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9 [2024宿城期中]设面积为31的正方形的边长为x，则x的取值范围是（
A.$5.0＜x＜5.2$
B.$5.2＜x＜5.5$
C.$5.5＜x＜5.7$
D.$5.7＜x＜6.0$
C
）A.$5.0＜x＜5.2$
B.$5.2＜x＜5.5$
C.$5.5＜x＜5.7$
D.$5.7＜x＜6.0$
答案
9.C
解析
【分析】
首先根据正方形面积公式可知边长x满足$x^2=31$，即x是31的算术平方根，要确定x的取值范围，可采用平方法：计算选项中各临界值的平方，再将31与这些平方值比较大小，就能得到$\sqrt{31}$的范围，也就是x的范围。
【解析】
解：
∵正方形的面积为31，边长为x，
∴根据正方形面积公式得：$x^2=31$（$x＞0$），
∴$x=\sqrt{31}$。
接下来计算临界值的平方：
$5.5^2=30.25$，
$5.7^2=32.49$，
∵$30.25＜31＜32.49$，
∴$\sqrt{30.25}＜\sqrt{31}＜\sqrt{32.49}$，
即$5.5＜x＜5.7$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的意义；无理数的估算
【点评】
本题考查无理数的估算方法，核心是利用平方法将无理数的大小比较转化为有理数的平方比较，解题时要注意准确计算各临界值的平方，是估算类题型的基础考法。
【难度系数】
0.7
首先根据正方形面积公式可知边长x满足$x^2=31$，即x是31的算术平方根，要确定x的取值范围，可采用平方法：计算选项中各临界值的平方，再将31与这些平方值比较大小，就能得到$\sqrt{31}$的范围，也就是x的范围。
【解析】
解：
∵正方形的面积为31，边长为x，
∴根据正方形面积公式得：$x^2=31$（$x＞0$），
∴$x=\sqrt{31}$。
接下来计算临界值的平方：
$5.5^2=30.25$，
$5.7^2=32.49$，
∵$30.25＜31＜32.49$，
∴$\sqrt{30.25}＜\sqrt{31}＜\sqrt{32.49}$，
即$5.5＜x＜5.7$。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根的意义；无理数的估算
【点评】
本题考查无理数的估算方法，核心是利用平方法将无理数的大小比较转化为有理数的平方比较，解题时要注意准确计算各临界值的平方，是估算类题型的基础考法。
【难度系数】
0.7
10 [2024深圳]如图，A，B，C均为正方形。若A的面积为10，C的面积为1，则B的边长可以是
答案不唯一,如2
（写出一个答案即可）。答案
10. 答案不唯一,如2
解析
【分析】
要确定B的边长，首先根据正方形面积与边长的关系，先求出A和C的边长，再结合图形摆放的特点，得到B边长的取值范围，在范围内任选一个符合要求的数即可。第一步：由正方形面积=边长²，可得边长=√面积，先计算A、C的边长；第二步：观察图形，三个正方形底部齐平，A的高度大于B，B的高度大于C，因此B的边长介于C和A的边长之间；第三步：估算A的边长的近似值，得到B边长的取值区间，任选区间内的数即可。
【解析】
解：设正方形B的边长为x。
根据正方形面积公式，可得：
正方形A的边长为$\sqrt{10}≈3.16$，
正方形C的边长为$\sqrt{1}=1$。
观察图形可知，三个正方形底边共线，高度满足：A的边长 ＞ B的边长 ＞ C的边长，
因此x的取值范围为$1 ＜ x ＜ \sqrt{10}$。
取x=2（满足$1＜2＜3.16$，符合要求，答案不唯一）。
【答案】
2（答案不唯一，大于1且小于$\sqrt{10}$即可）
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根，实数大小比较
【点评】
本题结合几何图形考查无理数的估算，解题关键是通过图形特征得到边长的取值范围，题型灵活，答案不唯一，只要符合范围要求均正确。
