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1. 某互联网公司由三个部门组成，共有 30 名员工，2025 年各部门人数及相应的人均年利润如下表所示，该公司 2025 年人均年利润为 （
A.186 万元
B.200 万元
C.216 万元
D.220 万元
B
）A.186 万元
B.200 万元
C.216 万元
D.220 万元
答案
1.B
解析
【分析】
要计算该公司的人均年利润，本质是求加权平均数，各部门人数就是对应人均年利润的权重。解题时不能直接对三个部门的人均年利润求算术平均，忽略人数权重会导致错误，正确思路是：先分别算出每个部门的总年利润，求和得到全公司总利润，再除以公司总人数，即可得到人均年利润。
【解析】
首先计算各部门的总年利润：
A部门总年利润：$10×250=2500$（万元）
B部门总年利润：$8×220=1760$（万元）
C部门总年利润：$12×145=1740$（万元）
公司总年利润：$2500+1760+1740=6000$（万元）
公司总人数为30人，因此人均年利润为：$6000÷30=200$（万元）
【答案】
B
【知识点】
加权平均数计算、平均数实际应用
【点评】
本题是平均数的实际应用题型，解题核心是区分算术平均和加权平均的适用场景，当各组数据的权重不同时，要通过总数量除以总份数计算加权平均数，避免直接对各组数值求算术平均导致错误。
【难度系数】
0.8
要计算该公司的人均年利润，本质是求加权平均数，各部门人数就是对应人均年利润的权重。解题时不能直接对三个部门的人均年利润求算术平均，忽略人数权重会导致错误，正确思路是：先分别算出每个部门的总年利润，求和得到全公司总利润，再除以公司总人数，即可得到人均年利润。
【解析】
首先计算各部门的总年利润：
A部门总年利润：$10×250=2500$（万元）
B部门总年利润：$8×220=1760$（万元）
C部门总年利润：$12×145=1740$（万元）
公司总年利润：$2500+1760+1740=6000$（万元）
公司总人数为30人，因此人均年利润为：$6000÷30=200$（万元）
【答案】
B
【知识点】
加权平均数计算、平均数实际应用
【点评】
本题是平均数的实际应用题型，解题核心是区分算术平均和加权平均的适用场景，当各组数据的权重不同时，要通过总数量除以总份数计算加权平均数，避免直接对各组数值求算术平均导致错误。
【难度系数】
0.8
2. $ x_1,x_2,\dots,x_5 $的平均数为$ m $，$ x_6,x_7,\dots,x_{20} $的平均数为$ n $，则$ x_1,x_2,\dots,x_{20} $的平均数为（
A.$ m+n $
B.$ \frac{m+n}{2} $
C.$ \frac{5m+20n}{25} $
D.$ \frac{5m+15n}{20} $
D
）A.$ m+n $
B.$ \frac{m+n}{2} $
C.$ \frac{5m+20n}{25} $
D.$ \frac{5m+15n}{20} $
答案
2.D
解析
【分析】
解题时首先回忆平均数的核心公式：平均数 = 数据总和÷数据个数。要计算20个数据的总平均数，需要先分别求出两组数据的总和，再相加得到20个数据的总总和，最后除以总个数20即可。第一步先算前5个数据的总和：已知前5个数的平均数是m，总和=个数×平均数，即为5m；第二步算后一组数据的个数和总和：x₆到x₂共有20-5=15个数据，平均数是n，所以总和是15n；第三步将两组总和相加除以总个数20，就能得到最终的平均数，对应选项即可。
【解析】
解：
∵ $x_1,x_2,\dots,x_5$ 的平均数为 $m$
∴ 这5个数据的总和为 $5m$
又
∵ $x_6,x_7,\dots,x_{20}$ 的数据个数为 $20-5=15$，且其平均数为 $n$
∴ 这15个数据的总和为 $15n$
因此 $x_1,x_2,\dots,x_{20}$ 的总总和为 $5m+15n$，总数据个数为20
