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24 如图，CD是$\odot O$的直径，点P是CD延长线上一点，且AP与$\odot O$相切，弦$AB ⊥ CD$于点F，过D点作$DE ⊥ AP$于点E。
（1）求证：$∠ EAD = ∠ FAD$。
（2）若$PA = 8$，$PD = 4$，求$\odot O$的半径和DE的长。
（1）求证：$∠ EAD = ∠ FAD$。
（2）若$PA = 8$，$PD = 4$，求$\odot O$的半径和DE的长。
答案
24 （1）连接 OA。因为 AP 是$\odot O$ 的切线,所以 $OA ⊥ AP$,所以 $∠OAE = 90°$。因为 $AB ⊥CD$,所以 $∠AFD = 90°$,所以 $∠FAD + ∠ADO = 90°$。因为 $OA = OD$,所以 $∠OAD = ∠ADO$。因为 $∠OAD + ∠EAD = 90°$,所以 $∠EAD = ∠FAD$。
（2）在 $Rt△AOP$ 中,设 $OA = x$,则 $OD = x, OP = x + 4$,由勾股定理得 $OA^2 + AP^2 = OP^2$,所以 $x^2 + 8^2 = (x + 4)^2$,解得 $x = 6$,所以 $OA = 6, OP = 6 + 4 = 10$。因为 $AB ⊥ CD$,所以 $S_{△AOP} =\frac{AO · AP}{2} =\frac{OP · AF}{2}$,解得 $AF =\frac{24}{5}$。在 $Rt△FOA$ 中,$OF =\sqrt{OA^2 - AF^2} =\frac{18}{5}$,所以 $DF =OD - OF =\frac{12}{5}$。因为 AD 平分 $∠FAP, DF ⊥ AF, DE ⊥ AP$,所以 $DE = DF =\frac{12}{5}$,所以 $\odot O$的半径为 6, DE 的长为 $\frac{12}{5}$。
（2）在 $Rt△AOP$ 中,设 $OA = x$,则 $OD = x, OP = x + 4$,由勾股定理得 $OA^2 + AP^2 = OP^2$,所以 $x^2 + 8^2 = (x + 4)^2$,解得 $x = 6$,所以 $OA = 6, OP = 6 + 4 = 10$。因为 $AB ⊥ CD$,所以 $S_{△AOP} =\frac{AO · AP}{2} =\frac{OP · AF}{2}$,解得 $AF =\frac{24}{5}$。在 $Rt△FOA$ 中,$OF =\sqrt{OA^2 - AF^2} =\frac{18}{5}$,所以 $DF =OD - OF =\frac{12}{5}$。因为 AD 平分 $∠FAP, DF ⊥ AF, DE ⊥ AP$,所以 $DE = DF =\frac{12}{5}$,所以 $\odot O$的半径为 6, DE 的长为 $\frac{12}{5}$。
解析
【分析】
（1）要证明∠EAD=∠FAD，首先连接切点与圆心OA，利用切线性质得到OA⊥AP，结合AB⊥CD的直角可得两组互余的角；再根据OA=OD，由等边对等角得到∠OAD=∠ADO，通过等角的余角相等即可证得两角相等。
（2）求⊙O半径时，在Rt△AOP中设半径为x，将三边长用含x的式子表示，利用勾股定理列方程即可求解；求DE的长时，由（1）的结论可知AD是∠FAP的角平分线，根据角平分线的性质可得DE=DF，因此先利用面积法求出AF的长度，再用勾股定理求出OF，进而得到DF即可得到DE的长度。
【解析】
（1）证明：连接OA。
∵AP是$\odot O$的切线，
∴$OA ⊥ AP$，即$∠OAE = 90°$，
∴$∠OAD + ∠EAD = 90°$。
∵$AB ⊥CD$，
∴$∠AFD = 90°$，
∴$∠FAD + ∠ADO = 90°$。
又
∵$OA = OD$，
∴$∠OAD = ∠ADO$，
∴$∠EAD = ∠FAD$。
（2）解：设$\odot O$的半径为$x$，则$OA=OD=x$，$OP=OD+PD=x+4$。
在$Rt△AOP$中，由勾股定理得$OA^2 + AP^2 = OP^2$，
代入数值：$x^2 + 8^2 = (x + 4)^2$，
展开整理得$64=8x+16$，解得$x=6$，即$\odot O$的半径为6，此时$OP=6+4=10$。
∵$S_{△AOP} =\frac{1}{2}·AO · AP =\frac{1}{2}·OP · AF$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8 = \frac{1}{2}×10×AF$，解得$AF =\frac{24}{5}$。
在$Rt△FOA$中，由勾股定理得：