【难度系数】
0.8
要确定B的边长，首先根据正方形面积与边长的关系，先求出A和C的边长，再结合图形摆放的特点，得到B边长的取值范围，在范围内任选一个符合要求的数即可。第一步：由正方形面积=边长²，可得边长=√面积，先计算A、C的边长；第二步：观察图形，三个正方形底部齐平，A的高度大于B，B的高度大于C，因此B的边长介于C和A的边长之间；第三步：估算A的边长的近似值，得到B边长的取值区间，任选区间内的数即可。
【解析】
解：设正方形B的边长为x。
根据正方形面积公式，可得：
正方形A的边长为$\sqrt{10}≈3.16$，
正方形C的边长为$\sqrt{1}=1$。
观察图形可知，三个正方形底边共线，高度满足：A的边长 ＞ B的边长 ＞ C的边长，
因此x的取值范围为$1 ＜ x ＜ \sqrt{10}$。
取x=2（满足$1＜2＜3.16$，符合要求，答案不唯一）。
【答案】
2（答案不唯一，大于1且小于$\sqrt{10}$即可）
【知识点】
正方形面积计算，算术平方根，实数大小比较
【点评】
本题结合几何图形考查无理数的估算，解题关键是通过图形特征得到边长的取值范围，题型灵活，答案不唯一，只要符合范围要求均正确。
【难度系数】
0.8
11 [2024 滨州]比$\sqrt{3}$大且比$\sqrt{10}$小的整数是
2或3
。（第10题）答案
11. 2或3
解析
【分析】
要解决本题，核心是先估算出$\sqrt{3}$和$\sqrt{10}$的取值范围，再找出落在两个范围之间的整数。我们可以用“夹逼法”，通过比较被开方数和相邻整数的平方的大小，确定两个无理数分别在哪两个相邻整数之间，再筛选符合条件的整数即可。
【解析】
1. 估算$\sqrt{3}$的范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$；
2. 估算$\sqrt{10}$的范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$；
3. 筛选符合条件的整数：
结合两个范围，比$\sqrt{3}$大且比$\sqrt{10}$小的整数为2和3。
【答案】
2或3
【知识点】
无理数的估算，实数大小比较
【点评】
本题是基础题，核心考查用“夹逼法”估算无理数的方法，熟记常见整数的平方，就能快速确定无理数的大致区间，从而得到答案。
【难度系数】
0.9
要解决本题，核心是先估算出$\sqrt{3}$和$\sqrt{10}$的取值范围，再找出落在两个范围之间的整数。我们可以用“夹逼法”，通过比较被开方数和相邻整数的平方的大小，确定两个无理数分别在哪两个相邻整数之间，再筛选符合条件的整数即可。
【解析】
1. 估算$\sqrt{3}$的范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$，所以$1＜\sqrt{3}＜2$；
2. 估算$\sqrt{10}$的范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$，所以$3＜\sqrt{10}＜4$；
3. 筛选符合条件的整数：
结合两个范围，比$\sqrt{3}$大且比$\sqrt{10}$小的整数为2和3。
【答案】
2或3
【知识点】
无理数的估算，实数大小比较
【点评】
本题是基础题，核心考查用“夹逼法”估算无理数的方法，熟记常见整数的平方，就能快速确定无理数的大致区间，从而得到答案。
【难度系数】
0.9
12 给出下列命题:① 所有分数可以写成有限小数或循环小数的形式;② 无理数不能写成分数形式$\frac{n}{m}$($m$,$n$是整数);③ $7-2π$与$\sqrt{25}$都是无理数;④ 有理数可以用来确定一个无理数的范围.其中,属于假命题的是
③
(填序号).答案
12. ③
解析
【分析】
