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14. 如图所示，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，$D$为$BC$边上的中点，$CE⊥ AD$于点$E$，$BF// AC$交$CE$的延长线于点$F$，求证：$AB$垂直平分$DF$。
答案
证明:如图,连接DF,$\because ∠ BCE+∠ ACE=90°,∠ ACE+∠ CAE=90°,\therefore ∠ BCE=∠ CAE.\because AC⊥ BC,BF// AC,\therefore BF⊥ BC,\therefore ∠ ACD=∠ CBF=90°.\because AC=CB,\therefore △ ACD≌△ CBF,\therefore CD=BF.\because CD=BD=\frac{1}{2}BC,\therefore BF=BD,\therefore △ BFD$为等腰直角三角形.
$\because ∠ ACB=90°,CA=CB,\therefore ∠ ABC=45°.$
$\because ∠ FBD=90°,\therefore ∠ ABF=45°,\therefore ∠ ABC=∠ ABF$,即BA是$∠ FBD$的平分线,$\therefore BA$是FD边上的高线,BA又是边FD的中线,即AB垂直平分DF.
第14题15. (2024秋·江都区期末)如图，$AB=AC=AD$.
(1)若$AD// BC$，
①如果$∠ C=80°$，那么$∠ D$的度数为
②猜想$∠ C$和$∠ D$的数量关系并证明；
(2)如果$∠ C=2∠ D$，$AD$与$BC$有什么位置关系？请证明你的结论.
(1)若$AD// BC$，
①如果$∠ C=80°$，那么$∠ D$的度数为
40
°；②猜想$∠ C$和$∠ D$的数量关系并证明；
(2)如果$∠ C=2∠ D$，$AD$与$BC$有什么位置关系？请证明你的结论.
答案
(1) ①40 ②$∠ C=2∠ D$,理由如下:
$\because AD// BC,\therefore ∠ D=∠ DBC$,又$\because AB=AD,\therefore ∠ D=∠ ABD,\therefore ∠ ABC=2∠ D.\because AB=AC,\therefore ∠ C=∠ ABC=2∠ D$;
(2) 平行,如下:$\because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ C=2∠ D$,又$\because AB=AD,\therefore ∠ ABD=∠ D,\therefore ∠ DBC=∠ D,\therefore AD// BC.$
$\because AD// BC,\therefore ∠ D=∠ DBC$,又$\because AB=AD,\therefore ∠ D=∠ ABD,\therefore ∠ ABC=2∠ D.\because AB=AC,\therefore ∠ C=∠ ABC=2∠ D$;
(2) 平行,如下:$\because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ C=2∠ D$,又$\because AB=AD,\therefore ∠ ABD=∠ D,\therefore ∠ DBC=∠ D,\therefore AD// BC.$
16.（2024春·二七区期末）问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠B=40°.将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°），设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N.
特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，旋转角α的度数为
探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论.
拓展延伸：（3）当△DOM是等腰三角形时，求旋转角α的度数.
特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，旋转角α的度数为
50°
；探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论.
拓展延伸：（3）当△DOM是等腰三角形时，求旋转角α的度数.
答案
(1) $50°$
（2）证明:$\because AB=AC,\therefore ∠ ABM=∠ C$,由旋转得:$∠ AEN=∠ C,∠ BAM=∠ EAN=α$,$AD=AE=AB,\therefore ∠ ABM=∠ AEN$,在$△ ABM$和$△ AEN$中,$\begin{cases}∠ ABM=∠ AEN,\\AB=AE,\\∠ BAM=∠ EAN,\end{cases}\therefore △ ABM≌△ AEN$(ASA),$\therefore AM=AN$;
（3）解:①如图1,当$MD=MO$时,由旋转得:$∠ MDO=40°,\therefore ∠ MOD=40°$,$\therefore ∠ AMO=2∠ MDO=80°.\because ∠ AMO=∠ ABM+∠ BAM,\therefore ∠ BAM=80°-40°=40°,\therefore α=40°$;②如图2,当$DM=DO$时,由①得:$∠ MDO=40°$,$\therefore ∠ DOM=\frac{180°-∠ MDO}{2}=70°.\therefore ∠ AMO=∠ MDO+∠ DOM=110°.\because ∠ AMO=∠ ABM+∠ BAM,\therefore ∠ BAM=110°-40°=70°,\therefore α=70°$;
③如图3,当$OD=OM$时,由①得:$∠ MDO=∠ DMO=40°,\therefore ∠ AMO=180°-∠ DMO=140°$,$\because ∠ AMO=∠ ABM+∠ BAM\therefore ∠ BAM=140°-40°=100°,\therefore α=100°.\because 0°＜α＜100°,\therefore α=100°$不合题意,舍去;综上所述:旋转角$α$的度数为$40°$或$70°$.
第16题