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1.若方程$ax - 3y = 2x + 6$是二元一次方程，
则a必须满足 （
A.$a≠2$
B.$a≠-2$
C.$a=2$
D.$a≠0$
则a必须满足 （
A
）A.$a≠2$
B.$a≠-2$
C.$a=2$
D.$a≠0$
答案
1.A
解析
【分析】
解题首先要明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。我们可以先通过移项、合并同类项整理原方程，要保证方程是二元一次方程，就必须让两个未知数x、y都存在，也就是x的系数不能为0（否则x项消失，方程只剩y一个未知数，属于一元一次方程），据此列不等式求解a的取值范围即可。
【解析】
先整理原方程：
将方程$ax - 3y = 2x + 6$中含x的项移到左侧，得：
$ax - 2x - 3y = 6$
合并同类项，得：
$(a-2)x - 3y = 6$
根据二元一次方程的定义，方程需含有x、y两个未知数，因此x的系数不能为0，即：
$a - 2 ≠ 0$
解得$a ≠ 2$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义、合并同类项、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对二元一次方程定义的掌握，易错点是容易忽略整理后x项的系数不能为0的要求，掌握定义的本质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程。我们可以先通过移项、合并同类项整理原方程，要保证方程是二元一次方程，就必须让两个未知数x、y都存在，也就是x的系数不能为0（否则x项消失，方程只剩y一个未知数，属于一元一次方程），据此列不等式求解a的取值范围即可。
【解析】
先整理原方程：
将方程$ax - 3y = 2x + 6$中含x的项移到左侧，得：
$ax - 2x - 3y = 6$
合并同类项，得：
$(a-2)x - 3y = 6$
根据二元一次方程的定义，方程需含有x、y两个未知数，因此x的系数不能为0，即：
$a - 2 ≠ 0$
解得$a ≠ 2$，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程的定义、合并同类项、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念题，重点考查对二元一次方程定义的掌握，易错点是容易忽略整理后x项的系数不能为0的要求，掌握定义的本质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2. 解方程组$\begin{cases}3m - 4n = 7, ① \\ 9m - 10n + 25 = 0 ②\end{cases}$时，下列方法最简便的是（ ）
A.由①得$m=\frac{7+4n}{3}$，再代入②
B.由②得$m=\frac{-25+10n}{9}$，再代入①
C.由①得$3m=4n+7$，再代入②
D.由②得$9m=10n-25$，再代入①
A.由①得$m=\frac{7+4n}{3}$，再代入②
B.由②得$m=\frac{-25+10n}{9}$，再代入①
C.由①得$3m=4n+7$，再代入②
D.由②得$9m=10n-25$，再代入①
答案
2.C
解析
【分析】
这道题考查二元一次方程组代入消元法的最优选择，解题思路是观察两个方程中相同未知数的系数关系，优先选择不需要计算分数、能快速消元的方法。首先观察m的系数：方程①中m的系数是3，方程②中m的系数是9，二者是整数倍关系，若将3m看作整体代入，可避免出现分数运算，大幅简化计算步骤。接下来逐一对比选项：A、B选项用含n的式子表示m，会出现分母，计算繁琐；D选项代入9m到①时仍需调整系数，不如整体代入3m简便。
【解析】
我们先观察方程组中未知数m的系数：
方程①中m的系数为3，方程②中m的系数为9，9是3的3倍，因此可将$3m$看作整体进行代入消元：
由①变形得$3m = 4n +7$，将其代入②时，②中的$9m$可替换为$3×3m = 3(4n+7)$，代入后直接消去m，且计算过程无分数，步骤最简便。
对比各选项：
A、B选项变形后代入会出现分数，增加计算量；D选项将9m代入①时，需要将①两边同乘3调整系数，额外增加步骤，均不是最简便的方法。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组解法，代入消元法，整体代入思想
【点评】
本题考查代入消元法的灵活运用，解题时注意观察未知数系数的特征，若存在倍数关系，选择整体代入可有效简化计算，提升解题的速度和准确率。
【难度系数】
0.7
这道题考查二元一次方程组代入消元法的最优选择，解题思路是观察两个方程中相同未知数的系数关系，优先选择不需要计算分数、能快速消元的方法。首先观察m的系数：方程①中m的系数是3，方程②中m的系数是9，二者是整数倍关系，若将3m看作整体代入，可避免出现分数运算，大幅简化计算步骤。接下来逐一对比选项：A、B选项用含n的式子表示m，会出现分母，计算繁琐；D选项代入9m到①时仍需调整系数，不如整体代入3m简便。
