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11 已知关于x的一元二次方程$x^2 + 2x - 2m + 1 = 0$的两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是
$m＞\frac{1}{2}$
。答案
11. $m＞\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题思路如下：① 题目明确给出该方程是有两个实数根的一元二次方程，因此求解需结合两个条件：一是两个实数根之积为负数，二是方程满足有实根的判别式要求；② 根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之积等于常数项与二次项系数的比值，据此列出关于m的不等式；③ 解不等式后，代入判别式验证取值范围是否符合有两个实根的要求，最终得到m的取值范围。
【解析】
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，$c=-2m+1$，因此$x_1x_2=-2m+1$。
由题意“两个实数根之积为负数”，可得不等式：
$-2m+1＜0$
解得：$m＞\frac{1}{2}$。
2. 验证方程有两个实数根的条件：判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$。
代入$a=1$，$b=2$，$c=-2m+1$得：
$\Delta=2^2-4×1×(-2m+1)=4+8m-4=8m$
当$m＞\frac{1}{2}$时，$8m＞4＞0$，满足$\Delta＞0$，即方程有两个不相等的实数根，符合题意。
综上，实数$m$的取值范围是$m＞\frac{1}{2}$。
【答案】
$m＞\frac{1}{2}$
【知识点】
韦达定理；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，核心考查韦达定理的掌握程度，解题时要注意结合方程有实根的判别式条件验证结果，避免因忽略前提条件出错。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：① 题目明确给出该方程是有两个实数根的一元二次方程，因此求解需结合两个条件：一是两个实数根之积为负数，二是方程满足有实根的判别式要求；② 根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之积等于常数项与二次项系数的比值，据此列出关于m的不等式；③ 解不等式后，代入判别式验证取值范围是否符合有两个实根的要求，最终得到m的取值范围。
【解析】
设方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$。
1. 根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，$c=-2m+1$，因此$x_1x_2=-2m+1$。
由题意“两个实数根之积为负数”，可得不等式：
$-2m+1＜0$
解得：$m＞\frac{1}{2}$。
2. 验证方程有两个实数根的条件：判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$。
代入$a=1$，$b=2$，$c=-2m+1$得：
$\Delta=2^2-4×1×(-2m+1)=4+8m-4=8m$
当$m＞\frac{1}{2}$时，$8m＞4＞0$，满足$\Delta＞0$，即方程有两个不相等的实数根，符合题意。
综上，实数$m$的取值范围是$m＞\frac{1}{2}$。
【答案】
$m＞\frac{1}{2}$
【知识点】
韦达定理；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题型，核心考查韦达定理的掌握程度，解题时要注意结合方程有实根的判别式条件验证结果，避免因忽略前提条件出错。
【难度系数】
0.7
12 [2024 昆山市期末]关于x的一元二次方程$mx^2 - x + m = 0(m≠0)$的两根为$x_1,x_2$.
(1) 设$y=\frac{3}{x_1}+\frac{3}{x_2}$,请用含m的代数式表示y;
(2) 在(1)的条件下,当$y=6$时,求此时方程的根.
(1) 设$y=\frac{3}{x_1}+\frac{3}{x_2}$,请用含m的代数式表示y;
(2) 在(1)的条件下,当$y=6$时,求此时方程的根.
