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⑧ 如图，在$\odot O$中，AB是直径，CD是弦，$PC=PD$，过点D作$\odot O$的切线，与AB的延长线相交于点E。若$∠ ABC=63°$，则$∠ E$的度数为
36°
。答案
8. $36°$
解析
【分析】
解题时先连接辅助线OD，利用圆的相关性质逐步推导：首先根据切线的性质可知OD⊥DE，要求∠E的度数，只需求出∠DOE的度数即可；再由PC=PD结合垂径定理可得弧BC与弧BD相等，对应圆心角∠BOC=∠BOD；接着通过等腰△OBC的内角和计算出∠BOC的度数，最后在Rt△ODE中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠E。
【解析】
解：连接OD。
1.
∵ OC、OB均为⊙O的半径，
∴ OC=OB，△OBC为等腰三角形，
∴ ∠OCB=∠ABC=63°，
∴ ∠BOC=180°-∠ABC-∠OCB=180°-63°×2=54°。
2.
∵ PC=PD，OC=OD，且OP过圆心O，根据垂径定理可得弧BC=弧BD，
∴ ∠BOD=∠BOC=54°。
3.
∵ DE是⊙O的切线，D为切点，根据切线的性质得OD⊥DE，即∠ODE=90°。
4. 在Rt△ODE中，∠E+∠BOD=90°，
∴ ∠E=90°-∠BOD=90°-54°=36°。
【答案】
36°
【知识点】
垂径定理；切线的性质；等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查对圆的常见性质的应用能力，解题的关键是正确作出辅助线，将所求角转化到直角三角形中求解，解题时注意圆心角和弧的对应关系的运用。
【难度系数】
0.7
解题时先连接辅助线OD，利用圆的相关性质逐步推导：首先根据切线的性质可知OD⊥DE，要求∠E的度数，只需求出∠DOE的度数即可；再由PC=PD结合垂径定理可得弧BC与弧BD相等，对应圆心角∠BOC=∠BOD；接着通过等腰△OBC的内角和计算出∠BOC的度数，最后在Rt△ODE中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠E。
【解析】
解：连接OD。
1.
∵ OC、OB均为⊙O的半径，
∴ OC=OB，△OBC为等腰三角形，
∴ ∠OCB=∠ABC=63°，
∴ ∠BOC=180°-∠ABC-∠OCB=180°-63°×2=54°。
2.
∵ PC=PD，OC=OD，且OP过圆心O，根据垂径定理可得弧BC=弧BD，
∴ ∠BOD=∠BOC=54°。
3.
∵ DE是⊙O的切线，D为切点，根据切线的性质得OD⊥DE，即∠ODE=90°。
4. 在Rt△ODE中，∠E+∠BOD=90°，
∴ ∠E=90°-∠BOD=90°-54°=36°。
【答案】
36°
【知识点】
垂径定理；切线的性质；等腰三角形性质
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查对圆的常见性质的应用能力，解题的关键是正确作出辅助线，将所求角转化到直角三角形中求解，解题时注意圆心角和弧的对应关系的运用。
【难度系数】
0.7
9 已知平面内有一个角，一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的边上截得的两条弦恰好都是某正五边形的一边，那么这个角的度数为
108°或36°
。答案
9. $108°或36°$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先推导正五边形的边对应外接圆的圆心角：正n边形的外接圆中心角为$\frac{360°}{n}$，因此正五边形边对应的圆心角为$72°$，即题中两条弦在圆内所对的劣弧均为$72°$。2. 分类讨论角的顶点与圆的位置关系：因为圆与角的两边各有2个交点，所以顶点不在圆上，仅存在顶点在圆内、顶点在圆外两种情况。3. 结合圆内角、圆外角的度数与弧的关系计算角度：圆内角度数等于其所夹两段弧度数和的一半，圆外角度数等于其所夹两段弧度数差的一半，结合对称性即可求出两种情况对应的角度。
【解析】
首先，正五边形的外接圆中，每条边对应的圆心角为$\frac{360°}{5}=72°$，因此题中圆被角的两边截得的两条弦所对的劣弧均为$72°$。
分两种情况讨论：
1. 当角的顶点在圆内时，该角为圆内角。根据圆内角性质：圆内角的度数等于它所夹两段弧度数之和的一半。结合对称性，两段被夹弧分别为$72°$和$144°$，因此角度为$\frac{1}{2}×(72° + 144°)=108°$。
2. 当角的顶点在圆外时，该角为圆外角。根据圆外角性质：圆外角的度数等于它所夹两段弧度数之差的一半。结合对称性，两段被夹弧分别为$72°$和$144°$，因此角度为$\frac{1}{2}×(144° - 72°)=36°$。
综上，这个角的度数为$108°$或$36°$。
【答案】
$108°或36°$
【知识点】
正多边形与圆；圆周角定理；分类讨论
【点评】
