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1 [2025 湖北]一元二次方程$x^2 -4x +3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，下列结论正确的是（
A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
D
）A.$x_1+x_2=-4$
B.$x_1+x_2=3$
C.$x_1x_2=4$
D.$x_1x_2=3$
答案
1.D
解析
【分析】
解决本题的核心是运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先需要明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应找到题目方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再根据韦达定理的公式分别计算两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，最后将计算结果和四个选项逐一比对选出正确结论即可，解题过程中要特别注意系数的符号不要出错。
【解析】
首先将方程$x^2 -4x +3=0$与一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应，可得：
$a=1$，$b=-4$，$c=3$
根据韦达定理，两根之和与两根之积分别为：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$
逐一判断选项：
A选项：$x_1+x_2=-4$，与计算结果4不符，错误；
B选项：$x_1+x_2=3$，与计算结果4不符，错误；
C选项：$x_1x_2=4$，与计算结果3不符，错误；
D选项：$x_1x_2=3$，与计算结果一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础概念应用题，考查对韦达定理的直接运用，解题的关键是准确识别方程各项的系数，牢记韦达定理的公式，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先需要明确一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，对应找到题目方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再根据韦达定理的公式分别计算两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$、两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，最后将计算结果和四个选项逐一比对选出正确结论即可，解题过程中要特别注意系数的符号不要出错。
【解析】
首先将方程$x^2 -4x +3=0$与一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对应，可得：
$a=1$，$b=-4$，$c=3$
根据韦达定理，两根之和与两根之积分别为：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-4)}{1}=4$
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{3}{1}=3$
逐一判断选项：
A选项：$x_1+x_2=-4$，与计算结果4不符，错误；
B选项：$x_1+x_2=3$，与计算结果4不符，错误；
C选项：$x_1x_2=4$，与计算结果3不符，错误；
D选项：$x_1x_2=3$，与计算结果一致，正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础概念应用题，考查对韦达定理的直接运用，解题的关键是准确识别方程各项的系数，牢记韦达定理的公式，避免符号运算出错。
【难度系数】
0.9
2 下列一元二次方程的两个实数根之和为－4 的是 （
A.$x^2 + 2x - 4 = 0$
B.$x^2 - 4x + 4 = 0$
C.$x^2 + 4x + 10 = 0$
D.$x^2 + 4x - 5 = 0$
D
）A.$x^2 + 2x - 4 = 0$
B.$x^2 - 4x + 4 = 0$
C.$x^2 + 4x + 10 = 0$
D.$x^2 + 4x - 5 = 0$
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要用到两个核心知识点：一是一元二次方程有两个实数根的前提是判别式Δ≥0；二是对于有实根的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。解题时先逐一判断每个选项的方程是否有两个实数根，再计算符合有实根条件的方程的两根之和，最终选出两根和为-4的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$：
1. 有两个实数根的条件为判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$；
2. 若满足上述条件，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
我们逐个分析选项：
选项A：方程$x^2 + 2x - 4 = 0$中，$a=1,b=2,c=-4$。$\Delta=2^2-4×1×(-4)=20＞0$，两根之和为$-\frac{2}{1}=-2≠-4$，不符合要求；
选项B：方程$x^2 - 4x + 4 = 0$中，$a=1,b=-4,c=4$。$\Delta=(-4)^2-4×1×4=0$，两根之和为$-\frac{(-4)}{1}=4≠-4$，不符合要求；
