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10.已知$\begin{cases} x=-3, \\ y=-2 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} ax+cy=1, \\ cx-by=2 \end{cases}$的解，
则$a,b$之间的关系是 （
A.$4b-9a=1$
B.$3a+2b=1$
C.$4b-9a=-1$
D.$9a+4b=1$
则$a,b$之间的关系是 （
D
）A.$4b-9a=1$
B.$3a+2b=1$
C.$4b-9a=-1$
D.$9a+4b=1$
答案
10.D
解析
【分析】
解题核心是利用二元一次方程组解的定义：方程组的解能让方程组中每个方程左右两边相等。首先把给出的x、y的值代入原方程组，得到含a、b、c三个字母的两个等式；我们的目标是找a和b的关系，所以只需消去两个等式里的公共字母c，通过消元运算就能得到a、b的关系式，再对应选项选择即可。
【解析】
已知$\begin{cases} x=-3, \\ y=-2 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} ax+cy=1, \\ cx-by=2 \end{cases}$的解，将x=-3、y=-2代入原方程组，可得：
$\begin{cases} -3a -2c = 1 \quad ① \\ -3c + 2b = 2 \quad ② \end{cases}$
接下来消去未知数c：
给①式左右两边同时乘3，得：$-9a -6c = 3$ ③
给②式左右两边同时乘2，得：$-6c +4b = 4$ ④
用④式减去③式：
左边：$(-6c +4b) - (-9a -6c) = 9a +4b$
右边：$4-3=1$
整理得$9a+4b=1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.二元一次方程组的解的定义 2.加减消元法 3.代数式运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考点是对二元一次方程组解的含义的理解，代入后消去无关未知量c即可得到结果，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
解题核心是利用二元一次方程组解的定义：方程组的解能让方程组中每个方程左右两边相等。首先把给出的x、y的值代入原方程组，得到含a、b、c三个字母的两个等式；我们的目标是找a和b的关系，所以只需消去两个等式里的公共字母c，通过消元运算就能得到a、b的关系式，再对应选项选择即可。
【解析】
已知$\begin{cases} x=-3, \\ y=-2 \end{cases}$是方程组$\begin{cases} ax+cy=1, \\ cx-by=2 \end{cases}$的解，将x=-3、y=-2代入原方程组，可得：
$\begin{cases} -3a -2c = 1 \quad ① \\ -3c + 2b = 2 \quad ② \end{cases}$
接下来消去未知数c：
给①式左右两边同时乘3，得：$-9a -6c = 3$ ③
给②式左右两边同时乘2，得：$-6c +4b = 4$ ④
用④式减去③式：
左边：$(-6c +4b) - (-9a -6c) = 9a +4b$
右边：$4-3=1$
整理得$9a+4b=1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1.二元一次方程组的解的定义 2.加减消元法 3.代数式运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考点是对二元一次方程组解的含义的理解，代入后消去无关未知量c即可得到结果，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
11.某商店的两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%.在这次买卖中，这家商店（
A.赔了8元
B.赚了32元
C.不赔不赚
D.赚了8元
D
）A.赔了8元
B.赚了32元
C.不赔不赚
D.赚了8元
答案
11.D
解析
【分析】要判断商店的盈亏情况，首先需要分别算出两个计算器的进价，因为盈利和亏本的百分比都是相对于进价而言的。我们可以利用“售价=进价×(1+利润率)”（盈利时利润率为正，亏本时利润率为负）的关系，列一元一次方程求出两个计算器的进价，再计算总售价和总进价的差值，差值为正则赚，为负则赔。
【解析】
解：设盈利60%的计算器进价为x元，根据题意得：
$(1+60\%)x = 64$
$1.6x = 64$
$x = 64÷1.6$
$x = 40$
设亏本20%的计算器进价为y元，根据题意得：
$(1-20\%)y = 64$
$0.8y = 64$
$y = 64÷0.8$
$y = 80$
两个计算器的总进价为：$40+80=120$（元）
两个计算器的总售价为：$64×2=128$（元）
利润=总售价-总进价=$128-120=8$（元），即赚了8元。
【答案】D
【知识点】一元一次方程应用，销售盈亏计算
【点评】本题是销售盈亏类的基础题型，解题的核心是明确利润率的计算基准是商品的进价，而非售价，避免直接用售价计算盈亏导致出错。
【难度系数】0.7
【解析】
解：设盈利60%的计算器进价为x元，根据题意得：
$(1+60\%)x = 64$
$1.6x = 64$
$x = 64÷1.6$
$x = 40$
设亏本20%的计算器进价为y元，根据题意得：
$(1-20\%)y = 64$
$0.8y = 64$
$y = 64÷0.8$
$y = 80$
两个计算器的总进价为：$40+80=120$（元）
两个计算器的总售价为：$64×2=128$（元）
利润=总售价-总进价=$128-120=8$（元），即赚了8元。
【答案】D
【知识点】一元一次方程应用，销售盈亏计算
【点评】本题是销售盈亏类的基础题型，解题的核心是明确利润率的计算基准是商品的进价，而非售价，避免直接用售价计算盈亏导致出错。
【难度系数】0.7
12.已知$x,y,z$满足方程组$\begin{cases}2x=3-5z,\\3y=4+2z,\end{cases}$则$x,y$满足的方程为$\underline{\hspace{5cm}}$.
