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10 如图，点 O 在直线 AB 上，OC，OD 在直线 AB 的上方，且 $OC⊥ OD$.
(1) 若 OE 在$∠ COD$ 的内部，$∠ AOC = 24°$，$∠ COE$ 与$∠ AOC$ 互余，则$∠ COE$ 的度数是
(2) 若 OE 平分$∠ BOD$，且$∠ DOE$ 与$∠ BOC$ 互补，则$∠ AOC$ 的度数是
(1) 若 OE 在$∠ COD$ 的内部，$∠ AOC = 24°$，$∠ COE$ 与$∠ AOC$ 互余，则$∠ COE$ 的度数是
66°
；(2) 若 OE 平分$∠ BOD$，且$∠ DOE$ 与$∠ BOC$ 互补，则$∠ AOC$ 的度数是
30°
.答案
10. (1) 66° (2) 30°
解析
【分析】
(1) 解题思路：根据互余的定义，两个互余的角和为90°，已知∠AOC的度数，直接用90°减去∠AOC的度数即可求出∠COE的度数。
(2) 解题思路：首先根据OC⊥OD得到∠COD=90°，结合平角∠AOB=180°，可推出∠AOC与∠BOD的和为90°；再利用角平分线的性质将∠DOE用∠BOD表示，根据∠DOE与∠BOC互补的条件，设∠AOC为未知数，建立方程求解即可。
【解析】
(1) 因为∠COE与∠AOC互余，根据互余的定义可得：
$∠ COE + ∠ AOC = 90°$
已知$∠ AOC=24°$，代入得：
$∠ COE=90° - 24° = 66°$
(2) 因为$OC ⊥ OD$，所以$∠ COD=90°$。
又因为点O在直线AB上，$∠ AOB=180°$，因此：
$∠ AOC + ∠ BOD = 180° - ∠ COD = 180° - 90° = 90°$
设$∠ AOC=x$，则$∠ BOD=90° - x$。
因为OE平分$∠ BOD$，根据角平分线的性质：
$∠ DOE = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{90° - x}{2}$
又$∠ BOC = 180° - ∠ AOC = 180° - x$，且$∠ DOE$与$∠ BOC$互补，根据互补的定义：
$∠ DOE + ∠ BOC = 180°$
代入得：
$\frac{90° - x}{2} + 180° - x = 180°$
解方程：
两边同乘2得：$90° - x + 360° - 2x = 360°$
整理得：$3x = 90°$
解得：$x=30°$，即$∠ AOC=30°$。
【答案】
(1) $66°$；(2) $30°$
【知识点】
余角与补角的定义，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题是角的计算基础题，解题的关键是理清各个角之间的数量关系，结合互余、互补、角平分线、垂直的性质建立等量关系，第二问通过设未知数列方程的方法能简化求解过程，是角的计算类题目的常用技巧。
【难度系数】
0.7
(1) 解题思路：根据互余的定义，两个互余的角和为90°，已知∠AOC的度数，直接用90°减去∠AOC的度数即可求出∠COE的度数。
(2) 解题思路：首先根据OC⊥OD得到∠COD=90°，结合平角∠AOB=180°，可推出∠AOC与∠BOD的和为90°；再利用角平分线的性质将∠DOE用∠BOD表示，根据∠DOE与∠BOC互补的条件，设∠AOC为未知数，建立方程求解即可。
【解析】
(1) 因为∠COE与∠AOC互余，根据互余的定义可得：
$∠ COE + ∠ AOC = 90°$
已知$∠ AOC=24°$，代入得：
$∠ COE=90° - 24° = 66°$
(2) 因为$OC ⊥ OD$，所以$∠ COD=90°$。
又因为点O在直线AB上，$∠ AOB=180°$，因此：
$∠ AOC + ∠ BOD = 180° - ∠ COD = 180° - 90° = 90°$
设$∠ AOC=x$，则$∠ BOD=90° - x$。
