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1. [2025承德期中]一个三角形残片如图所示,请你利用直尺和圆规作一个和原三角形全等的三角形,并说明作图依据.(保留作图痕迹,不写作法)
答案
解:如图,△CDE 即为所求.
作图依据:由作图,得∠A = ∠C,AB = CD,∠B = ∠EDC,
∴ △CDE 与原三角形全等,判定依据是“ASA”.
解析
【分析】
首先观察三角形残片的特征：残片保留了原三角形完整的一条边AB，以及边AB两端的∠A、∠B两个内角。要作与原三角形全等的三角形，可选择“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）”的判定方法作图：第一步先作出与AB相等的边作为新三角形的夹边，第二步在该边的同侧分别作出与∠A、∠B相等的两个角，两角的另一边的交点即为新三角形的第三个顶点，即可得到全等的三角形。
【解析】
观察残片可得原三角形的已知条件：边AB的长度，∠A、∠B的大小。
作图步骤逻辑：
1. 用直尺绘制线段CD，使CD的长度与AB相等；
2. 分别以C、D为顶点，在CD的同侧作∠DCE=∠A、∠CDE=∠B，两个角的边CE、DE的交点即为点E，得到△CDE。
作图依据：作图后可得∠A=∠C，AB=CD，∠B=∠EDC，根据“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）”，可判定△CDE与原三角形全等。
【答案】
如图，△CDE 即为所求.
作图依据:由作图,得∠A = ∠C,AB = CD,∠B = ∠EDC,
∴ △CDE 与原三角形全等,判定依据是“ASA”.
【知识点】
尺规作图；全等三角形ASA判定
【点评】
本题考查全等三角形判定和尺规作图的综合应用，需要结合现有已知条件选择合适的全等判定方法完成作图，属于几何基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
首先观察三角形残片的特征：残片保留了原三角形完整的一条边AB，以及边AB两端的∠A、∠B两个内角。要作与原三角形全等的三角形，可选择“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）”的判定方法作图：第一步先作出与AB相等的边作为新三角形的夹边，第二步在该边的同侧分别作出与∠A、∠B相等的两个角，两角的另一边的交点即为新三角形的第三个顶点，即可得到全等的三角形。
【解析】
观察残片可得原三角形的已知条件：边AB的长度，∠A、∠B的大小。
作图步骤逻辑：
1. 用直尺绘制线段CD，使CD的长度与AB相等；
2. 分别以C、D为顶点，在CD的同侧作∠DCE=∠A、∠CDE=∠B，两个角的边CE、DE的交点即为点E，得到△CDE。
作图依据：作图后可得∠A=∠C，AB=CD，∠B=∠EDC，根据“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）”，可判定△CDE与原三角形全等。
【答案】
如图，△CDE 即为所求.
作图依据:由作图,得∠A = ∠C,AB = CD,∠B = ∠EDC,
∴ △CDE 与原三角形全等,判定依据是“ASA”.
【知识点】
尺规作图；全等三角形ASA判定
【点评】
本题考查全等三角形判定和尺规作图的综合应用，需要结合现有已知条件选择合适的全等判定方法完成作图，属于几何基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
2. [2026淮安盱眙期中] 如图，$△ ABC$的顶点$A,B,C$都在小正方形的格点上，这样的三角形叫作格点三角形. 试在方格纸上，按下列要求画出所有满足条件的格点三角形：
(1)在图1中，所画的三角形与$△ ABC$全等且有一条公共边$AB$；
(2)在图2中，所画的三角形与$△ ABC$全等且有一个公共角$∠ ACB$.
(1)在图1中，所画的三角形与$△ ABC$全等且有一条公共边$AB$；
(2)在图2中，所画的三角形与$△ ABC$全等且有一个公共角$∠ ACB$.
答案
(1)如图1,△ABE,△ABF,△ABG即为所求.
(2)如图2,△CEF即为所求.