$OF =\sqrt{OA^2 - AF^2} =\sqrt{6^2 - (\frac{24}{5})^2} =\frac{18}{5}$，
∴$DF =OD - OF =6-\frac{18}{5}=\frac{12}{5}$。
由（1）知AD平分$∠FAP$，且$DF ⊥ AF, DE ⊥ AP$，根据角平分线的性质可得$DE = DF =\frac{12}{5}$。
【答案】
（1）$∠ EAD=∠ FAD$得证；
（2）$\odot O$的半径为$\boldsymbol{6}$，$DE$的长为$\boldsymbol{\frac{12}{5}}$。
【知识点】
切线的性质，勾股定理，角平分线的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，考查了切线、角平分线、勾股定理的综合应用，第一问通过等角的余角相等证明角相等是几何证明的常用思路，第二问结合方程思想和面积法求解线段长度，是圆章节的高频考点题型。
【难度系数】
0.7
（1）要证明∠EAD=∠FAD，首先连接切点与圆心OA，利用切线性质得到OA⊥AP，结合AB⊥CD的直角可得两组互余的角；再根据OA=OD，由等边对等角得到∠OAD=∠ADO，通过等角的余角相等即可证得两角相等。
（2）求⊙O半径时，在Rt△AOP中设半径为x，将三边长用含x的式子表示，利用勾股定理列方程即可求解；求DE的长时，由（1）的结论可知AD是∠FAP的角平分线，根据角平分线的性质可得DE=DF，因此先利用面积法求出AF的长度，再用勾股定理求出OF，进而得到DF即可得到DE的长度。
【解析】
（1）证明：连接OA。
∵AP是$\odot O$的切线，
∴$OA ⊥ AP$，即$∠OAE = 90°$，
∴$∠OAD + ∠EAD = 90°$。
∵$AB ⊥CD$，
∴$∠AFD = 90°$，
∴$∠FAD + ∠ADO = 90°$。
又
∵$OA = OD$，
∴$∠OAD = ∠ADO$，
∴$∠EAD = ∠FAD$。
（2）解：设$\odot O$的半径为$x$，则$OA=OD=x$，$OP=OD+PD=x+4$。
在$Rt△AOP$中，由勾股定理得$OA^2 + AP^2 = OP^2$，
代入数值：$x^2 + 8^2 = (x + 4)^2$，
展开整理得$64=8x+16$，解得$x=6$，即$\odot O$的半径为6，此时$OP=6+4=10$。
∵$S_{△AOP} =\frac{1}{2}·AO · AP =\frac{1}{2}·OP · AF$，
代入数值：$\frac{1}{2}×6×8 = \frac{1}{2}×10×AF$，解得$AF =\frac{24}{5}$。
在$Rt△FOA$中，由勾股定理得：
$OF =\sqrt{OA^2 - AF^2} =\sqrt{6^2 - (\frac{24}{5})^2} =\frac{18}{5}$，
∴$DF =OD - OF =6-\frac{18}{5}=\frac{12}{5}$。
由（1）知AD平分$∠FAP$，且$DF ⊥ AF, DE ⊥ AP$，根据角平分线的性质可得$DE = DF =\frac{12}{5}$。
【答案】
（1）$∠ EAD=∠ FAD$得证；
（2）$\odot O$的半径为$\boldsymbol{6}$，$DE$的长为$\boldsymbol{\frac{12}{5}}$。
【知识点】
切线的性质，勾股定理，角平分线的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，考查了切线、角平分线、勾股定理的综合应用，第一问通过等角的余角相等证明角相等是几何证明的常用思路，第二问结合方程思想和面积法求解线段长度，是圆章节的高频考点题型。
【难度系数】
0.7
25 如图，AB是$\odot O$的直径，弦CD与AB相交于点E。点D为$\overset{\frown}{AB}$的中点，过点D作$DF // AB$，交CA的延长线于点F。
（1）试判断直线DF与$\odot O$的位置关系，并说明理由。
（2）若$DE · DC = 2$，求$\odot O$的半径。
（1）试判断直线DF与$\odot O$的位置关系，并说明理由。
（2）若$DE · DC = 2$，求$\odot O$的半径。
答案
25 （1）连接 OD,因为 $\overset{\frown}{AD} =\overset{\frown}{BD}$,所以 $∠AOD = ∠BOD = 90°$。因为 $DF // AB$,所以$∠ODF = ∠BOD = 90°$,所以 $OD ⊥ DF$。因为 OD 是$\odot O$ 的半径,所以 FD 为$\odot O$ 的切线。
