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5. 如图所示，根据图形填角.
(1)$∠ AOB+∠ BOC=$
(2)$∠ AOC+∠ COD=$
(3)$∠ BOD-∠ COD=$
(4)$∠ AOD-$
(1)$∠ AOB+∠ BOC=$
$∠ AOC$
;(2)$∠ AOC+∠ COD=$
$∠ AOD$
;(3)$∠ BOD-∠ COD=$
$∠ BOC$
;(4)$∠ AOD-$
$∠ BOD$
$=∠ AOB;$答案
5. (1)$∠ AOC$ (2)$∠ AOD$ (3)$∠ BOC$ (4)$∠ BOD$
解析
【分析】
本题考查角的和差关系，解题时需先明确图中各角的位置关系：有公共边的相邻小角相加，得到的是以两个小角不重合的边为边的大角；大角减去其包含的一个小角，得到剩余的另一个小角，结合每一问的运算形式对应分析即可。
【解析】
(1) ∠AOB与∠BOC有公共边OB，两角相邻，组合后是以OA、OC为两边的角，因此$∠ AOB+∠ BOC=∠ AOC$；
(2) ∠AOC与∠COD有公共边OC，两角相邻，组合后是以OA、OD为两边的角，因此$∠ AOC+∠ COD=∠ AOD$；
(3) ∠BOD由∠BOC和∠COD共同组成，减去∠COD后剩余部分为∠BOC，因此$∠ BOD-∠ COD=∠ BOC$；
(4) ∠AOD由∠AOB和∠BOD共同组成，因此$∠ AOD$减去$∠ BOD$即可得到$∠ AOB$，空处填$∠ BOD$。
【答案】
(1)$∠ AOC$；(2)$∠ AOD$；(3)$∠ BOC$；(4)$∠ BOD$
【知识点】
角的和差运算
【点评】
本题是角的运算基础题，主要考查对图形中角的相邻、包含关系的识别能力，掌握角的和差定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查角的和差关系，解题时需先明确图中各角的位置关系：有公共边的相邻小角相加，得到的是以两个小角不重合的边为边的大角；大角减去其包含的一个小角，得到剩余的另一个小角，结合每一问的运算形式对应分析即可。
【解析】
(1) ∠AOB与∠BOC有公共边OB，两角相邻，组合后是以OA、OC为两边的角，因此$∠ AOB+∠ BOC=∠ AOC$；
(2) ∠AOC与∠COD有公共边OC，两角相邻，组合后是以OA、OD为两边的角，因此$∠ AOC+∠ COD=∠ AOD$；
(3) ∠BOD由∠BOC和∠COD共同组成，减去∠COD后剩余部分为∠BOC，因此$∠ BOD-∠ COD=∠ BOC$；
(4) ∠AOD由∠AOB和∠BOD共同组成，因此$∠ AOD$减去$∠ BOD$即可得到$∠ AOB$，空处填$∠ BOD$。
【答案】
(1)$∠ AOC$；(2)$∠ AOD$；(3)$∠ BOC$；(4)$∠ BOD$
【知识点】
角的和差运算
【点评】
本题是角的运算基础题，主要考查对图形中角的相邻、包含关系的识别能力，掌握角的和差定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
6. 已知BD是∠ABC的平分线，如果∠ABD=20°45′，那么∠ABC=
41.5
°。答案
6. 41.5 解析 因为BD是$∠ ABC$的平分线，所以$∠ ABC = 2 ∠ ABD.$ 因为$∠ ABD=20°45'$，所以$∠ ABC=2∠ ABD=2×20°45'=41°30'=41.5°.$
解析
【分析】
解题时首先提取题干关键信息：BD为∠ABC的角平分线，已知小角∠ABD的度数，要求大角∠ABC的度数。第一步回忆角平分线的定义：角平分线将一个角平分为两个相等的小角，因此大角的度数是其中一个小角度数的2倍，可得∠ABC=2∠ABD的数量关系。第二步代入已知角度计算，计算完成后需根据度分秒的换算规则（1°=60′），将结果换算为以“°”为单位的数值即可。
【解析】
解：
∵BD是∠ABC的平分线
∴∠ABC = 2∠ABD
已知∠ABD=20°45′，代入得：
∠ABC = 2×20°45′ = 41°30′
根据度分秒的换算规则，30′ = 30÷60 = 0.5°
因此∠ABC = 41° + 0.5° = 41.5°
【答案】
41.5
【知识点】