选项C：方程$x^2 + 4x + 10 = 0$中，$a=1,b=4,c=10$。$\Delta=4^2-4×1×10=-24＜0$，没有两个实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2 + 4x - 5 = 0$中，$a=1,b=4,c=-5$。$\Delta=4^2-4×1×(-5)=36＞0$，两根之和为$-\frac{4}{1}=-4$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题时要注意不能直接跳过根的判别式判断直接计算两根之和，避免误选无实根的选项。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要用到两个核心知识点：一是一元二次方程有两个实数根的前提是判别式Δ≥0；二是对于有实根的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。解题时先逐一判断每个选项的方程是否有两个实数根，再计算符合有实根条件的方程的两根之和，最终选出两根和为-4的选项即可。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$：
1. 有两个实数根的条件为判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$；
2. 若满足上述条件，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
我们逐个分析选项：
选项A：方程$x^2 + 2x - 4 = 0$中，$a=1,b=2,c=-4$。$\Delta=2^2-4×1×(-4)=20＞0$，两根之和为$-\frac{2}{1}=-2≠-4$，不符合要求；
选项B：方程$x^2 - 4x + 4 = 0$中，$a=1,b=-4,c=4$。$\Delta=(-4)^2-4×1×4=0$，两根之和为$-\frac{(-4)}{1}=4≠-4$，不符合要求；
选项C：方程$x^2 + 4x + 10 = 0$中，$a=1,b=4,c=10$。$\Delta=4^2-4×1×10=-24＜0$，没有两个实数根，不符合要求；
选项D：方程$x^2 + 4x - 5 = 0$中，$a=1,b=4,c=-5$。$\Delta=4^2-4×1×(-5)=36＞0$，两根之和为$-\frac{4}{1}=-4$，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题时要注意不能直接跳过根的判别式判断直接计算两根之和，避免误选无实根的选项。
【难度系数】
0.7
3 教材变式题 已知关于x的一元二次方程$x^2 + mx - 2 = 0$的一个根为-1，则m的值与另一个根分别为 （
A.2, -1
B.-1, 2
C.1, -2
D.-2, 1
B
）A.2, -1
B.-1, 2
C.1, -2
D.-2, 1
答案
3.B
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：① 利用一元二次方程根的定义，将已知根代入方程先求出参数m，再解完整方程得到另一个根；② 利用一元二次方程根与系数的关系，通过两根的和、积关系直接计算m的值和另一个根，两种方法均符合当前学段知识要求，计算难度较低。
【解析】
方法一：利用根的定义求解
1. 将已知根$x=-1$代入原方程$x^2 + mx - 2 = 0$，可得：
$(-1)^2 + m×(-1) - 2 = 0$
化简得：$1 - m - 2 = 0$，解得$m=-1$。
2. 将$m=-1$代入原方程，得$x^2 - x - 2 = 0$，因式分解为$(x-2)(x+1)=0$，解得方程的根为$x_1=2$，$x_2=-1$，因此另一个根为2。
方法二：利用根与系数的关系求解
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
1. 由两根之积得：$x_1 × (-1) = \frac{-2}{1} = -2$，解得$x_1=2$；
2. 由两根之和得：$2 + (-1) = -\frac{m}{1}$，解得$m=-1$。
综上，$m=-1$，另一个根为2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程根的相关应用，两种解题方法都较为常规，熟练掌握根的定义和根与系数的关系可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
本题可通过两种思路求解：① 利用一元二次方程根的定义，将已知根代入方程先求出参数m，再解完整方程得到另一个根；② 利用一元二次方程根与系数的关系，通过两根的和、积关系直接计算m的值和另一个根，两种方法均符合当前学段知识要求，计算难度较低。
【解析】
方法一：利用根的定义求解
1. 将已知根$x=-1$代入原方程$x^2 + mx - 2 = 0$，可得：
$(-1)^2 + m×(-1) - 2 = 0$
化简得：$1 - m - 2 = 0$，解得$m=-1$。
2. 将$m=-1$代入原方程，得$x^2 - x - 2 = 0$，因式分解为$(x-2)(x+1)=0$，解得方程的根为$x_1=2$，$x_2=-1$，因此另一个根为2。
方法二：利用根与系数的关系求解
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积为$\frac{c}{a}$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
1. 由两根之积得：$x_1 × (-1) = \frac{-2}{1} = -2$，解得$x_1=2$；
2. 由两根之和得：$2 + (-1) = -\frac{m}{1}$，解得$m=-1$。
综上，$m=-1$，另一个根为2，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题属于基础题，考查一元二次方程根的相关应用，两种解题方法都较为常规，熟练掌握根的定义和根与系数的关系可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
4 [2025苏州工业园区段考]若关于x的一元二次方程$x^2 -3x -4=0$的两个根为$x_1$和$x_2$，则$x_1 +x_2 -x_1x_2$的值为
7
。答案
4.7
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两根$x_1$、$x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，无需解方程求出根的具体值，直接根据方程确定系数$a、b、c$，算出两根之和与两根之积，再代入待求代数式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -3x -4=0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-4$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 +x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{1}=3$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-4}{1}=-4$。
