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12. (★★)已知在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，斜边$BC=2$，则$AB^2+AC^2+BC^2$的值为 （）
A.8
B.4
C.6
D.无法计算
A.8
B.4
C.6
D.无法计算
答案
A
解析
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$BC$是斜边，根据勾股定理可得$AB^2+AC^2=BC^2$。已知$BC=2$，则$BC^2=4$，即$AB^2+AC^2=4$，因此$AB^2+AC^2+BC^2=4+4=8$。
13.（★★★）如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3 m处折断，树顶端落在离树底部4 m处，则树折断之前高 （）
A.5 m
B.7 m
C.8 m
D.10 m
A.5 m
B.7 m
C.8 m
D.10 m
答案
C
解析
由题意可知，树未折断部分、地面、折断的树身构成直角三角形，两条直角边长分别为3m和4m。根据勾股定理，折断部分的长度为$\sqrt{3^2 + 4^2}=5\ \mathrm{m}$。因此树折断之前的总高度为$3 + 5 = 8\ \mathrm{m}$。
14. (★★★)如图，∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2,则四边形ABCD的面积为 （）
A.$\sqrt{3}$
B.$5\sqrt{3}$
C.$6\sqrt{3}$
D.3
A.$\sqrt{3}$
B.$5\sqrt{3}$
C.$6\sqrt{3}$
D.3
答案
B
解析
延长AD、BC交于点E。
1. 在Rt△ABE中，∠A=60°，∠B=90°，得∠E=30°。已知AB=4，因此AE=2AB=8，由勾股定理得BE=√(AE²-AB²)=√(8²-4²)=4√3，S△ABE=1/2×AB×BE=1/2×4×4√3=8√3。
2. 在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∠E=30°，已知CD=2，因此CE=2CD=4，由勾股定理得DE=√(CE²-CD²)=√(4²-2²)=2√3，S△CDE=1/2×CD×DE=1/2×2×2√3=2√3。
3. 四边形ABCD的面积=S△ABE - S△CDE=8√3 - 2√3=5√3。
1. 在Rt△ABE中，∠A=60°，∠B=90°，得∠E=30°。已知AB=4，因此AE=2AB=8，由勾股定理得BE=√(AE²-AB²)=√(8²-4²)=4√3，S△ABE=1/2×AB×BE=1/2×4×4√3=8√3。
2. 在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∠E=30°，已知CD=2，因此CE=2CD=4，由勾股定理得DE=√(CE²-CD²)=√(4²-2²)=2√3，S△CDE=1/2×CD×DE=1/2×2×2√3=2√3。
3. 四边形ABCD的面积=S△ABE - S△CDE=8√3 - 2√3=5√3。
15. (★★)如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走捷径，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 m路，却踩伤了花草。
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
解：根据勾股定理，斜向走出的“路”的长度为：
$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \mathrm{m}$
沿拐角正常行走的总路程为$3 + 4 = 7\ \mathrm{m}$
少走的路程为$7 - 5 = 2\ \mathrm{m}$
$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\ \mathrm{m}$
沿拐角正常行走的总路程为$3 + 4 = 7\ \mathrm{m}$
少走的路程为$7 - 5 = 2\ \mathrm{m}$
16. (★★★)如图,有两棵树,一棵高8 m,另一棵高2 m,两树相距8 m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少要飞 m.
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
解：
过高度为2m的树的树梢作垂直于另一棵树的水平线，构造直角三角形。
该直角三角形的一条直角边为两树的高度差：$8 - 2 = 6\ \mathrm{m}$，
另一条直角边为两树的水平距离：$8\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理，小鸟从一个树梢飞到另一个树梢的最短距离为：
$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{m}$
最终
过高度为2m的树的树梢作垂直于另一棵树的水平线，构造直角三角形。
该直角三角形的一条直角边为两树的高度差：$8 - 2 = 6\ \mathrm{m}$，
另一条直角边为两树的水平距离：$8\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理，小鸟从一个树梢飞到另一个树梢的最短距离为：
$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{m}$
最终