角平分线的定义；角的运算；度分秒的换算
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查角平分线的性质和度分秒的单位换算，解题的核心是明确角平分线分得的两个小角相等，均为原角的二分之一，同时要熟练掌握度分秒之间的60进制换算方法，避免因换算规则混淆出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先提取题干关键信息：BD为∠ABC的角平分线，已知小角∠ABD的度数，要求大角∠ABC的度数。第一步回忆角平分线的定义：角平分线将一个角平分为两个相等的小角，因此大角的度数是其中一个小角度数的2倍，可得∠ABC=2∠ABD的数量关系。第二步代入已知角度计算，计算完成后需根据度分秒的换算规则（1°=60′），将结果换算为以“°”为单位的数值即可。
【解析】
解：
∵BD是∠ABC的平分线
∴∠ABC = 2∠ABD
已知∠ABD=20°45′，代入得：
∠ABC = 2×20°45′ = 41°30′
根据度分秒的换算规则，30′ = 30÷60 = 0.5°
因此∠ABC = 41° + 0.5° = 41.5°
【答案】
41.5
【知识点】
角平分线的定义；角的运算；度分秒的换算
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查角平分线的性质和度分秒的单位换算，解题的核心是明确角平分线分得的两个小角相等，均为原角的二分之一，同时要熟练掌握度分秒之间的60进制换算方法，避免因换算规则混淆出错。
【难度系数】
0.8
7. 如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB，如果∠COD=38°，那么∠AOD=
$104°$
。答案
7. $104°$ 解析 因为射线OC平分$∠ DOB$，$∠ COD = 38°$，所以$∠ DOB = 2∠ COD = 76°$，所以$∠ AOD = 180° - 76° = 104°.$
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：①点O在直线AB上，可得∠AOB是平角，即∠AOD+∠DOB=180°，要计算∠AOD需先求出∠DOB的度数；②射线OC平分∠DOB，根据角平分线的定义，∠DOB是∠COD的2倍，结合已知∠COD=38°，即可先算出∠DOB的度数，再代入平角的和差关系求出∠AOD。
【解析】
∵ 射线OC平分∠DOB，∠COD=38°
∴ ∠DOB = 2∠COD = 2×38° = 76°
∵ 点O在直线AB上，∠AOB是平角，即∠AOD + ∠DOB = 180°
∴ ∠AOD = 180° - ∠DOB = 180° - 76° = 104°
【答案】
104°
【知识点】
角平分线的定义；平角的性质；角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，侧重考察对基础几何定义的理解和应用，只要熟练掌握角平分线、平角的相关性质，结合角的和差运算即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：①点O在直线AB上，可得∠AOB是平角，即∠AOD+∠DOB=180°，要计算∠AOD需先求出∠DOB的度数；②射线OC平分∠DOB，根据角平分线的定义，∠DOB是∠COD的2倍，结合已知∠COD=38°，即可先算出∠DOB的度数，再代入平角的和差关系求出∠AOD。
【解析】
∵ 射线OC平分∠DOB，∠COD=38°
∴ ∠DOB = 2∠COD = 2×38° = 76°
∵ 点O在直线AB上，∠AOB是平角，即∠AOD + ∠DOB = 180°
∴ ∠AOD = 180° - ∠DOB = 180° - 76° = 104°
【答案】
104°
【知识点】
角平分线的定义；平角的性质；角的和差运算
【点评】
本题属于基础题型，侧重考察对基础几何定义的理解和应用，只要熟练掌握角平分线、平角的相关性质，结合角的和差运算即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 计算：$24°31'×4-62°10'$.