将上述结果代入$x_1 +x_2 -x_1x_2$得：
原式$=3 - (-4)=3+4=7$。
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，考查对根与系数关系公式的识记与应用，运用韦达定理可直接计算得到两根的和与积，避免了解方程的繁琐，掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两根$x_1$、$x_2$满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，无需解方程求出根的具体值，直接根据方程确定系数$a、b、c$，算出两根之和与两根之积，再代入待求代数式计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 -3x -4=0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=-4$。
根据一元二次方程根与系数的关系，可得：
$x_1 +x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{1}=3$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-4}{1}=-4$。
将上述结果代入$x_1 +x_2 -x_1x_2$得：
原式$=3 - (-4)=3+4=7$。
【答案】
7
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，考查对根与系数关系公式的识记与应用，运用韦达定理可直接计算得到两根的和与积，避免了解方程的繁琐，掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.9
5 [2025攀枝花]已知a，b是方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的两根，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的值为
$\frac{2}{3}$
。答案
5.$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的两个根，求分式代数式的值，解题思路如下：首先观察所求代数式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，可通过通分将其变形为用两根之和$a+b$、两根之积$ab$表示的形式；再利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出方程两根的和与积；最后将对应数值代入变形后的代数式计算即可得到结果，无需单独求解方程的两个根，可简化计算过程。
【解析】
∵ $a$，$b$是方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的两根，
根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和$a+b=-\frac{B}{A}$，两根之积$ab=\frac{C}{A}$，
在方程$x^2 + 2x - 3 = 0$中，$A=1$，$B=2$，$C=-3$，
∴ $a+b=-\frac{2}{1}=-2$，$ab=\frac{-3}{1}=-3$，
对所求代数式通分化简：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}=\frac{a+b}{ab}$，
将$a+b=-2$，$ab=-3$代入得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的常规应用题型，解题核心是将所求代数式转化为两根之和、两根之积的表达形式，计算过程中需注意符号运算，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程的两个根，求分式代数式的值，解题思路如下：首先观察所求代数式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，可通过通分将其变形为用两根之和$a+b$、两根之积$ab$表示的形式；再利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出方程两根的和与积；最后将对应数值代入变形后的代数式计算即可得到结果，无需单独求解方程的两个根，可简化计算过程。
【解析】
∵ $a$，$b$是方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的两根，
根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和$a+b=-\frac{B}{A}$，两根之积$ab=\frac{C}{A}$，
在方程$x^2 + 2x - 3 = 0$中，$A=1$，$B=2$，$C=-3$，
∴ $a+b=-\frac{2}{1}=-2$，$ab=\frac{-3}{1}=-3$，
对所求代数式通分化简：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}=\frac{a+b}{ab}$，
将$a+b=-2$，$ab=-3$代入得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的常规应用题型，解题核心是将所求代数式转化为两根之和、两根之积的表达形式，计算过程中需注意符号运算，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
6 设一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 +3x +2=0$的两根分别为$x_1,x_2$，则$(x_1 -x_2)^2$的值为
20
。答案