这道题需要结合有理数、无理数的定义及性质，逐个判断4个命题的真假，最终找出假命题。解题时首先要明确两类数的核心区别：有理数可以表示为两个整数的比（即分数形式），是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，不能表示为分数形式，再逐一核对每个命题的表述是否符合定义即可。
【解析】
首先明确基本概念：有理数包含整数和分数，所有有理数都可写成有限小数或无限循环小数，也可表示为$\frac{n}{m}$（$m,n$为整数，$m≠0$）的形式；无理数是无限不循环小数，无法表示为两个整数的比。
逐个判断命题：
1. 命题①：分数属于有理数，因此所有分数都可以写成有限小数或循环小数的形式，表述正确，是真命题；
2. 命题②：无理数的本质是无限不循环小数，不能写成分数$\frac{n}{m}$（$m,n$是整数）的形式，表述正确，是真命题；
3. 命题③：先化简$\sqrt{25}=5$，5是整数，属于有理数，仅$7-2π$是无理数，因此“两者都是无理数”的表述错误，是假命题；
4. 命题④：我们可以通过有理数估算无理数的大小，例如由$1＜\sqrt{2}＜2$即可用有理数1、2确定无理数$\sqrt{2}$的范围，表述正确，是真命题。
【答案】
③
【知识点】
有理数的概念；无理数的概念；无理数的估算
【点评】
本题侧重考查实数相关概念的辨析能力，解题时要注意，判断带根号的数是否为无理数时，需先对其化简再判断，不能直接看到根号就判定为无理数。
【难度系数】
0.7
这道题需要结合有理数、无理数的定义及性质，逐个判断4个命题的真假，最终找出假命题。解题时首先要明确两类数的核心区别：有理数可以表示为两个整数的比（即分数形式），是有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，不能表示为分数形式，再逐一核对每个命题的表述是否符合定义即可。
【解析】
首先明确基本概念：有理数包含整数和分数，所有有理数都可写成有限小数或无限循环小数，也可表示为$\frac{n}{m}$（$m,n$为整数，$m≠0$）的形式；无理数是无限不循环小数，无法表示为两个整数的比。
逐个判断命题：
1. 命题①：分数属于有理数，因此所有分数都可以写成有限小数或循环小数的形式，表述正确，是真命题；
2. 命题②：无理数的本质是无限不循环小数，不能写成分数$\frac{n}{m}$（$m,n$是整数）的形式，表述正确，是真命题；
3. 命题③：先化简$\sqrt{25}=5$，5是整数，属于有理数，仅$7-2π$是无理数，因此“两者都是无理数”的表述错误，是假命题；
4. 命题④：我们可以通过有理数估算无理数的大小，例如由$1＜\sqrt{2}＜2$即可用有理数1、2确定无理数$\sqrt{2}$的范围，表述正确，是真命题。
【答案】
③
【知识点】
有理数的概念；无理数的概念；无理数的估算
【点评】
本题侧重考查实数相关概念的辨析能力，解题时要注意，判断带根号的数是否为无理数时，需先对其化简再判断，不能直接看到根号就判定为无理数。
【难度系数】
0.7
13 已知$-\sqrt{15}$在整数$a-1$和$a$之间，则$a$的值为
-3
。答案
13. $-3$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要估算出$-\sqrt{15}$的取值范围：第一步先找到与15相邻的两个正完全平方数，确定$\sqrt{15}$的范围；第二步根据不等式的性质，给不等式两边同时乘-1，改变不等号方向得到$-\sqrt{15}$的范围；最后结合$-\sqrt{15}$在整数$a-1$和$a$之间的条件，即可确定$a$的值。
【解析】
首先，确定与15相邻的完全平方数：
$\because 9＜15＜16$
$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{15}＜4$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得：
$-4＜-\sqrt{15}＜-3$
已知$-\sqrt{15}$在整数$a-1$和$a$之间，对比取值范围可知$a-1=-4$，$a=-3$，符合要求。
