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1. 下列各组角中，互为余角的是(
A.$30°$与$150°$
B.$35°$与$65°$
C.$45°$与$45°$
D.$25°$与$75°$
C
)A.$30°$与$150°$
B.$35°$与$65°$
C.$45°$与$45°$
D.$25°$与$75°$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确互为余角的判定规则：如果两个角的度数之和等于90°，那么这两个角互为余角。解题时只需要逐一计算每个选项里两个角的和，判断和是否为90°，符合条件的就是正确答案。
【解析】
根据余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，我们对各选项逐一验证：
A选项：$30° + 150° = 180°$，两个角和为180°，互为补角，不符合余角定义，排除；
B选项：$35° + 65° = 100° ≠ 90°$，不符合余角定义，排除；
C选项：$45° + 45° = 90°$，符合余角定义，当选；
D选项：$25° + 75° = 100° ≠ 90°$，不符合余角定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义、角度加法运算
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查对余角定义的掌握，只要牢记余角的判定条件，准确计算角度和就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确互为余角的判定规则：如果两个角的度数之和等于90°，那么这两个角互为余角。解题时只需要逐一计算每个选项里两个角的和，判断和是否为90°，符合条件的就是正确答案。
【解析】
根据余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，我们对各选项逐一验证：
A选项：$30° + 150° = 180°$，两个角和为180°，互为补角，不符合余角定义，排除；
B选项：$35° + 65° = 100° ≠ 90°$，不符合余角定义，排除；
C选项：$45° + 45° = 90°$，符合余角定义，当选；
D选项：$25° + 75° = 100° ≠ 90°$，不符合余角定义，排除。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义、角度加法运算
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查对余角定义的掌握，只要牢记余角的判定条件，准确计算角度和就能快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 下列图中，∠1与∠2互为余角的是(
C
)答案
2. C
解析
【分析】
解题前先回忆余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），我们就称这两个角互为余角。解题思路很清晰，我们只需要逐一判断每个选项中∠1和∠2的度数之和是否为90°即可：先排除和明显不是90°的选项，比如和为180°的互补角、没有明确数量关系的角、仅相等的对顶角等，最终找到和为90°的选项即为答案。
【解析】
根据余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，我们逐一分析选项：
A选项：∠1和∠2没有明确的数量关联，和不一定为90°，不符合互余要求；
B选项：∠1和∠2共同组成平角，和为180°，互为补角，不符合要求；
C选项：∠1和∠2共同组成直角，和为90°，满足互为余角的条件，符合要求；
D选项：∠1和∠2是对顶角，仅大小相等，和不一定为90°，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义、补角的定义、对顶角的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对余角定义的理解和运用，熟练掌握相关角的概念就能快速选出正确答案，是基础类得分题。
【难度系数】
0.8
解题前先回忆余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），我们就称这两个角互为余角。解题思路很清晰，我们只需要逐一判断每个选项中∠1和∠2的度数之和是否为90°即可：先排除和明显不是90°的选项，比如和为180°的互补角、没有明确数量关系的角、仅相等的对顶角等，最终找到和为90°的选项即为答案。
【解析】
根据余角的定义：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角，我们逐一分析选项：
