9. (2024秋·庄浪县期末)如图,点D,E在△ABC的边BC上,AD=AE,BD=CE,求证:AB=AC.

证明:过点A作$AF⊥ BC$于点F,$\because AD=AE,\therefore DF=EF.\because BD=CE,\therefore BF=CF,\therefore AB=AC.$

10. (2025·连州市模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,点E是AD上一点,连接BE,CE.下列说法错误的是 ()

A.BD=DC
B.∠BAD=∠CAD
C.AB=AD
D.BE=CE

第10题 第11题 第12题

C

11.（2024秋·无为市期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=69°，则∠CDE的度数是（）

A.$60°$
B.$69°$
C.$76°$
D.$88°$

D

12. (2024·内江)如图,在$△ ABC$中,$∠ DCE=40°$,$AE=AC$,$BC=BD$,则$∠ ACB$的度数为.

$100°$

13. (2024秋·辛集市期末)如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ ACB=120°$,$BE⊥ AB$,点$D$为$BC$上一点,且$CD=BE$,$AD$,$CE$交于点$P$.
（1）试说明$△ ACD≌△ CBE$；
（2）猜想$∠ APC$的度数,并证明.

（1）证明:$\because AC=BC,∠ ACB=120°,\therefore ∠ CAB=∠ CBA=30°.\because BE⊥ AB,\therefore ∠ CBE=30°+90°=120°,\therefore ∠ ACB=∠ CBE$,在$△ ACD$和$△ CBE$中,$\begin{cases}AC=CB,\\∠ ACB=∠ CBE,\\CD=BE,\end{cases}\therefore △ ACD≌△ CBE$(SAS);
（2）解:$∠ APC=60°$,理由如下:
$\because △ ACD≌△ CBE,\therefore ∠ CAP=∠ PCD.$
$\because ∠ ACP+∠ PCD=120°,\therefore ∠ CAP+∠ ACP=120°,\therefore ∠ APC=180°-120°=60°.$