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1. 联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜。为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在$△ ABC$的 （
A.三边中线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点
B
）A.三边中线的交点
B.三边垂直平分线的交点
C.三条角平分线的交点
D.三边上高的交点
答案
1. B
解析
【分析】
要使游戏公平，需保证凳子到三名选手（即△ABC的三个顶点）的距离相等，因此本题可转化为寻找△ABC中到三个顶点距离相等的点，再结合三角形各特殊交点的性质逐一判断选项即可。
【解析】
游戏公平的前提是凳子到A、B、C三点的距离相等，据此分析各选项：
A. 三边中线的交点是三角形的重心，重心的性质是分中线长度为2:1，不满足到三个顶点距离相等，不符合要求；
B. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，因此外心到△ABC三个顶点的距离均相等，符合公平要求；
C. 三条角平分线的交点是三角形的内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等，并非到三个顶点距离相等，不符合要求；
D. 三边上高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外心的特征
【点评】
本题结合生活中的游戏场景考查三角形特殊交点的性质，解题的核心是将实际公平需求转化为“点到三角形三个顶点距离相等”的数学条件，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8
要使游戏公平，需保证凳子到三名选手（即△ABC的三个顶点）的距离相等，因此本题可转化为寻找△ABC中到三个顶点距离相等的点，再结合三角形各特殊交点的性质逐一判断选项即可。
【解析】
游戏公平的前提是凳子到A、B、C三点的距离相等，据此分析各选项：
A. 三边中线的交点是三角形的重心，重心的性质是分中线长度为2:1，不满足到三个顶点距离相等，不符合要求；
B. 三边垂直平分线的交点是三角形的外心，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，因此外心到△ABC三个顶点的距离均相等，符合公平要求；
C. 三条角平分线的交点是三角形的内心，内心的性质是到三角形三边的距离相等，并非到三个顶点距离相等，不符合要求；
D. 三边上高的交点是三角形的垂心，不具备到三个顶点距离相等的性质，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外心的特征
【点评】
本题结合生活中的游戏场景考查三角形特殊交点的性质，解题的核心是将实际公平需求转化为“点到三角形三个顶点距离相等”的数学条件，属于基础概念类考题。
【难度系数】
0.8
2. 甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，如果两者之积为偶数，甲得1分；如果两者之积为奇数，乙得1分。此游戏（
A.对甲有利
B.对乙有利
C.是公平的
D.以上都不对
A
）A.对甲有利
B.对乙有利
C.是公平的
D.以上都不对
答案
2. A
解析
【分析】
要判断游戏是否公平，需分别计算甲、乙得分的概率，若概率相等则游戏公平，否则对概率大的一方有利。解题思路如下：第一步，先明确单个正方体骰子掷出奇数、偶数的概率；第二步，根据有理数乘积奇偶性的规律，分别计算“两者之积为偶数”“两者之积为奇数”两个事件的概率；第三步，比较两个概率的大小，得出结论。
【解析】
普通正方体骰子的点数为1~6，其中奇数有1、3、5共3个，偶数有2、4、6共3个，因此掷单个骰子时：
$P(\mathrm{掷出奇数})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{掷出偶数})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
根据有理数乘法的性质：只有两个乘数均为奇数时，乘积才为奇数，只要有一个乘数是偶数，乘积就为偶数。
因此：
$P(\mathrm{两者之积为奇数})=P(\mathrm{甲掷出奇数})×P(\mathrm{乙掷出奇数})=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