（2）因为 $AO = OD, ∠AOD = 90°$,所以 $∠EAD = 45°$。由圆周角定理,可得 $∠ACD =\frac{1}{2}∠AOD = 45°$,所以 $∠ACD = ∠EAD = 45°$。又因为 $∠ADE = ∠CDA$,所以 $△DAE ∽△DCA$,所以$\frac{DE}{DA} =\frac{DA}{DC}$,即 $DA^2 = DE · DC = 2$,所以 $DA =\sqrt{2}$,所以 $OA = OD =\frac{\sqrt{2}}{2}AD = 1$,即$\odot O$ 的半径为 1。
（2）因为 $AO = OD, ∠AOD = 90°$,所以 $∠EAD = 45°$。由圆周角定理,可得 $∠ACD =\frac{1}{2}∠AOD = 45°$,所以 $∠ACD = ∠EAD = 45°$。又因为 $∠ADE = ∠CDA$,所以 $△DAE ∽△DCA$,所以$\frac{DE}{DA} =\frac{DA}{DC}$,即 $DA^2 = DE · DC = 2$,所以 $DA =\sqrt{2}$,所以 $OA = OD =\frac{\sqrt{2}}{2}AD = 1$,即$\odot O$ 的半径为 1。
解析
【分析】
（1）判断直线与圆的位置关系，优先考虑切线判定定理，需证明直线垂直于过交点的半径，因此先连接OD。利用弧中点的性质，结合AB是直径可推出∠BOD=90°，再根据平行线的性质得到OD⊥DF，即可判定DF为切线。
（2）已知线段乘积式，可通过相似三角形的比例式转化求解。先由等腰直角△AOD和圆周角定理推导角度关系，证明△DAE与△DCA相似，得到DA²=DE·DC，求出DA长度后，再在等腰直角△AOD中计算半径即可。
【解析】
（1）连接OD，
∵点D为$\overset{\frown}{AB}$的中点，AB是$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AD} =\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠ AOD = ∠ BOD = \frac{1}{2}×180°=90°$，
∵$DF // AB$，
∴$∠ ODF = ∠ BOD = 90°$，即$OD ⊥ DF$，
又
∵OD是$\odot O$的半径，
∴直线DF是$\odot O$的切线。
（2）
∵$AO=OD$，$∠ AOD=90°$，
∴$△ AOD$是等腰直角三角形，$∠ EAD=45°$，
根据圆周角定理可得，$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ AOD=45°$，
∴$∠ ACD=∠ EAD=45°$，
又
∵$∠ ADE=∠ CDA$（公共角），
∴$△ DAE ∽ △ DCA$，
∴$\frac{DE}{DA}=\frac{DA}{DC}$，即$DA^2=DE· DC$，
已知$DE· DC=2$，
∴$DA^2=2$，解得$DA=\sqrt{2}$，
在等腰直角$△ AOD$中，$OA=OD$，$OA^2+OD^2=AD^2$，
∴$2OA^2=2$，解得$OA=1$。
【答案】
（1）DF是$\odot O$的切线，理由见解析；
（2）$\odot O$的半径为$\boxed{1}$。
【知识点】
切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的综合常考题型，解题关键是熟练运用弧中点、圆周角定理推导角度关系，遇到线段乘积式时优先考虑通过相似三角形转化已知条件，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
（1）判断直线与圆的位置关系，优先考虑切线判定定理，需证明直线垂直于过交点的半径，因此先连接OD。利用弧中点的性质，结合AB是直径可推出∠BOD=90°，再根据平行线的性质得到OD⊥DF，即可判定DF为切线。
（2）已知线段乘积式，可通过相似三角形的比例式转化求解。先由等腰直角△AOD和圆周角定理推导角度关系，证明△DAE与△DCA相似，得到DA²=DE·DC，求出DA长度后，再在等腰直角△AOD中计算半径即可。
【解析】
（1）连接OD，
∵点D为$\overset{\frown}{AB}$的中点，AB是$\odot O$的直径，
∴$\overset{\frown}{AD} =\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠ AOD = ∠ BOD = \frac{1}{2}×180°=90°$，
∵$DF // AB$，
∴$∠ ODF = ∠ BOD = 90°$，即$OD ⊥ DF$，
又
∵OD是$\odot O$的半径，
∴直线DF是$\odot O$的切线。
（2）
∵$AO=OD$，$∠ AOD=90°$，