【解析】
我们先观察方程组中未知数m的系数：
方程①中m的系数为3，方程②中m的系数为9，9是3的3倍，因此可将$3m$看作整体进行代入消元：
由①变形得$3m = 4n +7$，将其代入②时，②中的$9m$可替换为$3×3m = 3(4n+7)$，代入后直接消去m，且计算过程无分数，步骤最简便。
对比各选项：
A、B选项变形后代入会出现分数，增加计算量；D选项将9m代入①时，需要将①两边同乘3调整系数，额外增加步骤，均不是最简便的方法。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组解法，代入消元法，整体代入思想
【点评】
本题考查代入消元法的灵活运用，解题时注意观察未知数系数的特征，若存在倍数关系，选择整体代入可有效简化计算，提升解题的速度和准确率。
【难度系数】
0.7
3.已知$a+b=35$，$a-b=15$，则$2(a^2+b^2)$的值是（
A.1 450
B.625
C.90
D.35
A
）A.1 450
B.625
C.90
D.35
答案
3.A
解析
【分析】
本题已知a+b和a-b的数值，要求含a²、b²的代数式的值，可结合完全平方公式的变形求解。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a²+2ab+b²$，$(a-b)^2=a²-2ab+b²$，观察两个展开式，将两式相加后，含ab的项会相互抵消，刚好得到$2(a²+b²)=(a+b)²+(a-b)²$，与所求代数式完全一致，直接代入已知数值计算即可，无需单独求出a和b的值，能简化计算步骤。
【解析】
解：根据完全平方公式可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ①
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ ②
将①+②得：
$(a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2=2(a^2+b^2)$
已知$a+b=35$，$a-b=15$，代入上式计算：
$2(a^2+b^2)=35^2+15^2=1225+225=1450$
因此本题选A。
【答案】A
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 代数式求值
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的灵活应用，利用公式变形可省略求解a、b的步骤，减少计算量，是整式乘法中比较典型的基础应用题，熟练掌握完全平方公式的各类变形是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题已知a+b和a-b的数值，要求含a²、b²的代数式的值，可结合完全平方公式的变形求解。首先回忆完全平方公式：$(a+b)^2=a²+2ab+b²$，$(a-b)^2=a²-2ab+b²$，观察两个展开式，将两式相加后，含ab的项会相互抵消，刚好得到$2(a²+b²)=(a+b)²+(a-b)²$，与所求代数式完全一致，直接代入已知数值计算即可，无需单独求出a和b的值，能简化计算步骤。
【解析】
解：根据完全平方公式可得：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ①
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ ②
将①+②得：
$(a+b)^2+(a-b)^2=2a^2+2b^2=2(a^2+b^2)$
已知$a+b=35$，$a-b=15$，代入上式计算：
$2(a^2+b^2)=35^2+15^2=1225+225=1450$
因此本题选A。
【答案】A
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 代数式求值
【点评】
本题侧重考查完全平方公式的灵活应用，利用公式变形可省略求解a、b的步骤，减少计算量，是整式乘法中比较典型的基础应用题，熟练掌握完全平方公式的各类变形是解题的关键。
【难度系数】
0.7
4.若两个数中，较大数的3倍是较小数的8倍，较大数的一半与较小数的差是4，则较大数是（
A.12
B.24
C.32
D.44
C
）A.12
B.24
C.32
D.44
答案
4.C
解析
【分析】
这是典型的和差倍分类应用题，解题思路是先根据题目条件找到两个等量关系，再通过设未知数列二元一次方程组求解。首先设较大数为x，较小数为y，第一个等量关系是“较大数的3倍=较小数的8倍”，第二个等量关系是“较大数的一半减去较小数等于4”，将两个等量关系转化为方程后联立，用代入消元法即可求出较大数x的值。
【解析】