本题考查正多边形和圆的综合应用，解题的关键是明确等弦对应等弧，同时要注意分类讨论角的顶点和圆的位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先推导正五边形的边对应外接圆的圆心角：正n边形的外接圆中心角为$\frac{360°}{n}$，因此正五边形边对应的圆心角为$72°$，即题中两条弦在圆内所对的劣弧均为$72°$。2. 分类讨论角的顶点与圆的位置关系：因为圆与角的两边各有2个交点，所以顶点不在圆上，仅存在顶点在圆内、顶点在圆外两种情况。3. 结合圆内角、圆外角的度数与弧的关系计算角度：圆内角度数等于其所夹两段弧度数和的一半，圆外角度数等于其所夹两段弧度数差的一半，结合对称性即可求出两种情况对应的角度。
【解析】
首先，正五边形的外接圆中，每条边对应的圆心角为$\frac{360°}{5}=72°$，因此题中圆被角的两边截得的两条弦所对的劣弧均为$72°$。
分两种情况讨论：
1. 当角的顶点在圆内时，该角为圆内角。根据圆内角性质：圆内角的度数等于它所夹两段弧度数之和的一半。结合对称性，两段被夹弧分别为$72°$和$144°$，因此角度为$\frac{1}{2}×(72° + 144°)=108°$。
2. 当角的顶点在圆外时，该角为圆外角。根据圆外角性质：圆外角的度数等于它所夹两段弧度数之差的一半。结合对称性，两段被夹弧分别为$72°$和$144°$，因此角度为$\frac{1}{2}×(144° - 72°)=36°$。
综上，这个角的度数为$108°$或$36°$。
【答案】
$108°或36°$
【知识点】
正多边形与圆；圆周角定理；分类讨论
【点评】
本题考查正多边形和圆的综合应用，解题的关键是明确等弦对应等弧，同时要注意分类讨论角的顶点和圆的位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
⑩ PA、PB切$\odot O$于A、B两点，CD切$\odot O$于点E，交PA、PB于点C、D，若$\odot O$的半径为r，$△ PCD$的周长等于3r，则$\tan∠ APB$的值是________。
答案
10. $\frac{12}{5}$
解析
【分析】
遇到圆的多条切线问题，优先考虑切线长定理。首先利用切线长定理将△PCD的周长转化为2倍的PA长，结合已知周长求出PA的长度；再连接OA、OP，根据切线性质可知OA⊥PA，且OP平分∠APB，通过二倍角正切公式即可计算出∠APB的正切值。
【解析】
1. 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可得$PA=PB$，$CA=CE$，$DB=DE$。
则$△ PCD$的周长$=PC+CD+PD=PC+CE+ED+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA$。
已知$△ PCD$的周长为$3r$，因此$2PA=3r$，解得$PA=\frac{3r}{2}$。
2. 连接$OA$、$OP$，$\because PA$是$\odot O$的切线，$\therefore OA⊥ PA$，且$OP$平分$∠ APB$，即$∠ APB=2∠ APO$。
3. 在$Rt△ OAP$中，$OA=r$，$PA=\frac{3r}{2}$，$\therefore \tan∠ APO=\frac{OA}{PA}=\frac{r}{\frac{3r}{2}}=\frac{2}{3}$。
4. 由二倍角正切公式$\tan2α=\frac{2\tanα}{1-\tan^2α}$，代入得：
$\tan∠ APB=\tan2∠ APO=\frac{2×\frac{2}{3}}{1-(\frac{2}{3})^2}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{5}{9}}=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
切线长定理，切线的性质，锐角三角比计算
【点评】
本题是圆与锐角三角比结合的典型题型，解题核心是利用切线长定理对三角形周长进行转化，再结合直角三角形的边角关系求解，考查学生对切线相关性质的掌握程度和综合运算能力。
【难度系数】
0.6
遇到圆的多条切线问题，优先考虑切线长定理。首先利用切线长定理将△PCD的周长转化为2倍的PA长，结合已知周长求出PA的长度；再连接OA、OP，根据切线性质可知OA⊥PA，且OP平分∠APB，通过二倍角正切公式即可计算出∠APB的正切值。
【解析】
1. 根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可得$PA=PB$，$CA=CE$，$DB=DE$。
则$△ PCD$的周长$=PC+CD+PD=PC+CE+ED+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=2PA$。
已知$△ PCD$的周长为$3r$，因此$2PA=3r$，解得$PA=\frac{3r}{2}$。
2. 连接$OA$、$OP$，$\because PA$是$\odot O$的切线，$\therefore OA⊥ PA$，且$OP$平分$∠ APB$，即$∠ APB=2∠ APO$。
3. 在$Rt△ OAP$中，$OA=r$，$PA=\frac{3r}{2}$，$\therefore \tan∠ APO=\frac{OA}{PA}=\frac{r}{\frac{3r}{2}}=\frac{2}{3}$。