因为OE平分$∠ BOD$，根据角平分线的性质：
$∠ DOE = \frac{1}{2}∠ BOD = \frac{90° - x}{2}$
又$∠ BOC = 180° - ∠ AOC = 180° - x$，且$∠ DOE$与$∠ BOC$互补，根据互补的定义：
$∠ DOE + ∠ BOC = 180°$
代入得：
$\frac{90° - x}{2} + 180° - x = 180°$
解方程：
两边同乘2得：$90° - x + 360° - 2x = 360°$
整理得：$3x = 90°$
解得：$x=30°$，即$∠ AOC=30°$。
【答案】
(1) $66°$；(2) $30°$
【知识点】
余角与补角的定义，角平分线的定义，垂直的性质
【点评】
本题是角的计算基础题，解题的关键是理清各个角之间的数量关系，结合互余、互补、角平分线、垂直的性质建立等量关系，第二问通过设未知数列方程的方法能简化求解过程，是角的计算类题目的常用技巧。
【难度系数】
0.7
11 有下列现象:① 把弯曲的公路改直,就能缩短路程;② 用两个钉子就可以把木条固定在墙上;③ 利用圆规可以比较两条线段长度的大小关系;④ 植树时,只要确定两棵树的位置,就能确定一行树所在的直线.其中,可用基本事实“两点之间的所有连线中,线段最短”来解释的是
①
(填序号);可用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是②④
(填序号).答案
11. ① ②④
解析
【分析】
解题时首先要明确两个基本事实的核心含义：“两点之间的所有连线中，线段最短”描述的是两点间路径长度的性质，通常用来解释“缩短路程”“最短路径”类的现象；“两点确定一条直线”描述的是直线的确定条件，通常用来解释“固定物体”“确定直线位置”类的现象。接下来逐个分析四个现象对应的原理，匹配到对应的基本事实即可。
【解析】
逐一分析四个现象：
1. 现象①：把弯曲的公路改直后缩短路程，是因为两点之间的所有连线中线段最短，改直后走的是两点间的线段，路程最短，对应“两点之间线段最短”的基本事实；
2. 现象②：用两个钉子就可以把木条固定在墙上，是因为两点确定一条直线，两个钉子作为两个点，确定了木条所在的唯一一条直线，因此能固定木条，对应“两点确定一条直线”的基本事实；
3. 现象③：用圆规比较两条线段长度，属于线段大小的比较方法，与题干给出的两个基本事实无关；
4. 现象④：植树时确定两棵树的位置就能确定一行树所在的直线，是因为两点确定一条直线，两棵树作为两个点，确定了这行树所在的唯一一条直线，对应“两点确定一条直线”的基本事实。
【答案】
①；②④
【知识点】
两点之间线段最短；两点确定一条直线
【点评】
本题考查线段和直线的基本性质在实际生活中的应用，解题核心是准确区分两个基本事实的适用场景，结合生活实例理解性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确两个基本事实的核心含义：“两点之间的所有连线中，线段最短”描述的是两点间路径长度的性质，通常用来解释“缩短路程”“最短路径”类的现象；“两点确定一条直线”描述的是直线的确定条件，通常用来解释“固定物体”“确定直线位置”类的现象。接下来逐个分析四个现象对应的原理，匹配到对应的基本事实即可。
【解析】
逐一分析四个现象：
1. 现象①：把弯曲的公路改直后缩短路程，是因为两点之间的所有连线中线段最短，改直后走的是两点间的线段，路程最短，对应“两点之间线段最短”的基本事实；
2. 现象②：用两个钉子就可以把木条固定在墙上，是因为两点确定一条直线，两个钉子作为两个点，确定了木条所在的唯一一条直线，因此能固定木条，对应“两点确定一条直线”的基本事实；
3. 现象③：用圆规比较两条线段长度，属于线段大小的比较方法，与题干给出的两个基本事实无关；
4. 现象④：植树时确定两棵树的位置就能确定一行树所在的直线，是因为两点确定一条直线，两棵树作为两个点，确定了这行树所在的唯一一条直线，对应“两点确定一条直线”的基本事实。
【答案】
①；②④
【知识点】
