10.如果a,b分别是2026的两个平方根,那么a+b-ab=.

$2026$

【分析】
解题时首先回忆平方根的性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数。首先根据该性质得出a与b的和为0，再推导a与b的乘积的值，最后将两个结果代入待求代数式计算即可。
【解析】
解：
∵a，b分别是2026的两个平方根，正数的两个平方根互为相反数
∴a + b = 0，且b = -a
∴ab = a·(-a) = -a²
又
∵a是2026的平方根，
∴a² = 2026
∴ab = -2026
将a+b=0，ab=-2026代入a+b - ab得：
原式= 0 - (-2026) = 2026
【答案】
2026
【知识点】
平方根的性质；代数式求值
【点评】
本题考查平方根相关的基础运算，解题的关键是熟练掌握正数的两个平方根互为相反数这一性质，代入计算即可，解题时注意符号的处理，避免出错。
【难度系数】
0.8

11.(2024·无锡模拟)若$m+4$与$m-2$是同一个正数$a$的两个平方根,则$a$的值为.

$9$

【分析】
解题的关键是掌握正数的两个平方根互为相反数的性质。首先根据该性质可知两个平方根的和为0，据此列出关于m的一元一次方程，求解得到m的值后，将m代入其中一个平方根，再对其平方即可得到正数a的值。
【解析】
∵ 一个正数的两个平方根互为相反数，且$m+4$与$m-2$是正数$a$的两个平方根
∴ $(m+4)+(m-2)=0$
合并同类项得：$2m + 2 = 0$
移项解得：$m = -1$
将$m=-1$代入$m+4$得：$m+4=-1+4=3$
∴ $a=3^2=9$
【答案】
$9$
【知识点】
平方根的性质；解一元一次方程；乘方运算
【点评】
本题核心考查正数平方根的性质，属于基础题型，解题时只要准确把握“正数的两个平方根互为相反数”这一核心知识点即可顺利求解，计算过程简单，易错点是解方程时出现计算错误，或混淆平方根与算术平方根的概念。
【难度系数】
0.8

12.已知$(x^2 + y^2 + 1)^2 - 4 = 0$，则$x^2 + y^2$的值为。

$1$

【分析】
解题时运用整体思想，将$x^2+y^2$看作一个整体，先通过移项把原方程转化为“某式的平方等于常数”的形式，再根据平方根的定义开平方求解，最后结合$x^2$、$y^2$的非负性判断结果的合理性，舍去不符合要求的解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$(x^2 + y^2 + 1)^2 = 4$
根据平方根的定义，可得：
$x^2 + y^2 + 1 = ±2$
分两种情况计算：
① 当$x^2 + y^2 + 1 = 2$时，解得$x^2 + y^2 = 1$；
② 当$x^2 + y^2 + 1 = -2$时，解得$x^2 + y^2 = -3$。
∵ 平方数具有非负性，即$x^2 ≥ 0$，$y^2 ≥ 0$，
∴ $x^2 + y^2 ≥ 0$，故$x^2 + y^2 = -3$不符合题意，舍去。
综上，$x^2 + y^2$的值为1。
【答案】
$1$
【知识点】
平方根的运算，偶次幂的非负性，整体思想
【点评】
本题的易错点是忽略$x^2+y^2$的非负性，错误保留负数解，解题时要注意对求解出的结果结合代数式的实际取值范围进行检验，排除不符合要求的解。
【难度系数】
0.7

13.求下列各式中$x$的值：
(1)$16x^2=81$；
(2)$(x-2)^2 -25=0$；
(3)$(4x+1)^2 -1=\frac{7}{9}$。

解:(1)$16x^2=81$ 可化成$x^2=\frac{81}{16}$,解得 $x=\pm\frac{9}{4}$.
(2)$(x-2)^2 -25=0$ 可化成$(x-2)^2=25$,
即 $x-2=\pm5$,解得 $x=7$ 或 $x=-3$.
(3)$(4x+1)^2 -1=\frac{7}{9}$可化成$(4x+1)^2=\frac{16}{9}$,
$\therefore 4x+1=\pm\frac{4}{3}$,解得 $x=\frac{1}{12}$或 $x=-\frac{7}{12}$.

【分析】
这三道题都属于可利用直接开平方法求解的方程，解题思路清晰：第一步先通过移项、系数化为1等操作，把方程整理为“含x的式子的平方 = 非负常数”的形式；第二步根据平方根的定义，正数有两个互为相反数的平方根，对等式两边同时开平方，得到两个一元一次方程；第三步分别求解这两个一元一次方程即可得到x的解，注意开平方时不要遗漏负根。
【解析】
(1) $16x^2=81$ 系数化为1得$x^2=\frac{81}{16}$，根据平方根的定义解得 $x=\pm\frac{9}{4}$。
(2) $(x-2)^2 -25=0$ 移项得$(x-2)^2=25$，开平方得 $x-2=\pm5$，当$x-2=5$时$x=7$，当$x-2=-5$时$x=-3$。
(3) $(4x+1)^2 -1=\frac{7}{9}$ 移项合并常数项得$(4x+1)^2=\frac{16}{9}$，开平方得$4x+1=\pm\frac{4}{3}$，当$4x+1=\frac{4}{3}$时$x=\frac{1}{12}$，当$4x+1=-\frac{4}{3}$时$x=-\frac{7}{12}$。
【答案】
(1)$x=\pm\frac{9}{4}$；(2)$x=7$或$x=-3$；(3)$x=\frac{1}{12}$或$x=-\frac{7}{12}$
【知识点】
平方根的定义；直接开平方法解方程；等式的性质
【点评】
本题是平方根应用的基础题型，核心考查将含平方的方程转化为可直接开平方形式的能力，解题时要注意正数开平方有两个互为相反数的结果，避免漏解。
【难度系数】
0.8

14.已知$2m+2$的平方根是$\pm4$，$3m+n+1$的平方根是$\pm5$，求$m+3n$的平方根。

解:由题意可知 $2m+2=16,3m+n+1=25$,
解得 $m=7,n=3,\therefore m+3n=7+3×3=16$,
$\therefore m+3n$ 的平方根为$\pm4$.