$P(\mathrm{两者之积为偶数})=1-P(\mathrm{两者之积为奇数})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
由于$\frac{3}{4}＞\frac{1}{4}$，即甲得分的概率远大于乙得分的概率，因此游戏对甲有利。
【答案】
A
【知识点】
1. 概率的计算
2. 游戏公平性判断
3. 奇偶性判定
【点评】
本题是概率在实际游戏中的典型应用，解题的核心是抓住“乘积为奇数的前提是两个数均为奇数”这一关键规律，准确计算两种事件发生的概率即可快速得到结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
要判断游戏是否公平，需分别计算甲、乙得分的概率，若概率相等则游戏公平，否则对概率大的一方有利。解题思路如下：第一步，先明确单个正方体骰子掷出奇数、偶数的概率；第二步，根据有理数乘积奇偶性的规律，分别计算“两者之积为偶数”“两者之积为奇数”两个事件的概率；第三步，比较两个概率的大小，得出结论。
【解析】
普通正方体骰子的点数为1~6，其中奇数有1、3、5共3个，偶数有2、4、6共3个，因此掷单个骰子时：
$P(\mathrm{掷出奇数})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，$P(\mathrm{掷出偶数})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
根据有理数乘法的性质：只有两个乘数均为奇数时，乘积才为奇数，只要有一个乘数是偶数，乘积就为偶数。
因此：
$P(\mathrm{两者之积为奇数})=P(\mathrm{甲掷出奇数})×P(\mathrm{乙掷出奇数})=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
$P(\mathrm{两者之积为偶数})=1-P(\mathrm{两者之积为奇数})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。
由于$\frac{3}{4}＞\frac{1}{4}$，即甲得分的概率远大于乙得分的概率，因此游戏对甲有利。
【答案】
A
【知识点】
1. 概率的计算
2. 游戏公平性判断
3. 奇偶性判定
【点评】
本题是概率在实际游戏中的典型应用，解题的核心是抓住“乘积为奇数的前提是两个数均为奇数”这一关键规律，准确计算两种事件发生的概率即可快速得到结论，属于基础类题型。
【难度系数】
0.7
3. 盒中有$x$枚黑棋和$y$枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别.从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑棋的概率是$\frac{3}{8}$，则$\frac{x}{y}$的值为
$\frac{3}{5}$
.答案
3. $\frac{3}{5}$
解析
【分析】
解题时首先回忆概率的计算公式：随机事件发生的概率等于该事件对应的情况数除以总情况数。本题中取出黑棋的概率对应黑棋数量除以盒内棋子总数量，我们先根据这个公式列出关于x、y的等式，再通过等式变形就能求出$\frac{x}{y}$的值。
【解析】
盒中棋子的总数量为$(x+y)$枚，
根据概率公式可得，取出1枚棋子是黑棋的概率为：
$\frac{x}{x+y}=\frac{3}{8}$
交叉相乘得：$8x=3(x+y)$
展开右侧式子：$8x=3x+3y$
移项合并同类项：$5x=3y$
等式两边同时除以$5y$，可得：$\frac{x}{y}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
概率计算公式，比例变形
【点评】
本题是概率的基础应用题型，解题核心是熟练掌握概率的计算公式，结合代数变形即可求出结果，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆概率的计算公式：随机事件发生的概率等于该事件对应的情况数除以总情况数。本题中取出黑棋的概率对应黑棋数量除以盒内棋子总数量，我们先根据这个公式列出关于x、y的等式，再通过等式变形就能求出$\frac{x}{y}$的值。
【解析】
盒中棋子的总数量为$(x+y)$枚，
根据概率公式可得，取出1枚棋子是黑棋的概率为：
$\frac{x}{x+y}=\frac{3}{8}$
交叉相乘得：$8x=3(x+y)$
展开右侧式子：$8x=3x+3y$
移项合并同类项：$5x=3y$
等式两边同时除以$5y$，可得：$\frac{x}{y}=\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
概率计算公式，比例变形