解：设较大数为$ x $，较小数为$ y $，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}3x = 8y \quad \mathrm{①} \\\frac{1}{2}x - y = 4 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由方程②变形可得：$ y = \frac{1}{2}x - 4 $ ③
将③代入①得：
$ 3x = 8×(\frac{1}{2}x - 4) $
化简计算：
$ 3x = 4x - 32 $
移项得：$ 4x - 3x = 32 $
解得：$ x = 32 $
即较大数为32。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组应用；代入消元法；列方程解应用题
【点评】
本题考查利用方程解决实际问题，解题核心是准确抓取题干中的数量关系，设出对应未知数列式求解，熟练掌握消元法解方程组的方法是得分关键。
【难度系数】
0.7
这是典型的和差倍分类应用题，解题思路是先根据题目条件找到两个等量关系，再通过设未知数列二元一次方程组求解。首先设较大数为x，较小数为y，第一个等量关系是“较大数的3倍=较小数的8倍”，第二个等量关系是“较大数的一半减去较小数等于4”，将两个等量关系转化为方程后联立，用代入消元法即可求出较大数x的值。
【解析】
解：设较大数为$ x $，较小数为$ y $，根据题意可列方程组：
$\begin{cases}3x = 8y \quad \mathrm{①} \\\frac{1}{2}x - y = 4 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
由方程②变形可得：$ y = \frac{1}{2}x - 4 $ ③
将③代入①得：
$ 3x = 8×(\frac{1}{2}x - 4) $
化简计算：
$ 3x = 4x - 32 $
移项得：$ 4x - 3x = 32 $
解得：$ x = 32 $
即较大数为32。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程组应用；代入消元法；列方程解应用题
【点评】
本题考查利用方程解决实际问题，解题核心是准确抓取题干中的数量关系，设出对应未知数列式求解，熟练掌握消元法解方程组的方法是得分关键。
【难度系数】
0.7
5.写出一个以$\begin{cases}x=3, \\ y=-2\end{cases}$为一组解的二元一次方程： ______ 。
答案
5.$3x+4y=1$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先回忆二元一次方程的特征：含有2个未知数，含未知数的项的次数均为1，是整式方程。已知$x=3$、$y=-2$是方程的解，说明将这组值代入方程后，等式左右两边相等。解题时我们可以先任意选取两个不为0的数分别作为$x$、$y$的系数，再代入$x=3$、$y=-2$计算出等号右侧的常数，即可得到符合要求的二元一次方程，构造方法不唯一。
【解析】
根据二元一次方程的定义，我们可以先设定$x$的系数为3，$y$的系数为4，将$\begin{cases}x=3, \\ y=-2\end{cases}$代入计算左边的值：$3×3 + 4×(-2)=9-8=1$，因此可得方程$3x+4y=1$。也可选取其他系数构造，如设$x$系数为1、$y$系数为1，代入得$1×3+1×(-2)=1$，可得方程$x+y=1$，只要满足代入$x=3$、$y=-2$后等式成立的二元一次方程均正确。
【答案】
$3x+4y=1$（答案不唯一）
【知识点】
二元一次方程的定义；二元一次方程的解
【点评】
本题为开放型基础题，核心考查对二元一次方程及其解的概念的理解，构造时注意不要出现含未知数的项次数不为1的情况，符合要求即可。
【难度系数】
0.8
首先回忆二元一次方程的特征：含有2个未知数，含未知数的项的次数均为1，是整式方程。已知$x=3$、$y=-2$是方程的解，说明将这组值代入方程后，等式左右两边相等。解题时我们可以先任意选取两个不为0的数分别作为$x$、$y$的系数，再代入$x=3$、$y=-2$计算出等号右侧的常数，即可得到符合要求的二元一次方程，构造方法不唯一。
【解析】
根据二元一次方程的定义，我们可以先设定$x$的系数为3，$y$的系数为4，将$\begin{cases}x=3, \\ y=-2\end{cases}$代入计算左边的值：$3×3 + 4×(-2)=9-8=1$，因此可得方程$3x+4y=1$。也可选取其他系数构造，如设$x$系数为1、$y$系数为1，代入得$1×3+1×(-2)=1$，可得方程$x+y=1$，只要满足代入$x=3$、$y=-2$后等式成立的二元一次方程均正确。
【答案】
$3x+4y=1$（答案不唯一）
【知识点】
二元一次方程的定义；二元一次方程的解
【点评】
本题为开放型基础题，核心考查对二元一次方程及其解的概念的理解，构造时注意不要出现含未知数的项次数不为1的情况，符合要求即可。
【难度系数】
0.8
6.已知二元一次方程组$\begin{cases}x+y=3, \\4x-y=2\end{cases}$的解也是方程$7mx -4y=-18x$的解，那么$m$的值为 ______ 。
答案