4. 由二倍角正切公式$\tan2α=\frac{2\tanα}{1-\tan^2α}$，代入得：
$\tan∠ APB=\tan2∠ APO=\frac{2×\frac{2}{3}}{1-(\frac{2}{3})^2}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{5}{9}}=\frac{12}{5}$。
【答案】
$\frac{12}{5}$
【知识点】
切线长定理，切线的性质，锐角三角比计算
【点评】
本题是圆与锐角三角比结合的典型题型，解题核心是利用切线长定理对三角形周长进行转化，再结合直角三角形的边角关系求解，考查学生对切线相关性质的掌握程度和综合运算能力。
【难度系数】
0.6
11 如图，$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，以$AC$为直径的$\odot O$交$AB$于点$D$，过点$D$作$\odot O$的切线，与边$BC$交于点$E$，若$AD=\dfrac{9}{5}$，$AC=3$，则$DE$长为________。
答案
11. 2
解析
【分析】
本题为圆与直角三角形结合的几何计算题，解题思路清晰：首先连接辅助线CD，利用直径所对圆周角为直角的性质，通过相似三角形求出斜边AB的长度；再结合切线的性质、切线长定理及角度推导，得出DE是BC的一半；最后用勾股定理算出BC长度即可求出DE的值。
【解析】
1. 连接CD
∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ADC=90°（直径所对的圆周角为直角）
在△ADC和△ACB中，∠A是公共角，∠ADC=∠ACB=90°，故△ADC∽△ACB。
根据相似三角形对应边成比例：$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，代入$AC=3$，$AD=\frac{9}{5}$，
得$AB=\frac{AC^2}{AD}=\frac{9}{\frac{9}{5}}=5$。
2. 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
3. 连接OD
∵ DE是⊙O的切线，
∴ $OD⊥ DE$，即$∠ ODE=90°$。
由切线长定理，从点E引⊙O的两条切线CE、DE，可得$CE=DE$；
又
∵ $∠ EDB+∠ ODA=90°$，$∠ B+∠ A=90°$，且$OA=OD$，$∠ A=∠ ODA$，
∴ $∠ EDB=∠ B$，故$DE=BE$。
综上$DE=CE=BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆和三角形的综合常规题，核心考查辅助线的添加技巧和几何定理的综合运用，通过转化线段关系即可快速求解，是高频考查题型。
【难度系数】
0.65
本题为圆与直角三角形结合的几何计算题，解题思路清晰：首先连接辅助线CD，利用直径所对圆周角为直角的性质，通过相似三角形求出斜边AB的长度；再结合切线的性质、切线长定理及角度推导，得出DE是BC的一半；最后用勾股定理算出BC长度即可求出DE的值。
【解析】
1. 连接CD
∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ADC=90°（直径所对的圆周角为直角）
在△ADC和△ACB中，∠A是公共角，∠ADC=∠ACB=90°，故△ADC∽△ACB。
根据相似三角形对应边成比例：$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，代入$AC=3$，$AD=\frac{9}{5}$，
得$AB=\frac{AC^2}{AD}=\frac{9}{\frac{9}{5}}=5$。
2. 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$。
3. 连接OD
∵ DE是⊙O的切线，
∴ $OD⊥ DE$，即$∠ ODE=90°$。
由切线长定理，从点E引⊙O的两条切线CE、DE，可得$CE=DE$；
又
∵ $∠ EDB+∠ ODA=90°$，$∠ B+∠ A=90°$，且$OA=OD$，$∠ A=∠ ODA$，
∴ $∠ EDB=∠ B$，故$DE=BE$。
综上$DE=CE=BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$。
【答案】
2
【知识点】
圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于圆和三角形的综合常规题，核心考查辅助线的添加技巧和几何定理的综合运用，通过转化线段关系即可快速求解，是高频考查题型。
【难度系数】
0.65
12 如图，已知$\odot O$为四边形$ABCD$的外接圆，$O$为圆心，若$∠ C=2∠ A$，$AB=AD=6$，则$\odot O$的半径长为________。
答案
