登录
18 如图，圆内接四边形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AD，点E在CD的延长线上，且DE=BC，连接AE，若AE=4，则四边形ABCD的面积为
8
。答案
18. 8
解析
【分析】解题时先从已知条件入手：首先由∠BCD=90°结合圆内接四边形的性质，推出BD是直径，得到∠BAD=90°；再利用圆内接四边形对角互补、邻补角性质推出∠ABC=∠ADE，结合已知的边相等条件证明△ABC≌△ADE，将四边形ABCD的面积转化为等腰直角△ACE的面积，最后代入数值计算即可。
【解析】
1. 连接AC
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，∠BCD=90°
∴ BD是圆的直径（90°的圆周角所对的弦为直径）
∴ ∠BAD=90°（直径所对的圆周角是直角）
2. 推导角相等
∵ 圆内接四边形对角互补
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°
又
∵ ∠ADE + ∠ADC = 180°（邻补角的定义）
∴ ∠ABC = ∠ADE
3. 证明三角形全等
在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD（已知）\\ ∠ ABC=∠ ADE（已证）\\ BC=DE（已知）\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ADE（SAS）
4. 面积转化与计算
由全等得：$AC=AE=4$，$∠ BAC=∠ DAE$，$S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$
∴ $∠ CAE=∠ CAD+∠ DAE=∠ CAD+∠ BAC=∠ BAD=90°$，即△ACE是等腰直角三角形
四边形ABCD的面积$=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=S_{△ ADE}+S_{△ ACD}=S_{△ ACE}$
∴ $S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}× AE× AC=\frac{1}{2}×4×4=8$
【答案】8
【知识点】圆内接四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形面积计算
【点评】本题是典型的几何面积转化类题目，核心是通过全等三角形将不规则四边形的面积转化为规则三角形的面积，需要熟练掌握圆的相关性质和全等三角形的判定方法。
【难度系数】0.65
【解析】
1. 连接AC
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，∠BCD=90°
∴ BD是圆的直径（90°的圆周角所对的弦为直径）
∴ ∠BAD=90°（直径所对的圆周角是直角）
2. 推导角相等
∵ 圆内接四边形对角互补
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°
又
∵ ∠ADE + ∠ADC = 180°（邻补角的定义）
∴ ∠ABC = ∠ADE
3. 证明三角形全等
在△ABC和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD（已知）\\ ∠ ABC=∠ ADE（已证）\\ BC=DE（已知）\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ADE（SAS）
4. 面积转化与计算
由全等得：$AC=AE=4$，$∠ BAC=∠ DAE$，$S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$
∴ $∠ CAE=∠ CAD+∠ DAE=∠ CAD+∠ BAC=∠ BAD=90°$，即△ACE是等腰直角三角形
四边形ABCD的面积$=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=S_{△ ADE}+S_{△ ACD}=S_{△ ACE}$
∴ $S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}× AE× AC=\frac{1}{2}×4×4=8$
【答案】8
【知识点】圆内接四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形面积计算
【点评】本题是典型的几何面积转化类题目，核心是通过全等三角形将不规则四边形的面积转化为规则三角形的面积，需要熟练掌握圆的相关性质和全等三角形的判定方法。
【难度系数】0.65
19 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AC为$\odot O$的直径，$∠ ACD + ∠ BCD = 180°$，连接OD，过点D作$DE ⊥ AC$，$DF ⊥ BC$，垂足分别为点E、点F，有下列结论：①$∠ AOD = 2∠ BAD$；②$∠ DAC = ∠ BAC$；③DF与$\odot O$相切；④若$AE = 4$，$EC = 1$，则$BC = 3$。其中正确的是
