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15. 分类讨论思想 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=50°$, $∠ B=60°$,将$△ ABC$绕顶点$A$逆时针旋转得到$△ AB'C'$,其中点$B$,$C$的对应点为$B'$,$C'$.如果$△ AB'C'$的一边与$△ ABC$的边$BC$平行,且旋转角$α$小于$180°$,那么$α$的度数是
$60°$ 或 $110°$
.答案
15.$60°$ 或 $110°$
解析
【分析】
首先根据三角形内角和定理先求出△ABC中∠C的度数，再结合旋转的性质：旋转前后对应角相等，旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角，即$α=∠ BAB'=∠ CAC'$。由于题目未明确△AB'C'的哪条边与BC平行，因此需要分类讨论：①$AB'// BC$；②$AC'// BC$，分别结合平行线的性质计算旋转角$α$，排除不符合$α＜180°$的情况即可。
【解析】
在△ABC中，由三角形内角和得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 50° - 60° = 70°$
由旋转的性质可知：旋转角$α = ∠ BAB' = ∠ CAC'$，旋转前后对应角相等。
分两种情况讨论：
1. 当$AB'// BC$时：
根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ B'AB = ∠ B = 60°$，即$α = 60°$，满足$α ＜ 180°$，符合题意。
2. 当$AC'// BC$时：
根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ CAC' + ∠ C = 180°$，因此$∠ CAC' = 180° - 70° = 110°$，即$α = 110°$，满足$α ＜ 180°$，符合题意。
综上，$α$的度数为$60°$或$110°$。
【答案】
$60°$或$110°$
【知识点】
旋转的性质；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题解题的关键是掌握分类讨论思想，结合旋转和平行线的性质分情况计算旋转角，注意不要漏解，同时要验证旋转角是否满足小于$180°$的条件。
【难度系数】
0.6
首先根据三角形内角和定理先求出△ABC中∠C的度数，再结合旋转的性质：旋转前后对应角相等，旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角，即$α=∠ BAB'=∠ CAC'$。由于题目未明确△AB'C'的哪条边与BC平行，因此需要分类讨论：①$AB'// BC$；②$AC'// BC$，分别结合平行线的性质计算旋转角$α$，排除不符合$α＜180°$的情况即可。
【解析】
在△ABC中，由三角形内角和得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 50° - 60° = 70°$
由旋转的性质可知：旋转角$α = ∠ BAB' = ∠ CAC'$，旋转前后对应角相等。
分两种情况讨论：
1. 当$AB'// BC$时：
根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ B'AB = ∠ B = 60°$，即$α = 60°$，满足$α ＜ 180°$，符合题意。
2. 当$AC'// BC$时：
根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ CAC' + ∠ C = 180°$，因此$∠ CAC' = 180° - 70° = 110°$，即$α = 110°$，满足$α ＜ 180°$，符合题意。
综上，$α$的度数为$60°$或$110°$。
【答案】
$60°$或$110°$
【知识点】
旋转的性质；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题解题的关键是掌握分类讨论思想，结合旋转和平行线的性质分情况计算旋转角，注意不要漏解，同时要验证旋转角是否满足小于$180°$的条件。
【难度系数】
0.6
16. 转化与化归思想 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的两边与坐标轴重合，$OA=2$，$OC=1$. 将矩形ABCO绕点O逆时针旋转，每次旋转$90°$，则第2026次旋转结束时，点B的坐标是
$(-2,-1)$
.答案
16.$(-2,-1)$
解析
【分析】
首先确定初始状态下点B的坐标，再探究矩形绕原点逆时针旋转90°时点B的坐标变化规律，发现每4次旋转为一个循环、回到初始位置，最后计算2026除以4的余数，根据余数对应第几次旋转后的坐标即可得到结果。
【解析】
1. 求初始点B的坐标