解析
【分析】
(1) 要画与△ABC全等且有公共边AB的格点三角形，首先明确公共边AB固定，根据全等三角形三边对应相等的判定依据，只需找到除点C外，到点A的距离等于AC、到点B的距离等于BC（或到A的距离等于BC、到B的距离等于AC）的格点，将该点与A、B连接即可得到符合要求的三角形。
(2) 要画与△ABC全等且有公共角∠ACB的格点三角形，首先公共角为∠ACB，根据全等三角形两边及夹角对应相等的判定依据，只需在∠ACB的两条边上选取格点，使两条边的长度分别对应等于AC、BC，连接两个端点得到的三角形即可满足全等要求。
【解析】
(1) 设每个小正方形的边长为1，计算可得△ABC的边长：AB=3，AC=√(1²+2²)=√5，BC=√(2²+4²)=2√5。以AB为公共边，在网格中寻找格点，满足该点到A、B的距离分别为√5和2√5，共找到3个符合条件的格点E、F、G，分别连接A、B与这三个点，得到△ABE、△ABF、△ABG，根据SSS判定定理，这三个三角形均与△ABC全等，符合要求。
(2) 以∠ACB为公共角，在∠ACB的边CA上截取CF=CB，在边CB上截取CE=CA，连接EF，此时在△CEF和△CBA中，CE=CA，∠ECF=∠ACB，CF=CB，根据SAS判定定理，△CEF≌△CBA，且E、F均为格点，符合要求。
【答案】
(1)如图1,△ABE,△ABF,△ABG即为所求.
(2)如图2,△CEF即为所求.
【知识点】
全等三角形判定；格点图形作图；全等三角形性质
【点评】
本题结合格点背景考查全等三角形的作图，核心是灵活运用全等三角形的判定定理，结合格点的边长特征确定对应顶点的位置，解题时注意不要遗漏符合条件的图形，有助于提升作图能力和对全等判定的应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要画与△ABC全等且有公共边AB的格点三角形，首先明确公共边AB固定，根据全等三角形三边对应相等的判定依据，只需找到除点C外，到点A的距离等于AC、到点B的距离等于BC（或到A的距离等于BC、到B的距离等于AC）的格点，将该点与A、B连接即可得到符合要求的三角形。
(2) 要画与△ABC全等且有公共角∠ACB的格点三角形，首先公共角为∠ACB，根据全等三角形两边及夹角对应相等的判定依据，只需在∠ACB的两条边上选取格点，使两条边的长度分别对应等于AC、BC，连接两个端点得到的三角形即可满足全等要求。
【解析】
(1) 设每个小正方形的边长为1，计算可得△ABC的边长：AB=3，AC=√(1²+2²)=√5，BC=√(2²+4²)=2√5。以AB为公共边，在网格中寻找格点，满足该点到A、B的距离分别为√5和2√5，共找到3个符合条件的格点E、F、G，分别连接A、B与这三个点，得到△ABE、△ABF、△ABG，根据SSS判定定理，这三个三角形均与△ABC全等，符合要求。
(2) 以∠ACB为公共角，在∠ACB的边CA上截取CF=CB，在边CB上截取CE=CA，连接EF，此时在△CEF和△CBA中，CE=CA，∠ECF=∠ACB，CF=CB，根据SAS判定定理，△CEF≌△CBA，且E、F均为格点，符合要求。
【答案】
(1)如图1,△ABE,△ABF,△ABG即为所求.
(2)如图2,△CEF即为所求.
【知识点】
全等三角形判定；格点图形作图；全等三角形性质
【点评】
本题结合格点背景考查全等三角形的作图，核心是灵活运用全等三角形的判定定理，结合格点的边长特征确定对应顶点的位置，解题时注意不要遗漏符合条件的图形，有助于提升作图能力和对全等判定的应用能力。
【难度系数】
0.7
3. [2026泰州姜堰区期中节选]如图,已知线段a,b,c,根据要求用直尺和圆规作图.不写作法,保留作图痕迹.
(1)作△ABC,使得高AD = a,角平分线AE = b,AB = c;
(2)作△ABC,使得高AD = a,中线AO = b,AB = c;
(3)作△ABC,使得中线AO = a,AC = b,AB = c;
(4)作△ABC,使得高AD = a,AC = b,AB = c;
(5)作△ABC,使得BC = a,AC = b,AB = c.