①③④
。（填序号）答案
19. ①③④
解析
【分析】
我们结合圆的相关性质、切线判定、三角形边角关系等知识，逐个验证4个结论：
1. 先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的角互补关系推导角的等量关系，验证结论①；
2. 判断是否有条件证明弧DC和弧BC相等，以此验证结论②是否成立；
3. 要证DF是切线，只需证明半径OD与DF垂直，可通过平行线判定结合DF⊥BC的条件推导，验证结论③；
4. 先根据勾股定理或射影定理求出相关线段长度，再结合平行线的角的关系，利用三角函数计算BC的长度，验证结论④。
【解析】
逐个分析4个结论：
① 因为四边形ABCD内接于$\odot O$，所以$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$，已知$∠ ACD + ∠ BCD = 180°$，根据同角的补角相等，可得$∠ ACD = ∠ BAD$。
又因为同弧$AD$所对的圆心角是圆周角的2倍，即$∠ AOD = 2∠ ACD$，代入等量关系得$∠ AOD = 2∠ BAD$，故①正确。
② $∠ DAC$对应弧$DC$，$∠ BAC$对应弧$BC$，现有条件无法推出弧$DC$与弧$BC$相等，因此无法得到$∠ DAC = ∠ BAC$，故②错误。
③ 因为$OD=OC$，所以$∠ ODC = ∠ ACD$，由①得$∠ ACD = ∠ BCD$，所以$∠ ODC = ∠ BCD$，可推出$OD // BC$。
已知$DF ⊥ BC$，所以$DF ⊥ OD$，又$OD$是$\odot O$的半径，因此$DF$与$\odot O$相切，故③正确。
④ 已知$AE=4$，$EC=1$，则$AC=AE+EC=5$，$\odot O$的半径$OD=OC=\frac{5}{2}$，$OE=OC-EC=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$。
因为$DE ⊥ AC$，在$Rt△ ODE$中，由勾股定理得$DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-(\frac{3}{2})^2}=2$。
由$OD // BC$可得$∠ DOE = ∠ ACB$，$\cos∠ DOE = \frac{OE}{OD}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}}=\frac{3}{5}$。
又因为AC是$\odot O$的直径，所以$∠ ABC=90°$，在$Rt△ ABC$中，$\cos∠ ACB = \frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$，代入$AC=5$得$BC=5×\frac{3}{5}=3$，故④正确。
综上，正确的结论为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
圆的基本性质，切线的判定，解直角三角形
【点评】
本题是圆的综合题，需要结合角的互补关系推导角的等量关系，再逐一验证结论，解题时注意切线判定的核心是证明半径与待证直线垂直，线段长度计算可灵活运用勾股定理、三角函数等方法。
【难度系数】
0.6
我们结合圆的相关性质、切线判定、三角形边角关系等知识，逐个验证4个结论：
1. 先利用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知的角互补关系推导角的等量关系，验证结论①；
2. 判断是否有条件证明弧DC和弧BC相等，以此验证结论②是否成立；
3. 要证DF是切线，只需证明半径OD与DF垂直，可通过平行线判定结合DF⊥BC的条件推导，验证结论③；
4. 先根据勾股定理或射影定理求出相关线段长度，再结合平行线的角的关系，利用三角函数计算BC的长度，验证结论④。
【解析】
逐个分析4个结论：
① 因为四边形ABCD内接于$\odot O$，所以$∠ BAD + ∠ BCD = 180°$，已知$∠ ACD + ∠ BCD = 180°$，根据同角的补角相等，可得$∠ ACD = ∠ BAD$。
又因为同弧$AD$所对的圆心角是圆周角的2倍，即$∠ AOD = 2∠ ACD$，代入等量关系得$∠ AOD = 2∠ BAD$，故①正确。
② $∠ DAC$对应弧$DC$，$∠ BAC$对应弧$BC$，现有条件无法推出弧$DC$与弧$BC$相等，因此无法得到$∠ DAC = ∠ BAC$，故②错误。
③ 因为$OD=OC$，所以$∠ ODC = ∠ ACD$，由①得$∠ ACD = ∠ BCD$，所以$∠ ODC = ∠ BCD$，可推出$OD // BC$。
已知$DF ⊥ BC$，所以$DF ⊥ OD$，又$OD$是$\odot O$的半径，因此$DF$与$\odot O$相切，故③正确。