∵ 矩形ABCO的两边与坐标轴重合，OA=2，OC=1，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴
∴ 初始时点B的坐标为$(2,1)$
2. 探究旋转坐标变化规律
点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后坐标变为$(-y,x)$，依次计算前几次旋转后点B的坐标：
第1次旋转90°后，点B坐标为$(-1,2)$
第2次旋转90°后，点B坐标为$(-2,-1)$
第3次旋转90°后，点B坐标为$(1,-2)$
第4次旋转90°后，点B坐标为$(2,1)$，回到初始位置
可知每4次旋转为一个循环周期。
3. 计算2026次旋转对应的周期位置
$2026÷4=506······2$，余数为2，说明第2026次旋转结束时，点B的坐标和第2次旋转后的坐标相同，为$(-2,-1)$。
【答案】
$(-2,-1)$
【知识点】
坐标与旋转规律；周期问题；矩形的性质
【点评】
本题属于规律探究类题目，核心是掌握平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规则，通过枚举前几次旋转后的坐标找到循环周期，再利用余数快速求解，可避免逐次计算的繁琐。
【难度系数】
0.6
首先确定初始状态下点B的坐标，再探究矩形绕原点逆时针旋转90°时点B的坐标变化规律，发现每4次旋转为一个循环、回到初始位置，最后计算2026除以4的余数，根据余数对应第几次旋转后的坐标即可得到结果。
【解析】
1. 求初始点B的坐标
∵ 矩形ABCO的两边与坐标轴重合，OA=2，OC=1，点A在x轴正半轴，点C在y轴正半轴
∴ 初始时点B的坐标为$(2,1)$
2. 探究旋转坐标变化规律
点$(x,y)$绕原点逆时针旋转90°后坐标变为$(-y,x)$，依次计算前几次旋转后点B的坐标：
第1次旋转90°后，点B坐标为$(-1,2)$
第2次旋转90°后，点B坐标为$(-2,-1)$
第3次旋转90°后，点B坐标为$(1,-2)$
第4次旋转90°后，点B坐标为$(2,1)$，回到初始位置
可知每4次旋转为一个循环周期。
3. 计算2026次旋转对应的周期位置
$2026÷4=506······2$，余数为2，说明第2026次旋转结束时，点B的坐标和第2次旋转后的坐标相同，为$(-2,-1)$。
【答案】
$(-2,-1)$
【知识点】
坐标与旋转规律；周期问题；矩形的性质
【点评】
本题属于规律探究类题目，核心是掌握平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转90°的坐标变换规则，通过枚举前几次旋转后的坐标找到循环周期，再利用余数快速求解，可避免逐次计算的繁琐。
【难度系数】
0.6
17. [2025安徽中考]如图,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AB=4,BC=3,AD=1,点E为边AB上的动点.将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接FB,FC,EC,则下列结论错误的是 (
A.$EC-ED$的最大值是 $2\sqrt{5}$
B.$FB$ 的最小值是 $\sqrt{10}$
C.$EC+ED$ 的最小值是 $4\sqrt{2}$
D.$FC$ 的最大值是 $\sqrt{13}$
A
)A.$EC-ED$的最大值是 $2\sqrt{5}$
B.$FB$ 的最小值是 $\sqrt{10}$
C.$EC+ED$ 的最小值是 $4\sqrt{2}$
D.$FC$ 的最大值是 $\sqrt{13}$
答案
17.A
解析
【分析】
这是一道结合旋转、线段最值的几何综合题，可通过建立平面直角坐标系简化计算：①先根据已知直角设定坐标系，写出各定点坐标，再根据旋转性质求出动点F的轨迹；②对四个选项逐一分析：涉及两线段和/差最值的，分别用将军饮马模型、三角形三边关系、坐标法求最值即可，最后选出错误选项。
【解析】
解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，由题意得：
$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(4,3)$，$D(0,1)$，设$E(e,0)$，其中$0\le e\le4$。
1. 求F点坐标及轨迹
将DE绕D逆时针旋转$90°$得DF，可证$△ DAE≌△ FGD$（G为F在y轴上的垂足），得F点坐标为$(1,1+e)$，即F的轨迹为直线$x=1$上$y\in[1,5]$的线段。
2. 逐一分析选项
选项A：由三角形三边关系$EC-ED\le CD$，$CD=\sqrt{(4-0)^2+(3-1)^2}=2\sqrt{5}$，但CD与AB的交点为$(-2,0)$，不在E的取值范围内，故$EC-ED$最大值取不到$2\sqrt{5}$，A错误。
选项B：$FB=\sqrt{(4-1)^2+(0-(1+e))^2}=\sqrt{9+(1+e)^2}$，当$e=0$时，$(1+e)$最小为1，FB最小值为$\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$，B正确。