12. $2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题首先运用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠C和∠A的数量关系求出∠A的度数；再根据AB=AD和已求的∠A度数判断△ABD的形状，得到BD的长度；最后利用圆周角定理得到弧BD对应的圆心角，结合等腰三角形性质和三角函数即可求出外接圆半径。
【解析】
1. 计算∠A的度数
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴ ∠A + ∠C = 180°
又
∵ ∠C = 2∠A
∴ ∠A + 2∠A = 180°，解得∠A = 60°
2. 判断△ABD的形状
∵ AB = AD = 6，∠A = 60°
∴ △ABD是等边三角形，因此BD = AB = 6
3. 求解⊙O半径
连接OB、OD，根据圆周角定理得：∠BOD = 2∠A = 120°
设⊙O半径为r，则OB = OD = r
过O作OH⊥BD于H，由等腰三角形三线合一得：
BH = $\frac{1}{2}$BD = 3，∠BOH = $\frac{1}{2}$∠BOD = 60°
在Rt△BOH中，$\sin∠BOH = \frac{BH}{OB}$
即$\sin60° = \frac{3}{r}$，解得$r = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆与特殊三角形结合的基础综合题，解题的核心是通过角的关系推导得到等边三角形，将边长转化后结合圆心角求解半径，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.65
解题首先运用圆内接四边形对角互补的性质，结合已知∠C和∠A的数量关系求出∠A的度数；再根据AB=AD和已求的∠A度数判断△ABD的形状，得到BD的长度；最后利用圆周角定理得到弧BD对应的圆心角，结合等腰三角形性质和三角函数即可求出外接圆半径。
【解析】
1. 计算∠A的度数
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴ ∠A + ∠C = 180°
又
∵ ∠C = 2∠A
∴ ∠A + 2∠A = 180°，解得∠A = 60°
2. 判断△ABD的形状
∵ AB = AD = 6，∠A = 60°
∴ △ABD是等边三角形，因此BD = AB = 6
3. 求解⊙O半径
连接OB、OD，根据圆周角定理得：∠BOD = 2∠A = 120°
设⊙O半径为r，则OB = OD = r
过O作OH⊥BD于H，由等腰三角形三线合一得：
BH = $\frac{1}{2}$BD = 3，∠BOH = $\frac{1}{2}$∠BOD = 60°
在Rt△BOH中，$\sin∠BOH = \frac{BH}{OB}$
即$\sin60° = \frac{3}{r}$，解得$r = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆与特殊三角形结合的基础综合题，解题的核心是通过角的关系推导得到等边三角形，将边长转化后结合圆心角求解半径，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.65
13 如图，$\odot O$为$△ ABC$的外接圆，其中$∠ B=50°$，点$I$为$△ ABC$的内心，连接$AI$并延长交$\odot O$于点$D$，连接$IC$、$CD$，则$∠ ICD$的度数为
$65°$
。答案
13. $65°$
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确已知条件：I是△ABC的内心，可得AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的角平分线；AD交外接圆于D，可结合圆周角定理得到角的等量关系。所求的∠ICD可拆分为∠BCI与∠BCD的和，我们只需将这两个角转化为与△ABC内角相关的角，结合三角形内角和定理即可计算出结果。第一步：根据内心性质得到角平分线对应的角的等量关系；第二步：利用圆周角定理得到∠BAD=∠BCD，将∠BCD替换为∠CAD；第三步：结合三角形内角和，计算∠BAC与∠ACB的和，代入即可求出∠ICD的度数。
【解析】
解：
∵点I是△ABC的内心
∴AI平分∠BAC，CI平分∠ACB
∴$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ BCI=\frac{1}{2}∠ ACB$
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，$∠ BAD$和$∠ BCD$都对应弧BD
∴$∠ BAD=∠ BCD$，又$∠ BAD=∠ CAD$
∴$∠ BCD=∠ CAD$
∴$∠ ICD=∠ BCI+∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB+\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(∠ ACB+∠ BAC)$
在△ABC中，$∠ BAC+∠ ACB=180°-∠ B=180°-50°=130°$