④ 已知$AE=4$，$EC=1$，则$AC=AE+EC=5$，$\odot O$的半径$OD=OC=\frac{5}{2}$，$OE=OC-EC=\frac{5}{2}-1=\frac{3}{2}$。
因为$DE ⊥ AC$，在$Rt△ ODE$中，由勾股定理得$DE=\sqrt{OD^2-OE^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2-(\frac{3}{2})^2}=2$。
由$OD // BC$可得$∠ DOE = ∠ ACB$，$\cos∠ DOE = \frac{OE}{OD}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{5}{2}}=\frac{3}{5}$。
又因为AC是$\odot O$的直径，所以$∠ ABC=90°$，在$Rt△ ABC$中，$\cos∠ ACB = \frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$，代入$AC=5$得$BC=5×\frac{3}{5}=3$，故④正确。
综上，正确的结论为①③④。
【答案】
①③④
【知识点】
圆的基本性质，切线的判定，解直角三角形
【点评】
本题是圆的综合题，需要结合角的互补关系推导角的等量关系，再逐一验证结论，解题时注意切线判定的核心是证明半径与待证直线垂直，线段长度计算可灵活运用勾股定理、三角函数等方法。
【难度系数】
0.6
20 如图，AB是$\odot O$的直径，点E是OB的中点，过点E作弦$CD ⊥ AB$，连接AC、AD，点F是$\overset{\frown}{AC}$的中点，过点C作$CG ⊥ AF$，垂足为点G。若$\odot O$的半径为2，则CG的长是
$\sqrt{3}$
。答案
20. $\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先从CD⊥AB、E是OB中点的已知条件入手，先在Rt△OCE中求出CE的长度和∠COE的度数，再结合AE的长度用勾股定理求出AC的长；接着利用弧中点的性质和圆周角定理推出∠FAC的度数，最后在Rt△AGC中利用30°角直角三角形的性质计算CG的长度即可。
【解析】
1. 已知⊙O半径为2，因此OC=OB=OA=2。
因为E是OB中点，所以$OE=\frac{1}{2}OB=1$。
又$CD⊥AB$，故$∠ OEC=∠ AEC=90°$。
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，且$cos∠ COE=\frac{OE}{OC}=\frac{1}{2}$，即$∠ COE=60°$。
2. 计算AE长度：$AE=OA+OE=2+1=3$，在$Rt△ AEC$中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=2\sqrt{3}$。
3. 因为F是$\overset{\frown}{AC}$的中点，所以$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{FC}$。$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$∠ AOC=180°-∠ COE=120°$，因此$\overset{\frown}{FC}$的度数为$60°$，根据圆周角定理，$∠ FAC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
4. 已知$CG⊥AF$，即$∠ AGC=90°$，在$Rt△ AGC$中，30°角对的直角边是斜边的一半，因此$CG=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查圆的基础性质和特殊直角三角形的计算，解题核心是先通过垂径定理得到特殊角度，再结合弧中点的性质推出直角三角形中的30°角，即可快速求出线段长度，解题时注意几何性质的灵活转化。
【难度系数】
0.6
解题时先从CD⊥AB、E是OB中点的已知条件入手，先在Rt△OCE中求出CE的长度和∠COE的度数，再结合AE的长度用勾股定理求出AC的长；接着利用弧中点的性质和圆周角定理推出∠FAC的度数，最后在Rt△AGC中利用30°角直角三角形的性质计算CG的长度即可。
【解析】
1. 已知⊙O半径为2，因此OC=OB=OA=2。
因为E是OB中点，所以$OE=\frac{1}{2}OB=1$。
又$CD⊥AB$，故$∠ OEC=∠ AEC=90°$。
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：$CE=\sqrt{OC^2-OE^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，且$cos∠ COE=\frac{OE}{OC}=\frac{1}{2}$，即$∠ COE=60°$。
2. 计算AE长度：$AE=OA+OE=2+1=3$，在$Rt△ AEC$中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{AE^2+CE^2}=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=2\sqrt{3}$。