两点之间线段最短；两点确定一条直线
【点评】
本题考查线段和直线的基本性质在实际生活中的应用，解题核心是准确区分两个基本事实的适用场景，结合生活实例理解性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
三、解答题
12 如图所示为三角形ABC和三角形DEF，请结合图中标注的角，利用直尺和圆规完成下面的作图（不写作法，保留作图痕迹）。
（1）在图①中作∠BCM，使得∠BCM=105°；
（2）在图②中作∠FEN，使得∠FEN=80°。
12 如图所示为三角形ABC和三角形DEF，请结合图中标注的角，利用直尺和圆规完成下面的作图（不写作法，保留作图痕迹）。
（1）在图①中作∠BCM，使得∠BCM=105°；
（2）在图②中作∠FEN，使得∠FEN=80°。
答案
12. 作法不唯一,如(1) 如图①,$∠BCM$即为所求 (2) 如图②,$∠FEN$即为所求
解析
【分析】
要完成指定角度的尺规作图，核心是利用已学的“尺规作一个角等于已知角”的方法，结合角的和差运算，用图中给出的已知角拼出目标角度即可。
（1）作∠BCM=105°：先观察△ABC的已知角，70°+35°=105°，我们可以以点C为顶点，CB为一边，在△ABC外侧通过作角的和得到105°；也可以利用平角性质，180°-75°=105°，作平角减去75°的角得到目标角，两种方法都可行。
（2）作∠FEN=80°：观察△DEF的已知角，110°-30°=80°，我们可以以点E为顶点，EF为一边，在110°的∠DEF内部作角的差得到80°的∠FEN，也可通过其他角的和差组合得到目标角，作法不唯一。
【解析】
（1）利用尺规作角的和：以C为顶点，CB为一边，在△ABC外先作一个角等于∠ACB=35°，再在这个角的外侧作一个角等于∠B=70°，两个角合起来的∠BCM即为105°，保留作图弧线痕迹。
（2）利用尺规作角的差：以E为顶点，EF为一边，在∠DEF=110°内部作一个角等于∠F=30°，余下的角就是80°的∠FEN，保留作图弧线痕迹。
注：作法不唯一，只要角度符合要求、作图痕迹规范均正确。
【答案】
12. 作法不唯一,如(1) 如图①,$∠BCM$即为所求 (2) 如图②,$∠FEN$即为所求
【知识点】
尺规作等角，角的和差计算
【点评】
本题属于基础作图类题目，重点考查对尺规作一个角等于已知角的掌握，以及灵活运用角的和差运算构造目标角度的能力，作图时注意保留清晰的作图痕迹。
【难度系数】
0.7
要完成指定角度的尺规作图，核心是利用已学的“尺规作一个角等于已知角”的方法，结合角的和差运算，用图中给出的已知角拼出目标角度即可。
（1）作∠BCM=105°：先观察△ABC的已知角，70°+35°=105°，我们可以以点C为顶点，CB为一边，在△ABC外侧通过作角的和得到105°；也可以利用平角性质，180°-75°=105°，作平角减去75°的角得到目标角，两种方法都可行。
（2）作∠FEN=80°：观察△DEF的已知角，110°-30°=80°，我们可以以点E为顶点，EF为一边，在110°的∠DEF内部作角的差得到80°的∠FEN，也可通过其他角的和差组合得到目标角，作法不唯一。
【解析】
（1）利用尺规作角的和：以C为顶点，CB为一边，在△ABC外先作一个角等于∠ACB=35°，再在这个角的外侧作一个角等于∠B=70°，两个角合起来的∠BCM即为105°，保留作图弧线痕迹。
（2）利用尺规作角的差：以E为顶点，EF为一边，在∠DEF=110°内部作一个角等于∠F=30°，余下的角就是80°的∠FEN，保留作图弧线痕迹。
注：作法不唯一，只要角度符合要求、作图痕迹规范均正确。
【答案】
12. 作法不唯一,如(1) 如图①,$∠BCM$即为所求 (2) 如图②,$∠FEN$即为所求
【知识点】
尺规作等角，角的和差计算
【点评】
本题属于基础作图类题目，重点考查对尺规作一个角等于已知角的掌握，以及灵活运用角的和差运算构造目标角度的能力，作图时注意保留清晰的作图痕迹。
【难度系数】
0.7