答案
12.$4x+15y=26$
解析
【分析】
本题要求得到x、y满足的方程，核心思路是消去两个方程中的参数z。我们可以利用加减消元法，先将两个方程中z的系数化为互为相反数，再将两个方程相加即可消去z，整理后就能得到仅含x、y的方程。
【解析】
记$\begin{cases}2x=3-5z&①\\3y=4+2z&②\end{cases}$
第一步，消去z：给①式左右两边同时乘2，得$4x=6-10z$ ③；
给②式左右两边同时乘5，得$15y=20+10z$ ④；
第二步，将③和④相加，左边相加为$4x+15y$，右边相加为$6-10z+20+10z=26$，
整理可得$4x+15y=26$。
【答案】
$4x+15y=26$
【知识点】
加减消元法，代数式变形
【点评】
本题侧重考查消元思想的应用，解题关键是通过对原式变形消去参数z，掌握消元的基本方法就能快速求解。
【难度系数】
0.8
本题要求得到x、y满足的方程，核心思路是消去两个方程中的参数z。我们可以利用加减消元法，先将两个方程中z的系数化为互为相反数，再将两个方程相加即可消去z，整理后就能得到仅含x、y的方程。
【解析】
记$\begin{cases}2x=3-5z&①\\3y=4+2z&②\end{cases}$
第一步，消去z：给①式左右两边同时乘2，得$4x=6-10z$ ③；
给②式左右两边同时乘5，得$15y=20+10z$ ④；
第二步，将③和④相加，左边相加为$4x+15y$，右边相加为$6-10z+20+10z=26$，
整理可得$4x+15y=26$。
【答案】
$4x+15y=26$
【知识点】
加减消元法，代数式变形
【点评】
本题侧重考查消元思想的应用，解题关键是通过对原式变形消去参数z，掌握消元的基本方法就能快速求解。
【难度系数】
0.8
13.已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}2x+y=3, \\nx+y=1\end{cases}$和$\begin{cases}2x+my=2, \\x+y=1\end{cases}$的解相同，则$m=$ ______ ，$n=$ ______ 。
答案
13.2 1
解析
【分析】
已知两个二元一次方程组的解相同，说明这个解是四个方程的公共解。我们可以先提取两个方程组中不含参数m、n的方程，联立求出x、y的值，再将x、y的值代入含参数的方程，就能分别求出m和n的值。
【解析】
因为两个方程组的解相同，所以该解同时满足方程$2x+y=3$和$x+y=1$，联立这两个方程得：
$\begin{cases}2x+y=3 \quad① \\x+y=1 \quad② \end{cases}$
用①-②消去y，得：$x=2$
把$x=2$代入②式，得：$2+y=1$，解得$y=-1$
所以两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=2 \\y=-1 \end{cases}$
将$\begin{cases}x=2 \\y=-1 \end{cases}$代入$nx+y=1$，得：$2n -1=1$，解得$n=1$
将$\begin{cases}x=2 \\y=-1 \end{cases}$代入$2x+my=2$，得：$2×2 -m=2$，解得$m=2$
【答案】
2；1
【知识点】
二元一次方程组的解；解二元一次方程组；同解方程组
【点评】
本题考查同解方程组的应用，解题的核心是抓住“解相同”的性质，先求出公共解再求参数，是二元一次方程组章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
已知两个二元一次方程组的解相同，说明这个解是四个方程的公共解。我们可以先提取两个方程组中不含参数m、n的方程，联立求出x、y的值，再将x、y的值代入含参数的方程，就能分别求出m和n的值。
【解析】
因为两个方程组的解相同，所以该解同时满足方程$2x+y=3$和$x+y=1$，联立这两个方程得：
$\begin{cases}2x+y=3 \quad① \\x+y=1 \quad② \end{cases}$
用①-②消去y，得：$x=2$
把$x=2$代入②式，得：$2+y=1$，解得$y=-1$
所以两个方程组的公共解为$\begin{cases}x=2 \\y=-1 \end{cases}$
将$\begin{cases}x=2 \\y=-1 \end{cases}$代入$nx+y=1$，得：$2n -1=1$，解得$n=1$
将$\begin{cases}x=2 \\y=-1 \end{cases}$代入$2x+my=2$，得：$2×2 -m=2$，解得$m=2$
【答案】
2；1
【知识点】
二元一次方程组的解；解二元一次方程组；同解方程组
【点评】