∴$△ AOD$是等腰直角三角形，$∠ EAD=45°$，
根据圆周角定理可得，$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ AOD=45°$，
∴$∠ ACD=∠ EAD=45°$，
又
∵$∠ ADE=∠ CDA$（公共角），
∴$△ DAE ∽ △ DCA$，
∴$\frac{DE}{DA}=\frac{DA}{DC}$，即$DA^2=DE· DC$，
已知$DE· DC=2$，
∴$DA^2=2$，解得$DA=\sqrt{2}$，
在等腰直角$△ AOD$中，$OA=OD$，$OA^2+OD^2=AD^2$，
∴$2OA^2=2$，解得$OA=1$。
【答案】
（1）DF是$\odot O$的切线，理由见解析；
（2）$\odot O$的半径为$\boxed{1}$。
【知识点】
切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的综合常考题型，解题关键是熟练运用弧中点、圆周角定理推导角度关系，遇到线段乘积式时优先考虑通过相似三角形转化已知条件，对几何逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
26 如图，AB为$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$，过点A作$\odot O$的切线交BC的延长线于点E，连接AD。
（1）求证：$∠ BAD = ∠ E$。
（2）若$\odot O$的半径为5，$AD = 6$，求CE的长。
（1）求证：$∠ BAD = ∠ E$。
（2）若$\odot O$的半径为5，$AD = 6$，求CE的长。
答案
26 （1）因为 AE 是$\odot O$ 的切线,切点为 A,所以 $AE ⊥ AB$,因为 $CD ⊥ AB$,所以 $AE // CD$,所以 $∠E = ∠BCD$。由圆周角定理,可得 $∠BCD = ∠BAD$,所以 $∠BAD = ∠E$。
（2）连接 AC。因为 AB 为$\odot O$ 的直径,弦 $CD ⊥ AB$,所以$\overset{\frown}{AC} =\overset{\frown}{AD}$,所以 $AC = AD = 6$。因为$AB = 2×5 = 10$,所以 $BC =\sqrt{AB^2 - AC^2} = 8$。因为 $\tan B =\frac{AC}{BC} =\frac{3}{4} =\frac{AE}{AB} =\frac{AE}{10}$,所以 $AE =\frac{15}{2}$,所以 $CE =\sqrt{AE^2 - AC^2} =\frac{9}{2}$。
（2）连接 AC。因为 AB 为$\odot O$ 的直径,弦 $CD ⊥ AB$,所以$\overset{\frown}{AC} =\overset{\frown}{AD}$,所以 $AC = AD = 6$。因为$AB = 2×5 = 10$,所以 $BC =\sqrt{AB^2 - AC^2} = 8$。因为 $\tan B =\frac{AC}{BC} =\frac{3}{4} =\frac{AE}{AB} =\frac{AE}{10}$,所以 $AE =\frac{15}{2}$,所以 $CE =\sqrt{AE^2 - AC^2} =\frac{9}{2}$。
解析
【分析】
（1）要证明∠BAD=∠E，首先利用切线的性质得到AE垂直AB，结合已知CD⊥AB可推出AE//CD，进而得到∠E=∠BCD；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠BCD=∠BAD，即可完成证明。
（2）求CE的长时，先连接AC，由垂径定理可得$\overset{\frown}{AC} =\overset{\frown}{AD}$，因此AC=AD=6；再利用直径所对的圆周角为直角，在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长度；接着通过∠B的正切值在Rt△ABE中求出AE的长度；最后在Rt△ACE中用勾股定理计算得到CE的长度。
【解析】
（1）证明：
∵AE是$\odot O$的切线，切点为A，
∴$AE ⊥ AB$，
又
∵$CD ⊥ AB$，
∴$AE // CD$，
∴$∠E = ∠BCD$，
由圆周角定理可得，同弧所对的圆周角相等，即$∠BCD = ∠BAD$，
∴$∠BAD = ∠E$。
（2）解：
连接AC，
∵AB为$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$，
∴由垂径定理得$\overset{\frown}{AC} =\overset{\frown}{AD}$，