代入得：$∠ ICD=\frac{1}{2}×130°=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题型，解题关键是利用角平分线性质和圆周角定理对所求角进行等量转化，不需要添加辅助线，掌握核心性质就能快速求解。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：首先明确已知条件：I是△ABC的内心，可得AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的角平分线；AD交外接圆于D，可结合圆周角定理得到角的等量关系。所求的∠ICD可拆分为∠BCI与∠BCD的和，我们只需将这两个角转化为与△ABC内角相关的角，结合三角形内角和定理即可计算出结果。第一步：根据内心性质得到角平分线对应的角的等量关系；第二步：利用圆周角定理得到∠BAD=∠BCD，将∠BCD替换为∠CAD；第三步：结合三角形内角和，计算∠BAC与∠ACB的和，代入即可求出∠ICD的度数。
【解析】
解：
∵点I是△ABC的内心
∴AI平分∠BAC，CI平分∠ACB
∴$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ BCI=\frac{1}{2}∠ ACB$
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，$∠ BAD$和$∠ BCD$都对应弧BD
∴$∠ BAD=∠ BCD$，又$∠ BAD=∠ CAD$
∴$∠ BCD=∠ CAD$
∴$∠ ICD=∠ BCI+∠ BCD=\frac{1}{2}∠ ACB+\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(∠ ACB+∠ BAC)$
在△ABC中，$∠ BAC+∠ ACB=180°-∠ B=180°-50°=130°$
代入得：$∠ ICD=\frac{1}{2}×130°=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
三角形内心的性质；圆周角定理；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题型，解题关键是利用角平分线性质和圆周角定理对所求角进行等量转化，不需要添加辅助线，掌握核心性质就能快速求解。
【难度系数】
0.65
14 定义:有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点,截得的三条弦相等,我们把这个圆叫作这个三角形的“等弦圆”,现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形,当这个三角形的等弦圆最大时,这个圆的半径为
$2-\sqrt{2}$
。答案
14. $2-\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先理解“等弦圆”的定义：圆与三角形三边各有2个交点且截得的三条弦相等。根据圆的性质，同圆中相等的弦对应的弦心距相等，因此等弦圆的圆心到三角形三边的距离相等，符合三角形内心的特征（旁心对应的圆交点会落在边的延长线上，不符合与三角形的边相交的要求）。要使等弦圆最大，需保证圆与三条边（线段）的交点都落在线段范围内，最大半径的限制为圆刚好经过距离内心最近的直角顶点，此时结合等腰直角三角形的边长和内心位置即可计算出半径。
【解析】
1. 先计算斜边长为2的等腰直角三角形的直角边长：设直角边长为$a$，由勾股定理得$a^2+a^2=2^2$，解得$a=\sqrt{2}$。
2. 由同圆中等弦对等弦心距，可知等弦圆圆心为三角形的内心，等腰直角三角形的内切圆半径（即内心到三边的距离）为：$r_{内}=\frac{a+a-c}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}-2}{2}=\sqrt{2}-1$。
3. 建立平面直角坐标系，设直角顶点为$(0,0)$，另外两个顶点为$(\sqrt{2},0)$、$(0,\sqrt{2})$，则内心坐标为$(r_{内},r_{内})=(\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1)$。
4. 当等弦圆最大时，圆刚好经过直角顶点$(0,0)$，此时半径等于内心到直角顶点的距离：
$R=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2+(\sqrt{2}-1)^2}=\sqrt{2×(\sqrt{2}-1)^2}=\sqrt{2}×(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}$。
【答案】
$2-\sqrt{2}$
【知识点】
弦与弦心距的关系，三角形内心的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是新定义类几何题，需要将新定义转化为已学的圆和三角形的性质，解题核心是确定等弦圆的圆心为三角形内心，再结合图形的边界限制求解最大半径，侧重考查知识迁移能力和几何计算能力。
【难度系数】
0.3