拍批+错题本
(1)作△ABC,使得高AD = a,角平分线AE = b,AB = c;
(2)作△ABC,使得高AD = a,中线AO = b,AB = c;
(3)作△ABC,使得中线AO = a,AC = b,AB = c;
(4)作△ABC,使得高AD = a,AC = b,AB = c;
(5)作△ABC,使得BC = a,AC = b,AB = c.
拍批+错题本
答案
(1)如图1,△ABC即为所求.
(2)如图2,△ABC即为所求.
(3)如图3,△ABC即为所求.
(4)如图4,△ABC即为所求.
(5)如图5,△ABC即为所求.
解析
【分析】
本题为三角形相关尺规作图题，核心是按照“先确定已知线段位置，再推导其余顶点”的思路作图：
1. 涉及高的题目，先作高所在的垂线，确定高的端点（三角形的一个顶点）和对边所在直线；
2. 涉及中线、角平分线的题目，结合对应线段的定义，用画弧的方式确定其余点的位置；
3. 已知三边作三角形直接利用SSS作图的方法即可。
【解析】
(1) ①作直线PQ，过PQ上一点D作PQ的垂线，在垂线上截取AD=a，确定顶点A；②以A为圆心、长度b为半径画弧，交PQ于角平分线端点E；③以A为圆心、长度c为半径画弧，交PQ于点B；④作∠CAE=∠BAE，角的另一边与PQ交于点C，连接AB、AC即可。
(2) ①同(1)先作高AD=a确定顶点A和PQ直线；②以A为圆心、长度b为半径画弧，交PQ于中线端点O；③以A为圆心、长度c为半径画弧交PQ于B，在PQ上O点另一侧截取OC=OB，连接AC即可。
(3) ①先作线段AB=c确定A、B两点；②以A为圆心、长度b为半径画弧，再以A为圆心、长度a为半径画弧确定中线端点O；③延长BO到C，使OC=OB，确保点C落在以A为圆心b为半径的弧上，连接AC、BC即可。
(4) ①作直线PQ，过PQ上D作垂线截取AD=a确定A点；②分别以A为圆心，长度c、b为半径画弧，与PQ分别交于B、C两点，连接AB、AC即可。
(5) ①作线段BC=a；②分别以B为圆心长度c为半径、C为圆心长度b为半径画弧，两弧交点即为顶点A；③连接AB、AC即可。
【答案】
(1)如图1,△ABC即为所求.
(2)如图2,△ABC即为所求.
(3)如图3,△ABC即为所求.
(4)如图4,△ABC即为所求.
(5)如图5,△ABC即为所求.
【知识点】
尺规作图；三角形的重要线段；SSS作三角形
【点评】
本题重点考查对三角形高、中线、角平分线定义的理解和基本尺规作图方法的运用，作图时需注意保留作图痕迹，理清已知条件的作图先后顺序即可顺利完成。
【难度系数】
0.7
本题为三角形相关尺规作图题，核心是按照“先确定已知线段位置，再推导其余顶点”的思路作图：
1. 涉及高的题目，先作高所在的垂线，确定高的端点（三角形的一个顶点）和对边所在直线；
2. 涉及中线、角平分线的题目，结合对应线段的定义，用画弧的方式确定其余点的位置；
3. 已知三边作三角形直接利用SSS作图的方法即可。
【解析】
(1) ①作直线PQ，过PQ上一点D作PQ的垂线，在垂线上截取AD=a，确定顶点A；②以A为圆心、长度b为半径画弧，交PQ于角平分线端点E；③以A为圆心、长度c为半径画弧，交PQ于点B；④作∠CAE=∠BAE，角的另一边与PQ交于点C，连接AB、AC即可。
(2) ①同(1)先作高AD=a确定顶点A和PQ直线；②以A为圆心、长度b为半径画弧，交PQ于中线端点O；③以A为圆心、长度c为半径画弧交PQ于B，在PQ上O点另一侧截取OC=OB，连接AC即可。
(3) ①先作线段AB=c确定A、B两点；②以A为圆心、长度b为半径画弧，再以A为圆心、长度a为半径画弧确定中线端点O；③延长BO到C，使OC=OB，确保点C落在以A为圆心b为半径的弧上，连接AC、BC即可。
(4) ①作直线PQ，过PQ上D作垂线截取AD=a确定A点；②分别以A为圆心，长度c、b为半径画弧，与PQ分别交于B、C两点，连接AB、AC即可。
(5) ①作线段BC=a；②分别以B为圆心长度c为半径、C为圆心长度b为半径画弧，两弧交点即为顶点A；③连接AB、AC即可。
【答案】
(1)如图1,△ABC即为所求.
