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8. 如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是AO的中点,过点C作CE⊥AO交AB于点E,过点E作ED⊥OB,垂足为点D.在扇形内随机选取一点P,则点P落在阴影部分的概率是 (
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
第8题 第10题
B
)A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
第8题 第10题
答案
8. B
解析
【分析】
这是几何概型问题，概率等于阴影部分面积与扇形AOB总面积的比值。解题时先设扇形半径为r，利用直角三角形OCE的边长关系求出∠COE的度数，进而得到∠EOB的度数，再通过矩形的性质做割补简化阴影部分的面积计算，最后求面积比值即可得到结果。
【解析】
设扇形AOB的半径$OA=OB=OE=r$。
1. 因为C是AO中点，所以$OC=\frac{1}{2}AO=\frac{r}{2}$，又$CE⊥ AO$，故$△ OCE$是直角三角形。
在$Rt△ OCE$中，$\cos∠ COE=\frac{OC}{OE}=\frac{\frac{r}{2}}{r}=\frac{1}{2}$，因此$∠ COE=60°$，可得$∠ EOB=∠ AOB-∠ COE=90°-60°=30°$。
2. 因为$CE⊥ AO$，$ED⊥ OB$，$∠ AOB=90°$，所以四边形CODE是矩形，矩形对角线将矩形分为两个面积相等的三角形，即$S_{△ OCE}=S_{△ ODE}$。
3. 阴影部分面积由$△ OCE$和弓形EB组成，其中弓形EB的面积为$S_{扇形EOB}-S_{△ ODE}$，因此：
$S_{阴影}=S_{△ OCE}+(S_{扇形EOB}-S_{△ ODE})$，代入$S_{△ OCE}=S_{△ ODE}$，可化简得$S_{阴影}=S_{扇形EOB}$。
4. 扇形AOB总面积$S_{总}=\frac{90°}{360°}π r^2=\frac{π r^2}{4}$，扇形EOB面积$S_{阴影}=\frac{30°}{360°}π r^2=\frac{π r^2}{12}$。
5. 点P落在阴影部分的概率$P=\frac{S_{阴影}}{S_{总}}=\frac{\frac{π r^2}{12}}{\frac{π r^2}{4}}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
几何概型，扇形面积计算，矩形的性质
【点评】
本题的解题核心是利用矩形性质对阴影部分做割补转化，避免了复杂的面积计算，需要学生熟练掌握特殊角的三角函数值和扇形面积公式，能灵活运用割补法简化不规则图形的面积求解。
【难度系数】
0.6
这是几何概型问题，概率等于阴影部分面积与扇形AOB总面积的比值。解题时先设扇形半径为r，利用直角三角形OCE的边长关系求出∠COE的度数，进而得到∠EOB的度数，再通过矩形的性质做割补简化阴影部分的面积计算，最后求面积比值即可得到结果。
【解析】
设扇形AOB的半径$OA=OB=OE=r$。
1. 因为C是AO中点，所以$OC=\frac{1}{2}AO=\frac{r}{2}$，又$CE⊥ AO$，故$△ OCE$是直角三角形。
在$Rt△ OCE$中，$\cos∠ COE=\frac{OC}{OE}=\frac{\frac{r}{2}}{r}=\frac{1}{2}$，因此$∠ COE=60°$，可得$∠ EOB=∠ AOB-∠ COE=90°-60°=30°$。
2. 因为$CE⊥ AO$，$ED⊥ OB$，$∠ AOB=90°$，所以四边形CODE是矩形，矩形对角线将矩形分为两个面积相等的三角形，即$S_{△ OCE}=S_{△ ODE}$。
3. 阴影部分面积由$△ OCE$和弓形EB组成，其中弓形EB的面积为$S_{扇形EOB}-S_{△ ODE}$，因此：
$S_{阴影}=S_{△ OCE}+(S_{扇形EOB}-S_{△ ODE})$，代入$S_{△ OCE}=S_{△ ODE}$，可化简得$S_{阴影}=S_{扇形EOB}$。
4. 扇形AOB总面积$S_{总}=\frac{90°}{360°}π r^2=\frac{π r^2}{4}$，扇形EOB面积$S_{阴影}=\frac{30°}{360°}π r^2=\frac{π r^2}{12}$。
5. 点P落在阴影部分的概率$P=\frac{S_{阴影}}{S_{总}}=\frac{\frac{π r^2}{12}}{\frac{π r^2}{4}}=\frac{1}{3}$。
【答案】
B
【知识点】
几何概型，扇形面积计算，矩形的性质
【点评】
