11. 操作：在一张白纸上画一条直线MN，把有一个角为$30°$的三角尺的直角顶点C放在直线MN上.
(1)如图①，当点A，B都在直线MN上方时，试判断$∠ ACM$与$∠ BCN$的度数之和是多少，并说明理由.
(2)如图②，把三角尺ABC绕点C旋转，使点A在直线MN的下方，点B仍在直线MN的上方，用测量或分析的方法完成下表，并判断$∠ ACM$与$∠ BCN$的数量关系.
结论：.
(3)如图③，继续把三角尺绕点C旋转，使点A和点B都在直线MN的下方，你发现$∠ ACM$与$∠ BCN$又有什么样的数量关系呢？
请直接写出结论：.

11. (1)解 $∠ ACM + ∠ BCN = 90°.$ 理由：因为点M，C，N 在同一条直线上，所以$∠ MCN = 180°$，因为$∠ ACB = 90°$，所以$∠ ACM + ∠ BCN = ∠ MCN - ∠ ACB = 180° - 90° = 90°.$
(2)填表如下表所示：
| $∠ ACM$ 的度数 | $∠ BCN$ 的度数 | $∠ BCN$ 与$∠ ACM$ 的差 |
| ---- | ---- | ---- |
| $20°$ | $110°$ | $90°$ |
| $40°$ | $130°$ | $90°$ |
| $70°$ | $160°$ | $90°$ |
$∠ BCN - ∠ ACM = 90°$ 解析 由$∠ ACM = ∠ ACB - ∠ BCM = 90° - ∠ BCM$，$∠ BCN = 180° - ∠ BCM$，可知$∠ BCN - ∠ ACM = 180° - ∠ BCM - (90° - ∠ BCM) = 90°.$
(3)$∠ ACM + ∠ BCN = 270°$ 解析 因为$∠ ACM = ∠ ACB + ∠ BCM = 90° + ∠ BCM$，$∠ BCN = 180° - ∠ BCM$，所以$∠ ACM + ∠ BCN = 90° + ∠ BCM + (180° - ∠ BCM) = 270°.$

【分析】
这道题围绕三角尺绕直线上的点旋转，探究两个角的数量关系，解题核心是利用平角为180°、直角为90°的固定性质，通过公共中间角建立待求角的关系。
(1) 观察图①可知，∠ACM、∠ACB、∠BCN正好组成平角∠MCN，用平角度数减去直角的度数即可得到两个角的和。
(2) 图②中点A在MN下方，分别将∠ACM和∠BCN用公共角∠BCM表示，作差消去公共角就能得到两角的数量关系，测量也可验证差值固定。
(3) 图③中点A、B都在MN下方，同样将两个角用公共角∠BCM表示，相加消去公共角即可得到两角的和的规律。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠ACM + ∠BCN = 90°}$，理由如下：
∵ 点M、C、N在同一直线上，根据平角的定义，$∠ MCN = 180°$，
又
∵ 三角尺的直角$∠ ACB = 90°$，
∴ $∠ ACM + ∠ BCN = ∠ MCN - ∠ ACB = 180° - 90° = 90°$。
(2) 填表如下：
| $∠ACM$的度数 | $∠BCN$的度数 | $∠BCN$与$∠ACM$的差 |
| ---- | ---- | ---- |
| $20°$ | $110°$ | $90°$ |
| $40°$ | $130°$ | $90°$ |
| $70°$ | $160°$ | $90°$ |
推导过程：
∵ $∠ ACM = ∠ ACB - ∠ BCM = 90° - ∠ BCM$，
$∠ BCN = 180° - ∠ BCM$，
∴ $∠ BCN - ∠ ACM = (180° - ∠ BCM) - (90° - ∠ BCM) = 90°$。
(3) 推导过程：
∵ $∠ ACM = ∠ ACB + ∠ BCM = 90° + ∠ BCM$，
$∠ BCN = 180° - ∠ BCM$，
∴ $∠ ACM + ∠ BCN = 90° + ∠ BCM + 180° - ∠ BCM = 270°$。
【答案】
(1) $∠ACM + ∠BCN = 90°$，理由见解析；
(2) 填表见解析，结论：$∠BCN - ∠ACM = 90°$；
(3) $∠ACM + ∠BCN = 270°$。
【知识点】
平角的定义、角的和差运算、直角的性质
【点评】
本题以三角尺的旋转为背景，考查角的数量关系推导，解题的关键是抓住平角、直角的固定度数，以公共角为桥梁转化待求角的表达式，能有效锻炼几何观察能力和逻辑推导能力，需要注意旋转位置变化时，角的组成结构也会发生变化。
【难度系数】
0.65