【点评】
本题是概率的基础应用题型，解题核心是熟练掌握概率的计算公式，结合代数变形即可求出结果，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
4. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是
$\frac{3}{8}$
。答案
4. $\frac{3}{8}$
解析
【分析】
要计算指针落在阴影部分的概率，需依据等可能事件的概率公式求解。首先明确转盘被平均分成8个面积相等的三角形，即转动转盘共有8种等可能的结果；再统计阴影部分对应的三角形数量，即指针落在阴影部分的结果数，最后用阴影结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：
∵正八边形转盘被分成8个面积相等的三角形，
∴转动转盘一次，指针落在每个三角形的可能性相等，总共有8种等可能的结果。
观察图形可知，阴影部分共占3个三角形，即指针落在阴影部分的结果有3种。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{事件发生的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，
可得指针落在阴影部分的概率为$\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
几何概率计算，等可能事件概率
【点评】
本题是基础的概率计算题，解题的关键是准确统计总等可能结果数和符合条件的结果数，熟练运用概率公式即可解答。
【难度系数】
0.8
要计算指针落在阴影部分的概率，需依据等可能事件的概率公式求解。首先明确转盘被平均分成8个面积相等的三角形，即转动转盘共有8种等可能的结果；再统计阴影部分对应的三角形数量，即指针落在阴影部分的结果数，最后用阴影结果数除以总结果数即可得到所求概率。
【解析】
解：
∵正八边形转盘被分成8个面积相等的三角形，
∴转动转盘一次，指针落在每个三角形的可能性相等，总共有8种等可能的结果。
观察图形可知，阴影部分共占3个三角形，即指针落在阴影部分的结果有3种。
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{事件发生的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，
可得指针落在阴影部分的概率为$\frac{3}{8}$。
【答案】
$\frac{3}{8}$
【知识点】
几何概率计算，等可能事件概率
【点评】
本题是基础的概率计算题，解题的关键是准确统计总等可能结果数和符合条件的结果数，熟练运用概率公式即可解答。
【难度系数】
0.8
5. 小明和小丽做掷硬币(质量均匀)游戏.规则是:连掷4次硬币,当其中有3次结果相同时,小明获胜;当恰有2次结果相同时,小丽获胜,其他情况不计输赢.这个规则对
小明
有利.答案
5. 小明
解析
【分析】要判断游戏规则对谁有利，核心是比较小明和小丽获胜的概率大小。首先明确连掷4次硬币的所有等可能结果总数，再分别统计小明获胜（3次结果相同）、小丽获胜（恰有2次结果相同）对应的结果数量，利用“等可能事件概率=符合条件的结果数÷总结果数”分别计算两人的获胜概率，概率更高的一方更有利。
【解析】连掷4次质量均匀的硬币，每次都有正面、反面2种等可能的结果，因此总共有$2 × 2 × 2 × 2 = 16$种等可能的结果。
① 计算小明获胜的概率：
小明获胜即4次中有3次结果相同，分两类情况：
3次正面、1次反面：只需从4次中选1次为反面，共4种情况；
3次反面、1次正面：同理共4种情况。
因此小明获胜的结果共$4+4=8$种，获胜概率为$P(小明胜)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
② 计算小丽获胜的概率：
小丽获胜即恰有2次结果相同，也就是2次正面、2次反面，从4次中选2次为正面，剩余2次为反面，共6种情况，因此小丽获胜的概率为$P(小丽胜)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
因为$\frac{1}{2} ＞ \frac{3}{8}$，小明获胜的概率更高，所以规则对小明有利。
【答案】小明
【知识点】等可能事件概率计算；游戏公平性判断
【点评】本题是概率在游戏规则中的典型应用，解题关键是不重不漏地统计出各类符合条件的结果数，通过比较获胜概率即可判断规则的倾向性。
【难度系数】0.7
【解析】连掷4次质量均匀的硬币，每次都有正面、反面2种等可能的结果，因此总共有$2 × 2 × 2 × 2 = 16$种等可能的结果。
① 计算小明获胜的概率：