答案
8. 解 $24°31'×4 - 62°10' = 96°124' - 62°10' = 34°114' = 35°54'.$
解析
【分析】
本题是角度的混合运算，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步先计算乘法，将度和分分别与4相乘；第二步计算减法，度与度相减、分与分相减；最后根据度分秒为60进制的规则，分满60就向度进1，换算成规范的角度表示形式即可。
【解析】
先计算乘法部分：
$24°31'×4 = 24°×4 + 31'×4 = 96° + 124' = 96°124'$
再计算减法部分，同单位相减：
$96°124' - 62°10' = (96° - 62°) + (124' - 10') = 34°114'$
最后进行单位换算，因为$1°=60'$，所以$114' = 1°54'$，则：
$34° + 1°54' = 35°54'$
【答案】
$35°54'$
【知识点】
度分秒的换算；角的乘法运算；角的减法运算
【点评】
本题属于角度运算的基础题，核心是掌握度分秒的60进制规则，运算时注意同单位才能相加减，满60需进位，避免和十进制运算规则混淆。
【难度系数】
0.8
本题是角度的混合运算，解题遵循先乘除后加减的运算顺序：第一步先计算乘法，将度和分分别与4相乘；第二步计算减法，度与度相减、分与分相减；最后根据度分秒为60进制的规则，分满60就向度进1，换算成规范的角度表示形式即可。
【解析】
先计算乘法部分：
$24°31'×4 = 24°×4 + 31'×4 = 96° + 124' = 96°124'$
再计算减法部分，同单位相减：
$96°124' - 62°10' = (96° - 62°) + (124' - 10') = 34°114'$
最后进行单位换算，因为$1°=60'$，所以$114' = 1°54'$，则：
$34° + 1°54' = 35°54'$
【答案】
$35°54'$
【知识点】
度分秒的换算；角的乘法运算；角的减法运算
【点评】
本题属于角度运算的基础题，核心是掌握度分秒的60进制规则，运算时注意同单位才能相加减，满60需进位，避免和十进制运算规则混淆。
【难度系数】
0.8
9. 如图，已知$∠ AOC:∠ BOC=1:4$，OD平分$∠ AOB$，且$∠ COD=36°$，求$∠ AOB$的度数.
答案
9. 解 设$∠ AOC = x°$，则$∠ BOC = (4x)°$，所以$∠ AOB=(5x)°.$
因为OD平分$∠ AOB$，
所以$∠ AOD=(\dfrac{5x}{2})°,$
所以 $∠ COD = ∠ AOD - ∠ AOC = (\dfrac{5x}{2})° - x°=(\dfrac{3x}{2})°=36°,$
所以 $x=24$，所以$∠ AOB=(5x)°=5×24°=120°.$
因为OD平分$∠ AOB$，
所以$∠ AOD=(\dfrac{5x}{2})°,$
所以 $∠ COD = ∠ AOD - ∠ AOC = (\dfrac{5x}{2})° - x°=(\dfrac{3x}{2})°=36°,$
所以 $x=24$，所以$∠ AOB=(5x)°=5×24°=120°.$
解析
【分析】
题目给出了∠AOC与∠BOC的比例关系，以及角平分线和已知角度，我们可以采用设未知数的方法解题：首先根据比例设每份角度为x，用含x的式子表示出各个相关角的度数；再结合角平分线的性质表示出∠AOD的度数；最后根据∠COD是∠AOD与∠AOC的差，建立方程求出x的值，进而计算出∠AOB的度数。
【解析】
设$∠ AOC = x°$，
$\because ∠ AOC:∠ BOC=1:4$，$\therefore ∠ BOC = 4x°$，
则$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=x°+4x°=5x°$。
$\because$ OD平分$∠ AOB$，根据角平分线的定义，
$\therefore ∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=(\frac{5x}{2})°$。
由角的和差关系可得：$∠ COD=∠ AOD-∠ AOC$，
代入已知条件得：$\frac{5x}{2}-x=36$，
化简得$\frac{3x}{2}=36$，解得$x=24$。
$\therefore ∠ AOB=5x°=5×24°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
