1. 如图1,在△ABC中,AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接CD.

(1)若∠A=36°,AB=AC,
①则∠DCB的度数为;
②求证:△BCD是等腰三角形.
(2)若AB=AC,已知△BCD的周长为8 cm,AB-BC=2 cm,则AC=cm.
(3)如图2,若CF⊥BD于点F,BF=DF,CD平分∠ACB,求∠A的度数.

(4)如图3,若BG垂直平分CF,AC=CF,∠ACF=120°,求证:△BCD是等边三角形.

(5)如图4,若BG垂直平分CF,直线DE与直线BG交于点H,连接CH,请说明CH平分∠DCB.

(1)①解:36°
在△ABC中,
∵ AB = AC, ∠A = 36°,
∴ ∠ABC = ∠ACB = 1/2(180° - ∠A) = 72°.
∵ DE是AC的垂直平分线,
∴ AD = CD,
∴ ∠ACD = ∠A = 36°,
∴ ∠DCB = ∠ACB - ∠ACD = 72° - 36° = 36°.
②证明:由①知∠ACD = ∠A = 36°.
∵ ∠CDB是△ADC的外角,
∴ ∠CDB = ∠ACD + ∠A = 72°,
∴ ∠B = ∠CDB,
∴ CB = CD,
∴ △BCD是等腰三角形.
(2)解:5
∵ △BCD的周长为8 cm,
∴ BC + BD + CD = 8 cm.
∵ AD = CD,
∴ BC + BD + AD = 8 cm,
∴ BC + AB = 8 cm. 又
∵ AB - BC = 2 cm,
∴ AB = 5 cm, BC = 3 cm,
∴ AC = AB = 5 cm.
(3)解:
∵ CF⊥BD, BF = DF, DE垂直平分AC,
∴ BC = CD = AD,
∴ ∠A = ∠ACD.
∵ CD平分∠ACB,
∴ ∠ACD = ∠BCD,
∴ ∠BCD = ∠A.
∵ CD = BC,
∴ ∠B = ∠BDC = ∠A + ∠ACD = 2∠A.
根据三角形的内角和为180°,得∠B + ∠BDC + ∠BCD = 180°,
∴ 2∠A + 2∠A + ∠A = 180°,
∴ ∠A = 36°.
(4)证明:
∵ AC = CF, ∠ACF = 120°,
∴ ∠A = ∠F = 30°.
∵ DE垂直平分AC,BG垂直平分CF,
∴ AD = CD, BC = BF,
∴ ∠ACD = ∠A = 30°, ∠BCF = ∠F = 30°,
∴ ∠CDB = ∠CBD = 60°,
∴ △BCD是等边三角形.
(5)解:如图,连接AH,FH.
∵ DE垂直平分AC,
∴ AH = CH, AD = CD,
∴ ∠HAC = ∠HCA, ∠CAD = ∠ACD,
∴ ∠HAD = ∠HCD.
同理可证FH = CH, ∠HCB = ∠HFB.
∴ AH = FH,
∴ ∠HAF = ∠HFB,
∴ ∠HCB = ∠HCD,
∴ CH平分∠DCB.