首先理解“等弦圆”的定义：圆与三角形三边各有2个交点且截得的三条弦相等。根据圆的性质，同圆中相等的弦对应的弦心距相等，因此等弦圆的圆心到三角形三边的距离相等，符合三角形内心的特征（旁心对应的圆交点会落在边的延长线上，不符合与三角形的边相交的要求）。要使等弦圆最大，需保证圆与三条边（线段）的交点都落在线段范围内，最大半径的限制为圆刚好经过距离内心最近的直角顶点，此时结合等腰直角三角形的边长和内心位置即可计算出半径。
【解析】
1. 先计算斜边长为2的等腰直角三角形的直角边长：设直角边长为$a$，由勾股定理得$a^2+a^2=2^2$，解得$a=\sqrt{2}$。
2. 由同圆中等弦对等弦心距，可知等弦圆圆心为三角形的内心，等腰直角三角形的内切圆半径（即内心到三边的距离）为：$r_{内}=\frac{a+a-c}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}-2}{2}=\sqrt{2}-1$。
3. 建立平面直角坐标系，设直角顶点为$(0,0)$，另外两个顶点为$(\sqrt{2},0)$、$(0,\sqrt{2})$，则内心坐标为$(r_{内},r_{内})=(\sqrt{2}-1,\sqrt{2}-1)$。
4. 当等弦圆最大时，圆刚好经过直角顶点$(0,0)$，此时半径等于内心到直角顶点的距离：
$R=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2+(\sqrt{2}-1)^2}=\sqrt{2×(\sqrt{2}-1)^2}=\sqrt{2}×(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}$。
【答案】
$2-\sqrt{2}$
【知识点】
弦与弦心距的关系，三角形内心的性质，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是新定义类几何题，需要将新定义转化为已学的圆和三角形的性质，解题核心是确定等弦圆的圆心为三角形内心，再结合图形的边界限制求解最大半径，侧重考查知识迁移能力和几何计算能力。
【难度系数】
0.3
15 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，点I是$△ ABC$的内心，点E在AD的延长线上，$∠ CDE=78°$，则$∠ AIC$的度数为
$129°$
。答案
15. $129°$
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，利用圆内接四边形的性质，外角等于内对角，由已知的∠CDE求出∠ABC的度数；第二步，根据三角形内心的定义，可知AI、CI分别是∠BAC和∠BCA的角平分线，结合三角形内角和定理求出∠BAC与∠BCA的和，再计算两个角一半的和；第三步，再次利用三角形内角和定理，求出∠AIC的度数。
【解析】
1. 求∠ABC的度数：
因为四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得$∠ CDE=∠ ABC$。
已知$∠ CDE=78°$，所以$∠ ABC=78°$。
2. 求$∠ BAC+∠ BCA$的度数：
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BAC+∠ BCA=180°-∠ ABC=180°-78°=102°$。
3. 结合内心性质求$∠ IAC+∠ ICA$：
因为点I是$△ ABC$的内心，所以AI平分$∠ BAC$，CI平分$∠ BCA$，即：
$∠ IAC=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ICA=\frac{1}{2}∠ BCA$。
因此$∠ IAC+∠ ICA=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ BCA)=\frac{1}{2}×102°=51°$。
4. 计算$∠ AIC$：
在$△ AIC$中，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ AIC=180°-(∠ IAC+∠ ICA)=180°-51°=129°$。
【答案】
$129°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；三角形内心的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础综合题，将圆的性质和三角形角平分线、内角和知识结合考查，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的外角性质，以及三角形内心是角平分线交点的特点，熟练运用内角和定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步，利用圆内接四边形的性质，外角等于内对角，由已知的∠CDE求出∠ABC的度数；第二步，根据三角形内心的定义，可知AI、CI分别是∠BAC和∠BCA的角平分线，结合三角形内角和定理求出∠BAC与∠BCA的和，再计算两个角一半的和；第三步，再次利用三角形内角和定理，求出∠AIC的度数。
【解析】
1. 求∠ABC的度数：
