14. (★★)(2023 · 徐州)如图26 - 5,点$P在反比例函数y= \frac{k}{x}(k＞0)$的图象上,$PA\perp x轴于点A$,$PB\perp y轴于点B$,$PA = PB$。一次函数$y = x + 1的图象与PB交于点D$,若$D为PB$的中点,则$k$的值为___。

4

设点$P$的坐标为$(a,a)$（因为$PA\perp x$轴，$PB\perp y$轴，且$PA = PB$，所以横、纵坐标相等）。
点$P$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，代入得$a=\frac{k}{a}$，即$k = a^2$。
$PB$为垂直于$y$轴的线段，其所在直线为$y = a$，与一次函数$y=x + 1$交于点$D$。联立$\begin{cases}y=a\\y=x + 1\end{cases}$，解得$x=a - 1$，故$D(a - 1,a)$。
$PB$的端点为$P(a,a)$和$B(0,a)$，其中点坐标为$(\frac{a}{2},a)$。因$D$为中点，所以$a - 1=\frac{a}{2}$，解得$a = 2$。
则$k=a^2=2^2 = 4$。

15. (★)(2023 · 陕西)若点$A(-1,2)$,$B(1,m)$,$C(4,n)$都在同一个反比例函数的图象上,则$m$,$n的大小关系是m$$n$。(填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)

$＜$

设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$）。
因为点$A(-1,2)$在反比例函数图象上，将$A(-1,2)$代入$y = \frac{k}{x}$，可得$2=\frac{k}{-1}$，解得$k = - 2$，所以反比例函数解析式为$y=-\frac{2}{x}$。
把$B(1,m)$代入$y = -\frac{2}{x}$，可得$m=-\frac{2}{1}=-2$。
把$C(4,n)$代入$y = -\frac{2}{x}$，可得$n=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$。
因为$-2\lt-\frac{1}{2}$，所以$m\lt n$。

16. (★★)如图26 - 6,在平面直角坐标系中,一次函数$y_{1}= kx + b的图象分别交x$轴、$y轴于A$,$B$两点,与反比例函数$y_{2}= \frac{n}{x}的图象交于C$,$D$两点。已知点$C的坐标为(-4,-1)$,点$D的横坐标为2$。
(1)求反比例函数与一次函数的解析式。
(2)直接写出当$x$为何值时,$y_{1}＞y_{2}$。
(3)$P$是反比例函数在第一象限的图象上的点,且点$P的横坐标大于2$,过点$P作x$轴的垂线,垂足为$E$。当$\triangle APE的面积为3$时,求点$P$的坐标。

(1) 反比例函数：
已知$y_{2}=\frac{n}{x}$过点$C(-4,-1)$，代入可得$-1 = \frac{n}{-4}$，解得$n = 4$，所以反比例函数解析式为$y_{2}=\frac{4}{x}$。
一次函数：
当$x = 2$时，$y_{2}=\frac{4}{2}=2$，所以$D(2,2)$。
把$C(-4,-1)$，$D(2,2)$代入$y_{1}=kx + b$，得$\begin{cases}-4k + b=-1\\2k + b=2\end{cases}$，
两式相减得$-6k=-3$，解得$k=\frac{1}{2}$，
把$k = \frac{1}{2}$代入$2k + b=2$，得$1 + b=2$，解得$b = 1$，
所以一次函数解析式为$y_{1}=\frac{1}{2}x + 1$。
(2) 由图象可知，当$-4\lt x\lt0$或$x\gt2$时，$y_{1}\gt y_{2}$。
(3) 设$P(m,\frac{4}{m})$，$m\gt2$。
在$y_{1}=\frac{1}{2}x + 1$中，令$y = 0$，得$x=-2$，所以$A(-2,0)$，则$AE=m + 2$，$PE=\frac{4}{m}$。
因为$S_{\triangle APE}=\frac{1}{2}× AE× PE=\frac{1}{2}×(m + 2)×\frac{4}{m}=3$，
即$\frac{2(m + 2)}{m}=3$，
$2m + 4 = 3m$，
解得$m = 4$，
所以$P(4,1)$。
综上，答案依次为：(1)$y_{2}=\frac{4}{x}$，$y_{1}=\frac{1}{2}x + 1$；(2)$-4\lt x\lt0$或$x\gt2$；(3)$P(4,1)$。