【答案】
$-3$
【知识点】
无理数的估算、不等式的基本性质
【点评】
本题是基础类题型，重点考查无理数的估算方法，解题时需注意负数比较大小的规则，避免弄错不等号方向导致范围判断错误。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要估算出$-\sqrt{15}$的取值范围：第一步先找到与15相邻的两个正完全平方数，确定$\sqrt{15}$的范围；第二步根据不等式的性质，给不等式两边同时乘-1，改变不等号方向得到$-\sqrt{15}$的范围；最后结合$-\sqrt{15}$在整数$a-1$和$a$之间的条件，即可确定$a$的值。
【解析】
首先，确定与15相邻的完全平方数：
$\because 9＜15＜16$
$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{15}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{15}＜4$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，可得：
$-4＜-\sqrt{15}＜-3$
已知$-\sqrt{15}$在整数$a-1$和$a$之间，对比取值范围可知$a-1=-4$，$a=-3$，符合要求。
【答案】
$-3$
【知识点】
无理数的估算、不等式的基本性质
【点评】
本题是基础类题型，重点考查无理数的估算方法，解题时需注意负数比较大小的规则，避免弄错不等号方向导致范围判断错误。
【难度系数】
0.7
14 新情境 数学文化 无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，永葆常新，数学家称之为一种特殊的数.设面积为$5π$的圆的半径为$a$.
(1) $a$是有理数吗？请说明理由.
(2) 估计$a$的值（结果精确到0.1）.
(1) $a$是有理数吗？请说明理由.
(2) 估计$a$的值（结果精确到0.1）.
答案
14. (1) $a$不是有理数 理由：$\because π a^2=5π,\therefore a^2=5.$
$\because a＞0,且找不到平方后等于5的有理数,\therefore a是无理数,不是有理数.$
(2) $\because 2^2＜5＜3^2,\therefore 2＜a＜3.$
$\because 2.2^2=4.84,2.3^2=5.29,\therefore 2.2＜a＜2.3.$
$\because 2.23^2=4.972 9,2.24^2=5.017 6,\therefore 2.23＜a＜2.24,\therefore a≈2.2$
$\because a＞0,且找不到平方后等于5的有理数,\therefore a是无理数,不是有理数.$
(2) $\because 2^2＜5＜3^2,\therefore 2＜a＜3.$
$\because 2.2^2=4.84,2.3^2=5.29,\therefore 2.2＜a＜2.3.$
$\because 2.23^2=4.972 9,2.24^2=5.017 6,\therefore 2.23＜a＜2.24,\therefore a≈2.2$
解析
【分析】
(1) 判断a是否为有理数的思路：首先根据圆的面积公式列出等式，化简得到a²的取值，再结合有理数的定义（整数和分数统称有理数），判断是否存在平方等于5的有理数，即可得出结论；
(2) 估算a的取值采用夹逼法：先确定a的整数范围，再逐步缩小范围到十分位、百分位，最后结合精确到0.1的要求四舍五入得到近似值。
【解析】
(1) $a$不是有理数，理由如下：
由圆的面积公式可得$π a^2=5π$，两边同时除以$π$，得$a^2=5$。
因为$a＞0$，且不存在任何整数或分数的平方等于5，即找不到平方后等于5的有理数，因此$a$是无理数，不是有理数。
(2) 用夹逼法逐步估算$a$的大小：