(2)如图2,△ABC即为所求.
(3)如图3,△ABC即为所求.
(4)如图4,△ABC即为所求.
(5)如图5,△ABC即为所求.
【知识点】
尺规作图；三角形的重要线段；SSS作三角形
【点评】
本题重点考查对三角形高、中线、角平分线定义的理解和基本尺规作图方法的运用，作图时需注意保留作图痕迹，理清已知条件的作图先后顺序即可顺利完成。
【难度系数】
0.7
4. [2025青岛中考]已知:如图,D是∠AOB内部一点.求作:等腰三角形COE,使点C,E分别在射线OA,OB上,且底边CE经过点D.
答案
解:如图,等腰三角形COE即为所求.
解析
【分析】
要构造满足要求的等腰△COE，底边为CE，说明顶角为∠AOB，即OC=OE。根据等腰三角形“三线合一”的性质，∠AOB的角平分线就是底边CE的高所在直线，因此底边CE与∠AOB的角平分线互相垂直。由此可得解题思路：先作∠AOB的角平分线，再过点D作该角平分线的垂线，垂线与OA、OB的交点即为C、E，所得△COE即为所求。
【解析】
作图步骤如下：
1. 利用尺规作∠AOB的角平分线OP；
2. 过点D作OP的垂线，分别交射线OA于点C，交射线OB于点E；
3. 得到的△COE即为所求等腰三角形。
证明：
∵OP平分∠AOB，CE⊥OP
∴∠OCE=∠OEC，可得OC=OE
且CE过点D，点C、E分别在OA、OB上，完全符合题设要求。
【答案】
如图,等腰三角形COE即为所求.
【知识点】
角平分线作法，垂线作法，等腰三角形判定
【点评】
本题考查尺规作图的综合应用，解题核心是利用等腰三角形的三线合一性质确定底边与角平分线的位置关系，再结合基本尺规作图操作即可完成作图，要求学生熟练掌握基本作图的方法和常见几何图形的性质。
【难度系数】
0.6
要构造满足要求的等腰△COE，底边为CE，说明顶角为∠AOB，即OC=OE。根据等腰三角形“三线合一”的性质，∠AOB的角平分线就是底边CE的高所在直线，因此底边CE与∠AOB的角平分线互相垂直。由此可得解题思路：先作∠AOB的角平分线，再过点D作该角平分线的垂线，垂线与OA、OB的交点即为C、E，所得△COE即为所求。
【解析】
作图步骤如下：
1. 利用尺规作∠AOB的角平分线OP；
2. 过点D作OP的垂线，分别交射线OA于点C，交射线OB于点E；
3. 得到的△COE即为所求等腰三角形。
证明：
∵OP平分∠AOB，CE⊥OP
∴∠OCE=∠OEC，可得OC=OE
且CE过点D，点C、E分别在OA、OB上，完全符合题设要求。
【答案】
如图,等腰三角形COE即为所求.
【知识点】
角平分线作法，垂线作法，等腰三角形判定
【点评】
本题考查尺规作图的综合应用，解题核心是利用等腰三角形的三线合一性质确定底边与角平分线的位置关系，再结合基本尺规作图操作即可完成作图，要求学生熟练掌握基本作图的方法和常见几何图形的性质。
【难度系数】
0.6
5. [2026南京秦淮区期中]如图，已知线段$m$，$n$.用直尺和圆规作一个$\mathrm{Rt}△ ABC$，满足$∠ C = 90°$，$AB - BC = m$，$AC = n$.（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
答案
解:如图,作直线MN,在直线MN上取点C,截取CD = m;
作AC⊥CD,截取AC = n;作线段AD的垂直平分线交直线MN于点B,则Rt△ABC即为所求.