角平分线的定义、角的和差计算、方程思想应用
【点评】
本题是角的运算的常规题型，解题关键是利用比例设未知数，结合角平分线性质找到已知角和未知角的等量关系，掌握方程思想在几何计算中的应用可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
题目给出了∠AOC与∠BOC的比例关系，以及角平分线和已知角度，我们可以采用设未知数的方法解题：首先根据比例设每份角度为x，用含x的式子表示出各个相关角的度数；再结合角平分线的性质表示出∠AOD的度数；最后根据∠COD是∠AOD与∠AOC的差，建立方程求出x的值，进而计算出∠AOB的度数。
【解析】
设$∠ AOC = x°$，
$\because ∠ AOC:∠ BOC=1:4$，$\therefore ∠ BOC = 4x°$，
则$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=x°+4x°=5x°$。
$\because$ OD平分$∠ AOB$，根据角平分线的定义，
$\therefore ∠ AOD=\frac{1}{2}∠ AOB=(\frac{5x}{2})°$。
由角的和差关系可得：$∠ COD=∠ AOD-∠ AOC$，
代入已知条件得：$\frac{5x}{2}-x=36$，
化简得$\frac{3x}{2}=36$，解得$x=24$。
$\therefore ∠ AOB=5x°=5×24°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
角平分线的定义、角的和差计算、方程思想应用
【点评】
本题是角的运算的常规题型，解题关键是利用比例设未知数，结合角平分线性质找到已知角和未知角的等量关系，掌握方程思想在几何计算中的应用可以大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
10. 如图①，射线OC在$∠ AOB$内部，图中共有三个角$∠ AOC$，$∠ AOB$，$∠ BOC$，若其中有一个角的度数是另外一个角度数的一半时，则称射线OC为$∠ AOB$的“优线”。
(1)$∠ AOB$的平分线
(2)已知$∠ AOB＝60°$，射线OC为$∠ AOB$的“优线”，求$∠ AOC$的度数。
(3)如图②，已知$∠ AOB＝120°$，射线OP从OA出发，绕点O以每秒$2°$的速度顺时针旋转，射线OQ从OB出发，绕点O以每秒$1°$的速度逆时针旋转，两条射线同时旋转，至OP，OQ相遇时停止，设旋转的时间为$t$(单位：s)，当$t$为何值时，射线OP是$∠ AOQ$的优线？
(1)$∠ AOB$的平分线
是
这个角的“优线”(填“是”或“不是”)；一个角共有3
条“优线”。(2)已知$∠ AOB＝60°$，射线OC为$∠ AOB$的“优线”，求$∠ AOC$的度数。
(3)如图②，已知$∠ AOB＝120°$，射线OP从OA出发，绕点O以每秒$2°$的速度顺时针旋转，射线OQ从OB出发，绕点O以每秒$1°$的速度逆时针旋转，两条射线同时旋转，至OP，OQ相遇时停止，设旋转的时间为$t$(单位：s)，当$t$为何值时，射线OP是$∠ AOQ$的优线？
答案
10. 解 (1)是 3
(2) ① 当$∠ AOC = \dfrac{1}{2} ∠ AOB$ 时，$∠ AOC=\dfrac{1}{2}∠ AOB=30°$；
②当$∠ AOC = \dfrac{1}{2} ∠ BOC$ 时，$∠ AOB = 60°$，且$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = 3∠ AOC$，解得$∠ AOC=20°$；
③当$∠ BOC = \dfrac{1}{2} ∠ AOC$ 时，$∠ AOB = 60°$，且 $∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = \dfrac{3}{2}∠ AOC$，解得$∠ AOC=40°.$
(3) ① 当$∠ AOP = \dfrac{1}{2} ∠ AOQ$ 时，$2t = \dfrac{1}{2}(120 - t)$，解得$t=24$；
② 当 $∠ AOP = \dfrac{1}{2} ∠ POQ$ 时，$2t = \dfrac{1}{2}(120 - 3t)$，解得$t=\dfrac{120}{7}$；
③ 当$∠ POQ = \dfrac{1}{2} ∠ AOP$ 时，$120 - 3t = t$，解得$t=30.$
综上，$t$ 的值为 24 或$\dfrac{120}{7}$或 30.