因为$2^2=4＜5＜3^2=9$，所以$2＜a＜3$；
因为$2.2^2=4.84＜5＜2.3^2=5.29$，所以$2.2＜a＜2.3$；
因为$2.23^2=4.9729＜5＜2.24^2=5.0176$，所以$2.23＜a＜2.24$；
结果精确到0.1时，对百分位的数字四舍五入，可得$a\approx2.2$。
【答案】
(1) $a$不是有理数，理由：$\because π a^2=5π,\therefore a^2=5$，$\because a＞0$，且找不到平方后等于5的有理数，$\therefore a$是无理数，不是有理数；
(2) $a\approx2.2$
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 无理数的估算
3. 圆的面积公式
【点评】
本题结合数学文化背景命题，既考查了有理数与无理数的区分方法，又考查了用夹逼法估算无理数近似值的技能，有助于加深学生对无理数概念的理解，提升估算能力。
【难度系数】
0.8
(1) 判断a是否为有理数的思路：首先根据圆的面积公式列出等式，化简得到a²的取值，再结合有理数的定义（整数和分数统称有理数），判断是否存在平方等于5的有理数，即可得出结论；
(2) 估算a的取值采用夹逼法：先确定a的整数范围，再逐步缩小范围到十分位、百分位，最后结合精确到0.1的要求四舍五入得到近似值。
【解析】
(1) $a$不是有理数，理由如下：
由圆的面积公式可得$π a^2=5π$，两边同时除以$π$，得$a^2=5$。
因为$a＞0$，且不存在任何整数或分数的平方等于5，即找不到平方后等于5的有理数，因此$a$是无理数，不是有理数。
(2) 用夹逼法逐步估算$a$的大小：
因为$2^2=4＜5＜3^2=9$，所以$2＜a＜3$；
因为$2.2^2=4.84＜5＜2.3^2=5.29$，所以$2.2＜a＜2.3$；
因为$2.23^2=4.9729＜5＜2.24^2=5.0176$，所以$2.23＜a＜2.24$；
结果精确到0.1时，对百分位的数字四舍五入，可得$a\approx2.2$。
【答案】
(1) $a$不是有理数，理由：$\because π a^2=5π,\therefore a^2=5$，$\because a＞0$，且找不到平方后等于5的有理数，$\therefore a$是无理数，不是有理数；
(2) $a\approx2.2$
【知识点】
1. 无理数的定义
2. 无理数的估算
3. 圆的面积公式
【点评】
本题结合数学文化背景命题，既考查了有理数与无理数的区分方法，又考查了用夹逼法估算无理数近似值的技能，有助于加深学生对无理数概念的理解，提升估算能力。
【难度系数】
0.8
15 [2025 宿城期中]在数学中,我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值.例如:
∵ $\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$,即 $2＜\sqrt{6}＜3$,
∴ $\sqrt{6}$ 的整数部分为 2,
∴ $\sqrt{6}$ 的小数部分为 $\sqrt{6}-2$.
(1) 求 $\sqrt{17}$ 的整数部分和小数部分;
(2) 已知 $5a+2$ 的立方根是 3, $3a+b-1$ 的算术平方根是 4, $c$ 是 $\sqrt{12}$ 的整数部分,求 $3a-b+c$ 的平方根.
∵ $\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$,即 $2＜\sqrt{6}＜3$,
∴ $\sqrt{6}$ 的整数部分为 2,
∴ $\sqrt{6}$ 的小数部分为 $\sqrt{6}-2$.
(1) 求 $\sqrt{17}$ 的整数部分和小数部分;
(2) 已知 $5a+2$ 的立方根是 3, $3a+b-1$ 的算术平方根是 4, $c$ 是 $\sqrt{12}$ 的整数部分,求 $3a-b+c$ 的平方根.