选项C：作D关于AB的对称点$D'(0,-1)$，则$ED=ED'$，故$EC+ED=EC+ED'\ge D'C$。$D'C=\sqrt{(4-0)^2+(3+1)^2}=4\sqrt{2}$，$D'C$与AB交点为$(1,0)$，在E的取值范围内，故最小值为$4\sqrt{2}$，C正确。
选项D：$FC=\sqrt{(4-1)^2+(3-(1+e))^2}=\sqrt{9+(2-e)^2}$，当$e=0$或$e=4$时，$(2-e)^2$取最大值4，FC最大值为$\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$，D正确。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；最短路径问题；坐标与图形性质
【点评】
本题综合考查旋转性质、线段最值的常见解法，建系法能将几何问题转化为代数计算，降低解题难度，解题时需注意最值取等条件是否符合动点的取值范围。
【难度系数】
0.6
这是一道结合旋转、线段最值的几何综合题，可通过建立平面直角坐标系简化计算：①先根据已知直角设定坐标系，写出各定点坐标，再根据旋转性质求出动点F的轨迹；②对四个选项逐一分析：涉及两线段和/差最值的，分别用将军饮马模型、三角形三边关系、坐标法求最值即可，最后选出错误选项。
【解析】
解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，由题意得：
$A(0,0)$，$B(4,0)$，$C(4,3)$，$D(0,1)$，设$E(e,0)$，其中$0\le e\le4$。
1. 求F点坐标及轨迹
将DE绕D逆时针旋转$90°$得DF，可证$△ DAE≌△ FGD$（G为F在y轴上的垂足），得F点坐标为$(1,1+e)$，即F的轨迹为直线$x=1$上$y\in[1,5]$的线段。
2. 逐一分析选项
选项A：由三角形三边关系$EC-ED\le CD$，$CD=\sqrt{(4-0)^2+(3-1)^2}=2\sqrt{5}$，但CD与AB的交点为$(-2,0)$，不在E的取值范围内，故$EC-ED$最大值取不到$2\sqrt{5}$，A错误。
选项B：$FB=\sqrt{(4-1)^2+(0-(1+e))^2}=\sqrt{9+(1+e)^2}$，当$e=0$时，$(1+e)$最小为1，FB最小值为$\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$，B正确。
选项C：作D关于AB的对称点$D'(0,-1)$，则$ED=ED'$，故$EC+ED=EC+ED'\ge D'C$。$D'C=\sqrt{(4-0)^2+(3+1)^2}=4\sqrt{2}$，$D'C$与AB交点为$(1,0)$，在E的取值范围内，故最小值为$4\sqrt{2}$，C正确。
选项D：$FC=\sqrt{(4-1)^2+(3-(1+e))^2}=\sqrt{9+(2-e)^2}$，当$e=0$或$e=4$时，$(2-e)^2$取最大值4，FC最大值为$\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$，D正确。
【答案】
A
【知识点】
旋转的性质；最短路径问题；坐标与图形性质
【点评】
本题综合考查旋转性质、线段最值的常见解法，建系法能将几何问题转化为代数计算，降低解题难度，解题时需注意最值取等条件是否符合动点的取值范围。
【难度系数】
0.6
18. [2026安徽中考]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系$xOy$，$△ ABC$的顶点均为格点（网格线的交点），点$A,B,C$的坐标分别为$(-3,-2),(-1,-1),(-3,3)$。
(1)画出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$；
(2)将线段$AB$向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段$A_2B_2$，画出线段$A_2B_2$；
(3)以点$B$为旋转中心，将线段$BC$按顺时针方向旋转$90°$，得到线段$BC_2$，直接写出点$C_2$的坐标。
(1)画出$△ ABC$关于$y$轴对称的$△ A_1B_1C_1$；
(2)将线段$AB$向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段$A_2B_2$，画出线段$A_2B_2$；
(3)以点$B$为旋转中心，将线段$BC$按顺时针方向旋转$90°$，得到线段$BC_2$，直接写出点$C_2$的坐标。
答案
解：
(1) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，可得$A_1(3,-2)$，$B_1(1,-1)$，$C_1(3,3)$，依次连接$A_1,B_1,C_1$，即可画出$△ A_1B_1C_1$；
(2) 根据平移规则：向右平移1个单位横坐标加1，向上平移3个单位纵坐标加3，可得平移后$A_2(-2,1)$，$B_2(0,2)$，连接$A_2B_2$，即可画出线段$A_2B_2$；