13 已知$AB=8$，点$P$从点$A$出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线$AB$运动，$M$为线段$AP$的中点。设点$P$的运动时间为$t$秒。
（1）若点$P$在线段$AB$上，则当$t=$
（2）若点$P$在$AB$的延长线上（如图），设线段$BP$的中点为$N$。
① 线段$MN$的长度是否保持不变？请说明理由。
② 是否存在$t$的值，使$M$，$N$，$B$三点中的某个点是其余两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的$t$的值；若不存在，请说明理由。
（1）若点$P$在线段$AB$上，则当$t=$
2
时，$PB=2AM$。（2）若点$P$在$AB$的延长线上（如图），设线段$BP$的中点为$N$。
① 线段$MN$的长度是否保持不变？请说明理由。
② 是否存在$t$的值，使$M$，$N$，$B$三点中的某个点是其余两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的$t$的值；若不存在，请说明理由。
答案
13. (1) 2 【解析】根据题意,得$PB=AB-AP=8-2t$,$AM=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×2t=t$.因为$PB=2AM$,所以$8-2t=2t$,解得$t=2$.
(2) ① 不变 理由:根据题意,得$MN=MP-NP=\frac{1}{2}AP-\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}×2t-\frac{1}{2}(2t-8)=4$,所以线段$MN$的长度保持不变.
② 存在 当$B$是$MN$的中点时,$BN=\frac{1}{2}MN$,所以$\frac{1}{2}(2t-8)=\frac{1}{2}×4$,解得$t=6$.当$M$是$BN$的中点时,$BN=2BM$,所以$\frac{1}{2}(2t-8)=2(t-8)$,解得$t=12$.由题意易知,$N$不可能是$BM$的中点.综上所述,当$t$的值为6或12时,$M,N,B$三点中的某个点是其余两点所连线段的中点
(2) ① 不变 理由:根据题意,得$MN=MP-NP=\frac{1}{2}AP-\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}×2t-\frac{1}{2}(2t-8)=4$,所以线段$MN$的长度保持不变.
② 存在 当$B$是$MN$的中点时,$BN=\frac{1}{2}MN$,所以$\frac{1}{2}(2t-8)=\frac{1}{2}×4$,解得$t=6$.当$M$是$BN$的中点时,$BN=2BM$,所以$\frac{1}{2}(2t-8)=2(t-8)$,解得$t=12$.由题意易知,$N$不可能是$BM$的中点.综上所述,当$t$的值为6或12时,$M,N,B$三点中的某个点是其余两点所连线段的中点
解析
【分析】
（1）先根据点P的运动速度和时间，用含t的代数式表示出AP的长度，再结合M是AP中点的性质表示出AM，同时由P在线段AB上可得PB=AB-AP，最后根据PB=2AM的等量关系列一元一次方程求解即可。
（2）①判断MN长度是否为定值，先分别用含t的代数式表示AP、BP的长度，再根据中点性质得到MP、NP的长度，通过MN=MP-NP化简，若结果不含t则说明长度不变。②分三种情况讨论：B为MN中点、M为BN中点、N为BM中点，分别根据中点的线段等量关系列方程求解，舍去不符合实际位置的情况即可得到t的取值。
【解析】
（1）由题意得，点P运动t秒时，$AP=2t$。
∵M是AP的中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×2t=t$。
∵P在线段AB上，$AB=8$，
∴$PB=AB-AP=8-2t$。
根据$PB=2AM$列方程：$8-2t=2t$，解得$t=2$。