17. (★)(2023 · 大连)某种蓄电池的电压$U$(单位：V)为定值,使用蓄电池时,电流$I$(单位：A)与电阻$R$(单位：$\Omega$)是反比例函数关系。当$R = 5$时,$I = 8$,则当$R = 10$时,$I$的值是【】
A.$4$
B.$5$
C.$10$
D.$0$

A

设反比例函数关系式为$I = \frac{U}{R}$，将$R = 5$，$I = 8$代入得$8 = \frac{U}{5}$，解得$U = 40$，所以函数关系式为$I = \frac{40}{R}$。当$R = 10$时，$I = \frac{40}{10} = 4$。

18. (★)如图26 - 7,$P是x$轴正半轴上一个动点,过点$P作x轴的垂线PQ$,交双曲线$y= \frac{1}{x}于点Q$,连接$OQ$,点$P沿x$轴正方向运动时,$Rt\triangle QOP$的面积【】

A.逐渐增大
B.逐渐减小
C.保持不变

D.无法确定

C

设点P的坐标为$(a,0)$，其中$a＞0$。因为PQ垂直于x轴，所以点Q的横坐标与点P相同，为$a$。又因为点Q在双曲线$y=\frac{1}{x}$上，所以点Q的坐标为$(a,\frac{1}{a})$。
在$Rt\triangle QOP$中，$OP$为直角边，长度为点P的横坐标$a$；$PQ$为另一直角边，长度为点Q的纵坐标$\frac{1}{a}$。
根据直角三角形面积公式，$S_{\triangle QOP}=\frac{1}{2}× OP× PQ=\frac{1}{2}× a× \frac{1}{a}=\frac{1}{2}$。
由于面积计算结果为常数$\frac{1}{2}$，与$a$的取值无关，所以当点P沿x轴正方向运动时，$Rt\triangle QOP$的面积保持不变。

19. (★★)如图26 - 8,点$A的坐标是(-2,0)$,点$B的坐标是(0,6)$,$C为OB$的中点,将$\triangle ABC绕点B逆时针旋转90^{\circ}后得到\triangle A'BC'$。若反比例函数$y= \frac{k}{x}的图象恰好经过A'B的中点D$,则$k$的值是【】

A.$9$
B.$12$
C.$15$
D.$18$

C

1.已知$A(-2,0)$，$B(0,6)$，$C$为$OB$中点，则$C(0,3)$。
2.将$\triangle ABC$绕点$B$逆时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle A'BC'$。
3.根据旋转性质，$A'$坐标为$(6,4)$（利用旋转矩阵或几何性质确定），$B(0,6)$，则$A'B$中点$D$的坐标为$(\frac{6 + 0}{2},\frac{4 + 6}{2})=(3,5)$。
4.因为反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$D(3,5)$，把$x = 3$，$y = 5$代入$y=\frac{k}{x}$，可得$k=3×5 = 15$。

20. (★★)(2024 · 河南)把多个用电器连接在同一个插线板上,同时使用一段时间后,插线板的电源线会明显发热,存在安全隐患。数学兴趣小组对这种现象进行研究,得到时长一定时,插线板电源线中的电流$I与用电器的总功率P$的函数图象(如图26 - 9②),插线板电源线产生的热量$Q与I$的函数图象(如图26 - 9③)。下列结论错误的是【】

A.当$P = 440W$时,$I = 2A$
B.$Q随I$的增大而增大
C.$I每增加1A$,$Q$的增加量相同
D.$P$越大,插线板电源线产生的热量$Q$越多

C

A.由图②知，当P=440W时，I=2A，A正确；B.由图③知，Q随I增大而增大，B正确；C.由焦耳定律Q=I²Rt（t、R一定），Q与I²成正比，Q是I的二次函数，I每增加1A，Q的增加量ΔQ=k[(I+1)² - I²]=k(2I+1)，与I有关，增加量不同，C错误；D.P越大，由图②知I越大，Q=I²Rt，Q越多，D正确。