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1 如图,下列各组角中,互为对顶角的是 (
A.∠1和∠2
B.∠1和∠3
C.∠2和∠4
D.∠2和∠5
A
)A.∠1和∠2
B.∠1和∠3
C.∠2和∠4
D.∠2和∠5
答案
1. A
解析
【分析】
解决本题首先要牢记对顶角的判断条件：一是两个角有公共顶点，二是两个角的两边互为反向延长线，也就是两个角由两条直线相交形成，是相对位置的两个角。接下来我们按这两个条件逐一分析选项：先看A选项的∠1和∠2，是上方水平直线和斜直线相交形成的角，有公共顶点，两边互为反向延长线，符合对顶角要求；其他选项要么没有公共顶点，要么两边不满足互为反向延长线的要求，均可排除。
【解析】
根据对顶角的定义：两条直线相交后，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角。
逐一分析选项：
A选项：∠1和∠2由上方水平直线与斜直线相交得到，有公共顶点，两边互为反向延长线，符合对顶角的定义；
B选项：∠1和∠3没有公共顶点，不符合对顶角的要求，排除；
C选项：∠2和∠4没有公共顶点，不符合对顶角的要求，排除；
D选项：∠2和∠5的边不互为反向延长线，不符合对顶角的要求，排除。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
对顶角的识别
【点评】
本题是基础题，主要考查对顶角的判断，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要牢记对顶角的判断条件：一是两个角有公共顶点，二是两个角的两边互为反向延长线，也就是两个角由两条直线相交形成，是相对位置的两个角。接下来我们按这两个条件逐一分析选项：先看A选项的∠1和∠2，是上方水平直线和斜直线相交形成的角，有公共顶点，两边互为反向延长线，符合对顶角要求；其他选项要么没有公共顶点，要么两边不满足互为反向延长线的要求，均可排除。
【解析】
根据对顶角的定义：两条直线相交后，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角互为对顶角。
逐一分析选项：
A选项：∠1和∠2由上方水平直线与斜直线相交得到，有公共顶点，两边互为反向延长线，符合对顶角的定义；
B选项：∠1和∠3没有公共顶点，不符合对顶角的要求，排除；
C选项：∠2和∠4没有公共顶点，不符合对顶角的要求，排除；
D选项：∠2和∠5的边不互为反向延长线，不符合对顶角的要求，排除。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
对顶角的识别
【点评】
本题是基础题，主要考查对顶角的判断，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.9
2 如图，直线AB，CD相交于点O，且∠EOB=90°，则∠DOE的余角是
∠COA,∠BOD
.答案
2. ∠COA,∠BOD
解析
【分析】
要找∠DOE的余角，首先明确余角的定义：和为90°的两个角互为余角。第一步先根据已知∠EOB=90°，可得∠DOE与∠BOD的和为90°，先确定∠BOD是∠DOE的余角；第二步结合对顶角相等的性质，找出与∠BOD相等的角，该角同样与∠DOE的和为90°，即为另一个余角。
【解析】
因为∠EOB=90°，所以∠DOE + ∠BOD = ∠EOB = 90°，根据余角的定义，∠BOD是∠DOE的余角。
又因为直线AB、CD相交于点O，∠AOC和∠BOD是对顶角，根据对顶角相等可得∠AOC=∠BOD，因此∠DOE + ∠AOC = 90°，所以∠AOC也是∠DOE的余角。
【答案】
∠COA,∠BOD
【知识点】
余角的定义，对顶角的性质，垂直的定义
【点评】
本题考查余角的识别，解题时要结合垂直的性质先找出一组余角，再利用对顶角相等找出所有符合条件的角，注意不要漏解。
【难度系数】
0.8
要找∠DOE的余角，首先明确余角的定义：和为90°的两个角互为余角。第一步先根据已知∠EOB=90°，可得∠DOE与∠BOD的和为90°，先确定∠BOD是∠DOE的余角；第二步结合对顶角相等的性质，找出与∠BOD相等的角，该角同样与∠DOE的和为90°，即为另一个余角。