因为四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，可得$∠ CDE=∠ ABC$。
已知$∠ CDE=78°$，所以$∠ ABC=78°$。
2. 求$∠ BAC+∠ BCA$的度数：
在$△ ABC$中，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ BAC+∠ BCA=180°-∠ ABC=180°-78°=102°$。
3. 结合内心性质求$∠ IAC+∠ ICA$：
因为点I是$△ ABC$的内心，所以AI平分$∠ BAC$，CI平分$∠ BCA$，即：
$∠ IAC=\frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ ICA=\frac{1}{2}∠ BCA$。
因此$∠ IAC+∠ ICA=\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ BCA)=\frac{1}{2}×102°=51°$。
4. 计算$∠ AIC$：
在$△ AIC$中，由三角形内角和为$180°$，得：
$∠ AIC=180°-(∠ IAC+∠ ICA)=180°-51°=129°$。
【答案】
$129°$
【知识点】
圆内接四边形的性质；三角形内心的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础综合题，将圆的性质和三角形角平分线、内角和知识结合考查，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的外角性质，以及三角形内心是角平分线交点的特点，熟练运用内角和定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
16 如图，以$△ ABC$的一边AB为直径的半圆与其他两边AC、BC的交点分别为D、E，且$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$。若半圆的直径为13，$BC=10$，则BD的长为
$\frac{120}{13}$
。答案
16. $\frac{120}{13}$
解析
【分析】
解题时首先观察到AB为半圆直径，根据直径的性质可联想到直径所对的圆周角为直角，得到AE⊥BC、BD⊥AC；再结合$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$，由等弧所对圆周角相等推出AE是∠BAC的角平分线，结合AE⊥BC可判定△ABC为等腰三角形，得到AC=AB=13；最后利用三角形面积的两种计算方式列等式即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AB是半圆的直径
∴∠AEB=∠ADB=90°，即AE⊥BC，BD⊥AC
∵$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$
∴∠BAE=∠CAE，即AE平分∠BAC
又
∵AE⊥BC，根据等腰三角形三线合一的逆定理可得AB=AC
已知半圆直径AB=13，BC=10
∴AC=13，$BE=\frac{1}{2}BC=5$
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$
△ABC的面积可表示为两种形式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AE=\frac{1}{2}AC· BD$
代入数值：$\frac{1}{2}×10×12=\frac{1}{2}×13×BD$
解得：$BD=\frac{120}{13}$
【答案】
$\frac{120}{13}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题将圆的性质与三角形知识结合考查，需要学生熟练关联各知识点，解题突破口是利用直径的性质得到直角，再通过等弧推导角的关系判断等腰三角形，最终用面积法快速求出线段长，是圆与三角形综合题的典型考法。
【难度系数】
0.65
解题时首先观察到AB为半圆直径，根据直径的性质可联想到直径所对的圆周角为直角，得到AE⊥BC、BD⊥AC；再结合$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$，由等弧所对圆周角相等推出AE是∠BAC的角平分线，结合AE⊥BC可判定△ABC为等腰三角形，得到AC=AB=13；最后利用三角形面积的两种计算方式列等式即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵AB是半圆的直径
∴∠AEB=∠ADB=90°，即AE⊥BC，BD⊥AC
∵$\overset{\frown}{DE}=\overset{\frown}{BE}$
∴∠BAE=∠CAE，即AE平分∠BAC
又
∵AE⊥BC，根据等腰三角形三线合一的逆定理可得AB=AC
已知半圆直径AB=13，BC=10
∴AC=13，$BE=\frac{1}{2}BC=5$
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12$