本题的解题核心是利用矩形性质对阴影部分做割补转化，避免了复杂的面积计算，需要学生熟练掌握特殊角的三角函数值和扇形面积公式，能灵活运用割补法简化不规则图形的面积求解。
【难度系数】
0.6
9. 甲、乙、丙三名同学玩抛掷A、B两枚硬币的游戏，游戏规则是：抛出A币正面和B币正面，甲赢；抛出A币反面和B币反面，乙赢；抛出A币正面和B币反面，丙赢。在这个游戏中，赢的机会最大的是（
A.甲
B.甲和乙
C.丙
D.甲、乙、丙三人赢的机会均等
D
）A.甲
B.甲和乙
C.丙
D.甲、乙、丙三人赢的机会均等
答案
9. D
解析
【分析】
要判断三人赢的机会大小，只需分别计算三人赢的概率再比较即可。首先列出抛掷A、B两枚硬币的所有等可能结果，再分别找出甲、乙、丙各自获胜对应的结果数，根据等可能事件概率公式计算出三人获胜的概率，比较概率大小就能得出结论。
【解析】
解：抛掷A、B两枚均匀硬币，所有等可能的结果共有4种，分别为：（A正，B正）、（A正，B反）、（A反，B正）、（A反，B反），每种结果出现的概率相等。
根据游戏规则：
甲赢对应结果为（A正，B正），共1种，因此$ P(甲赢)=\frac{1}{4} $；
乙赢对应结果为（A反，B反），共1种，因此$ P(乙赢)=\frac{1}{4} $；
丙赢对应结果为（A正，B反），共1种，因此$ P(丙赢)=\frac{1}{4} $。
三人获胜的概率相等，因此赢的机会均等。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率计算，概率的应用，游戏公平性判断
【点评】
本题考查概率在实际游戏中的应用，解题关键是正确枚举出所有等可能的结果，准确找到各事件对应的结果数代入概率公式计算，注意不要因为存在无人获胜的情况而误判概率大小。
【难度系数】
0.7
要判断三人赢的机会大小，只需分别计算三人赢的概率再比较即可。首先列出抛掷A、B两枚硬币的所有等可能结果，再分别找出甲、乙、丙各自获胜对应的结果数，根据等可能事件概率公式计算出三人获胜的概率，比较概率大小就能得出结论。
【解析】
解：抛掷A、B两枚均匀硬币，所有等可能的结果共有4种，分别为：（A正，B正）、（A正，B反）、（A反，B正）、（A反，B反），每种结果出现的概率相等。
根据游戏规则：
甲赢对应结果为（A正，B正），共1种，因此$ P(甲赢)=\frac{1}{4} $；
乙赢对应结果为（A反，B反），共1种，因此$ P(乙赢)=\frac{1}{4} $；
丙赢对应结果为（A正，B反），共1种，因此$ P(丙赢)=\frac{1}{4} $。
三人获胜的概率相等，因此赢的机会均等。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率计算，概率的应用，游戏公平性判断
【点评】
本题考查概率在实际游戏中的应用，解题关键是正确枚举出所有等可能的结果，准确找到各事件对应的结果数代入概率公式计算，注意不要因为存在无人获胜的情况而误判概率大小。
【难度系数】
0.7
10. 王红和刘芳两人在玩转盘游戏.如图,把转盘甲、乙分别分成3等份,并在每一份内标上数字,游戏规则是:转动两个转盘停止后,指针所指的两个数字之和为7时,王红胜;数字之和为8时,刘芳胜.那么这两人中,获胜可能性较大的是
王红
.答案
10. 王红
解析
【分析】
要判断谁获胜可能性更大，需先分别计算两人获胜的概率再比较大小。转动两个转盘产生的所有结果都是等可能的，首先用列表法列举出两个转盘指针指向数字的所有组合，再分别统计数字和为7、和为8的结果数，根据概率公式计算两人获胜的概率，概率更大的一方获胜可能性更高。
【解析】
解：转动两个转盘，所有等可能的结果共有 $3×3=9$ 种，分别计算两个数字之和：
$1+4=5$，$1+5=6$，$1+6=7$；
$2+4=6$，$2+5=7$，$2+6=8$；
$3+4=7$，$3+5=8$，$3+6=9$。
其中和为7的结果有3种，和为8的结果有2种。
因此王红获胜的概率 $P(\mathrm{王红胜})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
刘芳获胜的概率 $P(\mathrm{刘芳胜})=\frac{2}{9}$，
因为 $\frac{1}{3}＞\frac{2}{9}$，所以王红获胜的可能性更大。
【答案】
王红
【知识点】
列举法求概率；概率计算；可能性大小比较
【点评】
本题属于概率基础应用题，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的结果，再分别计算对应事件的概率，通过比较概率大小判断获胜可能性，掌握列表法或树状图法列举结果是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断谁获胜可能性更大，需先分别计算两人获胜的概率再比较大小。转动两个转盘产生的所有结果都是等可能的，首先用列表法列举出两个转盘指针指向数字的所有组合，再分别统计数字和为7、和为8的结果数，根据概率公式计算两人获胜的概率，概率更大的一方获胜可能性更高。