本题考查同解方程组的应用，解题的核心是抓住“解相同”的性质，先求出公共解再求参数，是二元一次方程组章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
14.某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型汽车和3辆B型汽车的进价共计55万元，3辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共计95万元.A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
答案
14. A,B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元.
解析
【分析】
本题属于二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：首先根据问题设出两个未知数，分别表示A、B两种型号汽车的每辆进价；其次从题干中提取两个等量关系：①1辆A型汽车进价+3辆B型汽车进价=55万元，②3辆A型汽车进价+2辆B型汽车进价=95万元，依据等量关系列出二元一次方程组；最后选择合适的消元方法解方程组，即可得到两种车型的进价。
【解析】
解：设A型汽车每辆进价为$x$万元，B型汽车每辆进价为$y$万元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x + 3y = 55 \quad \mathrm{①} \\3x + 2y = 95 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
将①式左右两边同时乘3，得：
$3x + 9y = 165 \quad \mathrm{③}$
用③式减去②式消去$x$，得：
$(3x + 9y) - (3x + 2y) = 165 - 95$
化简得：$7y = 70$，解得$y = 10$。
将$y = 10$代入①式，得：
$x + 3×10 = 55$，解得$x = 25$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x=25 \\ y=10 \end{cases}$。
【答案】
A,B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是基础的方程类实际应用题，核心是抓住题干描述的总进价的等量关系列方程，计算量小，解题过程清晰，主要考察学生提取信息、建立方程模型和解方程的能力。
【难度系数】
0.8
本题属于二元一次方程组的实际应用问题，解题思路如下：首先根据问题设出两个未知数，分别表示A、B两种型号汽车的每辆进价；其次从题干中提取两个等量关系：①1辆A型汽车进价+3辆B型汽车进价=55万元，②3辆A型汽车进价+2辆B型汽车进价=95万元，依据等量关系列出二元一次方程组；最后选择合适的消元方法解方程组，即可得到两种车型的进价。
【解析】
解：设A型汽车每辆进价为$x$万元，B型汽车每辆进价为$y$万元。
根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x + 3y = 55 \quad \mathrm{①} \\3x + 2y = 95 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
将①式左右两边同时乘3，得：
$3x + 9y = 165 \quad \mathrm{③}$
用③式减去②式消去$x$，得：
$(3x + 9y) - (3x + 2y) = 165 - 95$
化简得：$7y = 70$，解得$y = 10$。
将$y = 10$代入①式，得：
$x + 3×10 = 55$，解得$x = 25$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x=25 \\ y=10 \end{cases}$。
【答案】
A,B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元。
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是基础的方程类实际应用题，核心是抓住题干描述的总进价的等量关系列方程，计算量小，解题过程清晰，主要考察学生提取信息、建立方程模型和解方程的能力。
【难度系数】
0.8
15.一家商店要进行装修,有以下两种方案:
①请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3 520元;②先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可以完成,需付两组费用共3 480元.
(1)甲、乙两组单独工作一天,商店应各付多少元?