答案
12. (1) 根据根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = \frac{1}{m}, x_1 x_2 = 1$，$\therefore y = \frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2} = \frac{3(x_1 + x_2)}{x_1 x_2} = \frac{3}{m}$
(2) 当$y=6$时，$\frac{3}{m}=6$，解得$m=\frac{1}{2}$.此时方程可化为$\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2}=0$，即$x^2 - 2x + 1=0$，即$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$
(2) 当$y=6$时，$\frac{3}{m}=6$，解得$m=\frac{1}{2}$.此时方程可化为$\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2}=0$，即$x^2 - 2x + 1=0$，即$(x-1)^2=0$，解得$x_1=x_2=1$
解析
【分析】
（1）要将y用含m的代数式表示，首先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，再将y的表达式通分变形为含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后代入化简即可得到y与m的关系式。
（2）当y=6时，先代入（1）的结论求出m的值，再将m代入原一元二次方程，通过因式分解法解方程即可得到方程的根。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$mx^2 - x + m = 0(m≠0)$，由根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = \frac{1}{m}$，$x_1 x_2 = 1$
对y的表达式通分变形：
$y = \frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2} = \frac{3(x_1 + x_2)}{x_1 x_2}$
将$x_1 + x_2 = \frac{1}{m}$，$x_1 x_2 = 1$代入上式得：
$y = \frac{3× \frac{1}{m}}{1} = \frac{3}{m}$
(2) 当$y=6$时，代入$y = \frac{3}{m}$得：
$\frac{3}{m} = 6$
解得$m = \frac{1}{2}$
将$m = \frac{1}{2}$代入原方程得：
$\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} = 0$
两边同时乘2整理得：
$x^2 - 2x + 1 = 0$
因式分解得：
$(x - 1)^2 = 0$
解得$x_1 = x_2 = 1$
【答案】
(1) $y=\frac{3}{m}$；(2) $x_1=x_2=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 分式化简 3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握韦达定理，能对目标代数式进行合理变形，代入参数后求解方程的过程运算量小，只要掌握基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）要将y用含m的代数式表示，首先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和$x_1+x_2$与两根之积$x_1x_2$，再将y的表达式通分变形为含有$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式，最后代入化简即可得到y与m的关系式。
（2）当y=6时，先代入（1）的结论求出m的值，再将m代入原一元二次方程，通过因式分解法解方程即可得到方程的根。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$mx^2 - x + m = 0(m≠0)$，由根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = \frac{1}{m}$，$x_1 x_2 = 1$
对y的表达式通分变形：
$y = \frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2} = \frac{3(x_1 + x_2)}{x_1 x_2}$
将$x_1 + x_2 = \frac{1}{m}$，$x_1 x_2 = 1$代入上式得：
$y = \frac{3× \frac{1}{m}}{1} = \frac{3}{m}$
(2) 当$y=6$时，代入$y = \frac{3}{m}$得：
$\frac{3}{m} = 6$
解得$m = \frac{1}{2}$
将$m = \frac{1}{2}$代入原方程得：
$\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{1}{2} = 0$
两边同时乘2整理得：
$x^2 - 2x + 1 = 0$
因式分解得：
$(x - 1)^2 = 0$
解得$x_1 = x_2 = 1$
【答案】
(1) $y=\frac{3}{m}$；(2) $x_1=x_2=1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 分式化简 3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题核心是熟练掌握韦达定理，能对目标代数式进行合理变形，代入参数后求解方程的过程运算量小，只要掌握基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
13 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2k+1)x + k^2 + 2k = 0 $ 有两个实数根 $ x_1, x_2 $。
(1) 求实数 $ k $ 的取值范围。
(2) 是否存在实数 $ k $，使得 $ x_1(x_2 - x_1) - x_2^2 ≥ 0 $ 成立？若存在，请求出 $ k $ 的值；若不存在，请说明理由。
(1) 求实数 $ k $ 的取值范围。
(2) 是否存在实数 $ k $，使得 $ x_1(x_2 - x_1) - x_2^2 ≥ 0 $ 成立？若存在，请求出 $ k $ 的值；若不存在，请说明理由。
答案
13. (1) $\because$ 方程有两个实数根，$\therefore \Delta = [-(2k+1)]^2 - 4(k^2 + 2k) = 1 - 4k ≥ 0$，解得$k ≤ \frac{1}{4}$