【解析】
因为∠EOB=90°，所以∠DOE + ∠BOD = ∠EOB = 90°，根据余角的定义，∠BOD是∠DOE的余角。
又因为直线AB、CD相交于点O，∠AOC和∠BOD是对顶角，根据对顶角相等可得∠AOC=∠BOD，因此∠DOE + ∠AOC = 90°，所以∠AOC也是∠DOE的余角。
【答案】
∠COA,∠BOD
【知识点】
余角的定义，对顶角的性质，垂直的定义
【点评】
本题考查余角的识别，解题时要结合垂直的性质先找出一组余角，再利用对顶角相等找出所有符合条件的角，注意不要漏解。
【难度系数】
0.8
3 [2024广西]已知∠1与∠2互为对顶角，∠1=35°，则∠2=
35
°.答案
3. 35
解析
【分析】
解题时首先从题目的已知条件入手，看到∠1与∠2互为对顶角，首先回忆对顶角的性质：对顶角相等。要求∠2的度数，只需利用对顶角相等的性质，将已知的∠1的度数代入即可得到结果。
【解析】
∵∠1与∠2互为对顶角，根据对顶角相等的性质
∴∠2=∠1
又
∵∠1=35°
∴∠2=35°
【答案】
35
【知识点】
对顶角的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，直接考查对顶角性质的识记与简单应用，只要牢记对顶角相等的性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先从题目的已知条件入手，看到∠1与∠2互为对顶角，首先回忆对顶角的性质：对顶角相等。要求∠2的度数，只需利用对顶角相等的性质，将已知的∠1的度数代入即可得到结果。
【解析】
∵∠1与∠2互为对顶角，根据对顶角相等的性质
∴∠2=∠1
又
∵∠1=35°
∴∠2=35°
【答案】
35
【知识点】
对顶角的性质
【点评】
本题是基础概念应用题，直接考查对顶角性质的识记与简单应用，只要牢记对顶角相等的性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
4 分类讨论思想 两条直线相交所成的四个角中，有两个角的度数分别是$(2x - 10)°$和$(100 - x)°$，则$x=$
$\frac{110}{3}$或90
。答案
4. $\frac{110}{3}$或90
解析
【分析】
两条直线相交形成的四个角中，任意两个角要么是对顶角，要么是邻补角，本题未明确给出两个角的位置关系，因此需要分类讨论两种情况：①两个角是对顶角，根据对顶角相等列方程求解；②两个角是邻补角，根据邻补角之和为180°列方程求解，最后验证解得的x对应的角度是否符合实际意义即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若两个角是对顶角，根据对顶角相等可得：
$2x - 10 = 100 - x$
移项得：$2x + x = 100 + 10$
合并同类项得：$3x = 110$
解得：$x = \frac{110}{3}$
此时两个角均为$\frac{190}{3}°$，符合实际。
2. 若两个角是邻补角，根据邻补角和为180°可得：
$(2x - 10) + (100 - x) = 180$
化简得：$x + 90 = 180$
解得：$x = 90$
此时两个角分别为170°和10°，和为180°，符合实际。
综上，$x$的值为$\frac{110}{3}$或90。
【答案】
$\frac{110}{3}$或$90$
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的核心是明确两条直线相交后两个角的两种位置关系，易错点是忽略分类讨论，仅考虑对顶角相等的情况导致漏解，解题后要注意验证角度是否为正数，符合实际意义。
【难度系数】
0.6
两条直线相交形成的四个角中，任意两个角要么是对顶角，要么是邻补角，本题未明确给出两个角的位置关系，因此需要分类讨论两种情况：①两个角是对顶角，根据对顶角相等列方程求解；②两个角是邻补角，根据邻补角之和为180°列方程求解，最后验证解得的x对应的角度是否符合实际意义即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若两个角是对顶角，根据对顶角相等可得：
$2x - 10 = 100 - x$