6. 20 【解析】由根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = -6, x_1 x_2 = 4$，
$\therefore (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = (-6)^2 - 4 × 4 = 36 - 16 = 20$。
$\therefore (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = (-6)^2 - 4 × 4 = 36 - 16 = 20$。
解析
【分析】
要求$(x_1 - x_2)^2$的值，无需直接求解一元二次方程得到两个根，可先利用完全平方公式将所求式子变形为含两根之和、两根之积的形式：$(x_1 - x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，再根据一元二次方程根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，最后代入变形后的式子计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 +3x +2=0$，其中$a=\frac{1}{2}$，$b=3$，$c=2$，
由根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}=-\frac{3}{\frac{1}{2}}=-6$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$，
将上述结果代入变形公式得：
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = (-6)^2 - 4 × 4 = 36 - 16 = 20$。
【答案】
20
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题核心是掌握两根差的平方与两根和、两根积的转化关系，利用韦达定理求解可简化计算，避免直接解方程的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
要求$(x_1 - x_2)^2$的值，无需直接求解一元二次方程得到两个根，可先利用完全平方公式将所求式子变形为含两根之和、两根之积的形式：$(x_1 - x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$，再根据一元二次方程根与系数的关系求出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的值，最后代入变形后的式子计算即可。
【解析】
对于一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 +3x +2=0$，其中$a=\frac{1}{2}$，$b=3$，$c=2$，
由根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}=-\frac{3}{\frac{1}{2}}=-6$，
$x_1 x_2 = \frac{c}{a}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$，
将上述结果代入变形公式得：
$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = (-6)^2 - 4 × 4 = 36 - 16 = 20$。
【答案】
20
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题，解题核心是掌握两根差的平方与两根和、两根积的转化关系，利用韦达定理求解可简化计算，避免直接解方程的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
7 已知一元二次方程$2x^2 - 3x -1=0$的两根分别为$m,n$，求$\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$的值。
答案
7. $\because$ 一元二次方程$2x^2 -3x -1=0$的两根分别为$m,n$，$\therefore m + n = \frac{3}{2}, mn = -\frac{1}{2}$，$\therefore \frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{n^2 + m^2}{mn} = \frac{(m + n)^2 - 2mn}{mn} = \frac{(\frac{3}{2})^2 - 2 × (-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}} = -\frac{13}{2}$
解析
【分析】
遇到已知一元二次方程两根，求关于两根的代数式值的问题时，优先用一元二次方程根与系数的关系求解，可避免直接求根的复杂计算。解题时第一步先根据方程系数求出两根之和$m+n$与两根之积$mn$；第二步将所求代数式$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$通分化简，再利用完全平方公式的变形，将分子转化为用$m+n$和$mn$表示的形式；最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because$ 一元二次方程$2x^2 - 3x -1=0$的两根分别为$m,n$，
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$m + n = \frac{3}{2}$，$mn = -\frac{1}{2}$，
对所求代数式变形：
$\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{n^2 + m^2}{mn}$，
由完全平方公式变形可得$m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn$，代入上式得：
原式$=\frac{(m + n)^2 - 2mn}{mn}$，
将$m + n = \frac{3}{2}$，$mn = -\frac{1}{2}$代入计算：
$=\frac{(\frac{3}{2})^2 - 2 × (-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}$