小明获胜即4次中有3次结果相同，分两类情况：
3次正面、1次反面：只需从4次中选1次为反面，共4种情况；
3次反面、1次正面：同理共4种情况。
因此小明获胜的结果共$4+4=8$种，获胜概率为$P(小明胜)=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
② 计算小丽获胜的概率：
小丽获胜即恰有2次结果相同，也就是2次正面、2次反面，从4次中选2次为正面，剩余2次为反面，共6种情况，因此小丽获胜的概率为$P(小丽胜)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
因为$\frac{1}{2} ＞ \frac{3}{8}$，小明获胜的概率更高，所以规则对小明有利。
【答案】小明
【知识点】等可能事件概率计算；游戏公平性判断
【点评】本题是概率在游戏规则中的典型应用，解题关键是不重不漏地统计出各类符合条件的结果数，通过比较获胜概率即可判断规则的倾向性。
【难度系数】0.7
6. 小莉的爸爸买了一张演唱会门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为1,2,3,5的4张牌给小莉，将数字为4,6,7,8的4张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的4张牌中随机抽出1张，然后将抽出的2张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去。
（1）请用树状图或列表的方法求小莉去看演唱会的概率；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则。
（1）请用树状图或列表的方法求小莉去看演唱会的概率；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则。
答案
6. 解：
(1) $\frac{3}{8}$
(2) 由(1)的结果可知:小莉去的概率为$\frac{3}{8}$,哥哥去的概率为$\frac{5}{8}$,所以游戏不公平,对哥哥有利.可把小莉的数字5的牌与哥哥数字4的牌对调,使两人去的概率相同,即游戏公平.
(1) $\frac{3}{8}$
(2) 由(1)的结果可知:小莉去的概率为$\frac{3}{8}$,哥哥去的概率为$\frac{5}{8}$,所以游戏不公平,对哥哥有利.可把小莉的数字5的牌与哥哥数字4的牌对调,使两人去的概率相同,即游戏公平.
解析
【分析】
（1）要计算小莉去看演唱会的概率，首先明确小莉去的条件是两人抽取的牌数字和为偶数，和为偶数的情况为两张牌同为奇数或同为偶数。我们可通过列表法列举出两人各抽1张牌的所有等可能结果，再统计和为偶数的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率。
（2）判断游戏是否公平的核心是比较小莉和哥哥去的概率是否相等，若相等则公平，否则不公平。修改规则时只要保证双方获胜的概率相等即可。
【解析】
（1）用列表法列举所有可能的结果如下：
| 小莉\哥哥 | 4 | 6 | 7 | 8 |
|----|----|----|----|----|
| 1 | 5（奇） | 7（奇） | 8（偶） | 9（奇） |
| 2 | 6（偶） | 8（偶） | 9（奇） | 10（偶） |
| 3 | 7（奇） | 9（奇） | 10（偶） | 11（奇） |
| 5 | 9（奇） | 11（奇） | 12（偶） | 13（奇） |
由表可知，所有等可能的结果共有16种，其中和为偶数的结果有6种。
因此小莉去看演唱会的概率 $P=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
（2）由（1）可得哥哥去的概率为 $1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$，因为 $\frac{3}{8}≠\frac{5}{8}$，所以该游戏规则不公平，对哥哥有利。
公平的游戏规则可设计为：把小莉的数字5的牌与哥哥数字4的牌对调，此时两人抽牌和为偶数、奇数的概率均为$\frac{1}{2}$，游戏公平。（其他合理规则均可）
【答案】
（1）$\frac{3}{8}$
（2）游戏不公平，对哥哥有利；公平规则示例：将小莉的数字5的牌与哥哥的数字4的牌对调（合理即可）
【知识点】
列表法求概率，游戏公平性判断，概率的应用
【点评】
本题结合生活场景考查概率的实际应用，解题关键是掌握用列表法或树状图法不重不漏地列举所有等可能结果，判断游戏公平性的本质是比较双方获胜的概率是否相等，修改规则时只要满足双方概率相等即可，解题时需细心列举避免漏算错算。
【难度系数】
0.7