6.$-\frac{10}{7}$
解析
【分析】
解题思路分两步：首先题目说明二元一次方程组的解同时满足含参数m的方程，所以第一步要先求解给定的二元一次方程组，得到x、y的具体值；第二步将求出的x、y代入含m的方程，此时方程仅含未知数m，解这个一元一次方程就能得到m的值。
【解析】
第一步：解二元一次方程组$\begin{cases}x+y=3&① \\4x-y=2&②\end{cases}$
将①+②消去y，可得：
$x + y + 4x - y = 3 + 2$
合并同类项得$5x = 5$，解得$x=1$
把$x=1$代入①式，得$1 + y = 3$，解得$y=2$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}$
第二步：把$\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}$代入方程$7mx -4y=-18x$，得：
$7m×1 - 4×2 = -18×1$
化简得$7m - 8 = -18$
移项得$7m = -18 + 8$，即$7m = -10$
系数化为1，得$m = -\frac{10}{7}$
【答案】
$-\frac{10}{7}$
【知识点】
二元一次方程组解法，方程的解的定义，一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础常考题型，核心考查消元法解二元一次方程组以及方程解的应用，解题关键是先求出方程组的公共解，再代入含参数的方程求解，计算时注意符号问题即可。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步：首先题目说明二元一次方程组的解同时满足含参数m的方程，所以第一步要先求解给定的二元一次方程组，得到x、y的具体值；第二步将求出的x、y代入含m的方程，此时方程仅含未知数m，解这个一元一次方程就能得到m的值。
【解析】
第一步：解二元一次方程组$\begin{cases}x+y=3&① \\4x-y=2&②\end{cases}$
将①+②消去y，可得：
$x + y + 4x - y = 3 + 2$
合并同类项得$5x = 5$，解得$x=1$
把$x=1$代入①式，得$1 + y = 3$，解得$y=2$
因此方程组的解为$\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}$
第二步：把$\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}$代入方程$7mx -4y=-18x$，得：
$7m×1 - 4×2 = -18×1$
化简得$7m - 8 = -18$
移项得$7m = -18 + 8$，即$7m = -10$
系数化为1，得$m = -\frac{10}{7}$
【答案】
$-\frac{10}{7}$
【知识点】
二元一次方程组解法，方程的解的定义，一元一次方程解法
【点评】
本题属于基础常考题型，核心考查消元法解二元一次方程组以及方程解的应用，解题关键是先求出方程组的公共解，再代入含参数的方程求解，计算时注意符号问题即可。
【难度系数】
0.7
7.一名学生问老师：“老师，您今年多少岁？”
老师风趣地说：“我像你这样大时，你才出
生；你到我这么大时，我已经36岁了。”请
你算一算，老师今年
老师风趣地说：“我像你这样大时，你才出
生；你到我这么大时，我已经36岁了。”请
你算一算，老师今年
24
岁。答案
7.24
解析
【分析】
本题属于年龄类应用题，解题核心是抓住“两人的年龄差始终不变”这一隐藏规律。首先我们可以设老师和学生今年的年龄分别为未知数，再根据题干给出的两个年龄关系，结合年龄差不变列等量关系，组成方程组求解即可。
【解析】
设老师今年$x$岁，学生今年$y$岁，两人的年龄差固定为$(x-y)$岁。
1. 根据“我像你这样大时，你才出生”：老师年龄为$y$岁时，学生年龄为0岁，此时年龄差为$y-0=y$，可得方程：
$x - y = y$，化简得$x = 2y$ ①
2. 根据“你到我这么大时，我已经36岁了”：学生年龄为$x$岁时，距离现在过去了$(x-y)$年，此时老师的年龄为$x+(x-y)=36$，化简得：
$2x - y = 36$ ②
将①代入②得：$2×2y - y = 36$，即$3y=36$，解得$y=12$。
把$y=12$代入①得：$x=2×12=24$。
【答案】
24
【知识点】
年龄差不变；二元一次方程组的应用
【点评】
本题是典型的年龄关系应用题，解题的突破口是挖掘出年龄差不变的隐含条件，再结合不同时间节点的年龄关系列方程求解，审题时要理清各个时间点两人年龄的对应关系。
【难度系数】
0.7
本题属于年龄类应用题，解题核心是抓住“两人的年龄差始终不变”这一隐藏规律。首先我们可以设老师和学生今年的年龄分别为未知数，再根据题干给出的两个年龄关系，结合年龄差不变列等量关系，组成方程组求解即可。
【解析】
设老师今年$x$岁，学生今年$y$岁，两人的年龄差固定为$(x-y)$岁。
1. 根据“我像你这样大时，你才出生”：老师年龄为$y$岁时，学生年龄为0岁，此时年龄差为$y-0=y$，可得方程：