其平均数为 $\frac{5m+15n}{20}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平均数的定义；加权平均数计算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对平均数概念的理解，解题的关键是准确计算两组数据的个数和各自的总和，切忌直接对两个平均数取算术平均，只要牢记平均数"总总和除以总个数"的计算逻辑就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平均数的核心公式：平均数 = 数据总和÷数据个数。要计算20个数据的总平均数，需要先分别求出两组数据的总和，再相加得到20个数据的总总和，最后除以总个数20即可。第一步先算前5个数据的总和：已知前5个数的平均数是m，总和=个数×平均数，即为5m；第二步算后一组数据的个数和总和：x₆到x₂共有20-5=15个数据，平均数是n，所以总和是15n；第三步将两组总和相加除以总个数20，就能得到最终的平均数，对应选项即可。
【解析】
解：
∵ $x_1,x_2,\dots,x_5$ 的平均数为 $m$
∴ 这5个数据的总和为 $5m$
又
∵ $x_6,x_7,\dots,x_{20}$ 的数据个数为 $20-5=15$，且其平均数为 $n$
∴ 这15个数据的总和为 $15n$
因此 $x_1,x_2,\dots,x_{20}$ 的总总和为 $5m+15n$，总数据个数为20
其平均数为 $\frac{5m+15n}{20}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
平均数的定义；加权平均数计算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对平均数概念的理解，解题的关键是准确计算两组数据的个数和各自的总和，切忌直接对两个平均数取算术平均，只要牢记平均数"总总和除以总个数"的计算逻辑就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
3. 某学校举办游园活动，七年级参与人数为300人，平均每人的活动支出为221元；八年级参与人数为200人，平均每人的活动支出为18.5元.那么参与游园活动的所有学生的平均支出为
20
元.答案
3.20
4. 据某省疾病预防控制中心调查，随机抽取全省31 000名中小学生进行脊柱侧弯情况检测，统计中发现女生脊柱侧弯检出率是男生的1.5倍，部分结果描述如下表：
抽取的学生脊柱侧弯情况统计表
|统计维度|详细类别|调查人数|脊柱侧弯人数|脊柱侧弯检出率|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|性别|女生|
|b|c|
|性别|男生|16 000|448|2.8%|
请根据统计表信息解答下列问题：
（1）写出$a,b,c$之间的关系式；
（2）求脊柱侧弯的学生的总人数；
（3）小明认为该省中小学生脊柱侧弯检出率即男、女生脊柱侧弯检出率的平均数，请判断小明的说法是否正确，列式说明（可不计算结果）。
抽取的学生脊柱侧弯情况统计表
|统计维度|详细类别|调查人数|脊柱侧弯人数|脊柱侧弯检出率|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|性别|女生|
|b|c||性别|男生|16 000|448|2.8%|
请根据统计表信息解答下列问题：
（1）写出$a,b,c$之间的关系式；
（2）求脊柱侧弯的学生的总人数；
（3）小明认为该省中小学生脊柱侧弯检出率即男、女生脊柱侧弯检出率的平均数，请判断小明的说法是否正确，列式说明（可不计算结果）。
答案
4. 解:(1) 根据题意知:$c=\frac{b}{a}×100\%$；
(2) $a=31\ 000-16\ 000=15\ 000$，
∵女生脊柱侧弯检出率是男生的1.5倍，
∴$c=2.8\%×1.5=4.2\%$，
∴$b=ac=15\ 000×4.2\%=630$，
∴脊柱侧弯的学生的总人数:$448+630=1\ 078$(人)；
(3) 小明的说法不正确，全省实际检出率$=\frac{1\ 078}{31\ 000}$；男、女检出率的平均数$=\frac{2.8\%+4.2\%}{2}=\frac{3.5}{100}=\frac{1\ 085}{31\ 000}$；
∴全省实际检出率不等于男、女检出率的平均数.