A选项：∠1和∠2没有明确的数量关联，和不一定为90°，不符合互余要求；
B选项：∠1和∠2共同组成平角，和为180°，互为补角，不符合要求；
C选项：∠1和∠2共同组成直角，和为90°，满足互为余角的条件，符合要求；
D选项：∠1和∠2是对顶角，仅大小相等，和不一定为90°，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
余角的定义、补角的定义、对顶角的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对余角定义的理解和运用，熟练掌握相关角的概念就能快速选出正确答案，是基础类得分题。
【难度系数】
0.8
3. 若∠1是∠2的补角，∠1=35°，则
∠2=(
A.135°
B.145°
C.155°
D.165°
∠2=(
B
)A.135°
B.145°
C.155°
D.165°
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先要明确补角的定义：若两个角互为补角，那么这两个角的和为180°。已知∠1是∠2的补角，说明∠1与∠2的和是180°，要求∠2的度数，直接用180°减去已知的∠1的度数即可得到结果。
【解析】
根据补角的性质，互为补角的两个角之和为180°。
因为∠1是∠2的补角，所以∠1 + ∠2 = 180°。
已知∠1=35°，代入得：∠2 = 180° - 35° = 145°。
因此答案选B。
【答案】B
【知识点】
补角的定义
【点评】
本题是基础概念题，考查补角的基本性质，掌握互为补角的两个角之和为180°是解题的关键。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确补角的定义：若两个角互为补角，那么这两个角的和为180°。已知∠1是∠2的补角，说明∠1与∠2的和是180°，要求∠2的度数，直接用180°减去已知的∠1的度数即可得到结果。
【解析】
根据补角的性质，互为补角的两个角之和为180°。
因为∠1是∠2的补角，所以∠1 + ∠2 = 180°。
已知∠1=35°，代入得：∠2 = 180° - 35° = 145°。
因此答案选B。
【答案】B
【知识点】
补角的定义
【点评】
本题是基础概念题，考查补角的基本性质，掌握互为补角的两个角之和为180°是解题的关键。
【难度系数】
0.9
4. 如图，将一副三角尺的直角顶点重合，其中∠AOB 和∠COD 是直角。若∠1=65°，则∠2 的度数为
65°
。答案
4. 65° 解析 由$∠ COD = ∠ AOB = 90°$，得$∠ COD - ∠ BOC = ∠ AOB - ∠ BOC$，则$∠ 1=∠ 2$，而$∠ 1=65°$，则$∠ 2=65°$。
解析
【分析】
解题时先观察图形中角的组成，已知两个直角顶点重合，可发现∠1和公共角∠BOC的和为直角∠AOB，∠2和公共角∠BOC的和为直角∠COD，由此可知∠1和∠2都是∠BOC的余角，根据余角的性质可推出二者相等，代入已知∠1的度数即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ ∠AOB和∠COD都是直角，
∴ ∠AOB = ∠COD = 90°，
∴ ∠1 + ∠BOC = 90°，∠2 + ∠BOC = 90°，
根据“同角的余角相等”可得∠2 = ∠1，
又
∵ ∠1 = 65°，
∴ ∠2 = 65°。
【答案】
65°
【知识点】
直角的定义，角的和差计算，同角的余角相等
【点评】
本题是余角性质的基础应用，解题核心是找准两个角与公共角的数量关系，既可以通过角的和差运算推导，也可直接利用余角性质快速求解，侧重考查对基础几何概念和性质的掌握。
【难度系数】
0.9
解题时先观察图形中角的组成，已知两个直角顶点重合，可发现∠1和公共角∠BOC的和为直角∠AOB，∠2和公共角∠BOC的和为直角∠COD，由此可知∠1和∠2都是∠BOC的余角，根据余角的性质可推出二者相等，代入已知∠1的度数即可求出∠2的度数。
【解析】
解：
∵ ∠AOB和∠COD都是直角，
∴ ∠AOB = ∠COD = 90°，
∴ ∠1 + ∠BOC = 90°，∠2 + ∠BOC = 90°，
根据“同角的余角相等”可得∠2 = ∠1，
又
∵ ∠1 = 65°，
∴ ∠2 = 65°。
【答案】
65°
【知识点】
直角的定义，角的和差计算，同角的余角相等
【点评】
本题是余角性质的基础应用，解题核心是找准两个角与公共角的数量关系，既可以通过角的和差运算推导，也可直接利用余角性质快速求解，侧重考查对基础几何概念和性质的掌握。
【难度系数】
0.9
5. 如图，有海岛A，B，已知海岛A在灯塔O北偏东$30.3°$($∠ AOC = 30.3°$)方向上，若$∠ AOC$与$∠ BOC$互余，则海岛B在灯塔O北偏西