答案
15. (1) $\because \sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25},即4＜\sqrt{17}＜5,\therefore \sqrt{17}的整数部分为4,\therefore \sqrt{17}的小数部分为\sqrt{17}-4$
(2) 由条件,可知$5a+2=3^3=27,3a+b-1=4^2=16,\therefore a=5,b=2. \because \sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16},即3＜\sqrt{12}＜4,\therefore \sqrt{12}的整数部分是3,\therefore c=3,\therefore 3a-b+c=3×5-2+3=16,\therefore 3a-b+c的平方根是±4$
(2) 由条件,可知$5a+2=3^3=27,3a+b-1=4^2=16,\therefore a=5,b=2. \because \sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16},即3＜\sqrt{12}＜4,\therefore \sqrt{12}的整数部分是3,\therefore c=3,\therefore 3a-b+c=3×5-2+3=16,\therefore 3a-b+c的平方根是±4$
解析
【分析】
(1) 求无理数的整数部分和小数部分，首先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定该无理数介于哪两个相邻整数之间，较小的整数就是它的整数部分，用无理数减去整数部分即可得到小数部分。
(2) 先根据立方根、算术平方根的定义，分别列出关于a、b的方程，求解得到a、b的值；再用和(1)相同的估算方法求出√12的整数部分得到c的值，最后将a、b、c代入代数式计算，再求计算结果的平方根，注意平方根有正负两个。
【解析】
(1)
∵ $\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即 $4＜\sqrt{17}＜5$，
∴ $\sqrt{17}$ 的整数部分为4，
∴ $\sqrt{17}$ 的小数部分为 $\sqrt{17}-4$。
(2) 由题意得：
$5a+2=3^3=27$，解得 $a=5$；
$3a+b-1=4^2=16$，将$a=5$代入得：$15+b-1=16$，解得 $b=2$。
∵ $\sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16}$，即 $3＜\sqrt{12}＜4$，
∴ $\sqrt{12}$ 的整数部分$c=3$。
将$a=5,b=2,c=3$代入得：
$3a-b+c=3×5-2+3=16$，
∵ $(\pm4)^2=16$，
∴ $3a-b+c$ 的平方根是$\pm4$。
【答案】
(1) $\sqrt{17}$的整数部分为4，小数部分为$\sqrt{17}-4$；
(2) $3a-b+c$的平方根是$\pm4$
【知识点】
无理数的估算；立方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题考查无理数估算、根式相关概念的综合应用，解题的关键是掌握利用相邻完全平方数估算无理数范围的方法，牢记立方根、算术平方根、平方根的定义，注意正数的平方根有两个，互为相反数，解题时不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
(1) 求无理数的整数部分和小数部分，首先找到与被开方数相邻的两个完全平方数，确定该无理数介于哪两个相邻整数之间，较小的整数就是它的整数部分，用无理数减去整数部分即可得到小数部分。
(2) 先根据立方根、算术平方根的定义，分别列出关于a、b的方程，求解得到a、b的值；再用和(1)相同的估算方法求出√12的整数部分得到c的值，最后将a、b、c代入代数式计算，再求计算结果的平方根，注意平方根有正负两个。
【解析】
(1)
∵ $\sqrt{16}＜\sqrt{17}＜\sqrt{25}$，即 $4＜\sqrt{17}＜5$，
∴ $\sqrt{17}$ 的整数部分为4，
∴ $\sqrt{17}$ 的小数部分为 $\sqrt{17}-4$。
(2) 由题意得：
$5a+2=3^3=27$，解得 $a=5$；
$3a+b-1=4^2=16$，将$a=5$代入得：$15+b-1=16$，解得 $b=2$。
∵ $\sqrt{9}＜\sqrt{12}＜\sqrt{16}$，即 $3＜\sqrt{12}＜4$，
∴ $\sqrt{12}$ 的整数部分$c=3$。
将$a=5,b=2,c=3$代入得：
$3a-b+c=3×5-2+3=16$，
∵ $(\pm4)^2=16$，
∴ $3a-b+c$ 的平方根是$\pm4$。
【答案】
(1) $\sqrt{17}$的整数部分为4，小数部分为$\sqrt{17}-4$；
(2) $3a-b+c$的平方根是$\pm4$
【知识点】
无理数的估算；立方根的定义；平方根的定义
【点评】
本题考查无理数估算、根式相关概念的综合应用，解题的关键是掌握利用相邻完全平方数估算无理数范围的方法，牢记立方根、算术平方根、平方根的定义，注意正数的平方根有两个，互为相反数，解题时不要漏写负的平方根。
【难度系数】
0.8