$=\frac{\frac{9}{4} + 1}{-\frac{1}{2}}$
$=-\frac{13}{2}$
【答案】
$-\frac{13}{2}$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.完全平方公式变形 3.分式化简
【点评】
本题是根与系数关系的常规应用题型，核心是将所求代数式通过恒等变形转化为含两根之和、两根之积的形式，简化计算过程，侧重考查学生对代数式变形技巧的掌握和对韦达定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.75
遇到已知一元二次方程两根，求关于两根的代数式值的问题时，优先用一元二次方程根与系数的关系求解，可避免直接求根的复杂计算。解题时第一步先根据方程系数求出两根之和$m+n$与两根之积$mn$；第二步将所求代数式$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$通分化简，再利用完全平方公式的变形，将分子转化为用$m+n$和$mn$表示的形式；最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because$ 一元二次方程$2x^2 - 3x -1=0$的两根分别为$m,n$，
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$m + n = \frac{3}{2}$，$mn = -\frac{1}{2}$，
对所求代数式变形：
$\frac{n}{m} + \frac{m}{n} = \frac{n^2 + m^2}{mn}$，
由完全平方公式变形可得$m^2 + n^2 = (m + n)^2 - 2mn$，代入上式得：
原式$=\frac{(m + n)^2 - 2mn}{mn}$，
将$m + n = \frac{3}{2}$，$mn = -\frac{1}{2}$代入计算：
$=\frac{(\frac{3}{2})^2 - 2 × (-\frac{1}{2})}{-\frac{1}{2}}$
$=\frac{\frac{9}{4} + 1}{-\frac{1}{2}}$
$=-\frac{13}{2}$
【答案】
$-\frac{13}{2}$
【知识点】
1.一元二次方程根与系数的关系 2.完全平方公式变形 3.分式化简
【点评】
本题是根与系数关系的常规应用题型，核心是将所求代数式通过恒等变形转化为含两根之和、两根之积的形式，简化计算过程，侧重考查学生对代数式变形技巧的掌握和对韦达定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.75
8 [2025 河北]若一元二次方程$x(x+2)-3=0$的两根之和与两根之积分别为$m,n$，则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
8.C
解析
【分析】
解题思路如下：首先需要将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定系数$a、b、c$的取值；再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别计算出两根之和$m$、两根之积$n$；最后根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
第一步：将方程化为一般形式
对$x(x+2)-3=0$展开整理得：$x^2+2x-3=0$，由此可得$a=1$，$b=2$，$c=-3$。
第二步：利用韦达定理求$m、n$
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$m=-\frac{b}{a}$，两根之积$n=\frac{c}{a}$，代入数值计算：
$m=-\frac{2}{1}=-2$，$n=\frac{-3}{1}=-3$。
第三步：判断点所在象限
点$(m,n)$即$(-2,-3)$，横坐标为负、纵坐标为负，符合第三象限内点的坐标特征。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题为基础类题目，解题的关键是先将方程化为一般形式，准确确定各项系数的符号，再结合根与系数的关系计算，避免因系数符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先需要将给定的一元二次方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定系数$a、b、c$的取值；再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），分别计算出两根之和$m$、两根之积$n$；最后根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征，判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
第一步：将方程化为一般形式
对$x(x+2)-3=0$展开整理得：$x^2+2x-3=0$，由此可得$a=1$，$b=2$，$c=-3$。
第二步：利用韦达定理求$m、n$
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$m=-\frac{b}{a}$，两根之积$n=\frac{c}{a}$，代入数值计算：
$m=-\frac{2}{1}=-2$，$n=\frac{-3}{1}=-3$。
第三步：判断点所在象限
点$(m,n)$即$(-2,-3)$，横坐标为负、纵坐标为负，符合第三象限内点的坐标特征。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；平面直角坐标系中点的坐标特征
【点评】
本题为基础类题目，解题的关键是先将方程化为一般形式，准确确定各项系数的符号，再结合根与系数的关系计算，避免因系数符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
9 [2025常熟市段考]已知关于x的方程$ax^2 + bx + 1 = 0$的两根为$x_1=1$，$x_2=2$，则方程$a(x+2)^2 + b(x+2) + 1 = 0$的两根之和为（
A.3
B.−1
C.1
D.0
B