【分析】
本题以线段垂直平分线为背景，结合三角形相关性质逐层考查：
(1)①先根据等腰三角形内角和计算∠ACB的度数，再利用垂直平分线的性质得到AD=CD，推出∠ACD=∠A，两者作差即可求出∠DCB；②利用三角形外角的性质求出∠CDB的度数，证明其与∠B相等，即可得△BCD为等腰三角形。
(2)利用垂直平分线性质将CD转化为AD，把△BCD的周长转化为AB+BC的和，再结合AB与BC的差的条件联立求解，即可得AC的长度。
(3)根据垂直平分线的性质得到BC=CD=AD，结合角平分线的性质、三角形外角的性质用∠A表示出△BCD的三个内角，根据三角形内角和为180°列方程求解即可。
(4)先根据等腰三角形内角和求出∠A和∠F的度数，再利用垂直平分线的性质得到∠ACD=∠A、∠BCF=∠F，进而推出△BCD的两个内角均为60°，即可证明其为等边三角形。
(5)通过连接AH、FH，利用垂直平分线的性质得到AH=CH、FH=CH，推导角的等量关系，证明∠HCB=∠HCD，即可说明CH平分∠DCB。
【解析】
(1)①在△ABC中，
∵ AB = AC, ∠A = 36°,
∴ ∠ABC = ∠ACB = $\frac{1}{2}$(180° - ∠A) = 72°.
∵ DE是AC的垂直平分线，
∴ AD = CD，
∴ ∠ACD = ∠A = 36°,
∴ ∠DCB = ∠ACB - ∠ACD = 72° - 36° = 36°.
②证明：由①知∠ACD = ∠A = 36°.
∵ ∠CDB是△ADC的外角，
∴ ∠CDB = ∠ACD + ∠A = 72°,
∴ ∠B = ∠CDB，
∴ CB = CD，
∴ △BCD是等腰三角形.
(2)
∵ △BCD的周长为8 cm,
∴ BC + BD + CD = 8 cm.
∵ AD = CD,
∴ BC + BD + AD = 8 cm,
∴ BC + AB = 8 cm.
又
∵ AB - BC = 2 cm,
联立解得AB = 5 cm, BC = 3 cm,
∴ AC = AB = 5 cm.
(3)
∵ CF⊥BD, BF = DF, DE垂直平分AC,
∴ BC = CD = AD,
∴ ∠A = ∠ACD.
∵ CD平分∠ACB,
∴ ∠ACD = ∠BCD,
∴ ∠BCD = ∠A.
∵ CD = BC,
∴ ∠B = ∠BDC = ∠A + ∠ACD = 2∠A.
根据三角形的内角和为180°,得∠B + ∠BDC + ∠BCD = 180°,
∴ 2∠A + 2∠A + ∠A = 180°,
解得∠A = 36°.
(4)证明：
∵ AC = CF, ∠ACF = 120°,
∴ ∠A = ∠F = 30°.
∵ DE垂直平分AC,BG垂直平分CF,
∴ AD = CD, BC = BF,
∴ ∠ACD = ∠A = 30°, ∠BCF = ∠F = 30°,
∴ ∠CDB = ∠CBD = 60°,
∴ △BCD是等边三角形.
(5)连接AH,FH.
∵ DE垂直平分AC,
∴ AH = CH, AD = CD,
∴ ∠HAC = ∠HCA, ∠CAD = ∠ACD,
∴ ∠HAD = ∠HCD.
同理可证FH = CH, ∠HCB = ∠HFB.
∴ AH = FH,
∴ ∠HAF = ∠HFB,
∴ ∠HCB = ∠HCD,
∴ CH平分∠DCB.
【答案】
(1)①36°；②见解析；
(2)5；
(3)∠A=36°；
(4)见解析；
(5)见解析，辅助线如图
【知识点】
垂直平分线的性质；等腰（等边）三角形的判定与性质；角平分线的判定
【点评】
本题各小问难度逐层递进，核心考查线段垂直平分线性质的应用，需要熟练掌握三角形边角关系，学会利用等量代换转化线段和角的关系，能有效锻炼逻辑推理能力，是三角形章节的典型综合题。
【难度系数】
0.6

2. 如图,在等边三角形ABC的边AC的延长线上取一点E,以CE为边作等边三角形CDE,使点B,D在AE的同侧,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,OC.
(1)求证:$△ ACD≌△ BCE$.
(2)$∠ AOB$的度数为.
(3)写出图中其他的全等三角形,并选一个说明理由.
(4)$△ CPQ$是什么三角形?请说明理由.
(5)猜想PQ和AE的位置关系,并说明理由.
(6)求证:OC平分$∠ AOE$.
(7)求证:$AO=BO+CO$.

(1)证明:
∵ △ABC,△CDE都是等边三角形,
∴ AC = BC, CD = CE, ∠ACB = ∠DCE,
∴ ∠ACD = ∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
$\begin{cases}AC = BC, \\∠ACD = ∠BCE, \\CD = CE,\end{cases}$
∴ △ACD≌△BCE.
(2)解:60°
∵ △ACD≌△BCE,
∴ ∠CAD = ∠CBE. 又
∵ ∠APC = ∠BPO,
∴ ∠AOB = ∠ACB = 60°.
(3)解:△ACP≌△BCQ,△CQE≌△CPD. 理由如下:
∵ ∠ACB = ∠DCE = 60°, ∠ACB + ∠BCQ + ∠DCE = 180°,
∴ ∠BCQ = 60°.
在△ACP和△BCQ中,
$\begin{cases}∠CAP = ∠CBQ, \\AC = BC, \\∠ACP = ∠BCQ = 60°,\end{cases}$
∴ △ACP≌△BCQ(ASA).
∵ △ACD≌△BCE,
∴ ∠ADC = ∠BEC,
即∠CDP = ∠CEQ.
在△CQE和△CPD中,
$\begin{cases}∠QCE = ∠PCD = 60°, \\CE = CD, \\∠CEQ = ∠CDP,\end{cases}$
∴ △CQE≌△CPD.
(4)解:△CPQ是等边三角形. 理由如下:
∵ △ACP≌△BCQ,
∴ CP = CQ.
又
∵ ∠PCQ = 60°,
∴ △CPQ是等边三角形.
(5)解:PQ//AE. 理由如下:
∵ △PCQ是等边三角形,
∴ ∠QPC = 60° = ∠ACB,
∴ PQ//AE.
(6)证明:如图1,过点C作CM⊥BE于点M,CN⊥AD于点N,则∠CME = ∠CND = 90°.
∵ △ACD≌△BCE,
∴ ∠ADC = ∠BEC,
即∠CDN = ∠CEM.
在△CDN和△CEM中,
$\begin{cases}∠CND = ∠CME, \\∠CDN = ∠CEM, \\CD = CE,\end{cases}$
∴ △CDN≌△CEM,
∴ CN = CM.
又
∵ CN⊥AD,CM⊥BE,
∴ OC平分∠AOE.
(7)证明:如图2,在AO上截取OF = OC,连接CF.
由(1)知∠CAD = ∠CBE,由(2)和(6)知∠AOC = 1/2∠AOE = 60°,
∴ △COF为等边三角形,
∴ ∠CFO = ∠FCO = ∠AOC = 60°,
∴ ∠AFC = 120° = ∠BOC.
又
∵ AC = BC,
∴ △ACF≌△BCO,
∴ AF = BO,
∴ AO = AF + FO = BO + CO.