（1）要计算小莉去看演唱会的概率，首先明确小莉去的条件是两人抽取的牌数字和为偶数，和为偶数的情况为两张牌同为奇数或同为偶数。我们可通过列表法列举出两人各抽1张牌的所有等可能结果，再统计和为偶数的结果数，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率。
（2）判断游戏是否公平的核心是比较小莉和哥哥去的概率是否相等，若相等则公平，否则不公平。修改规则时只要保证双方获胜的概率相等即可。
【解析】
（1）用列表法列举所有可能的结果如下：
| 小莉\哥哥 | 4 | 6 | 7 | 8 |
|----|----|----|----|----|
| 1 | 5（奇） | 7（奇） | 8（偶） | 9（奇） |
| 2 | 6（偶） | 8（偶） | 9（奇） | 10（偶） |
| 3 | 7（奇） | 9（奇） | 10（偶） | 11（奇） |
| 5 | 9（奇） | 11（奇） | 12（偶） | 13（奇） |
由表可知，所有等可能的结果共有16种，其中和为偶数的结果有6种。
因此小莉去看演唱会的概率 $P=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
（2）由（1）可得哥哥去的概率为 $1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$，因为 $\frac{3}{8}≠\frac{5}{8}$，所以该游戏规则不公平，对哥哥有利。
公平的游戏规则可设计为：把小莉的数字5的牌与哥哥数字4的牌对调，此时两人抽牌和为偶数、奇数的概率均为$\frac{1}{2}$，游戏公平。（其他合理规则均可）
【答案】
（1）$\frac{3}{8}$
（2）游戏不公平，对哥哥有利；公平规则示例：将小莉的数字5的牌与哥哥的数字4的牌对调（合理即可）
【知识点】
列表法求概率，游戏公平性判断，概率的应用
【点评】
本题结合生活场景考查概率的实际应用，解题关键是掌握用列表法或树状图法不重不漏地列举所有等可能结果，判断游戏公平性的本质是比较双方获胜的概率是否相等，修改规则时只要满足双方概率相等即可，解题时需细心列举避免漏算错算。
【难度系数】
0.7
7. (北京中考)一个不透明的袋子中仅有3个红球、2个黄球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是白球的概率是 (
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{5}{6}$
A
)A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{5}{6}$
答案
7. A
解析
【分析】
这道题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确摸球属于等可能试验，每个球被摸到的可能性相等；接着计算袋子中球的总个数，得到所有等可能的结果总数；再确定摸出白球的可能结果数；最后根据概率公式“某事件发生的概率=该事件对应的结果数÷所有等可能结果总数”计算即可得到答案。
【解析】
解：首先计算袋子中球的总数量：$3+2+1=6$（个）
因为所有球除颜色外无其他差别，所以随机摸出1个球时，共有6种等可能的结果，其中摸出白球的结果有1种。
根据概率公式可得，摸出白球的概率$P=\frac{1}{6}$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算；概率公式应用
【点评】
本题属于基础题，主要考查简单随机事件的概率计算，解题的关键是准确统计总情况数和符合条件的情况数，代入公式计算即可，得分率较高。
【难度系数】
0.9
这道题考查等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确摸球属于等可能试验，每个球被摸到的可能性相等；接着计算袋子中球的总个数，得到所有等可能的结果总数；再确定摸出白球的可能结果数；最后根据概率公式“某事件发生的概率=该事件对应的结果数÷所有等可能结果总数”计算即可得到答案。
【解析】
解：首先计算袋子中球的总数量：$3+2+1=6$（个）
因为所有球除颜色外无其他差别，所以随机摸出1个球时，共有6种等可能的结果，其中摸出白球的结果有1种。
根据概率公式可得，摸出白球的概率$P=\frac{1}{6}$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
等可能事件概率计算；概率公式应用
【点评】
本题属于基础题，主要考查简单随机事件的概率计算，解题的关键是准确统计总情况数和符合条件的情况数，代入公式计算即可，得分率较高。
【难度系数】
0.9
