅行社收费分两种情况，人数不超过20人时全部九折，人数超过20人时20人按九折、超出部分按七五折，因此需要分区间写分段函数，注意标注自变量对应的取值范围。
(2) 已知人数为32，首先判断32＞20，因此分别将x=32代入甲旅行社的函数式、乙旅行社x＞20对应的分段函数式，计算出两家的总费用后比较大小，选择费用更低的即可。
【解析】
(1) 甲旅行社：
单人折扣价为$640×0.85$元，因此总费用$y = 640 × 0. 85x = 544x$（$x＞0$且$x$为正整数）。
乙旅行社：
① 当$0 ＜ x \le 20$（$x$为正整数）时，单人折扣价为$640×0.9$元，总费用$y = 640 × 0. 9x = 576x$；
② 当$x ＞ 20$（$x$为正整数）时，20人的费用为$640×0.9×20$元，超出20人的$(x-20)$人费用为$640×0.75(x-20)$元，因此总费用$y = 640 × 0. 9 × 20 + 640 × 0. 75(x - 20) = 480x + 1920$。
(2) 当$x=32$时：
甲旅行社总费用：$y = 544 × 32 = 17408$元；
因为$32＞20$，代入乙旅行社$x＞20$对应的函数式，总费用$y = 480 × 32 + 1920 = 17280$元。
由于$17408 ＞ 17280$，因此乙旅行社总费用更少。
【答案】
(1) 甲旅行社：$\boldsymbol{y=544x(x＞0且x为正整数)}$；
乙旅行社：$\boldsymbol{y=\begin{cases}576x&(0＜x≤20且x为正整数)\\480x+1920&(x＞20且x为正整数)\end{cases}}$
(2) 王老师应选择$\boldsymbol{乙}$旅行社。
【知识点】
1. 一次函数实际应用
2. 分段函数
3. 函数值比较
【点评】
本题属于生活中的方案选择类问题，核心是根据不同的收费规则准确列出函数关系式，解题时要注意分段函数的自变量取值区间，代入数值计算时不要选错对应分段的解析式，整体逻辑清晰，侧重考察基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 求解两家旅行社的费用函数时，先明确甲旅行社收费无人数限制，统一按八五折计算，直接利用“总费用=单人折扣价×人数”列关系式即可；乙旅行社收费分两种情况，人数不超过20人时全部九折，人数超过20人时20人按九折、超出部分按七五折，因此需要分区间写分段函数，注意标注自变量对应的取值范围。
(2) 已知人数为32，首先判断32＞20，因此分别将x=32代入甲旅行社的函数式、乙旅行社x＞20对应的分段函数式，计算出两家的总费用后比较大小，选择费用更低的即可。
【解析】
(1) 甲旅行社：
单人折扣价为$640×0.85$元，因此总费用$y = 640 × 0. 85x = 544x$（$x＞0$且$x$为正整数）。
乙旅行社：
① 当$0 ＜ x \le 20$（$x$为正整数）时，单人折扣价为$640×0.9$元，总费用$y = 640 × 0. 9x = 576x$；
② 当$x ＞ 20$（$x$为正整数）时，20人的费用为$640×0.9×20$元，超出20人的$(x-20)$人费用为$640×0.75(x-20)$元，因此总费用$y = 640 × 0. 9 × 20 + 640 × 0. 75(x - 20) = 480x + 1920$。
(2) 当$x=32$时：
甲旅行社总费用：$y = 544 × 32 = 17408$元；
因为$32＞20$，代入乙旅行社$x＞20$对应的函数式，总费用$y = 480 × 32 + 1920 = 17280$元。
由于$17408 ＞ 17280$，因此乙旅行社总费用更少。
【答案】
(1) 甲旅行社：$\boldsymbol{y=544x(x＞0且x为正整数)}$；
乙旅行社：$\boldsymbol{y=\begin{cases}576x&(0＜x≤20且x为正整数)\\480x+1920&(x＞20且x为正整数)\end{cases}}$
(2) 王老师应选择$\boldsymbol{乙}$旅行社。
【知识点】
1. 一次函数实际应用
2. 分段函数
3. 函数值比较
【点评】
本题属于生活中的方案选择类问题，核心是根据不同的收费规则准确列出函数关系式，解题时要注意分段函数的自变量取值区间，代入数值计算时不要选错对应分段的解析式，整体逻辑清晰，侧重考察基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.8