【分析】
本题是等边三角形与全等三角形结合的几何综合题，各小问关联性强，解题思路逐层递进：
1. 证$△ ACD≌△ BCE$：先提取等边三角形的等边、等角性质，推导夹角$∠ ACD=∠ BCE$，用SAS即可判定全等；
2. 求$∠ AOB$度数：利用第一问全等得到的对应角相等，结合对顶角相等，由三角形内角和推导$∠ AOB$等于等边三角形内角$60°$；
3. 找其他全等三角形：利用前序结论得到的等角、等边，结合平角推导$∠ BCQ=∠ PCD=60°$，用ASA即可证明两组新的全等三角形；
4. 判断$△ CPQ$形状：由全等得到$CP=CQ$，结合夹角$∠ PCQ=60°$，即可判定为等边三角形；
5. 判定$PQ$与$AE$的位置关系：由等边$△ CPQ$的内角为$60°$，与$∠ ACB$相等得到内错角相等，即可推出平行；
6. 证$OC$平分$∠ AOE$：利用角平分线的判定定理，过$C$向$AD$、$BE$作垂线，证直角三角形全等得到两条垂线段相等，即可得$OC$为角平分线；
7. 证$AO=BO+CO$：采用截长补短法，在$AO$上截取$OF=OC$构造等边三角形，再证$△ ACF≌△ BCO$得到$AF=BO$，即可推导线段和的关系。
【解析】
(1) 证明：
∵ $△ ABC$，$△ CDE$都是等边三角形，
∴ $AC = BC$，$CD = CE$，$∠ ACB = ∠ DCE$，
∴ $∠ ACD = ∠ BCE$。
在$△ ACD$和$△ BCE$中，
$\begin{cases}AC = BC, \\∠ACD = ∠BCE, \\CD = CE,\end{cases}$
∴ $△ ACD≌△ BCE$。
(2) 解：
∵ $△ ACD≌△ BCE$，
∴ $∠ CAD = ∠ CBE$。
又
∵ $∠ APC = ∠ BPO$，
∴ $∠ AOB = ∠ ACB = 60°$。
(3) 解：其他全等三角形为$△ ACP≌△ BCQ$，$△ CQE≌△ CPD$。
选$△ ACP≌△ BCQ$证明：
∵ $∠ ACB = ∠ DCE = 60°$，$∠ ACB + ∠ BCQ + ∠ DCE = 180°$，
∴ $∠ BCQ = 60°$。
在$△ ACP$和$△ BCQ$中，
$\begin{cases}∠CAP = ∠CBQ, \\AC = BC, \\∠ACP = ∠BCQ = 60°,\end{cases}$
∴ $△ ACP≌△ BCQ$（ASA）。
选$△ CQE≌△ CPD$证明：
∵ $△ ACD≌△ BCE$，
∴ $∠ ADC = ∠ BEC$，即$∠ CDP = ∠ CEQ$。
在$△ CQE$和$△ CPD$中，
$\begin{cases}∠QCE = ∠PCD = 60°, \\CE = CD, \\∠CEQ = ∠CDP,\end{cases}$
∴ $△ CQE≌△ CPD$（ASA）。
(4) 解：$△ CPQ$是等边三角形，理由如下：
∵ $△ ACP≌△ BCQ$，
∴ $CP = CQ$。
又
∵ $∠ PCQ = 60°$，
∴ $△ CPQ$是等边三角形。
(5) 解：$PQ// AE$，理由如下：
∵ $△ PCQ$是等边三角形，
∴ $∠ QPC = 60° = ∠ ACB$，
∴ $PQ// AE$。
(6) 证明：过点$C$作$CM⊥ BE$于点$M$，$CN⊥ AD$于点$N$，则$∠ CME = ∠ CND = 90°$。