【分析】
解题时首先回忆平方根的定义：若一个数的平方根为±a，则这个数等于a²。第一步，根据“2m+2的平方根是±4”，可列等式求出m的值；第二步，将求出的m代入“3m+n+1的平方根是±5”的条件中，列等式求出n的值；第三步，将m、n代入m+3n计算出结果，再求该结果的平方根即可。
【解析】
解：根据平方根的定义：
∵2m+2的平方根是±4
∴2m+2 = (±4)² = 16
解得：m = 7
又
∵3m+n+1的平方根是±5
∴3m+n+1 = (±5)² = 25
将m=7代入上式，得：3×7 + n + 1 = 25
解得：n = 3
∴m + 3n = 7 + 3×3 = 16
∵16的平方根为±4
∴m+3n的平方根是±4
【答案】
±4
【知识点】
1.平方根的定义 2.解一元一次方程 3.代数式求值
【点评】
本题是平方根应用的基础题，解题关键是利用平方根的性质建立方程求解未知参数，再代入计算目标式的平方根，掌握平方根的基本定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.8

15.已知$x=1-a,y=2a-5.$
(1)如果$x$的值是4,求$a$的值及$x+y+16$的平方根;
(2)如果一个数的平方根是$x$和$y$,求这个数.

解:(1)$\because x$ 的值是 4,$\therefore 1-a=4$,解得 $a=-3$.
$\therefore y=2a-5=2×(-3)-5=-11$,
$\therefore x+y+16=4-11+16=9$,
即 $x+y+16$ 的平方根是$\pm3$.
(2)$\because$一个数的平方根是 $x$ 和 $y$,
$\therefore 1-a+(2a-5)=0$,解得 $a=4$.
当 $a=4$ 时,$(1-a)^2=(1-4)^2=9$,
故这个数是 9.

【分析】
(1) 已知x的值为4，首先将x=4代入x=1-a的表达式，解一元一次方程即可求出a的值；再把求出的a代入y=2a-5得到y的值，代入x+y+16计算出结果，最后根据平方根的定义求该结果的平方根，注意正数的平方根有两个，互为相反数。
(2) 根据平方根的性质：一个正数的两个平方根互为相反数，即两个平方根的和为0，据此列关于a的一元一次方程，求出a的值后，代入其中一个平方根再平方，即可得到原数。
【解析】
(1) $\because x$ 的值是 4，$\therefore 1-a=4$，解得 $a=-3$。
$\therefore y=2a-5=2×(-3)-5=-11$，
$\therefore x+y+16=4-11+16=9$，
即 $x+y+16$ 的平方根是$\pm3$。
(2) $\because$一个数的平方根是 $x$ 和 $y$，
$\therefore 1-a+(2a-5)=0$，解得 $a=4$。
当 $a=4$ 时，$(1-a)^2=(1-4)^2=9$，
故这个数是 9。
【答案】
(1) $a=-3$，$x+y+16$的平方根是$\pm3$；
(2) 这个数是9。
【知识点】
代数式求值；平方根的定义；平方根的性质
【点评】
本题围绕平方根的相关概念和性质命题，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数，求平方根时注意不要漏掉负的平方根，整体侧重对基础概念的考查，掌握相关知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

16.若a是9的平方根，b是4的平方根，且$ab＜0$，求$a-b$的值.

解:由题意,得 $a^2=9,b^2=4,\therefore a=\pm3,b=\pm2$.
又$\because ab＜0,\therefore a=3,b=-2$ 或 $a=-3,b=2$.
当 $a=3,b=-2$ 时,$a-b=3-(-2)=5$;
当 $a=-3,b=2$ 时,$a-b=(-3)-2=-5$.
综上所述,$a-b$ 的值为$\pm5$.

【分析】
解题时首先根据平方根的定义，先求出9的平方根a的所有可能取值，再求出4的平方根b的所有可能取值；接下来根据ab＜0的条件，可知a和b符号相反，由此筛选出a、b的两组符合条件的取值组合；最后分别将两组值代入a-b计算，汇总结果即可。
【解析】
解：由题意，得 $a^2=9$，$b^2=4$，
$\therefore a=\pm3$，$b=\pm2$。
又$\because ab＜0$，即a、b异号，
$\therefore$ 分两种情况：
① 当 $a=3$，$b=-2$ 时，$a-b=3-(-2)=5$；
② 当 $a=-3$，$b=2$ 时，$a-b=(-3)-2=-5$。
综上所述，$a-b$ 的值为$\pm5$。
【答案】
$\pm5$
【知识点】
平方根的概念，有理数符号法则，代数式求值
【点评】
本题重点考查平方根的性质，易错点是容易遗漏正数的平方根有两个这一特点，或是忽略ab＜0的符号限定条件导致多解、漏解，解题时需结合条件对所有可能的取值进行分类讨论，逐一验证后再计算。
【难度系数】
0.7