∴$AC = AD = 6$，
∵$\odot O$的半径为5，
∴$AB = 2×5 = 10$，
∵AB是直径，
∴$∠ACB = 90°$，即△ABC为直角三角形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC =\sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$，
在Rt△ABC中，$\tan B =\frac{AC}{BC} =\frac{6}{8} =\frac{3}{4}$，
在Rt△ABE中，$\tan B =\frac{AE}{AB}$，代入AB=10得：
$\frac{AE}{10} = \frac{3}{4}$，解得$AE = \frac{15}{2}$，
∵$∠ACB = 90°$，
∴$∠ACE = 180° - 90° = 90°$，即△ACE为直角三角形，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：
$CE =\sqrt{AE^2 - AC^2} =\sqrt{(\frac{15}{2})^2 - 6^2} = \frac{9}{2}$。
【答案】
（1）证明见解析；
（2）$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$
【知识点】
切线的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，结合了圆的核心性质与直角三角形的边角计算，解题关键是熟练运用切线、圆周角、垂径定理的性质推导边角关系，合理构造辅助线即可快速求解。
【难度系数】
0.6
（1）要证明∠BAD=∠E，首先利用切线的性质得到AE垂直AB，结合已知CD⊥AB可推出AE//CD，进而得到∠E=∠BCD；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠BCD=∠BAD，即可完成证明。
（2）求CE的长时，先连接AC，由垂径定理可得$\overset{\frown}{AC} =\overset{\frown}{AD}$，因此AC=AD=6；再利用直径所对的圆周角为直角，在Rt△ABC中用勾股定理求出BC的长度；接着通过∠B的正切值在Rt△ABE中求出AE的长度；最后在Rt△ACE中用勾股定理计算得到CE的长度。
【解析】
（1）证明：
∵AE是$\odot O$的切线，切点为A，
∴$AE ⊥ AB$，
又
∵$CD ⊥ AB$，
∴$AE // CD$，
∴$∠E = ∠BCD$，
由圆周角定理可得，同弧所对的圆周角相等，即$∠BCD = ∠BAD$，
∴$∠BAD = ∠E$。
（2）解：
连接AC，
∵AB为$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$，
∴由垂径定理得$\overset{\frown}{AC} =\overset{\frown}{AD}$，
∴$AC = AD = 6$，
∵$\odot O$的半径为5，
∴$AB = 2×5 = 10$，
∵AB是直径，
∴$∠ACB = 90°$，即△ABC为直角三角形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
$BC =\sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$，
在Rt△ABC中，$\tan B =\frac{AC}{BC} =\frac{6}{8} =\frac{3}{4}$，
在Rt△ABE中，$\tan B =\frac{AE}{AB}$，代入AB=10得：
$\frac{AE}{10} = \frac{3}{4}$，解得$AE = \frac{15}{2}$，
∵$∠ACB = 90°$，
∴$∠ACE = 180° - 90° = 90°$，即△ACE为直角三角形，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：
$CE =\sqrt{AE^2 - AC^2} =\sqrt{(\frac{15}{2})^2 - 6^2} = \frac{9}{2}$。
【答案】
（1）证明见解析；
（2）$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$
【知识点】
切线的性质；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，结合了圆的核心性质与直角三角形的边角计算，解题关键是熟练运用切线、圆周角、垂径定理的性质推导边角关系，合理构造辅助线即可快速求解。
【难度系数】
0.6
