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1. (★★)如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}=c^2$,这一定理在我国被称为$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$.
答案
解：
如果直角三角形的两直角边长分别为$a,b$,斜边长为$c$,那么$\boldsymbol{a^2 + b^2}=c^2$,这一定理在我国被称为$\boldsymbol{勾股定理}$。
如果直角三角形的两直角边长分别为$a,b$,斜边长为$c$,那么$\boldsymbol{a^2 + b^2}=c^2$,这一定理在我国被称为$\boldsymbol{勾股定理}$。
2. (★★)△ABC中，∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.
(1)若a=5,b=12,则c=;
(2)若c=41,a=40,则b=;
(3)若∠A=30°,a=1,则b=,c=;
(4)若∠A=45°,a=1,则b=,c=.
(1)若a=5,b=12,则c=;
(2)若c=41,a=40,则b=;
(3)若∠A=30°,a=1,则b=,c=;
(4)若∠A=45°,a=1,则b=,c=.
答案
(1) $\boldsymbol{13}$；(2) $\boldsymbol{9}$；(3) $\boldsymbol{\sqrt{3}}$，$\boldsymbol{2}$；(4) $\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{\sqrt{2}}$。
解析
解：
∵ 在△ABC中，∠C=90°，
∴ 由勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
(1) 代入$a=5$，$b=12$：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$；
(2) 代入$c=41$，$a=40$：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{41^2-40^2}=\sqrt{81}=9$；
(3) ∵ ∠A=30°，∠C=90°，
∴ $c=2a=2×1=2$，
∴ $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$；
(4) ∵ ∠A=45°，∠C=90°，
∴ ∠B=90°-45°=45°，即∠A=∠B，
∴ $b=a=1$，
∴ $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
∵ 在△ABC中，∠C=90°，
∴ 由勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$。
(1) 代入$a=5$，$b=12$：
$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$；
(2) 代入$c=41$，$a=40$：
$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{41^2-40^2}=\sqrt{81}=9$；
(3) ∵ ∠A=30°，∠C=90°，
∴ $c=2a=2×1=2$，
∴ $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$；
(4) ∵ ∠A=45°，∠C=90°，
∴ ∠B=90°-45°=45°，即∠A=∠B，
∴ $b=a=1$，
∴ $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
3. (★)某三角形的三边长为3,4,5,则这个三角形的形状是.
答案
直角三角形
解析
解：
∵ $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$5^2 = 25$，
∴ $3^2 + 4^2 = 5^2$，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
∵ $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，$5^2 = 25$，
∴ $3^2 + 4^2 = 5^2$，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。
4. (★★)等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为，斜边上的高为。
答案
腰长为$\boldsymbol{5\sqrt{2}}$，斜边上的高为$\boldsymbol{5}$。
解析
解：
设等腰直角三角形的腰长为$x$，
根据勾股定理得：
$x^2 + x^2 = 10^2$
$2x^2 = 100$
$x^2 = 50$
∵边长为正，
∴$x = 5\sqrt{2}$。
设斜边上的高为$h$，由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × 5\sqrt{2} × 5\sqrt{2} = \frac{1}{2} × 10 × h$
化简得$25 = 5h$，
解得$h=5$。
最终
设等腰直角三角形的腰长为$x$，
根据勾股定理得：
$x^2 + x^2 = 10^2$
$2x^2 = 100$
$x^2 = 50$
∵边长为正，
∴$x = 5\sqrt{2}$。
设斜边上的高为$h$，由三角形面积公式得：
$\frac{1}{2} × 5\sqrt{2} × 5\sqrt{2} = \frac{1}{2} × 10 × h$
化简得$25 = 5h$，
解得$h=5$。
最终
5. (★★)如果直角三角形的两条直角边的长分别是5 cm和12 cm，那么这个直角三角形斜边上的中线长等于 cm.