$x - y = y$，化简得$x = 2y$ ①
2. 根据“你到我这么大时，我已经36岁了”：学生年龄为$x$岁时，距离现在过去了$(x-y)$年，此时老师的年龄为$x+(x-y)=36$，化简得：
$2x - y = 36$ ②
将①代入②得：$2×2y - y = 36$，即$3y=36$，解得$y=12$。
把$y=12$代入①得：$x=2×12=24$。
【答案】
24
【知识点】
年龄差不变；二元一次方程组的应用
【点评】
本题是典型的年龄关系应用题，解题的突破口是挖掘出年龄差不变的隐含条件，再结合不同时间节点的年龄关系列方程求解，审题时要理清各个时间点两人年龄的对应关系。
【难度系数】
0.7
8.解下列方程组：
(1)
(2)$\begin{cases}\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{3}=6,① \\ 4(x+y)-5(x-y)=2.②\end{cases}$
(1)
(2)$\begin{cases}\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{3}=6,① \\ 4(x+y)-5(x-y)=2.②\end{cases}$
答案
8.(1)$\begin{cases}x=3,\\y=\frac{11}{4}\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=7,\\y=1\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=7,\\y=1\end{cases}$
解析
【分析】
(1)该方程组中第二个方程含有分母，首先对其去分母、化简为整式方程，观察到化简后的方程与第一个方程中y的系数互为相反数，可采用加减消元法，先消去y求出x的值，再代入第一个方程求解y即可。
(2)该方程组中两个方程均含有(x+y)和(x-y)整体，可采用换元法简化计算：设a=x+y，b=x-y，将原方程组转化为关于a、b的二元一次方程组，求解a、b后再还原为x、y的方程组求解即可，也可直接去分母化简后用消元法计算。
【解析】
(1) 化简方程②：
给方程②左右两边同时乘12消去分母，得$3(x-3)-4(y-3)=1$，
去括号得$3x-9-4y+12=1$，
移项合并同类项得$3x-4y=-2$ ③，
①+③得：$x+4y+3x-4y=14-2$，即$4x=12$，解得$x=3$，
将$x=3$代入①得：$3+4y=14$，解得$y=\frac{11}{4}$。
(2) 设$a=x+y$，$b=x-y$，原方程组转化为：
$\begin{cases}\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=6 \\4a-5b=2 \end{cases}$，
给第一个方程两边乘6得$3a+2b=36$ ③，
③×5 + ④×2得：$15a+10b+8a-10b=180+4$，即$23a=184$，解得$a=8$，
将$a=8$代入③得：$24+2b=36$，解得$b=6$，
可得新方程组$\begin{cases}x+y=8 \\x-y=6 \end{cases}$，
两式相加得$2x=14$，解得$x=7$，代入$x+y=8$得$y=1$。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=3,\\y=\frac{11}{4}\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=7,\\y=1\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，去分母法则，换元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的求解，需根据方程组的特征灵活选择解法，消元法是解二元一次方程组的核心方法，换元法可简化含整体结构的方程组的计算步骤，解题时注意去分母、去括号的运算规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
(1)该方程组中第二个方程含有分母，首先对其去分母、化简为整式方程，观察到化简后的方程与第一个方程中y的系数互为相反数，可采用加减消元法，先消去y求出x的值，再代入第一个方程求解y即可。
(2)该方程组中两个方程均含有(x+y)和(x-y)整体，可采用换元法简化计算：设a=x+y，b=x-y，将原方程组转化为关于a、b的二元一次方程组，求解a、b后再还原为x、y的方程组求解即可，也可直接去分母化简后用消元法计算。
【解析】
(1) 化简方程②：
给方程②左右两边同时乘12消去分母，得$3(x-3)-4(y-3)=1$，
去括号得$3x-9-4y+12=1$，
移项合并同类项得$3x-4y=-2$ ③，
①+③得：$x+4y+3x-4y=14-2$，即$4x=12$，解得$x=3$，
将$x=3$代入①得：$3+4y=14$，解得$y=\frac{11}{4}$。