3. 因为F是$\overset{\frown}{AC}$的中点，所以$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{FC}$。$\overset{\frown}{AC}$对应的圆心角$∠ AOC=180°-∠ COE=120°$，因此$\overset{\frown}{FC}$的度数为$60°$，根据圆周角定理，$∠ FAC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
4. 已知$CG⊥AF$，即$∠ AGC=90°$，在$Rt△ AGC$中，30°角对的直角边是斜边的一半，因此$CG=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查圆的基础性质和特殊直角三角形的计算，解题核心是先通过垂径定理得到特殊角度，再结合弧中点的性质推出直角三角形中的30°角，即可快速求出线段长度，解题时注意几何性质的灵活转化。
【难度系数】
0.6
21 如图，点O是△ABC的内心，D是BC的中点，连接OC、OD，若∠A=2∠O=120°，OD=1，则BC的长为
$2\sqrt{13}$
。答案
21. $2\sqrt{13}$ [提示:连接 BO。因为 O 是△ABC 的内心,所以 $∠OBD =\frac{1}{2}∠ABC, ∠OCD =\frac{1}{2}∠ACB$。由 $∠A = 120°$,易得 $∠OBD + ∠OCD = 30°$,所以 $∠BOC = 150°$。因为 $∠COD =60°$,所以 $∠BOD = 90°$。延长 OD 至点 E,使 $DO = DE$,连接 CE。易得 $△BOD ≅ △CED$,所以 $∠E = 90°, OE = 2$。再由 $∠COE = 60°$,可得 $CE = BO = 2\sqrt{3}$,所以 $BD =\sqrt{BO^2 + OD^2} =\sqrt{13}$,所以 $BC = 2BD = 2\sqrt{13}$。]
解析
【分析】
首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形三条角平分线的交点，可据此推导∠BOC的度数。结合已知∠A=120°、2∠COD=120°，先求出∠BOD=90°。再观察到D是BC中点，遇到中点常采用倍长中线的辅助线构造全等三角形，将已知边和角转移到同一个直角三角形中，最后利用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 连接BO：
∵O是△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，即$∠ OBD=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCD=\frac{1}{2}∠ ACB$。
∵$∠ A=120°$，△ABC内角和为$180°$，
∴$∠ ABC+∠ ACB=180°-120°=60°$，
∴$∠ OBD+∠ OCD=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=30°$，
在△BOC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBD+∠ OCD)=180°-30°=150°$。
2. 计算∠BOD：
由题知$2∠ COD=120°$，即$∠ COD=60°$，
∴$∠ BOD=∠ BOC-∠ COD=150°-60°=90°$。
3. 构造全等三角形：
延长OD至点E，使$DE=DO$，连接CE。
∵D是BC中点，
∴$BD=CD$，
在△BOD和△CED中：
$\begin{cases} BD=CD \\ ∠ BDO=∠ CDE（对顶角相等） \\ OD=ED \end{cases}$
∴$△ BOD≌△ CED(\mathrm{SAS})$。
4. 计算线段长度：
由全等得：$∠ E=∠ BOD=90°$，$CE=BO$，$OE=OD+DE=2OD=2×1=2$。
在Rt△COE中，$∠ COE=60°$，$\tan∠ COE=\frac{CE}{OE}$，
∴$CE=OE·\tan60°=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，即$BO=2\sqrt{3}$。
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BO^2+OD^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}$。
∵D是BC中点，
∴$BC=2BD=2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