(2)若装修完后,商店每天可盈利200元.你认为哪种方案更有利于商店经营?说说你的理由.
①请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共3 520元;②先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可以完成,需付两组费用共3 480元.
(1)甲、乙两组单独工作一天,商店应各付多少元?
(2)若装修完后,商店每天可盈利200元.你认为哪种方案更有利于商店经营?说说你的理由.
答案
15.(1)甲组单独工作一天商店应付300元，乙组单独工作一天商店应付140元.
(2)方案①，理由略.
(2)方案①，理由略.
解析
【分析】
(1) 求甲、乙两组单日费用可通过设两个未知数，依据两种施工方案的总费用列出二元一次方程组求解。(2)判断最优方案需先求出甲、乙两组的工作效率，得到两组的工作时长，再结合装修费用、装修工期损失的盈利，对比两种方案的实际总成本，总成本更低的方案更有利。
【解析】
(1) 设甲组单独工作一天商店应付x元，乙组单独工作一天商店应付y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 8(x + y) = 3520 \\ 6x + 12y = 3480 \end{cases}$
化简第一个方程得$x+y=440$，即$x=440-y$，代入第二个方程：
$6(440-y)+12y=3480$
解得$y=140$，则$x=440-140=300$。
(2) 设工作总量为1，甲组单日工作效率为a，乙组单日工作效率为b。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 8(a + b) = 1 \\ 6a + 12b = 1 \end{cases}$
化简第一个方程得$a+b=\frac{1}{8}$，即$a=\frac{1}{8}-b$，代入第二个方程：
$6(\frac{1}{8}-b)+12b=1$
解得$b=\frac{1}{24}$，则$a=\frac{1}{12}$，即甲单独完成需12天，乙单独完成需24天。
对比两种方案：
方案①总工期8天，总代价=装修费+工期损失盈利=$3520+8×200=5120$元；
方案②总工期$6+12=18$天，总代价=$3480+18×200=7080$元。
$5120＜7080$，且方案①更早完工可提前盈利，因此方案①更有利。
【答案】
(1) 甲组单独工作一天商店应付300元，乙组单独工作一天商店应付140元；
(2) 方案①更有利于商店经营。
【知识点】
二元一次方程组应用，工程问题，方案优化
【点评】
本题结合实际经营场景出题，既考查二元一次方程组的列式计算能力，也要求学生结合实际成本逻辑分析问题，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求甲、乙两组单日费用可通过设两个未知数，依据两种施工方案的总费用列出二元一次方程组求解。(2)判断最优方案需先求出甲、乙两组的工作效率，得到两组的工作时长，再结合装修费用、装修工期损失的盈利，对比两种方案的实际总成本，总成本更低的方案更有利。
【解析】
(1) 设甲组单独工作一天商店应付x元，乙组单独工作一天商店应付y元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 8(x + y) = 3520 \\ 6x + 12y = 3480 \end{cases}$
化简第一个方程得$x+y=440$，即$x=440-y$，代入第二个方程：
$6(440-y)+12y=3480$
解得$y=140$，则$x=440-140=300$。
(2) 设工作总量为1，甲组单日工作效率为a，乙组单日工作效率为b。
根据题意列方程组：
$\begin{cases} 8(a + b) = 1 \\ 6a + 12b = 1 \end{cases}$
化简第一个方程得$a+b=\frac{1}{8}$，即$a=\frac{1}{8}-b$，代入第二个方程：
$6(\frac{1}{8}-b)+12b=1$
解得$b=\frac{1}{24}$，则$a=\frac{1}{12}$，即甲单独完成需12天，乙单独完成需24天。
对比两种方案：
方案①总工期8天，总代价=装修费+工期损失盈利=$3520+8×200=5120$元；
方案②总工期$6+12=18$天，总代价=$3480+18×200=7080$元。
$5120＜7080$，且方案①更早完工可提前盈利，因此方案①更有利。
【答案】
(1) 甲组单独工作一天商店应付300元，乙组单独工作一天商店应付140元；
(2) 方案①更有利于商店经营。
【知识点】
二元一次方程组应用，工程问题，方案优化
【点评】
本题结合实际经营场景出题，既考查二元一次方程组的列式计算能力，也要求学生结合实际成本逻辑分析问题，能有效锻炼学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
16.某工厂去年的总产值比总支出多500万元，由于今年总产值比去年增加了15%，总支出比去年节约了10%，所以今年总产值比总支出多950万元.