移项得：$2x + x = 100 + 10$
合并同类项得：$3x = 110$
解得：$x = \frac{110}{3}$
此时两个角均为$\frac{190}{3}°$，符合实际。
2. 若两个角是邻补角，根据邻补角和为180°可得：
$(2x - 10) + (100 - x) = 180$
化简得：$x + 90 = 180$
解得：$x = 90$
此时两个角分别为170°和10°，和为180°，符合实际。
综上，$x$的值为$\frac{110}{3}$或90。
【答案】
$\frac{110}{3}$或$90$
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的性质；分类讨论思想
【点评】
本题的核心是明确两条直线相交后两个角的两种位置关系，易错点是忽略分类讨论，仅考虑对顶角相等的情况导致漏解，解题后要注意验证角度是否为正数，符合实际意义。
【难度系数】
0.6
5 如图，$∠ 1$与$∠ 2$互为补角，则图中与$∠ 1$相等的角（除自身外）共有
3
个。答案
5. 3
解析
【分析】解题时可从两个角度找与∠1相等的角：一是利用对顶角相等，先找∠1的对顶角；二是利用“同角的补角相等”，结合已知∠1和∠2互补，找所有与∠2互补的角，这些角都和∠1相等，再找这些角的对顶角即可，按顺序查找避免遗漏。
【解析】设AB与DE交于点M，AC与DE交于点N：
1. 直线AB、DE相交于点M，根据对顶角相等，∠1的对顶角∠BMD=∠1，这是第1个符合要求的角；
2. 已知∠1与∠2互为补角，因此∠1+∠2=180°。又因为DE为直线，∠2与∠ANE（DE上方、AC左侧的角）组成平角，即∠2+∠ANE=180°，根据同角的补角相等，可得∠ANE=∠1，这是第2个符合要求的角；
3. 直线AC、DE相交于点N，根据对顶角相等，∠ANE的对顶角∠CND=∠ANE，因此∠CND=∠1，这是第3个符合要求的角。
综上，共有3个与∠1相等的角（除自身外）。
【答案】3
【知识点】对顶角相等；补角的性质；平角的定义
【点评】本题是相交线相关性质的基础应用题，需要熟练掌握对顶角和补角的性质，按逻辑顺序查找角，避免出现漏数的情况。
【难度系数】0.7
【解析】设AB与DE交于点M，AC与DE交于点N：
1. 直线AB、DE相交于点M，根据对顶角相等，∠1的对顶角∠BMD=∠1，这是第1个符合要求的角；
2. 已知∠1与∠2互为补角，因此∠1+∠2=180°。又因为DE为直线，∠2与∠ANE（DE上方、AC左侧的角）组成平角，即∠2+∠ANE=180°，根据同角的补角相等，可得∠ANE=∠1，这是第2个符合要求的角；
3. 直线AC、DE相交于点N，根据对顶角相等，∠ANE的对顶角∠CND=∠ANE，因此∠CND=∠1，这是第3个符合要求的角。
综上，共有3个与∠1相等的角（除自身外）。
【答案】3
【知识点】对顶角相等；补角的性质；平角的定义
【点评】本题是相交线相关性质的基础应用题，需要熟练掌握对顶角和补角的性质，按逻辑顺序查找角，避免出现漏数的情况。
【难度系数】0.7
6 如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=70°，OE把∠BOD分成两个角，且∠BOE：∠EOD=2：3。求∠EOD的度数。
答案
6. 因为直线AB,CD相交于点O,∠AOC=70°,所以∠BOD=∠AOC=70°. 因为∠BOE : ∠EOD = 2 : 3,所以∠EOD = $\frac{3}{5}∠BOD=42°$
解析
【分析】首先观察图形特征，直线AB与CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是一组对顶角，根据对顶角相等的性质可求出∠BOD的度数；再结合∠BOE与∠EOD的比例关系，将∠BOD的度数按比例分配，即可求出∠EOD的度数。
【解析】
解：
∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC=70°，
∴∠BOD=∠AOC=70°（对顶角相等）。
∵∠BOE:∠EOD=2:3，
∴∠EOD = $\frac{3}{2+3}×∠BOD = \frac{3}{5}×70° = 42°$。
【答案】$\boxed{42°}$
