8 如图，直线AB交CD于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，∠AOD：∠BOE＝4：1，则∠AOF的度数为 （）


A.130°
B.120°
C.110°
D.100°

8. B

【分析】
解题时先梳理已知条件：①两直线相交形成对顶角、邻补角，满足对顶角相等、邻补角和为180°；②OE平分∠BOD，可得∠BOD=2∠BOE；③OF平分∠COB，可得∠COB=2∠COF；④∠AOD与∠BOE的比为4:1。我们可以通过设未知数列方程的方法求解：先设∠BOE为x，用含x的式子表示∠AOD和∠BOD，再利用邻补角和为180°求出x的值，最后结合对顶角性质和角平分线定义推导∠AOF的度数。
【解析】
设∠BOE = x，
∵ ∠AOD:∠BOE = 4:1，
∴ ∠AOD = 4x，
∵ OE平分∠BOD，
∴ ∠BOD = 2∠BOE = 2x，
∵ 直线AB、CD交于点O，∠AOD和∠BOD是邻补角，
∴ ∠AOD + ∠BOD = 180°，
代入得4x + 2x = 180°，解得x = 30°，
∴ ∠BOD = 2×30° = 60°，∠AOD = 4×30° = 120°，
由对顶角相等可得：∠AOC = ∠BOD = 60°，∠COB = ∠AOD = 120°，
∵ OF平分∠COB，
∴ ∠COF = $\frac{1}{2}$∠COB = $\frac{1}{2}$×120° = 60°，
∴ ∠AOF = ∠AOC + ∠COF = 60° + 60° = 120°。
【答案】
B
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是相交线相关性质的基础综合题，解题核心是灵活运用角平分线定义和邻补角的数量关系建立方程求解，再通过对顶角相等完成角度转化，解题时注意理清各个角之间的位置和数量关系即可。
【难度系数】
0.7

9 有下列说法:① 有公共顶点,没有公共边的两个角是对顶角;② 相等的两个角是对顶角;③ 如果两个角是对顶角,那么这两个角相等;④ 若一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,则这两个角是对顶角;⑤ 如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.其中,正确的是(填序号).

9. ③④⑤

【分析】
解决这道题需先明确对顶角的定义和性质，再逐个验证每个说法是否符合概念要求：对顶角的定义是“有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角”，对顶角的性质是“对顶角相等”。判断时要注意：定义是判定对顶角的核心依据，性质仅能说明对顶角的大小关系，“相等的角是对顶角”是常见错误结论，反之“不相等的角一定不是对顶角”是成立的。
【解析】
我们对每个说法逐一判断：
1. 针对说法①：有公共顶点、没有公共边的两个角，不一定满足“两边互为反向延长线”的要求，例如过公共顶点作3条射线形成的两个不相邻的锐角，就不是对顶角，因此①错误。
2. 针对说法②：相等的两个角不一定符合对顶角的定义，例如两个独立的30°角，没有公共顶点，显然不是对顶角，因此②错误。
3. 针对说法③：“对顶角相等”是对顶角的基本性质，因此③正确。
4. 针对说法④：该描述完全符合对顶角的定义（两边互为反向延长线时天然存在公共顶点），因此④正确。
5. 针对说法⑤：因为对顶角一定相等，所以如果两个角不相等，必然不属于对顶角，因此⑤正确。
综上，正确的是③④⑤。
【答案】
③④⑤
【知识点】
对顶角的定义；对顶角的性质
【点评】
本题考查对顶角概念和性质的辨析，需要准确把握定义的核心要素，明确性质的逻辑关系，规避“相等的角就是对顶角”这类常见误区即可正确解题。
【难度系数】
0.8

11 如图，直线AB，EF相交于点D，$∠ BDC=90°$.
（1）$∠ 1$的对顶角是，$∠ 2$的余角是；
（2）$∠ ADC$与$∠ BDC$对顶角（填“是”或“不是”）；
（3）若$∠ 2=5∠ 1$，求$∠ CDF$，$∠ EDB$的度数.

