19.如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,将△CDE沿着CE折叠,使点D落在对角线AC上的点F处.若$\frac{AF}{FC}=\frac{2}{3},DE=3$,则AE的长为.

19.5

20.如图,四边形ABCD是平行四边形,AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接OE,过点E作$EF⊥BC$于点F,过点O作$OG⊥BC$于点G.
(1)求证:四边形EFGO是矩形.
(2)若四边形ABCD是菱形,$AB=10$,且$\frac{EO}{AO}=\frac{4}{5}$,求$△ AEO$的面积.

20. (1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
∵E是AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴OE//BC.
∵EF⊥BC,OG⊥BC,
∴EF//OG,∠EFG=90°,
∴四边形EFGO是矩形.

(2)解:如图,过点E作EH⊥OA于点H.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=10,OA=OC.
∵E是AB的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴OE//BC,
∴AE=OE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×10=5$,
∴△AEO是等腰三角形,
∴AH=OH=$\frac{1}{2}$AO,
∵$\frac{EO}{AO}=\frac{4}{5}$,
∴$\frac{EO}{2HO}=\frac{4}{5}$,
即$\frac{5}{HO}=\frac{8}{5}$,
∴$HO=\frac{25}{8}$,$AO=\frac{25}{4}$.
∴ $EH = \sqrt{EO^2-HO^2} = \sqrt{5^2-(\frac{25}{8})^2}=\frac{5\sqrt{39}}{8}$,
∴$S_{△AEO}=\frac{1}{2}AO·EH=\frac{1}{2}×\frac{25}{4}×\frac{5\sqrt{39}}{8}=\frac{125\sqrt{39}}{64}$.

21. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$D$是$BC$的中点，$E$是$AD$的中点，过点$A$作$AF// BC$交$CE$的延长线于点$F$.
(1)求证:四边形$ADBF$是菱形.
(2)若$AB=10$，菱形$ADBF$的面积为80，求$BC$的长.

21. (1)证明:
∵AF//BC,
∴∠AFC=∠FCD,∠FAE=∠CDE.
∵E是AD的中点,
∴AE=DE,
在△FAE和△CDE中,
$\begin{cases}∠AFE=∠DCE,\\∠FAE=∠CDE.\\AE=DE,\end{cases}$
∴△FAE≌△CDE(AAS),
∴AF=CD.
∵D是BC的中点,
∴BD=CD,
∴AF=BD,
∴四边形ADBF是平行四边形.
∵∠BAC=90°,D是BC的中点,
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$BC,
∴四边形ADBF是菱形.
(2)解:
∵四边形ADBF是菱形,
∴$S_{菱形ADBF}=2S_{△ABD}$.
∵D是BC的中点.
∴$S_{△ABC}=2S_{△ABD}$,
∴$S_{菱形ADBF}=S_{△ABC}=80$.
∵∠BAC=90°,
∴$\frac{1}{2}AB·AC=80$,
∴AC=16,
∴$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=2\sqrt{89}$.