(2) 设$a=x+y$，$b=x-y$，原方程组转化为：
$\begin{cases}\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=6 \\4a-5b=2 \end{cases}$，
给第一个方程两边乘6得$3a+2b=36$ ③，
③×5 + ④×2得：$15a+10b+8a-10b=180+4$，即$23a=184$，解得$a=8$，
将$a=8$代入③得：$24+2b=36$，解得$b=6$，
可得新方程组$\begin{cases}x+y=8 \\x-y=6 \end{cases}$，
两式相加得$2x=14$，解得$x=7$，代入$x+y=8$得$y=1$。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=3,\\y=\frac{11}{4}\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=7,\\y=1\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，去分母法则，换元法
【点评】
本题考查二元一次方程组的求解，需根据方程组的特征灵活选择解法，消元法是解二元一次方程组的核心方法，换元法可简化含整体结构的方程组的计算步骤，解题时注意去分母、去括号的运算规则，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
9.如图所示，一列快车长70 m，一列慢车长80 m.若两车同向而行，则快车从追上慢车车尾到完全超过慢车所用的时间为20 s；若两车相向而行，则两车从相遇到完全离开所用的时间为4 s.求两车的速度.
答案
9. 快车的速度为22.5 m/s，慢车的速度为15 m/s.
解析
【分析】
这是行程类的实际应用问题，需分两种情况梳理等量关系：
1. 同向追及场景：快车从追上慢车车尾到完全超过慢车，快车比慢车多行驶的路程等于两车车身长度之和（70+80=150m），结合“路程差=速度差×追及时间”可列第一个方程；
2. 相向相遇场景：两车从相遇到完全离开，两车行驶的总路程等于两车车身长度之和150m，结合“路程和=速度和×相遇时间”可列第二个方程。
设两车速度为未知数，联立方程求解即可。
【解析】
解：设快车的速度为$x\ \mathrm{m/s}$，慢车的速度为$y\ \mathrm{m/s}$。
两车车身总长度为：$70+80=150\ \mathrm{m}$
根据题意列方程组：
$\begin{cases}20(x-y)=150 \\4(x+y)=150\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}x-y=7.5 \quad \mathrm{①} \\x+y=37.5 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
①+②得：$2x=45$，解得$x=22.5$
把$x=22.5$代入①得：$22.5 - y=7.5$，解得$y=15$
【答案】
快车的速度为22.5 m/s，慢车的速度为15 m/s。
【知识点】
二元一次方程组的应用；追及问题；相遇问题
【点评】
本题是行程问题的常规考法，解题核心是准确分析两种行驶状态下的总路程，结合追及、相遇的基本公式建立方程，只要理清路程关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这是行程类的实际应用问题，需分两种情况梳理等量关系：
1. 同向追及场景：快车从追上慢车车尾到完全超过慢车，快车比慢车多行驶的路程等于两车车身长度之和（70+80=150m），结合“路程差=速度差×追及时间”可列第一个方程；
2. 相向相遇场景：两车从相遇到完全离开，两车行驶的总路程等于两车车身长度之和150m，结合“路程和=速度和×相遇时间”可列第二个方程。
设两车速度为未知数，联立方程求解即可。
【解析】
解：设快车的速度为$x\ \mathrm{m/s}$，慢车的速度为$y\ \mathrm{m/s}$。
两车车身总长度为：$70+80=150\ \mathrm{m}$
根据题意列方程组：
$\begin{cases}20(x-y)=150 \\4(x+y)=150\end{cases}$
化简方程组得：
$\begin{cases}x-y=7.5 \quad \mathrm{①} \\x+y=37.5 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
①+②得：$2x=45$，解得$x=22.5$
把$x=22.5$代入①得：$22.5 - y=7.5$，解得$y=15$
【答案】
快车的速度为22.5 m/s，慢车的速度为15 m/s。
【知识点】
二元一次方程组的应用；追及问题；相遇问题
【点评】
本题是行程问题的常规考法，解题核心是准确分析两种行驶状态下的总路程，结合追及、相遇的基本公式建立方程，只要理清路程关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