∴小明的说法不正确.
(2) $a=31\ 000-16\ 000=15\ 000$，
∵女生脊柱侧弯检出率是男生的1.5倍，
∴$c=2.8\%×1.5=4.2\%$，
∴$b=ac=15\ 000×4.2\%=630$，
∴脊柱侧弯的学生的总人数:$448+630=1\ 078$(人)；
(3) 小明的说法不正确，全省实际检出率$=\frac{1\ 078}{31\ 000}$；男、女检出率的平均数$=\frac{2.8\%+4.2\%}{2}=\frac{3.5}{100}=\frac{1\ 085}{31\ 000}$；
∴全省实际检出率不等于男、女检出率的平均数.
∴小明的说法不正确.
解析
【分析】
（1）首先明确脊柱侧弯检出率的计算逻辑：检出率=对应群体的脊柱侧弯人数÷该群体调查总人数×100%，将女生的三个量a、b、c代入公式即可得到三者关系式。
（2）先通过总调查人数减去男生调查人数算出女生调查人数a；再结合“女生检出率是男生的1.5倍”算出女生检出率c；随后用女生调查人数乘检出率得到女生侧弯人数b；最后将男女生侧弯人数相加得到总侧弯人数。
（3）判断小明说法的核心是区分算术平均数和加权平均数的适用场景：男女生调查人数不相等，即两个检出率的权重不同，整体检出率属于加权平均数，和两个率的算术平均数结果不同，分别计算两类结果对比即可判断。
【解析】
(1) 根据检出率的定义，可得女生三个量的关系式：
$c=\frac{b}{a}×100\%$
(2) ①计算女生调查人数：总调查人数为31000人，男生16000人，因此$a=31000-16000=15000$；
②计算女生检出率：已知女生检出率是男生的1.5倍，男生检出率为2.8%，因此$c=2.8\%×1.5=4.2\%$；
③计算女生侧弯人数：$b=ac=15000×4.2\%=630$；
④计算总侧弯人数：$448+630=1078$（人）。
(3) 小明的说法不正确，验证如下：
全省实际脊柱侧弯检出率为：$\frac{1078}{31000}$
男、女生检出率的算术平均数为：$\frac{2.8\%+4.2\%}{2}=3.5\%=\frac{1085}{31000}$
显然$\frac{1078}{31000}≠\frac{1085}{31000}$，因此全省实际检出率不等于男、女检出率的平均数，小明说法错误。
【答案】
(1) $c=\frac{b}{a}×100\%$；
(2) 1078人；
(3) 小明的说法不正确，理由见解析。
【知识点】
百分率计算、算术平均数、加权平均数
【点评】
本题结合生活中的健康调查场景考查统计基础应用，解题的关键是理解百分率的计算逻辑，同时要注意：当不同分组的样本容量不一致时，不能直接用算术平均数代表整体的平均水平，需按加权平均的逻辑计算整体数值。
【难度系数】
0.7
（1）首先明确脊柱侧弯检出率的计算逻辑：检出率=对应群体的脊柱侧弯人数÷该群体调查总人数×100%，将女生的三个量a、b、c代入公式即可得到三者关系式。
（2）先通过总调查人数减去男生调查人数算出女生调查人数a；再结合“女生检出率是男生的1.5倍”算出女生检出率c；随后用女生调查人数乘检出率得到女生侧弯人数b；最后将男女生侧弯人数相加得到总侧弯人数。
（3）判断小明说法的核心是区分算术平均数和加权平均数的适用场景：男女生调查人数不相等，即两个检出率的权重不同，整体检出率属于加权平均数，和两个率的算术平均数结果不同，分别计算两类结果对比即可判断。
【解析】
(1) 根据检出率的定义，可得女生三个量的关系式：
$c=\frac{b}{a}×100\%$
(2) ①计算女生调查人数：总调查人数为31000人，男生16000人，因此$a=31000-16000=15000$；
②计算女生检出率：已知女生检出率是男生的1.5倍，男生检出率为2.8%，因此$c=2.8\%×1.5=4.2\%$；
③计算女生侧弯人数：$b=ac=15000×4.2\%=630$；