三角形内心性质，全等三角形判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于三角形几何综合题，解题核心是熟练掌握三角形内心的角度推导规律，同时灵活运用中点构造倍长中线的全等模型，将分散的边角条件集中到直角三角形中求解，对辅助线的构造能力有一定考查。
【难度系数】
0.3
首先回忆三角形内心的性质：内心是三角形三条角平分线的交点，可据此推导∠BOC的度数。结合已知∠A=120°、2∠COD=120°，先求出∠BOD=90°。再观察到D是BC中点，遇到中点常采用倍长中线的辅助线构造全等三角形，将已知边和角转移到同一个直角三角形中，最后利用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
1. 连接BO：
∵O是△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，即$∠ OBD=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCD=\frac{1}{2}∠ ACB$。
∵$∠ A=120°$，△ABC内角和为$180°$，
∴$∠ ABC+∠ ACB=180°-120°=60°$，
∴$∠ OBD+∠ OCD=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=30°$，
在△BOC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBD+∠ OCD)=180°-30°=150°$。
2. 计算∠BOD：
由题知$2∠ COD=120°$，即$∠ COD=60°$，
∴$∠ BOD=∠ BOC-∠ COD=150°-60°=90°$。
3. 构造全等三角形：
延长OD至点E，使$DE=DO$，连接CE。
∵D是BC中点，
∴$BD=CD$，
在△BOD和△CED中：
$\begin{cases} BD=CD \\ ∠ BDO=∠ CDE（对顶角相等） \\ OD=ED \end{cases}$
∴$△ BOD≌△ CED(\mathrm{SAS})$。
4. 计算线段长度：
由全等得：$∠ E=∠ BOD=90°$，$CE=BO$，$OE=OD+DE=2OD=2×1=2$。
在Rt△COE中，$∠ COE=60°$，$\tan∠ COE=\frac{CE}{OE}$，
∴$CE=OE·\tan60°=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，即$BO=2\sqrt{3}$。
在Rt△BOD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BO^2+OD^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}$。
∵D是BC中点，
∴$BC=2BD=2\sqrt{13}$。
【答案】
$2\sqrt{13}$
【知识点】
三角形内心性质，全等三角形判定与性质，勾股定理
【点评】
本题属于三角形几何综合题，解题核心是熟练掌握三角形内心的角度推导规律，同时灵活运用中点构造倍长中线的全等模型，将分散的边角条件集中到直角三角形中求解，对辅助线的构造能力有一定考查。
【难度系数】
0.3
22 如图，在菱形$ABCD$中，对角线$AC$和$BD$相交于点$O$，$AC=8$，$BD=6$，动点$P$在边$AB$上运动，以点$O$为圆心，$OP$为半径作$\odot O$，$CQ$切$\odot O$于点$Q$。则在点$P$运动过程中，切线$CQ$的长的最大值为
$\frac{16}{5}$
。答案
22. $\frac{16}{5}$ [提示:连接 OQ。因为 CQ 切$\odot O$ 于点 Q,所以 $OQ ⊥ CQ$,所以 $∠CQO = 90°$,所以$CQ =\sqrt{OC^2 - OQ^2}$。因为四边形 ABCD 是菱形,所以 $AC ⊥ BD, OA = OC =\frac{1}{2}AC =\frac{1}{2}×8 =4, OB =\frac{1}{2}BD = 3$,所以 $AB = 5$。因为 OC 是定值,要使 CQ 最大,则 OQ 要最小,所以当 $OP ⊥AB$ 时,OP 最小,即 OQ 最小,CQ 最大,此时 $OQ = OP =\frac{OA · OB}{AB} =\frac{12}{5}, CQ =\frac{16}{5}$。]
解析
【分析】
解决本题首先结合切线的性质构造直角三角形，用勾股定理表示出CQ的长度；再分析CQ长度的影响因素：OC是定值，因此CQ的长度随半径OQ（即OP）的变化而变化，要让CQ最大，需要OQ最小；接下来确定OP的最小值：点O到直线AB的最短距离是垂线段的长度，结合菱形的性质计算相关线段长度，最后用面积法求出最短的OP，代入计算即可得到CQ的最大值。
【解析】
解：连接OQ，
∵ CQ是$\odot O$的切线，切点为Q，
∴ $OQ⊥CQ$，即$∠CQO=90°$，
在$Rt△ CQO$中，由勾股定理得：$CQ=\sqrt{OC^2 - OQ^2}$。
∵ 四边形ABCD是菱形，$AC=8$，$BD=6$，