解析
【分析】
要作满足条件的$\mathrm{Rt}△ ABC$，首先明确三个要求：①$∠ C=90°$，②$AC=n$，③$AB-BC=m$。我们可以先确定直角顶点$C$，构造出直角和长度为$n$的直角边$AC$；接下来处理$AB-BC=m$的条件，可将该式变形为$AB=BC+m$，若在$BC$所在直线上截取$CD=m$，那么只需满足$AB=BD$即可，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，只要作出$AD$的垂直平分线，与$BC$所在直线的交点就是点$B$，即可得到符合要求的三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作直线$MN$，在直线$MN$上任取一点$C$，用圆规量取线段$m$的长度，在$MN$上截取$CD=m$；
2. 过点$C$作$AC⊥ MN$，用圆规量取线段$n$的长度，在垂线上截取$AC=n$；
3. 连接$AD$，用尺规作出线段$AD$的垂直平分线，该垂直平分线交直线$MN$于点$B$；
4. 连接$AB$，所得$△ ABC$即为所求。
验证：
∵点$B$在$AD$的垂直平分线上，
∴$AB=BD$，又
∵$BD=BC+CD=BC+m$，
∴$AB=BC+m$，即$AB-BC=m$，且$∠ C=90°$，$AC=n$，满足所有条件。
【答案】
解:如图,作直线MN,在直线MN上取点C,截取CD = m;
作AC⊥CD,截取AC = n;作线段AD的垂直平分线交直线MN于点B,则Rt△ABC即为所求.
【知识点】
尺规作图，线段垂直平分线的性质，垂线的作法
【点评】
本题是三角形尺规作图的综合题，解题的核心是将两条线段的差的条件转化为两条线段相等的关系，再结合垂直平分线的性质确定未知点的位置，能有效考查对基本作图技能的掌握和逻辑转化能力。
【难度系数】
0.6
要作满足条件的$\mathrm{Rt}△ ABC$，首先明确三个要求：①$∠ C=90°$，②$AC=n$，③$AB-BC=m$。我们可以先确定直角顶点$C$，构造出直角和长度为$n$的直角边$AC$；接下来处理$AB-BC=m$的条件，可将该式变形为$AB=BC+m$，若在$BC$所在直线上截取$CD=m$，那么只需满足$AB=BD$即可，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，只要作出$AD$的垂直平分线，与$BC$所在直线的交点就是点$B$，即可得到符合要求的三角形。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作直线$MN$，在直线$MN$上任取一点$C$，用圆规量取线段$m$的长度，在$MN$上截取$CD=m$；
2. 过点$C$作$AC⊥ MN$，用圆规量取线段$n$的长度，在垂线上截取$AC=n$；
3. 连接$AD$，用尺规作出线段$AD$的垂直平分线，该垂直平分线交直线$MN$于点$B$；
4. 连接$AB$，所得$△ ABC$即为所求。
验证：
∵点$B$在$AD$的垂直平分线上，
∴$AB=BD$，又
∵$BD=BC+CD=BC+m$，
∴$AB=BC+m$，即$AB-BC=m$，且$∠ C=90°$，$AC=n$，满足所有条件。
【答案】
解:如图,作直线MN,在直线MN上取点C,截取CD = m;
作AC⊥CD,截取AC = n;作线段AD的垂直平分线交直线MN于点B,则Rt△ABC即为所求.