(2) ① 当$∠ AOC = \dfrac{1}{2} ∠ AOB$ 时，$∠ AOC=\dfrac{1}{2}∠ AOB=30°$；
②当$∠ AOC = \dfrac{1}{2} ∠ BOC$ 时，$∠ AOB = 60°$，且$∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = 3∠ AOC$，解得$∠ AOC=20°$；
③当$∠ BOC = \dfrac{1}{2} ∠ AOC$ 时，$∠ AOB = 60°$，且 $∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = \dfrac{3}{2}∠ AOC$，解得$∠ AOC=40°.$
(3) ① 当$∠ AOP = \dfrac{1}{2} ∠ AOQ$ 时，$2t = \dfrac{1}{2}(120 - t)$，解得$t=24$；
② 当 $∠ AOP = \dfrac{1}{2} ∠ POQ$ 时，$2t = \dfrac{1}{2}(120 - 3t)$，解得$t=\dfrac{120}{7}$；
③ 当$∠ POQ = \dfrac{1}{2} ∠ AOP$ 时，$120 - 3t = t$，解得$t=30.$
综上，$t$ 的值为 24 或$\dfrac{120}{7}$或 30.
解析
【分析】
(1) 先根据“优线”的定义判断：角平分线将∠AOB分成两个相等的角，此时∠AOB=2∠AOC，满足“有一个角是另一个角的一半”的要求，因此角平分线是优线；再梳理优线的所有可能情况：①∠AOC是∠BOC的一半、②∠BOC是∠AOC的一半、③∠AOC是∠AOB的一半（即角平分线），共3种，因此一个角有3条优线。
(2) 已知∠AOB=60°，OC为优线，按照上述3种情况分类讨论，结合∠AOB=∠AOC+∠BOC的和差关系列式计算∠AOC的度数即可。
(3) 先表示出旋转t秒后各角的度数：∠AOP=2t°，∠BOQ=t°，因此∠AOQ=(120-t)°，∠POQ=(120-3t)°；再结合OP是∠AOQ的优线的3种情况分别列一元一次方程求解，最后验证t的取值符合旋转停止的条件即可。
【解析】
(1) 若OC是∠AOB的平分线，则∠AOB=2∠AOC，符合“优线”定义，故∠AOB的平分线是这个角的优线；根据优线的定义，共存在3种情况能使射线OC为∠AOB的优线，因此一个角共有3条优线。
(2) 分三种情况讨论：
① 当$∠ AOC = \dfrac{1}{2} ∠ AOB$时，$∠ AOC=\dfrac{1}{2}×60°=30°$；
② 当$∠ AOC = \dfrac{1}{2} ∠ BOC$时，$∠ BOC=2∠ AOC$，$\because ∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = 3∠ AOC=60°$，解得$∠ AOC=20°$；
③ 当$∠ BOC = \dfrac{1}{2} ∠ AOC$时，$∠ AOC=2∠ BOC$，$\because ∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = \dfrac{3}{2}∠ AOC=60°$，解得$∠ AOC=40°$。
(3) 旋转t秒时，$∠ AOP=2t°$，$∠ BOQ=t°$，则$∠ AOQ=(120-t)°$，$∠ POQ=(120-3t)°$。
两条射线相遇时，$2t+t=120$，解得$t=40$，因此t的取值范围为$0≤t≤40$。
分三种情况讨论：
① 当$∠ AOP = \dfrac{1}{2} ∠ AOQ$时，$2t = \dfrac{1}{2}(120 - t)$，解得$t=24$，符合取值范围；
② 当 $∠ AOP = \dfrac{1}{2} ∠ POQ$时，$2t = \dfrac{1}{2}(120 - 3t)$，解得$t=\dfrac{120}{7}$，符合取值范围；