∴ $AC⊥BD$，$OC=OA=\frac{1}{2}AC=4$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD=3$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2 + OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵ OC为定值，要使CQ最大，则需OQ最小，又
∵ OQ=OP（都是$\odot O$的半径），
∴ 当OP最小时CQ最大，而OP的最小值为点O到AB的垂线段长度，即$OP⊥AB$时OP最小。
此时利用$△ AOB$的面积可得：$\frac{1}{2}·OA·OB=\frac{1}{2}·AB·OP$，
代入数值：$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5×OP$，解得$OP=\frac{12}{5}$，即$OQ_{min}=\frac{12}{5}$。
将$OC=4$，$OQ=\frac{12}{5}$代入CQ的表达式：
$CQ_{max}=\sqrt{4^2 - (\frac{12}{5})^2}=\sqrt{16-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}$。
【答案】
$\frac{16}{5}$
【知识点】
切线的性质，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题的核心是将求切线长的最大值转化为求圆半径的最小值，用到了转化思想，需要熟练掌握菱形、圆切线的性质以及勾股定理的应用，才能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.6
解决本题首先结合切线的性质构造直角三角形，用勾股定理表示出CQ的长度；再分析CQ长度的影响因素：OC是定值，因此CQ的长度随半径OQ（即OP）的变化而变化，要让CQ最大，需要OQ最小；接下来确定OP的最小值：点O到直线AB的最短距离是垂线段的长度，结合菱形的性质计算相关线段长度，最后用面积法求出最短的OP，代入计算即可得到CQ的最大值。
【解析】
解：连接OQ，
∵ CQ是$\odot O$的切线，切点为Q，
∴ $OQ⊥CQ$，即$∠CQO=90°$，
在$Rt△ CQO$中，由勾股定理得：$CQ=\sqrt{OC^2 - OQ^2}$。
∵ 四边形ABCD是菱形，$AC=8$，$BD=6$，
∴ $AC⊥BD$，$OC=OA=\frac{1}{2}AC=4$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD=3$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2 + OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∵ OC为定值，要使CQ最大，则需OQ最小，又
∵ OQ=OP（都是$\odot O$的半径），
∴ 当OP最小时CQ最大，而OP的最小值为点O到AB的垂线段长度，即$OP⊥AB$时OP最小。
此时利用$△ AOB$的面积可得：$\frac{1}{2}·OA·OB=\frac{1}{2}·AB·OP$，
代入数值：$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5×OP$，解得$OP=\frac{12}{5}$，即$OQ_{min}=\frac{12}{5}$。
将$OC=4$，$OQ=\frac{12}{5}$代入CQ的表达式：
$CQ_{max}=\sqrt{4^2 - (\frac{12}{5})^2}=\sqrt{16-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{256}{25}}=\frac{16}{5}$。
【答案】
$\frac{16}{5}$
【知识点】
切线的性质，菱形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题的核心是将求切线长的最大值转化为求圆半径的最小值，用到了转化思想，需要熟练掌握菱形、圆切线的性质以及勾股定理的应用，才能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.6
23 如图，△ABC内接于⊙O，连接OC，经过点B的切线交AC的延长线于点D。
（1）求证：∠BAC=∠CBD。
（2）连接AO并延长，交BD于点E，若AB=AC，∠BAC=45°，OC=1，求BD的长。
（1）求证：∠BAC=∠CBD。
（2）连接AO并延长，交BD于点E，若AB=AC，∠BAC=45°，OC=1，求BD的长。
答案
23 （1）连接 OB,则 $∠BAC =\frac{1}{2}∠BOC$。因为 $OC = OB$,所以 $∠OBC = ∠OCB = 90° -\frac{1}{2}∠BOC$,所以 $∠OBC +\frac{1}{2}∠BOC = 90°$,所以 $∠OBC + ∠BAC = 90°$。因为 BD 是 $\odot O$ 的切线,所以 $OB ⊥ BD$,所以 $∠OBD = ∠OBC + ∠CBD = 90°$,所以 $∠BAC = ∠CBD$。