（2）①线段MN的长度保持不变，理由如下：
当P在AB延长线上时，$AP=2t$，$BP=AP-AB=2t-8$。
∵M是AP中点，N是BP中点，
∴$MP=\frac{1}{2}AP=t$，$NP=\frac{1}{2}BP=t-4$。
∴$MN=MP-NP=t-(t-4)=4$，结果为定值与t无关，故MN长度保持不变。
②存在满足条件的t，分情况讨论：
情况1：当B是MN的中点时，$BN=\frac{1}{2}MN$，
∵$MN=4$，$BN=\frac{1}{2}BP=t-4$，
∴$t-4=\frac{1}{2}×4$，解得$t=6$。
情况2：当M是BN的中点时，$BN=2BM$，
其中$BM=AM-AB=t-8$，$BN=t-4$，
∴$t-4=2(t-8)$，解得$t=12$。
情况3：当N是BM的中点时，由线段位置可知N始终在B右侧，不可能位于B和M中间，该情况不成立。
综上，满足条件的t的值为6或12。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) ① 线段MN的长度保持不变，恒为4；② 存在，t的值为$\boxed{6}$或$\boxed{12}$
【知识点】
线段中点定义，动点线段计算，一元一次方程应用
【点评】
本题结合动点场景考察线段和差计算与中点性质的应用，解题核心是用含运动时间的代数式表示各线段长度，第二问需注意分类讨论所有可能的中点情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）先根据点P的运动速度和时间，用含t的代数式表示出AP的长度，再结合M是AP中点的性质表示出AM，同时由P在线段AB上可得PB=AB-AP，最后根据PB=2AM的等量关系列一元一次方程求解即可。
（2）①判断MN长度是否为定值，先分别用含t的代数式表示AP、BP的长度，再根据中点性质得到MP、NP的长度，通过MN=MP-NP化简，若结果不含t则说明长度不变。②分三种情况讨论：B为MN中点、M为BN中点、N为BM中点，分别根据中点的线段等量关系列方程求解，舍去不符合实际位置的情况即可得到t的取值。
【解析】
（1）由题意得，点P运动t秒时，$AP=2t$。
∵M是AP的中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}×2t=t$。
∵P在线段AB上，$AB=8$，
∴$PB=AB-AP=8-2t$。
根据$PB=2AM$列方程：$8-2t=2t$，解得$t=2$。
（2）①线段MN的长度保持不变，理由如下：
当P在AB延长线上时，$AP=2t$，$BP=AP-AB=2t-8$。
∵M是AP中点，N是BP中点，
∴$MP=\frac{1}{2}AP=t$，$NP=\frac{1}{2}BP=t-4$。
∴$MN=MP-NP=t-(t-4)=4$，结果为定值与t无关，故MN长度保持不变。
②存在满足条件的t，分情况讨论：
情况1：当B是MN的中点时，$BN=\frac{1}{2}MN$，
∵$MN=4$，$BN=\frac{1}{2}BP=t-4$，
∴$t-4=\frac{1}{2}×4$，解得$t=6$。
情况2：当M是BN的中点时，$BN=2BM$，
其中$BM=AM-AB=t-8$，$BN=t-4$，
∴$t-4=2(t-8)$，解得$t=12$。
情况3：当N是BM的中点时，由线段位置可知N始终在B右侧，不可能位于B和M中间，该情况不成立。
综上，满足条件的t的值为6或12。
【答案】
(1) $\boxed{2}$
(2) ① 线段MN的长度保持不变，恒为4；② 存在，t的值为$\boxed{6}$或$\boxed{12}$
【知识点】
线段中点定义，动点线段计算，一元一次方程应用
【点评】
本题结合动点场景考察线段和差计算与中点性质的应用，解题核心是用含运动时间的代数式表示各线段长度，第二问需注意分类讨论所有可能的中点情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