∵ $△ ACD≌△ BCE$，
∴ $∠ ADC = ∠ BEC$，即$∠ CDN = ∠ CEM$。
在$△ CDN$和$△ CEM$中，
$\begin{cases}∠CND = ∠CME, \\∠CDN = ∠CEM, \\CD = CE,\end{cases}$
∴ $△ CDN≌△ CEM$，
∴ $CN = CM$。
又
∵ $CN⊥ AD$，$CM⊥ BE$，
∴ $OC$平分$∠ AOE$。
(7) 证明：在$AO$上截取$OF = OC$，连接$CF$。

由(1)知$∠ CAD = ∠ CBE$，由(2)和(6)知$∠ AOC = \frac{1}{2}∠ AOE = 60°$，
∴ $△ COF$为等边三角形，
∴ $∠ CFO = ∠ FCO = ∠ AOC = 60°$，
∴ $∠ AFC = 120° = ∠ BOC$。
又
∵ $AC = BC$，
∴ $△ ACF≌△ BCO$，
∴ $AF = BO$，
∴ $AO = AF + FO = BO + CO$。
【答案】
(1)证明:
∵ △ABC,△CDE都是等边三角形,
∴ AC = BC, CD = CE, ∠ACB = ∠DCE,
∴ ∠ACD = ∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
$\begin{cases}AC = BC, \\∠ACD = ∠BCE, \\CD = CE,\end{cases}$
∴ △ACD≌△BCE.
(2)解:60°
∵ △ACD≌△BCE,
∴ ∠CAD = ∠CBE. 又
∵ ∠APC = ∠BPO,
∴ ∠AOB = ∠ACB = 60°.
(3)解:△ACP≌△BCQ,△CQE≌△CPD. 理由如下:
∵ ∠ACB = ∠DCE = 60°, ∠ACB + ∠BCQ + ∠DCE = 180°,
∴ ∠BCQ = 60°.
在△ACP和△BCQ中,
$\begin{cases}∠CAP = ∠CBQ, \\AC = BC, \\∠ACP = ∠BCQ = 60°,\end{cases}$
∴ △ACP≌△BCQ(ASA).
∵ △ACD≌△BCE,
∴ ∠ADC = ∠BEC,
即∠CDP = ∠CEQ.
在△CQE和△CPD中,
$\begin{cases}∠QCE = ∠PCD = 60°, \\CE = CD, \\∠CEQ = ∠CDP,\end{cases}$
∴ △CQE≌△CPD.
(4)解:△CPQ是等边三角形. 理由如下:
∵ △ACP≌△BCQ,
∴ CP = CQ.
又
∵ ∠PCQ = 60°,
∴ △CPQ是等边三角形.
(5)解:PQ//AE. 理由如下:
∵ △PCQ是等边三角形,
∴ ∠QPC = 60° = ∠ACB,
∴ PQ//AE.
(6)证明:如图1,过点C作CM⊥BE于点M,CN⊥AD于点N,则∠CME = ∠CND = 90°.
∵ △ACD≌△BCE,
∴ ∠ADC = ∠BEC,
即∠CDN = ∠CEM.
在△CDN和△CEM中,
$\begin{cases}∠CND = ∠CME, \\∠CDN = ∠CEM, \\CD = CE,\end{cases}$
∴ △CDN≌△CEM,
∴ CN = CM.
又
∵ CN⊥AD,CM⊥BE,
∴ OC平分∠AOE.
(7)证明:如图2,在AO上截取OF = OC,连接CF.
由(1)知∠CAD = ∠CBE,由(2)和(6)知∠AOC = 1/2∠AOE = 60°,
∴ △COF为等边三角形,
∴ ∠CFO = ∠FCO = ∠AOC = 60°,
∴ ∠AFC = 120° = ∠BOC.
又
∵ AC = BC,
∴ △ACF≌△BCO,
∴ AF = BO,
∴ AO = AF + FO = BO + CO.
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，角平分线的判定
【点评】
本题是典型的等边三角形手拉手模型综合题，各小问层层递进，既考查了基础的几何性质与判定，也涉及截长补短法、角平分线判定等常用几何解题方法，能有效锻炼逻辑推理能力与几何综合应用能力。
【难度系数】
0.4