(2) 不存在 理由：假设存在实数$k$，使得$x_1(x_2 - x_1) - x_2^2 ≥ 0$成立. $\because x_1, x_2$是原方程的两个实数根，$\therefore x_1 + x_2 = 2k + 1, x_1 x_2 = k^2 + 2k$. $\because x_1(x_2 - x_1) - x_2^2 ≥ 0$，即$x_1 x_2 - x_1^2 - x_2^2 ≥ 0$，$\therefore 3x_1 x_2 - (x_1 + x_2)^2 ≥ 0$，即$3(k^2 + 2k) - (2k + 1)^2 ≥ 0$.整理，得$(k-1)^2 ≤ 0. \therefore k=1$.由(1)，知$k ≤ \frac{1}{4}$，$\therefore$ 不存在实数$k$，使得$x_1(x_2 - x_1) - x_2^2 ≥ 0$成立。
(2) 不存在 理由：假设存在实数$k$，使得$x_1(x_2 - x_1) - x_2^2 ≥ 0$成立. $\because x_1, x_2$是原方程的两个实数根，$\therefore x_1 + x_2 = 2k + 1, x_1 x_2 = k^2 + 2k$. $\because x_1(x_2 - x_1) - x_2^2 ≥ 0$，即$x_1 x_2 - x_1^2 - x_2^2 ≥ 0$，$\therefore 3x_1 x_2 - (x_1 + x_2)^2 ≥ 0$，即$3(k^2 + 2k) - (2k + 1)^2 ≥ 0$.整理，得$(k-1)^2 ≤ 0. \therefore k=1$.由(1)，知$k ≤ \frac{1}{4}$，$\therefore$ 不存在实数$k$，使得$x_1(x_2 - x_1) - x_2^2 ≥ 0$成立。
解析
【分析】
(1) 已知一元二次方程有两个实数根，根据根的判别式的意义，当$\Delta ≥ 0$时方程有两个实数根，因此先计算该方程的判别式，列出关于$k$的不等式，求解即可得到$k$的取值范围。
(2) 要判断是否存在满足条件的$k$，先利用根与系数的关系求出原方程的两根之和与两根之积，再将给出的不等式变形，转化为用两根和、两根积表示的形式，代入后得到关于$k$的不等式，求解出$k$的范围后，和第(1)问的$k$的取值范围对比，若有交集则存在对应$k$，否则不存在。
【解析】
(1) $\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2k+1)x + k^2 + 2k = 0$有两个实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta ≥ 0$，
计算得：$\Delta = [-(2k+1)]^2 - 4(k^2 + 2k) = 4k^2+4k+1-4k^2-8k = 1-4k$，
$\therefore 1-4k ≥ 0$，解得$k ≤ \frac{1}{4}$。
(2) 不存在符合条件的实数$k$，理由如下：
假设存在实数$k$，使得$x_1(x_2 - x_1) - x_2^2 ≥ 0$成立。
$\because x_1, x_2$是原方程的两个实数根，
$\therefore$ 由根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = 2k + 1$，$x_1 x_2 = k^2 + 2k$。
对不等式变形：$x_1x_2 - x_1^2 - x_2^2 ≥ 0$，
整理为含两根和与两根积的形式：$3x_1x_2 - (x_1 + x_2)^2 ≥ 0$，
代入得：$3(k^2 + 2k) - (2k + 1)^2 ≥ 0$，
展开化简得：$-k^2+2k-1 ≥ 0$，即$(k-1)^2 ≤ 0$，
$\therefore$ 仅$k=1$满足该不等式，
又由(1)知$k ≤ \frac{1}{4}$，$k=1$不在该范围内，
$\therefore$ 不存在实数$k$使得$x_1(x_2 - x_1) - x_2^2 ≥ 0$成立。
【答案】
(1) $k ≤ \frac{1}{4}$；(2) 不存在，理由见解析
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的综合题型，解题时需注意第一问求得的参数取值范围是第二问的前提，求解第二问后要验证结果是否符合第一问的范围，避免出现增解，是该部分的典型考法。
【难度系数】
0.65
(1) 已知一元二次方程有两个实数根，根据根的判别式的意义，当$\Delta ≥ 0$时方程有两个实数根，因此先计算该方程的判别式，列出关于$k$的不等式，求解即可得到$k$的取值范围。
(2) 要判断是否存在满足条件的$k$，先利用根与系数的关系求出原方程的两根之和与两根之积，再将给出的不等式变形，转化为用两根和、两根积表示的形式，代入后得到关于$k$的不等式，求解出$k$的范围后，和第(1)问的$k$的取值范围对比，若有交集则存在对应$k$，否则不存在。
【解析】
(1) $\because$ 关于$x$的一元二次方程$x^2 - (2k+1)x + k^2 + 2k = 0$有两个实数根，
$\therefore$ 判别式$\Delta ≥ 0$，
计算得：$\Delta = [-(2k+1)]^2 - 4(k^2 + 2k) = 4k^2+4k+1-4k^2-8k = 1-4k$，
$\therefore 1-4k ≥ 0$，解得$k ≤ \frac{1}{4}$。
(2) 不存在符合条件的实数$k$，理由如下：
假设存在实数$k$，使得$x_1(x_2 - x_1) - x_2^2 ≥ 0$成立。
$\because x_1, x_2$是原方程的两个实数根，
$\therefore$ 由根与系数的关系得：$x_1 + x_2 = 2k + 1$，$x_1 x_2 = k^2 + 2k$。
对不等式变形：$x_1x_2 - x_1^2 - x_2^2 ≥ 0$，
整理为含两根和与两根积的形式：$3x_1x_2 - (x_1 + x_2)^2 ≥ 0$，
代入得：$3(k^2 + 2k) - (2k + 1)^2 ≥ 0$，
展开化简得：$-k^2+2k-1 ≥ 0$，即$(k-1)^2 ≤ 0$，
$\therefore$ 仅$k=1$满足该不等式，
又由(1)知$k ≤ \frac{1}{4}$，$k=1$不在该范围内，
$\therefore$ 不存在实数$k$使得$x_1(x_2 - x_1) - x_2^2 ≥ 0$成立。
【答案】
(1) $k ≤ \frac{1}{4}$；(2) 不存在，理由见解析
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 不等式求解
【点评】
本题是一元二次方程的综合题型，解题时需注意第一问求得的参数取值范围是第二问的前提，求解第二问后要验证结果是否符合第一问的范围，避免出现增解，是该部分的典型考法。
【难度系数】
0.65
14 [2025 宿迁]方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$，求$(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026)$的值.