$59°42'$
方向上.(角度用“度、分”表示)答案
5. $59°42'$ 解析 由$∠ AOC$与$∠ BOC$互余，$∠ AOC=30.3°$，得$∠ BOC=59.7°=59°42'$。
解析
【分析】
解题首先要明确互余的定义：两个角互余则它们的和为90°，先利用∠AOC和∠BOC互余的关系计算出∠BOC的度数，再根据度和分的换算进率（1°=60′），将得到的含小数的度数换算成度、分的形式，即可得到海岛B的方位角。
【解析】
解：
∵ ∠AOC与∠BOC互余，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 90°，
已知∠AOC=30.3°，代入得：
∠BOC = 90° - 30.3° = 59.7°，
又
∵ 1°=60′，
∴ 0.7° = 0.7×60′ = 42′，
∴ 59.7° = 59°42′，
即海岛B在灯塔O北偏西59°42′方向上。
【答案】
$59°42'$
【知识点】
余角的定义；度分的换算；方向角
【点评】
本题结合方位角背景考查余角性质和角度单位换算，解题核心是熟记互余两角和为90°、度与分的换算进率为60，整体考查内容偏向基础，计算时注意不要将度分进率错当成十进制即可。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确互余的定义：两个角互余则它们的和为90°，先利用∠AOC和∠BOC互余的关系计算出∠BOC的度数，再根据度和分的换算进率（1°=60′），将得到的含小数的度数换算成度、分的形式，即可得到海岛B的方位角。
【解析】
解：
∵ ∠AOC与∠BOC互余，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 90°，
已知∠AOC=30.3°，代入得：
∠BOC = 90° - 30.3° = 59.7°，
又
∵ 1°=60′，
∴ 0.7° = 0.7×60′ = 42′，
∴ 59.7° = 59°42′，
即海岛B在灯塔O北偏西59°42′方向上。
【答案】
$59°42'$
【知识点】
余角的定义；度分的换算；方向角
【点评】
本题结合方位角背景考查余角性质和角度单位换算，解题核心是熟记互余两角和为90°、度与分的换算进率为60，整体考查内容偏向基础，计算时注意不要将度分进率错当成十进制即可。
【难度系数】
0.8
6. 已知$∠β=38°25'$，则$∠β$的补角的度数是
$141°35'$
。答案
6. $141°35'$ 解析 已知$∠β=38°25'$，则其补角为$180°-38°25'=141°35'$。
解析
【分析】
首先明确补角的定义：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角，因此求∠β的补角，只需用180°减去∠β的度数即可。其次要注意度、分是60进制，1°=60′，计算减法时如果分不够减，需要从度的部分借1°当成60′再计算，避免出现计算错误。
【解析】
根据补角的定义，∠β的补角 = 180° - ∠β。
已知∠β=38°25'，将180°转化为179°60'（依据1°=60'），代入计算：
180° - 38°25' = 179°60' - 38°25' = (179° - 38°) + (60' - 25') = 141°35'
【答案】
141°35'
【知识点】
补角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查补角的基本概念和角度的单位运算，解题时要注意区分余角和补角的定义，同时牢记度分秒为60进制，借位、进位时不要混淆进制规则。
【难度系数】
0.85
首先明确补角的定义：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角，因此求∠β的补角，只需用180°减去∠β的度数即可。其次要注意度、分是60进制，1°=60′，计算减法时如果分不够减，需要从度的部分借1°当成60′再计算，避免出现计算错误。
【解析】
根据补角的定义，∠β的补角 = 180° - ∠β。
已知∠β=38°25'，将180°转化为179°60'（依据1°=60'），代入计算：
180° - 38°25' = 179°60' - 38°25' = (179° - 38°) + (60' - 25') = 141°35'
【答案】
141°35'
【知识点】
补角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查补角的基本概念和角度的单位运算，解题时要注意区分余角和补角的定义，同时牢记度分秒为60进制，借位、进位时不要混淆进制规则。
【难度系数】
0.85
7. 已知一个角的补角比这个角的余角的3倍大$10°$，求这个角的度数.