11. (1) ∠BDF ∠1,∠BDF (2) 不是 (3) 因为∠ADC+∠BDC=180°,∠BDC=90°,所以∠ADC=180°-∠BDC=180°-90°=90°.所以∠1+∠2=90°.因为∠2=5∠1,所以∠1=$\frac{1}{1+5}×90°=15°$.因为∠1+∠EDB=180°,所以∠EDB=180°-∠1=180°-15°=165°.因为直线AB,EF相交于点D,所以∠BDF=∠1=15°.所以∠CDF=∠BDC+∠BDF=90°+15°=105°

【分析】
解这道题需要结合相交线相关的基础概念逐步分析：
1. 首先回忆对顶角的定义：有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线的两个角互为对顶角，对顶角相等；余角的定义：和为90°的两个角互为余角；邻补角的和为180°。
2. 第（1）问找对顶角时，观察∠1的两边的反向延长线对应的角即可；找∠2的余角时，结合∠BDC=90°，找和∠2相加为90°的角，再结合对顶角相等补充完整。
3. 第（2）问判断是否为对顶角，对照对顶角的定义，看两个角的两边是否都互为反向延长线即可。
4. 第（3）问先根据垂直关系得到∠1和∠2的和为90°，结合∠2和∠1的数量关系求出∠1的度数，再利用邻补角、对顶角的性质分别计算∠EDB和∠CDF的度数。
【解析】
(1) 直线AB、EF交于点D，∠1的两边DA、DE的反向延长线分别是DB、DF，因此∠1的对顶角是∠BDF；
已知∠BDC=90°，因此∠1+∠2=90°，又因为对顶角相等可得∠BDF=∠1，因此∠BDF+∠2=90°，所以∠2的余角是∠1、∠BDF。
(2) 对顶角要求两个角的两边均互为反向延长线，∠ADC和∠BDC的公共边为DC，不存在与DC互为反向延长线的边，因此∠ADC与∠BDC不是对顶角。
(3) 因为∠ADC和∠BDC是邻补角，所以$∠ ADC+∠ BDC=180°$，
已知$∠ BDC=90°$，因此$∠ ADC=180°-90°=90°$，即$∠1+∠2=90°$，
又因为$∠2=5∠1$，代入得$∠1+5∠1=90°$，解得$∠1=15°$，
因为∠1和∠EDB是邻补角，所以$∠ EDB=180°-∠1=180°-15°=165°$，
因为直线AB、EF交于点D，根据对顶角相等可得$∠ BDF=∠1=15°$，
因此$∠ CDF=∠ BDC+∠ BDF=90°+15°=105°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠BDF}$；$\boldsymbol{∠1、∠BDF}$
(2) $\boldsymbol{不是}$
(3) $\boldsymbol{∠CDF=105°}$，$\boldsymbol{∠EDB=165°}$
【知识点】
对顶角的定义与性质，余角的定义，邻补角的性质
【点评】
本题属于相交线相关的基础题型，侧重考查基础概念的理解与应用，计算角度时结合了简单的方程思想，熟练掌握对顶角、余角、邻补角的相关性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

12 新考向 探究题 如图，下列各图中，直线都交于一点，请探究交于一点的直线的条数与所形成的对顶角的对数之间的规律。

（1）请填写下表：

（2）若n条直线交于一点，则共有对对顶角（用含n的代数式表示）；
（3）当100条直线交于一点时，共有对对顶角。

12. (1) 2 6 12 【解析】根据题图,可得2条直线交于一点,共有2对对顶角;3条直线交于一点,共有6对对顶角;4条直线交于一点,共有12对对顶角.
(2) $n(n-1)$ 【解析】依据规律,可得n条直线交于一点,共有$n(n-1)$对对顶角.
(3) 9 900 【解析】当n=100时,$n(n-1)=100×99=9 900$.

【分析】
解题时首先回忆对顶角的基本概念：两条直线相交会形成2对对顶角。解决第（1）问时，先分别观察2条、3条、4条直线交于一点的图形，按顺序计数对顶角的数量，计数时可逐组选取两条直线为一组，统计每组对应的对顶角后求和，避免重复或遗漏。完成第（1）问后，将得到的对顶角数量与对应直线条数作对比，寻找数值规律，即可推导得出n条直线交于一点时的对顶角通用表达式，最后将n=100代入表达式计算就能得到第（3）问的结果。
【解析】
（1）观察图形可得：
2条直线交于一点时，共形成2对对顶角；
3条直线交于一点时，共形成6对对顶角；
4条直线交于一点时，共形成12对对顶角；
因此表格依次填写2、6、12。
（2）观察所得数据找规律：
2条直线时，对顶角对数=2×1=2；
3条直线时，对顶角对数=3×2=6；
4条直线时，对顶角对数=4×3=12；
由此可归纳得出，n条直线交于一点时，对顶角的对数为$n(n-1)$。
（3）当n=100时，将其代入表达式计算：
$n(n-1)=100×(100-1)=100×99=9900$。
【答案】
（1）2，6，12；（2）$n(n-1)$；（3）9900
【知识点】
对顶角的概念，规律探究，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类题型，从特殊情况出发推导一般规律，既考查对顶角的基础认知，也锻炼归纳总结的能力，解题的关键是准确计数特殊情况的对顶角数量，找准数值与直线条数的对应关系。
【难度系数】
0.7