【解析】
解：转动两个转盘，所有等可能的结果共有 $3×3=9$ 种，分别计算两个数字之和：
$1+4=5$，$1+5=6$，$1+6=7$；
$2+4=6$，$2+5=7$，$2+6=8$；
$3+4=7$，$3+5=8$，$3+6=9$。
其中和为7的结果有3种，和为8的结果有2种。
因此王红获胜的概率 $P(\mathrm{王红胜})=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
刘芳获胜的概率 $P(\mathrm{刘芳胜})=\frac{2}{9}$，
因为 $\frac{1}{3}＞\frac{2}{9}$，所以王红获胜的可能性更大。
【答案】
王红
【知识点】
列举法求概率；概率计算；可能性大小比较
【点评】
本题属于概率基础应用题，解题核心是不重不漏地列举出所有等可能的结果，再分别计算对应事件的概率，通过比较概率大小判断获胜可能性，掌握列表法或树状图法列举结果是解题的关键。
【难度系数】
0.7
11. 口袋中有30个大小质感相同的小球，其中红球n个，黑球3n个，其余为绿球。甲从袋中任意摸出1个，若为红球则甲得1分；甲将摸出的球放回袋中，乙再从袋中摸出1个，若为绿球则乙得1分。谁先得10分谁获胜。要使游戏对甲、乙双方公平，则n的值是
6
。答案
11. 6
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确游戏公平的核心条件：甲、乙单次摸球得分的概率相等。第一步先根据已知的总球数、红球和黑球的数量表达式，表示出绿球的数量；第二步分别写出甲摸到红球得分的概率、乙摸到绿球得分的概率；第三步根据概率相等列方程求解n，最后检验n的值是否符合实际意义即可。
【解析】
解：要使游戏对甲、乙双方公平，则甲每次摸球得分的概率与乙每次摸球得分的概率相等。
已知口袋中共有30个小球，红球n个，黑球3n个，因此绿球的数量为：$30 - n - 3n = 30 - 4n$（个）
甲摸到红球得分的概率为：$P(\mathrm{甲得分})=\frac{n}{30}$
乙摸到绿球得分的概率为：$P(\mathrm{乙得分})=\frac{30-4n}{30}$
由概率相等可列方程：
$\frac{n}{30} = \frac{30-4n}{30}$
两边同乘30得：$n = 30 - 4n$
移项合并同类项得：$5n = 30$
解得：$n = 6$
检验：当$n=6$时，红球6个，黑球18个，绿球6个，均为正整数，符合实际情况。
【答案】
6
【知识点】
游戏公平性判断，简单概率计算，一元一次方程应用
【点评】
本题考查概率在游戏公平性中的实际应用，解题关键是理解游戏公平的本质是双方单次获胜的概率相等，结合概率公式列方程求解即可，解题时要注意验证所得结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确游戏公平的核心条件：甲、乙单次摸球得分的概率相等。第一步先根据已知的总球数、红球和黑球的数量表达式，表示出绿球的数量；第二步分别写出甲摸到红球得分的概率、乙摸到绿球得分的概率；第三步根据概率相等列方程求解n，最后检验n的值是否符合实际意义即可。
【解析】
解：要使游戏对甲、乙双方公平，则甲每次摸球得分的概率与乙每次摸球得分的概率相等。
已知口袋中共有30个小球，红球n个，黑球3n个，因此绿球的数量为：$30 - n - 3n = 30 - 4n$（个）
甲摸到红球得分的概率为：$P(\mathrm{甲得分})=\frac{n}{30}$
乙摸到绿球得分的概率为：$P(\mathrm{乙得分})=\frac{30-4n}{30}$
由概率相等可列方程：
$\frac{n}{30} = \frac{30-4n}{30}$
两边同乘30得：$n = 30 - 4n$
移项合并同类项得：$5n = 30$
解得：$n = 6$
检验：当$n=6$时，红球6个，黑球18个，绿球6个，均为正整数，符合实际情况。
【答案】
6
【知识点】
游戏公平性判断，简单概率计算，一元一次方程应用
【点评】
本题考查概率在游戏公平性中的实际应用，解题关键是理解游戏公平的本质是双方单次获胜的概率相等，结合概率公式列方程求解即可，解题时要注意验证所得结果是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
12.（连云港赣榆区模拟）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A. 指南针、B. 造纸术、C. 火药、D. 印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，4张卡片除内容外其余完全相同，将这4张卡片背面朝上洗匀放好.