（2）因为 $AC = AB, OC = OB$,所以 AE 垂直平分 CB,因为 $∠BAC = 45°$,所以 $∠BOC =2∠BAC = 2×45° = 90°$。因为 $OC = OB, AE ⊥ CB$,所以 $∠COE = ∠BOE =\frac{1}{2}∠BOC =\frac{1}{2}×90° = 45°$。因为 BD 是 $\odot O$ 的切线,所以 $OB ⊥ BD$,所以 $∠OBD = 90°$,所以 $∠BEO = 90° -∠BOE = 90° - 45° = 45°$,所以 $∠BOE = ∠BEO, ∠COE = ∠BEO$,所以 $BE = OB = OC = OA =1, OC // BD$,所以 $△AOC ∽ △AED$,所以 $\frac{OC}{DE} =\frac{OA}{AE}$。因为 $OC = OA$,所以 $DE = AE$。因为$OE =\sqrt{OB^2 + BE^2} =\sqrt{1^2 + 1^2} =\sqrt{2}$,所以 $AE = OE + OA =\sqrt{2} + 1$,所以 $DE = AE =\sqrt{2} + 1$,所以 $BD = DE + BE =\sqrt{2} + 2$。
（2）因为 $AC = AB, OC = OB$,所以 AE 垂直平分 CB,因为 $∠BAC = 45°$,所以 $∠BOC =2∠BAC = 2×45° = 90°$。因为 $OC = OB, AE ⊥ CB$,所以 $∠COE = ∠BOE =\frac{1}{2}∠BOC =\frac{1}{2}×90° = 45°$。因为 BD 是 $\odot O$ 的切线,所以 $OB ⊥ BD$,所以 $∠OBD = 90°$,所以 $∠BEO = 90° -∠BOE = 90° - 45° = 45°$,所以 $∠BOE = ∠BEO, ∠COE = ∠BEO$,所以 $BE = OB = OC = OA =1, OC // BD$,所以 $△AOC ∽ △AED$,所以 $\frac{OC}{DE} =\frac{OA}{AE}$。因为 $OC = OA$,所以 $DE = AE$。因为$OE =\sqrt{OB^2 + BE^2} =\sqrt{1^2 + 1^2} =\sqrt{2}$,所以 $AE = OE + OA =\sqrt{2} + 1$,所以 $DE = AE =\sqrt{2} + 1$,所以 $BD = DE + BE =\sqrt{2} + 2$。
解析
【分析】
（1）要证明∠BAC=∠CBD，首先利用切线性质可得OB⊥BD，即∠OBC与∠CBD的和为90°；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得∠BAC为∠BOC的一半，结合等腰△OBC的内角和性质可推导出∠OBC与∠BAC的和也为90°，最后通过同角的余角相等即可证明结论。
（2）首先由AB=AC、OB=OC可得AE垂直平分BC，结合∠BAC=45°，由圆周角定理得∠BOC=90°，进而推出△OBE为等腰直角三角形，求出BE和OE的长度；再证明OC//BD，得到△AOC∽△AED，利用相似的比例关系求出DE的长度，最后通过BD=DE+BE即可计算出结果。
【解析】
（1）证明：连接OB，根据圆周角定理得 $∠ BAC =\frac{1}{2}∠ BOC$。
$\because OC = OB$，$\therefore ∠ OBC = ∠ OCB = 90° -\frac{1}{2}∠ BOC$，
$\therefore ∠ OBC +\frac{1}{2}∠ BOC = 90°$，即 $∠ OBC + ∠ BAC = 90°$。
$\because BD$ 是 $\odot O$ 的切线，$\therefore OB ⊥ BD$，$\therefore ∠ OBD = ∠ OBC + ∠ CBD = 90°$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ CBD$。
（2）解：$\because AC = AB, OC = OB$，$\therefore$ 点A、O均在BC的垂直平分线上，即AE垂直平分CB。
$\because ∠ BAC = 45°$，$\therefore ∠ BOC =2∠ BAC = 2×45° = 90°$。
$\because OC = OB, AE ⊥ CB$，$\therefore ∠ COE = ∠ BOE =\frac{1}{2}∠ BOC =\frac{1}{2}×90° = 45°$。
$\because BD$ 是 $\odot O$ 的切线，$\therefore OB ⊥ BD$，$∠ OBD = 90°$，
$\therefore ∠ BEO = 90° -∠ BOE = 90° - 45° = 45°$，$\therefore ∠ BOE = ∠ BEO$，
$\therefore BE = OB = OC = OA =1$，且 $∠ COE = ∠ BEO$，可得 $OC // BD$，