(1)设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，将下表补充完整；
(2)今年的总产值和总支出各是多少万元？
(1)设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，将下表补充完整；
(2)今年的总产值和总支出各是多少万元？
答案
16.(1)1.15x 0.9y 950
(2)今年的总产值为2 300万元，总支出为1 350万元.
(2)今年的总产值为2 300万元，总支出为1 350万元.
解析
【分析】
(1) 填表时，根据“今年总产值比去年增加15%”，可得今年总产值是去年总产值的(1+15%)倍，即1.15x；根据“总支出比去年节约10%”，可得今年总支出是去年总支出的(1-10%)倍，即0.9y；题干明确今年总产值比总支出多950万元，所以差为950。
(2) 首先根据去年总产值与总支出的差、今年总产值与总支出的差列出二元一次方程组，先解出去年的总产值x和总支出y，再分别计算1.15x和0.9y即可得到今年的总产值和总支出。
【解析】
(1) 今年总产值：$x×(1+15\%)=1.15x$；
今年总支出：$y×(1-10\%)=0.9y$；
今年总产值与总支出的差为950万元，所以三个空依次填1.15x、0.9y、950。
(2) 根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x-y=500\\1.15x-0.9y=950\end{cases}$
由第一个方程得：$x=y+500$，将其代入第二个方程：
$1.15(y+500)-0.9y=950$
展开计算：$1.15y+575-0.9y=950$
合并同类项：$0.25y=375$
解得：$y=1500$
把$y=1500$代入$x=y+500$，得$x=1500+500=2000$
则今年总产值：$1.15x=1.15×2000=2300$（万元）
今年总支出：$0.9y=0.9×1500=1350$（万元）
【答案】
(1) $\boldsymbol{1.15x}$ $\boldsymbol{0.9y}$ $\boldsymbol{950}$
(2) 今年的总产值为2300万元，总支出为1350万元。
【知识点】
二元一次方程组应用，百分数计算，列代数式
【点评】
本题是典型的增长率类应用题，解题核心是找准不同时间节点下总产值、总支出的等量关系，先求出去年的基础数值，再换算得到今年的结果，解题过程注意百分数与小数的换算，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
(1) 填表时，根据“今年总产值比去年增加15%”，可得今年总产值是去年总产值的(1+15%)倍，即1.15x；根据“总支出比去年节约10%”，可得今年总支出是去年总支出的(1-10%)倍，即0.9y；题干明确今年总产值比总支出多950万元，所以差为950。
(2) 首先根据去年总产值与总支出的差、今年总产值与总支出的差列出二元一次方程组，先解出去年的总产值x和总支出y，再分别计算1.15x和0.9y即可得到今年的总产值和总支出。
【解析】
(1) 今年总产值：$x×(1+15\%)=1.15x$；
今年总支出：$y×(1-10\%)=0.9y$；
今年总产值与总支出的差为950万元，所以三个空依次填1.15x、0.9y、950。
(2) 根据题意可列方程组：
$\begin{cases}x-y=500\\1.15x-0.9y=950\end{cases}$
由第一个方程得：$x=y+500$，将其代入第二个方程：
$1.15(y+500)-0.9y=950$
展开计算：$1.15y+575-0.9y=950$
合并同类项：$0.25y=375$
解得：$y=1500$
把$y=1500$代入$x=y+500$，得$x=1500+500=2000$
则今年总产值：$1.15x=1.15×2000=2300$（万元）
今年总支出：$0.9y=0.9×1500=1350$（万元）
【答案】
(1) $\boldsymbol{1.15x}$ $\boldsymbol{0.9y}$ $\boldsymbol{950}$
(2) 今年的总产值为2300万元，总支出为1350万元。
【知识点】
二元一次方程组应用，百分数计算，列代数式
【点评】
本题是典型的增长率类应用题，解题核心是找准不同时间节点下总产值、总支出的等量关系，先求出去年的基础数值，再换算得到今年的结果，解题过程注意百分数与小数的换算，避免计算失误。
【难度系数】
0.7