△ABC的面积可表示为两种形式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}BC· AE=\frac{1}{2}AC· BD$
代入数值：$\frac{1}{2}×10×12=\frac{1}{2}×13×BD$
解得：$BD=\frac{120}{13}$
【答案】
$\frac{120}{13}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题将圆的性质与三角形知识结合考查，需要学生熟练关联各知识点，解题突破口是利用直径的性质得到直角，再通过等弧推导角的关系判断等腰三角形，最终用面积法快速求出线段长，是圆与三角形综合题的典型考法。
【难度系数】
0.65
17 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，且$∠ E=55°$，$∠ F=25°$，则$∠ A$的度数为
$50°$
。答案
17. $50°$
解析
【分析】
解题时首先回忆圆内接四边形的相关性质、三角形内角和与外角性质。首先利用圆内接四边形对角互补、外角等于内对角的性质，结合三角形外角与邻补角的关系，推导出∠ADC和∠ABC的数量关系，联立求解得到∠ABC的度数，最后在△ABE中利用三角形内角和即可算出∠A的度数。
【解析】
1. 因为四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的性质可得：$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$，且外角等于内对角，即$∠ EDC=∠ ABC$，$∠ CBF=∠ ADC$。
2. 在$△ EDC$中，$∠ ECD + ∠ E + ∠ EDC=180°$，又$∠ ECD + ∠ BCD=180°$（邻补角互补），因此$∠ BCD=∠ E + ∠ EDC=55°+∠ ABC$ ①。
3. 在$△ BCF$中，$∠ BCF + ∠ F + ∠ CBF=180°$，又$∠ BCF + ∠ BCD=180°$，因此$∠ BCD=∠ F + ∠ CBF=25°+∠ ADC$ ②。
4. 联立①②得：$55°+∠ ABC=25°+∠ ADC$，即$∠ ADC-∠ ABC=30°$ ③。
5. 结合$∠ ADC+∠ ABC=180°$ ④，将③+④得：$2∠ ADC=210°$，解得$∠ ADC=105°$，代入④得$∠ ABC=75°$。
6. 在$△ ABE$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ A=180°-∠ E-∠ ABC=180°-55°-75°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
圆内接四边形的性质、三角形内角和定理、邻补角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，需要结合圆和三角形的角的性质解题，核心是梳理清楚不同角之间的等量关系，熟练掌握相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆内接四边形的相关性质、三角形内角和与外角性质。首先利用圆内接四边形对角互补、外角等于内对角的性质，结合三角形外角与邻补角的关系，推导出∠ADC和∠ABC的数量关系，联立求解得到∠ABC的度数，最后在△ABE中利用三角形内角和即可算出∠A的度数。
【解析】
1. 因为四边形ABCD内接于$\odot O$，根据圆内接四边形的性质可得：$∠ ADC + ∠ ABC = 180°$，且外角等于内对角，即$∠ EDC=∠ ABC$，$∠ CBF=∠ ADC$。
2. 在$△ EDC$中，$∠ ECD + ∠ E + ∠ EDC=180°$，又$∠ ECD + ∠ BCD=180°$（邻补角互补），因此$∠ BCD=∠ E + ∠ EDC=55°+∠ ABC$ ①。
3. 在$△ BCF$中，$∠ BCF + ∠ F + ∠ CBF=180°$，又$∠ BCF + ∠ BCD=180°$，因此$∠ BCD=∠ F + ∠ CBF=25°+∠ ADC$ ②。
4. 联立①②得：$55°+∠ ABC=25°+∠ ADC$，即$∠ ADC-∠ ABC=30°$ ③。
5. 结合$∠ ADC+∠ ABC=180°$ ④，将③+④得：$2∠ ADC=210°$，解得$∠ ADC=105°$，代入④得$∠ ABC=75°$。
6. 在$△ ABE$中，根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ A=180°-∠ E-∠ ABC=180°-55°-75°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
圆内接四边形的性质、三角形内角和定理、邻补角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，需要结合圆和三角形的角的性质解题，核心是梳理清楚不同角之间的等量关系，熟练掌握相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