（1）小强从这4张卡片中随机抽取1张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的3张卡片中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率；
（2）小强和小刚玩游戏，在（1）的条件下，若两人抽到的卡片中有“指南针”，则小强胜，否则小刚胜.请判断上述游戏是否公平，并说明理由.
（1）小强从这4张卡片中随机抽取1张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的3张卡片中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率；
（2）小强和小刚玩游戏，在（1）的条件下，若两人抽到的卡片中有“指南针”，则小强胜，否则小刚胜.请判断上述游戏是否公平，并说明理由.
答案
12. 解：
(1) 画树状图如下：
共有12种等可能的结果,其中两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果有2种,所以两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$；
(2) 公平,由树状图知,共有12种等可能的结果,其中两人抽到的卡片有“指南针”的有6种结果,没有“指南针”的有6种结果,所以小强胜的概率为$\frac{1}{2}$,小刚胜的概率为$\frac{1}{2}$,所以此游戏公平.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：(1) 该抽取为不放回抽取，先通过画树状图或列表的方法列出所有等可能的抽取结果，再从中找出两人恰好抽到“指南针”和“造纸术”的结果数，最后根据概率公式计算对应概率即可；(2) 判断游戏公平性需要分别计算小强和小刚获胜的概率，若二者概率相等则游戏公平，因此只需统计包含“指南针”和不包含“指南针”的结果数，分别计算两人获胜的概率再比较即可。
【解析】
(1) 记A代表指南针，B代表造纸术，C代表火药，D代表印刷术，画树状图如下：
由树状图可得，所有等可能的结果共有12种，其中两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果有2种，
因此所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(2) 该游戏公平，理由如下：
由(1)中的树状图可知，12种等可能的结果中，两人抽到的卡片包含“指南针”的结果有6种，不包含“指南针”的结果有6种，
因此小强获胜的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，小刚获胜的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
两人获胜的概率相等，故该游戏公平。
【答案】
(1) 画树状图如下：，两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为$\frac{1}{6}$；
(2) 公平，理由：共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片有“指南针”的有6种结果，没有“指南针”的有6种结果，小强胜的概率为$\frac{1}{2}$，小刚胜的概率为$\frac{1}{2}$，所以此游戏公平。
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，游戏公平性判断
【点评】
本题结合中国古代四大发明的传统文化背景考查概率的应用，解题时需注意是不放回抽取，避免列举结果时出错，掌握树状图枚举等可能结果、概率计算方法以及游戏公平的判断标准是解题的核心。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，解题思路如下：(1) 该抽取为不放回抽取，先通过画树状图或列表的方法列出所有等可能的抽取结果，再从中找出两人恰好抽到“指南针”和“造纸术”的结果数，最后根据概率公式计算对应概率即可；(2) 判断游戏公平性需要分别计算小强和小刚获胜的概率，若二者概率相等则游戏公平，因此只需统计包含“指南针”和不包含“指南针”的结果数，分别计算两人获胜的概率再比较即可。
【解析】
(1) 记A代表指南针，B代表造纸术，C代表火药，D代表印刷术，画树状图如下：
由树状图可得，所有等可能的结果共有12种，其中两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果有2种，
因此所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(2) 该游戏公平，理由如下：
由(1)中的树状图可知，12种等可能的结果中，两人抽到的卡片包含“指南针”的结果有6种，不包含“指南针”的结果有6种，
因此小强获胜的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，小刚获胜的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，
两人获胜的概率相等，故该游戏公平。
【答案】
(1) 画树状图如下：
，两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为$\frac{1}{6}$；(2) 公平，理由：共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片有“指南针”的有6种结果，没有“指南针”的有6种结果，小强胜的概率为$\frac{1}{2}$，小刚胜的概率为$\frac{1}{2}$，所以此游戏公平。
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，游戏公平性判断
【点评】
本题结合中国古代四大发明的传统文化背景考查概率的应用，解题时需注意是不放回抽取，避免列举结果时出错，掌握树状图枚举等可能结果、概率计算方法以及游戏公平的判断标准是解题的核心。
【难度系数】
0.7