答案
7. 解 设这个角是$x°$，则余角是$(90-x)°$，补角是$(180-x)°$，根据题意得$180-x=3(90-x)+10$，解得$x=50$. 所以这个角的度数是$50°$.
解析
【分析】
遇到这类求角度的问题，可通过设未知数列方程的方法求解。首先回忆余角和补角的定义：两个角的和为90°则互余，两个角的和为180°则互补。我们先设这个角的度数为x°，就可以用含x的式子分别表示出它的余角和补角，再根据“补角比这个角的余角的3倍大10°”的等量关系列出方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
设这个角的度数为$x°$，则它的余角为$(90-x)°$，补角为$(180-x)°$。
根据题意列方程：
$180-x=3(90-x)+10$
展开右侧得：$180-x=270-3x+10$
移项得：$3x-x=270+10-180$
合并同类项得：$2x=100$
系数化为1得：$x=50$
【答案】
$50°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是余角补角相关的基础应用题，解题核心是准确掌握余角、补角的定义，结合题干给出的等量关系正确列方程求解即可。
【难度系数】
0.8
遇到这类求角度的问题，可通过设未知数列方程的方法求解。首先回忆余角和补角的定义：两个角的和为90°则互余，两个角的和为180°则互补。我们先设这个角的度数为x°，就可以用含x的式子分别表示出它的余角和补角，再根据“补角比这个角的余角的3倍大10°”的等量关系列出方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
设这个角的度数为$x°$，则它的余角为$(90-x)°$，补角为$(180-x)°$。
根据题意列方程：
$180-x=3(90-x)+10$
展开右侧得：$180-x=270-3x+10$
移项得：$3x-x=270+10-180$
合并同类项得：$2x=100$
系数化为1得：$x=50$
【答案】
$50°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题是余角补角相关的基础应用题，解题核心是准确掌握余角、补角的定义，结合题干给出的等量关系正确列方程求解即可。
【难度系数】
0.8
8. 如图，将一副三角尺摆放在直线AB上，$∠ ECD = ∠ FDG = 90°$，$∠ EDC = 45°$，$∠ GDB = 30°$，求$∠ EDF$的度数.
答案
8. 解 因为$∠ EDC + ∠ EDF + ∠ FDG + ∠ GDB = 180°$，$∠ FDG = 90°$，$∠ EDC = 45°$，$∠ GDB = 30°$，所以$∠ EDF=180°-90°-45°-30°=15°$.
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，点D在直线AB上，根据平角的定义，以D为顶点在直线AB上方的所有角之和为180°，即∠EDC、∠EDF、∠FDG、∠GDB四个角的和是180°。已知其中三个角的度数，只需用180°依次减去三个已知角的度数，即可求出∠EDF的度数。
【解析】
因为点D在直线AB上，所以∠EDC + ∠EDF + ∠FDG + ∠GDB = 180°，
已知∠FDG = 90°，∠EDC = 45°，∠GDB = 30°，
代入计算得：∠EDF = 180° - 90° - 45° - 30° = 15°。
【答案】
15°
【知识点】
平角的定义，角度和差运算
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是识别出共顶点在直线上的多个角之和为平角，结合已知角度直接运算即可，做题时需注意数清参与求和的角，避免漏算或多算。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察图形特征，点D在直线AB上，根据平角的定义，以D为顶点在直线AB上方的所有角之和为180°，即∠EDC、∠EDF、∠FDG、∠GDB四个角的和是180°。已知其中三个角的度数，只需用180°依次减去三个已知角的度数，即可求出∠EDF的度数。
【解析】
因为点D在直线AB上，所以∠EDC + ∠EDF + ∠FDG + ∠GDB = 180°，
已知∠FDG = 90°，∠EDC = 45°，∠GDB = 30°，
代入计算得：∠EDF = 180° - 90° - 45° - 30° = 15°。
【答案】
15°
【知识点】
平角的定义，角度和差运算
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的核心是识别出共顶点在直线上的多个角之和为平角，结合已知角度直接运算即可，做题时需注意数清参与求和的角，避免漏算或多算。
【难度系数】
0.9