【知识点】对顶角相等；按比例求角度
【点评】本题属于相交线角度计算的基础题，核心是利用对顶角相等的性质转化已知角度，再结合比例关系计算待求角，解题时注意找准对顶角，避免看错比例关系即可。
【难度系数】0.8
【解析】
解：
∵直线AB、CD相交于点O，∠AOC=70°，
∴∠BOD=∠AOC=70°（对顶角相等）。
∵∠BOE:∠EOD=2:3，
∴∠EOD = $\frac{3}{2+3}×∠BOD = \frac{3}{5}×70° = 42°$。
【答案】$\boxed{42°}$
【知识点】对顶角相等；按比例求角度
【点评】本题属于相交线角度计算的基础题，核心是利用对顶角相等的性质转化已知角度，再结合比例关系计算待求角，解题时注意找准对顶角，避免看错比例关系即可。
【难度系数】0.8
7 教材P172例1变式 如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，∠FOC＝90°，∠1＝40°，求∠2与∠3的度数。
答案
7. 因为∠1+∠3+∠FOC=180°,∠FOC=90°,∠1=40°,所以∠BOC=∠1+∠FOC=40°+90°=130°,∠3=180°-∠FOC-∠1=180°-90°-40°=50°.因为直线AB,CD相交于点O,所以∠AOD=∠BOC=130°.又因为OE平分∠AOD,所以∠2=$\frac{1}{2}∠AOD=65°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：首先直线AB为平角，度数为180°，结合已知的∠FOC=90°、∠1=40°，可先求出∠3的度数；再根据相交线的对顶角相等，得到∠AOD与∠BOC相等，算出∠BOC的度数即可得到∠AOD的度数；最后利用角平分线的定义，就能求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 直线AB为平角，即∠1+∠3+∠FOC=180°，且∠FOC=90°，∠1=40°
∴ ∠3=180°-∠FOC-∠1=180°-90°-40°=50°
∠BOC=∠1+∠FOC=40°+90°=130°
∵ 直线AB，CD相交于点O，∠AOD与∠BOC是对顶角
∴ ∠AOD=∠BOC=130°
又
∵ OE是∠AOD的平分线
∴ ∠2=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$×130°=65°
【答案】
∠2=65°，∠3=50°
【知识点】
平角的定义，对顶角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是相交线中角的计算基础题，解题的关键是理清不同角之间的和差关系、相等关系，结合平角、对顶角、角平分线的相关性质逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件出发：首先直线AB为平角，度数为180°，结合已知的∠FOC=90°、∠1=40°，可先求出∠3的度数；再根据相交线的对顶角相等，得到∠AOD与∠BOC相等，算出∠BOC的度数即可得到∠AOD的度数；最后利用角平分线的定义，就能求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ 直线AB为平角，即∠1+∠3+∠FOC=180°，且∠FOC=90°，∠1=40°
∴ ∠3=180°-∠FOC-∠1=180°-90°-40°=50°
∠BOC=∠1+∠FOC=40°+90°=130°
∵ 直线AB，CD相交于点O，∠AOD与∠BOC是对顶角
∴ ∠AOD=∠BOC=130°
又
∵ OE是∠AOD的平分线
∴ ∠2=$\frac{1}{2}$∠AOD=$\frac{1}{2}$×130°=65°
【答案】
∠2=65°，∠3=50°
【知识点】
平角的定义，对顶角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是相交线中角的计算基础题，解题的关键是理清不同角之间的和差关系、相等关系，结合平角、对顶角、角平分线的相关性质逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.8