）A.3
B.−1
C.1
D.0
答案
9.B 【解析】把方程$a(x+2)^2 + b(x+2) + 1 = 0$看作关于$x+2$的一元二次方程，$\because$ 关于$x$的方程$ax^2 + bx + 1 = 0$的两根为$x_1=1$，$x_2=2$，$\therefore x+2=1$或$x+2=2$，解得$x_3=-1, x_4=0. \therefore x_3 + x_4 = -1 + 0 = -1$。
解析
【分析】
本题可通过观察两个方程的结构特征，用整体代换的思路求解。首先发现两个方程形式完全一致，仅未知数部分从x替换为了(x+2)，因此可以将(x+2)看作一个整体，借助已知原方程的根得到(x+2)的取值，再求解新方程的根，最后计算两根之和即可，无需展开新方程计算参数a、b的值，能大幅简化运算。
【解析】
设$ t = x + 2 $，则方程$ a(x+2)^2 + b(x+2) + 1 = 0 $可转化为$ at^2 + bt + 1 = 0 $。
已知关于x的方程$ ax^2 + bx + 1 = 0 $的两根为$ x_1=1 $、$ x_2=2 $，因此方程$ at^2 + bt + 1 = 0 $的两根为$ t_1=1 $、$ t_2=2 $，即：
$ x + 2 = 1 $或$ x + 2 = 2 $
解得$ x_3 = -1 $，$ x_4 = 0 $
则两根之和为$ x_3 + x_4 = -1 + 0 = -1 $。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义、整体代换思想、一元二次方程求解
【点评】
本题侧重考查方程结构观察能力与整体代换思想的运用，无需计算参数的具体值，通过整体替换即可快速得到新方程的根，是处理同结构方程问题的典型方法，能有效简化运算、降低计算失误率。
【难度系数】
0.7
本题可通过观察两个方程的结构特征，用整体代换的思路求解。首先发现两个方程形式完全一致，仅未知数部分从x替换为了(x+2)，因此可以将(x+2)看作一个整体，借助已知原方程的根得到(x+2)的取值，再求解新方程的根，最后计算两根之和即可，无需展开新方程计算参数a、b的值，能大幅简化运算。
【解析】
设$ t = x + 2 $，则方程$ a(x+2)^2 + b(x+2) + 1 = 0 $可转化为$ at^2 + bt + 1 = 0 $。
已知关于x的方程$ ax^2 + bx + 1 = 0 $的两根为$ x_1=1 $、$ x_2=2 $，因此方程$ at^2 + bt + 1 = 0 $的两根为$ t_1=1 $、$ t_2=2 $，即：
$ x + 2 = 1 $或$ x + 2 = 2 $
解得$ x_3 = -1 $，$ x_4 = 0 $
则两根之和为$ x_3 + x_4 = -1 + 0 = -1 $。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的定义、整体代换思想、一元二次方程求解
【点评】
本题侧重考查方程结构观察能力与整体代换思想的运用，无需计算参数的具体值，通过整体替换即可快速得到新方程的根，是处理同结构方程问题的典型方法，能有效简化运算、降低计算失误率。
【难度系数】
0.7
10 [2025 常熟市期末]若关于$x$的一元二次方程$x^2+6x-m=0$的两根分别为$x_1,x_2$，且$x_1=2x_2$，则$m$的值为________。
答案
10. $-8$
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先回忆韦达定理内容：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题已知两根的数量关系$x_1=2x_2$，先通过两根之和的公式求出两根的具体值，再代入两根之积的公式即可求出$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+6x-m=0$，其中$a=1$，$b=6$，$c=-m$。
根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-6$ ①
$x_1x_2=\frac{c}{a}=-m$ ②
已知$x_1=2x_2$，将其代入①式得：
$2x_2+x_2=-6$
$3x_2=-6$
解得$x_2=-2$
则$x_1=2x_2=2×(-2)=-4$
将$x_1=-4$，$x_2=-2$代入②式得：
$(-4)×(-2)=-m$
$8=-m$
解得$m=-8$
【答案】
$-8$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代入消元法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的灵活应用，结合题目给出的两根倍数关系，通过代入消元先求出两根的值，再计算参数即可，解题时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先回忆韦达定理内容：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。本题已知两根的数量关系$x_1=2x_2$，先通过两根之和的公式求出两根的具体值，再代入两根之积的公式即可求出$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$x^2+6x-m=0$，其中$a=1$，$b=6$，$c=-m$。
根据韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-6$ ①
$x_1x_2=\frac{c}{a}=-m$ ②
已知$x_1=2x_2$，将其代入①式得：
$2x_2+x_2=-6$
$3x_2=-6$
解得$x_2=-2$
则$x_1=2x_2=2×(-2)=-4$
将$x_1=-4$，$x_2=-2$代入②式得：
$(-4)×(-2)=-m$
$8=-m$
解得$m=-8$
【答案】
$-8$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，代入消元法
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的灵活应用，结合题目给出的两根倍数关系，通过代入消元先求出两根的值，再计算参数即可，解题时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.8