$\therefore △ AOC ∽ △ AED$，$\therefore \frac{OC}{DE} =\frac{OA}{AE}$。
$\because OC = OA$，$\therefore DE = AE$。
在$Rt△ OBE$中，$OE =\sqrt{OB^2 + BE^2} =\sqrt{1^2 + 1^2} =\sqrt{2}$，
$\therefore AE = OE + OA =\sqrt{2} + 1$，$\therefore DE = AE =\sqrt{2} + 1$，
$\therefore BD = DE + BE =\sqrt{2} + 1 + 1 =\sqrt{2} + 2$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$BD=\sqrt{2}+2$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合题，结合了圆的基础性质、切线性质、等腰三角形性质和相似三角形的应用，需要学生掌握各知识点的关联，合理构造辅助线，通过角度和线段的等量关系求解，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）要证明∠BAC=∠CBD，首先利用切线性质可得OB⊥BD，即∠OBC与∠CBD的和为90°；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得∠BAC为∠BOC的一半，结合等腰△OBC的内角和性质可推导出∠OBC与∠BAC的和也为90°，最后通过同角的余角相等即可证明结论。
（2）首先由AB=AC、OB=OC可得AE垂直平分BC，结合∠BAC=45°，由圆周角定理得∠BOC=90°，进而推出△OBE为等腰直角三角形，求出BE和OE的长度；再证明OC//BD，得到△AOC∽△AED，利用相似的比例关系求出DE的长度，最后通过BD=DE+BE即可计算出结果。
【解析】
（1）证明：连接OB，根据圆周角定理得 $∠ BAC =\frac{1}{2}∠ BOC$。
$\because OC = OB$，$\therefore ∠ OBC = ∠ OCB = 90° -\frac{1}{2}∠ BOC$，
$\therefore ∠ OBC +\frac{1}{2}∠ BOC = 90°$，即 $∠ OBC + ∠ BAC = 90°$。
$\because BD$ 是 $\odot O$ 的切线，$\therefore OB ⊥ BD$，$\therefore ∠ OBD = ∠ OBC + ∠ CBD = 90°$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ CBD$。
（2）解：$\because AC = AB, OC = OB$，$\therefore$ 点A、O均在BC的垂直平分线上，即AE垂直平分CB。
$\because ∠ BAC = 45°$，$\therefore ∠ BOC =2∠ BAC = 2×45° = 90°$。
$\because OC = OB, AE ⊥ CB$，$\therefore ∠ COE = ∠ BOE =\frac{1}{2}∠ BOC =\frac{1}{2}×90° = 45°$。
$\because BD$ 是 $\odot O$ 的切线，$\therefore OB ⊥ BD$，$∠ OBD = 90°$，
$\therefore ∠ BEO = 90° -∠ BOE = 90° - 45° = 45°$，$\therefore ∠ BOE = ∠ BEO$，
$\therefore BE = OB = OC = OA =1$，且 $∠ COE = ∠ BEO$，可得 $OC // BD$，
$\therefore △ AOC ∽ △ AED$，$\therefore \frac{OC}{DE} =\frac{OA}{AE}$。
$\because OC = OA$，$\therefore DE = AE$。
在$Rt△ OBE$中，$OE =\sqrt{OB^2 + BE^2} =\sqrt{1^2 + 1^2} =\sqrt{2}$，
$\therefore AE = OE + OA =\sqrt{2} + 1$，$\therefore DE = AE =\sqrt{2} + 1$，
$\therefore BD = DE + BE =\sqrt{2} + 1 + 1 =\sqrt{2} + 2$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$BD=\sqrt{2}+2$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合题，结合了圆的基础性质、切线性质、等腰三角形性质和相似三角形的应用，需要学生掌握各知识点的关联，合理构造辅助线，通过角度和线段的等量关系求解，对几何综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