答案
14. $\because$ 方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$，$\therefore m^2 - 2024m - 2025 = 0, n^2 - 2024n - 2025 = 0, m + n = 2024, mn = -2025$，$\therefore m^2 = 2024m + 2025, n^2 = 2024n + 2025$，$\therefore (m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026) = (2024m + 2025 - 2023m - 2026)(2024n + 2025 - 2023n - 2026) = (m-1)(n-1) = mn - (m + n) + 1 = -2025 - 2024 + 1 = -4048$
解析
【分析】
所求代数式含有m²、n²的二次项，若直接解方程求m、n的值代入计算，计算量极大且易出错。解题时首先利用一元二次方程根的定义，将m²、n²转化为含m、n的一次式，代入所求代数式完成降次化简，再结合根与系数的关系得到的两根之和、两根之积，整体代入化简后的式子即可求出结果，避免繁琐的求根运算。
【解析】
∵ 方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$，
∴ 根据一元二次方程根的定义可得：$m^2 - 2024m - 2025 = 0$，$n^2 - 2024n - 2025 = 0$，
根据根与系数的关系可得：$m + n = 2024$，$mn = -2025$，
对根的等式变形得：$m^2 = 2024m + 2025$，$n^2 = 2024n + 2025$，
将上述式子代入所求代数式：
$\begin{aligned}&(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026)\\=&(2024m + 2025 - 2023m - 2026)(2024n + 2025 - 2023n - 2026)\\=&(m - 1)(n - 1)\\=&mn - (m + n) + 1\end{aligned}$
将$m + n = 2024$，$mn = -2025$代入上式得：
原式$= -2025 - 2024 + 1 = -4048$
【答案】
$\boldsymbol{-4048}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根的相关计算的典型题型，核心考察整体代入的数学思想，无需解出方程的根，通过降次、整体代入即可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.6
所求代数式含有m²、n²的二次项，若直接解方程求m、n的值代入计算，计算量极大且易出错。解题时首先利用一元二次方程根的定义，将m²、n²转化为含m、n的一次式，代入所求代数式完成降次化简，再结合根与系数的关系得到的两根之和、两根之积，整体代入化简后的式子即可求出结果，避免繁琐的求根运算。
【解析】
∵ 方程$x^2 - 2024x - 2025 = 0$的两个根分别是$m,n$，
∴ 根据一元二次方程根的定义可得：$m^2 - 2024m - 2025 = 0$，$n^2 - 2024n - 2025 = 0$，
根据根与系数的关系可得：$m + n = 2024$，$mn = -2025$，
对根的等式变形得：$m^2 = 2024m + 2025$，$n^2 = 2024n + 2025$，
将上述式子代入所求代数式：
$\begin{aligned}&(m^2 - 2023m - 2026)(n^2 - 2023n - 2026)\\=&(2024m + 2025 - 2023m - 2026)(2024n + 2025 - 2023n - 2026)\\=&(m - 1)(n - 1)\\=&mn - (m + n) + 1\end{aligned}$
将$m + n = 2024$，$mn = -2025$代入上式得：
原式$= -2025 - 2024 + 1 = -4048$
【答案】
$\boldsymbol{-4048}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根的相关计算的典型题型，核心考察整体代入的数学思想，无需解出方程的根，通过降次、整体代入即可大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.6