答案
$\boldsymbol{6.5}$
解析
解：
根据勾股定理，该直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13\ \mathrm{cm}$
由直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
可得斜边上的中线长为 $\frac{1}{2} × 13 = 6.5\ \mathrm{cm}$。
最终
根据勾股定理，该直角三角形的斜边长为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13\ \mathrm{cm}$
由直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
可得斜边上的中线长为 $\frac{1}{2} × 13 = 6.5\ \mathrm{cm}$。
最终
6. (★★)长是$\sqrt{13}$的线段是由直角边长为整数和组成的直角三角形的斜边。
答案
解：
设直角三角形的两条直角边长为正整数$a$、$b$，由勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$
在正整数范围内，满足该等式的解为$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$。
所以长是$\sqrt{13}$的线段是由直角边长为整数$\boldsymbol{2}$和$\boldsymbol{3}$组成的直角三角形的斜边（两空顺序可互换）。
设直角三角形的两条直角边长为正整数$a$、$b$，由勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$
在正整数范围内，满足该等式的解为$2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$。
所以长是$\sqrt{13}$的线段是由直角边长为整数$\boldsymbol{2}$和$\boldsymbol{3}$组成的直角三角形的斜边（两空顺序可互换）。
7.（★★★）已知三角形的三边长分别是5，7，8，则这个三角形的面积是。
答案
$\boldsymbol{10\sqrt{3}}$
解析
解：设该三角形边长为8的边上的高为h，高将边长为8的边分为长度为x和$8-x$的两段。
由勾股定理可得：
$\begin{cases}h^2 + x^2 = 5^2 \\h^2 + (8-x)^2 = 7^2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：
$(8-x)^2 - x^2 = 49 - 25$
展开化简：
$64 - 16x = 24$
解得：$x=\frac{5}{2}$
将$x=\frac{5}{2}$代入$h^2 + x^2 = 25$：
$h^2 = 25 - (\frac{5}{2})^2 = \frac{75}{4}$
因为$h＞0$，所以$h=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
三角形面积$S=\frac{1}{2} × 8 × h = \frac{1}{2} × 8 × \frac{5\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$
最终
由勾股定理可得：
$\begin{cases}h^2 + x^2 = 5^2 \\h^2 + (8-x)^2 = 7^2\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程：
$(8-x)^2 - x^2 = 49 - 25$
展开化简：
$64 - 16x = 24$
解得：$x=\frac{5}{2}$
将$x=\frac{5}{2}$代入$h^2 + x^2 = 25$：
$h^2 = 25 - (\frac{5}{2})^2 = \frac{75}{4}$
因为$h＞0$，所以$h=\frac{5\sqrt{3}}{2}$
三角形面积$S=\frac{1}{2} × 8 × h = \frac{1}{2} × 8 × \frac{5\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$
最终
8. (★★★)在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，BC=3 cm，则AB= cm.
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
解：
设∠A = x，∠B = 2x，∠C = 3x，
由三角形内角和为180°得：
$x + 2x + 3x = 180°$，
解得$x = 30°$，
因此$∠ A = 30°$，$∠ C = 90°$，即$△ ABC$是直角三角形。
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=30°$，$∠ A$所对的直角边为$BC$，斜边为$AB$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AB = 2BC$，
已知$BC=3\ \mathrm{cm}$，
所以$AB=2×3=6\ \mathrm{cm}$。
最终
设∠A = x，∠B = 2x，∠C = 3x，
由三角形内角和为180°得：
$x + 2x + 3x = 180°$，
解得$x = 30°$，
因此$∠ A = 30°$，$∠ C = 90°$，即$△ ABC$是直角三角形。
在$Rt△ ABC$中，$∠ A=30°$，$∠ A$所对的直角边为$BC$，斜边为$AB$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AB = 2BC$，
已知$BC=3\ \mathrm{cm}$，
所以$AB=2×3=6\ \mathrm{cm}$。
最终
9. (★★★)若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为。
答案
解：分两种情况讨论：
① 当12和5均为直角边长时，由勾股定理得第三边长为：
$\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$
② 当长为12的边为斜边长，长为5的边为直角边长时，由勾股定理得第三边长为：
$\sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$
综上，此三角形的第三边长为$13$或$\sqrt{119}$。
① 当12和5均为直角边长时，由勾股定理得第三边长为：
$\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$
② 当长为12的边为斜边长，长为5的边为直角边长时，由勾股定理得第三边长为：
$\sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{144 - 25} = \sqrt{119}$
综上，此三角形的第三边长为$13$或$\sqrt{119}$。
10. (★★★)甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4 km，乙往南走了3 km，此时甲、乙两人相距 km.
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
解：由题意可知，甲往东的行进方向与乙往南的行进方向互相垂直，两人的位置和出发点构成直角三角形，两条直角边的长度分别为4 km和3 km。
根据勾股定理，甲、乙两人的距离为：
$\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{km}$
根据勾股定理，甲、乙两人的距离为：
$\sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{km}$
11. (★★)如图是由边长为1 m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线A→B→C所走的路程为。
答案
$\boldsymbol{2\sqrt{5}\ \mathrm{m}}$
解析
解：由题意可知，每块正方形地砖的边长为1 m。
在以AB为斜边的直角三角形中，两条直角边的长度分别为2 m和1 m，
根据勾股定理，得$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
在以BC为斜边的直角三角形中，两条直角边的长度分别为2 m和1 m，
根据勾股定理，得$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
因此小明沿折线$A\to B\to C$所走的路程为$AB+BC=\sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
最终
在以AB为斜边的直角三角形中，两条直角边的长度分别为2 m和1 m，
根据勾股定理，得$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
在以BC为斜边的直角三角形中，两条直角边的长度分别为2 m和1 m，
根据勾股定理，得$BC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
因此小明沿折线$A\to B\to C$所走的路程为$AB+BC=\sqrt{5}+\sqrt{5}=2\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
最终