③ 当$∠ POQ = \dfrac{1}{2} ∠ AOP$时，$120 - 3t = t$，解得$t=30$，符合取值范围。
【答案】
(1) 是；3
(2) $20°$或$30°$或$40°$
(3) $t$的值为24或$\dfrac{120}{7}$或30
【知识点】
角的运算；新定义问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题以新定义“优线”为载体，考查角的和差计算和动态角度问题，解题核心是准确理解“优线”的定义，根据题意合理分类讨论，结合方程思想求解，解题时要注意避免漏解。
【难度系数】
0.4
(1) 先根据“优线”的定义判断：角平分线将∠AOB分成两个相等的角，此时∠AOB=2∠AOC，满足“有一个角是另一个角的一半”的要求，因此角平分线是优线；再梳理优线的所有可能情况：①∠AOC是∠BOC的一半、②∠BOC是∠AOC的一半、③∠AOC是∠AOB的一半（即角平分线），共3种，因此一个角有3条优线。
(2) 已知∠AOB=60°，OC为优线，按照上述3种情况分类讨论，结合∠AOB=∠AOC+∠BOC的和差关系列式计算∠AOC的度数即可。
(3) 先表示出旋转t秒后各角的度数：∠AOP=2t°，∠BOQ=t°，因此∠AOQ=(120-t)°，∠POQ=(120-3t)°；再结合OP是∠AOQ的优线的3种情况分别列一元一次方程求解，最后验证t的取值符合旋转停止的条件即可。
【解析】
(1) 若OC是∠AOB的平分线，则∠AOB=2∠AOC，符合“优线”定义，故∠AOB的平分线是这个角的优线；根据优线的定义，共存在3种情况能使射线OC为∠AOB的优线，因此一个角共有3条优线。
(2) 分三种情况讨论：
① 当$∠ AOC = \dfrac{1}{2} ∠ AOB$时，$∠ AOC=\dfrac{1}{2}×60°=30°$；
② 当$∠ AOC = \dfrac{1}{2} ∠ BOC$时，$∠ BOC=2∠ AOC$，$\because ∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = 3∠ AOC=60°$，解得$∠ AOC=20°$；
③ 当$∠ BOC = \dfrac{1}{2} ∠ AOC$时，$∠ AOC=2∠ BOC$，$\because ∠ AOB = ∠ AOC + ∠ BOC = \dfrac{3}{2}∠ AOC=60°$，解得$∠ AOC=40°$。
(3) 旋转t秒时，$∠ AOP=2t°$，$∠ BOQ=t°$，则$∠ AOQ=(120-t)°$，$∠ POQ=(120-3t)°$。
两条射线相遇时，$2t+t=120$，解得$t=40$，因此t的取值范围为$0≤t≤40$。
分三种情况讨论：
① 当$∠ AOP = \dfrac{1}{2} ∠ AOQ$时，$2t = \dfrac{1}{2}(120 - t)$，解得$t=24$，符合取值范围；
② 当 $∠ AOP = \dfrac{1}{2} ∠ POQ$时，$2t = \dfrac{1}{2}(120 - 3t)$，解得$t=\dfrac{120}{7}$，符合取值范围；
③ 当$∠ POQ = \dfrac{1}{2} ∠ AOP$时，$120 - 3t = t$，解得$t=30$，符合取值范围。
【答案】
(1) 是；3
(2) $20°$或$30°$或$40°$
(3) $t$的值为24或$\dfrac{120}{7}$或30
【知识点】
角的运算；新定义问题；一元一次方程的应用
【点评】
本题以新定义“优线”为载体，考查角的和差计算和动态角度问题，解题核心是准确理解“优线”的定义，根据题意合理分类讨论，结合方程思想求解，解题时要注意避免漏解。
【难度系数】
0.4