【知识点】
尺规作图，线段垂直平分线的性质，垂线的作法
【点评】
本题是三角形尺规作图的综合题，解题的核心是将两条线段的差的条件转化为两条线段相等的关系，再结合垂直平分线的性质确定未知点的位置，能有效考查对基本作图技能的掌握和逻辑转化能力。
【难度系数】
0.6
6.如图,已知$∠ AOB=60°$,$P$是$∠ AOB$内部一点,请在$OA$,$OB$上各找一个点$Q$和$R$,使得$△ PQR$是等边三角形.(尺规作图,保留作图痕迹,如有必要可文字说明)
答案
解:如图,△PQR即为所求.(作∠AOB的平分线OG;过点P作OG的垂线,分别交OA,OB于点C,D,易证△OCD是等边三角形;分别在OC,DO上截取OQ = DR = CP,连接点P,Q,R,则易证△PQR是等边三角形)
解析
【分析】
要在OA、OB上取点Q、R得到等边△PQR，我们可以借助已知的60°∠AOB先构造一个等边三角形，利用等边三角形的等角、等边条件构造全等三角形，进而得到满足条件的等边三角形。具体思考路径：①先作∠AOB的角平分线，将60°角分为两个30°角；②过点P作角平分线的垂线，与OA、OB相交得到等边△OCD，获得60°的角和相等的边；③在OA、OB上截取相等长度的线段，构造全等三角形证明得到的△PQR满足等边三角形的条件。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作∠AOB的平分线OG；
2. 过点P作OG的垂线，分别交OA于点C、交OB于点D：
已知∠AOB=60°，OG平分∠AOB，故∠AOG=∠BOG=30°，又CD⊥OG，因此∠OCD=∠ODC=90°-30°=60°，可得△OCD是等边三角形，即OC=CD=OD，∠OCD=∠ODC=60°；
3. 在OC上截取OQ=CP，在DO上截取DR=CP；
4. 连接PQ、PR、QR。
证明：
∵OC=CD，OQ=CP，
∴QC=OC-OQ=CD-CP=PD，
又
∵∠QCP=∠PDR=60°，CP=DR，
∴△QCP≌△PDR（SAS），
∴PQ=PR，∠QPC=∠PRD，
在△PDR中，∠PRD+∠DPR=180°-60°=120°，
∴∠QPC+∠DPR=120°，
∴∠QPR=180°-120°=60°，
又
∵PQ=PR，
∴△PQR是等边三角形。
【答案】
如图，△PQR即为所求。
【知识点】
尺规基本作图、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形尺规作图的综合题型，将基本作图（作角平分线、作垂线）和特殊三角形、全等三角形的性质相结合，既考查动手操作能力，也考查逻辑推理能力，需要学生灵活运用已有知识构造符合要求的图形。
【难度系数】
0.3
要在OA、OB上取点Q、R得到等边△PQR，我们可以借助已知的60°∠AOB先构造一个等边三角形，利用等边三角形的等角、等边条件构造全等三角形，进而得到满足条件的等边三角形。具体思考路径：①先作∠AOB的角平分线，将60°角分为两个30°角；②过点P作角平分线的垂线，与OA、OB相交得到等边△OCD，获得60°的角和相等的边；③在OA、OB上截取相等长度的线段，构造全等三角形证明得到的△PQR满足等边三角形的条件。
【解析】
作图步骤如下：
1. 作∠AOB的平分线OG；
2. 过点P作OG的垂线，分别交OA于点C、交OB于点D：
已知∠AOB=60°，OG平分∠AOB，故∠AOG=∠BOG=30°，又CD⊥OG，因此∠OCD=∠ODC=90°-30°=60°，可得△OCD是等边三角形，即OC=CD=OD，∠OCD=∠ODC=60°；
3. 在OC上截取OQ=CP，在DO上截取DR=CP；
4. 连接PQ、PR、QR。
证明：
∵OC=CD，OQ=CP，
∴QC=OC-OQ=CD-CP=PD，
又
∵∠QCP=∠PDR=60°，CP=DR，
∴△QCP≌△PDR（SAS），
∴PQ=PR，∠QPC=∠PRD，
在△PDR中，∠PRD+∠DPR=180°-60°=120°，
∴∠QPC+∠DPR=120°，
∴∠QPR=180°-120°=60°，
又
∵PQ=PR，
∴△PQR是等边三角形。
【答案】
如图，△PQR即为所求。
【知识点】
尺规基本作图、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是三角形尺规作图的综合题型，将基本作图（作角平分线、作垂线）和特殊三角形、全等三角形的性质相结合，既考查动手操作能力，也考查逻辑推理能力，需要学生灵活运用已有知识构造符合要求的图形。
【难度系数】
0.3