④计算总侧弯人数：$448+630=1078$（人）。
(3) 小明的说法不正确，验证如下：
全省实际脊柱侧弯检出率为：$\frac{1078}{31000}$
男、女生检出率的算术平均数为：$\frac{2.8\%+4.2\%}{2}=3.5\%=\frac{1085}{31000}$
显然$\frac{1078}{31000}≠\frac{1085}{31000}$，因此全省实际检出率不等于男、女检出率的平均数，小明说法错误。
【答案】
(1) $c=\frac{b}{a}×100\%$；
(2) 1078人；
(3) 小明的说法不正确，理由见解析。
【知识点】
百分率计算、算术平均数、加权平均数
【点评】
本题结合生活中的健康调查场景考查统计基础应用，解题的关键是理解百分率的计算逻辑，同时要注意：当不同分组的样本容量不一致时，不能直接用算术平均数代表整体的平均水平，需按加权平均的逻辑计算整体数值。
【难度系数】
0.7
5. 有7位评委为某同学的科学实验操作检测打分，采用10分制，完成实验后，根据评委所打分数计算该同学的平均分. 已知打8分的有1人，打9分的有2人，打8.5分的有a人，其余的打10分，该同学最后的平均分为9分，则打8.5分的人数是 （
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5.B
解析
【分析】
本题可通过加权平均数的计算公式列方程求解。首先明确总共有7位评委，先根据已知的各打分段人数，表示出打10分的人数；再根据“平均分=总分数÷总人数”，已知平均分为9分，代入各分数和对应人数列出一元一次方程，最后解方程求出a的值即可。
【解析】
已知总共有7位评委，打8分的有1人，打9分的有2人，打8.5分的有a人，则打10分的人数为：$7 - 1 - 2 - a = 4 - a$人。
根据加权平均数的计算公式，总分数等于平均分乘以总人数，可得总分为：$9 × 7 = 63$分。
据此列方程：
$8 × 1 + 9 × 2 + 8.5a + 10(4 - a) = 63$
计算化简：
$8 + 18 + 8.5a + 40 - 10a = 63$
$66 - 1.5a = 63$
移项求解：
$1.5a = 66 - 63 = 3$
$a = 3 ÷ 1.5 = 2$
即打8.5分的人数是2人。
【答案】
B
【知识点】
加权平均数计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是正确理解加权平均数的含义，准确表示出各分数对应的人数，结合平均分的计算公式建立方程求解即可。
【难度系数】
0.8
本题可通过加权平均数的计算公式列方程求解。首先明确总共有7位评委，先根据已知的各打分段人数，表示出打10分的人数；再根据“平均分=总分数÷总人数”，已知平均分为9分，代入各分数和对应人数列出一元一次方程，最后解方程求出a的值即可。
【解析】
已知总共有7位评委，打8分的有1人，打9分的有2人，打8.5分的有a人，则打10分的人数为：$7 - 1 - 2 - a = 4 - a$人。
根据加权平均数的计算公式，总分数等于平均分乘以总人数，可得总分为：$9 × 7 = 63$分。
据此列方程：
$8 × 1 + 9 × 2 + 8.5a + 10(4 - a) = 63$
计算化简：
$8 + 18 + 8.5a + 40 - 10a = 63$
$66 - 1.5a = 63$
移项求解：
$1.5a = 66 - 63 = 3$
$a = 3 ÷ 1.5 = 2$
即打8.5分的人数是2人。
【答案】
B
【知识点】
加权平均数计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是正确理解加权平均数的含义，准确表示出各分数对应的人数，结合平均分的计算公式建立方程求解即可。
【难度系数】
0.8