(3) 点$C_2$的坐标为$\boldsymbol{(3,1)}$。
(1) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，可得$A_1(3,-2)$，$B_1(1,-1)$，$C_1(3,3)$，依次连接$A_1,B_1,C_1$，即可画出$△ A_1B_1C_1$；
(2) 根据平移规则：向右平移1个单位横坐标加1，向上平移3个单位纵坐标加3，可得平移后$A_2(-2,1)$，$B_2(0,2)$，连接$A_2B_2$，即可画出线段$A_2B_2$；
(3) 点$C_2$的坐标为$\boldsymbol{(3,1)}$。
解析
【分析】
本题考查平面直角坐标系中图形的对称、平移、旋转作图及坐标求解，解题思路如下：
(1) 关于y轴对称的点满足纵坐标不变、横坐标互为相反数，先求出A、B、C三点的对称点坐标，再依次连接三点即可得到$△ A_1B_1C_1$；
(2) 平移时点的坐标变化规律为“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”，按照平移要求计算A、B平移后的坐标，连接两点即可得到线段$A_2B_2$；
(3) 求点C绕点B顺时针旋转90°后的坐标，可先分析线段BC的格点走向，根据旋转90°的方向和角度确定$C_2$的位置，也可通过旋转坐标变换规律计算得到$C_2$的坐标。
【解析】
(1) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，可得$A(-3,-2)$的对称点$A_1(3,-2)$，$B(-1,-1)$的对称点$B_1(1,-1)$，$C(-3,3)$的对称点$C_1(3,3)$，在坐标系中描出这三个点，依次连接$A_1,B_1,C_1$，即可画出$△ A_1B_1C_1$；
(2) 根据平移规则：向右平移1个单位长度横坐标加1，向上平移3个单位长度纵坐标加3，可得平移后$A_2$的坐标为$(-3+1,-2+3)=(-2,1)$，$B_2$的坐标为$(-1+1,-1+3)=(0,2)$，在坐标系中描出$A_2,B_2$两点，连接两点即可画出线段$A_2B_2$；
(3) 已知$B(-1,-1)$，$C(-3,3)$，线段BC的横向距离为$-3-(-1)=-2$（向左2个单位），纵向距离为$3-(-1)=4$（向上4个单位），将线段BC绕B顺时针旋转90°后，原纵向向上的距离变为横向向右的距离，原横向向左的距离变为纵向向上的距离，因此$C_2$的横坐标为$-1+4=3$，纵坐标为$-1+2=1$。
【答案】
(1)、(2)画图见上述解析；(3) $\boldsymbol{(3,1)}$
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征，图形的平移，图形的旋转
【点评】
本题属于平面直角坐标系中图形变换的基础题型，既考查了对称、平移、旋转的坐标变换规律，也考查了动手作图能力，熟练掌握各类变换的坐标变化规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查平面直角坐标系中图形的对称、平移、旋转作图及坐标求解，解题思路如下：
(1) 关于y轴对称的点满足纵坐标不变、横坐标互为相反数，先求出A、B、C三点的对称点坐标，再依次连接三点即可得到$△ A_1B_1C_1$；
(2) 平移时点的坐标变化规律为“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”，按照平移要求计算A、B平移后的坐标，连接两点即可得到线段$A_2B_2$；
(3) 求点C绕点B顺时针旋转90°后的坐标，可先分析线段BC的格点走向，根据旋转90°的方向和角度确定$C_2$的位置，也可通过旋转坐标变换规律计算得到$C_2$的坐标。
【解析】
(1) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，可得$A(-3,-2)$的对称点$A_1(3,-2)$，$B(-1,-1)$的对称点$B_1(1,-1)$，$C(-3,3)$的对称点$C_1(3,3)$，在坐标系中描出这三个点，依次连接$A_1,B_1,C_1$，即可画出$△ A_1B_1C_1$；
(2) 根据平移规则：向右平移1个单位长度横坐标加1，向上平移3个单位长度纵坐标加3，可得平移后$A_2$的坐标为$(-3+1,-2+3)=(-2,1)$，$B_2$的坐标为$(-1+1,-1+3)=(0,2)$，在坐标系中描出$A_2,B_2$两点，连接两点即可画出线段$A_2B_2$；
(3) 已知$B(-1,-1)$，$C(-3,3)$，线段BC的横向距离为$-3-(-1)=-2$（向左2个单位），纵向距离为$3-(-1)=4$（向上4个单位），将线段BC绕B顺时针旋转90°后，原纵向向上的距离变为横向向右的距离，原横向向左的距离变为纵向向上的距离，因此$C_2$的横坐标为$-1+4=3$，纵坐标为$-1+2=1$。
【答案】
(1)、(2)画图见上述解析；(3) $\boldsymbol{(3,1)}$
【知识点】
关于y轴对称的坐标特征，图形的平移，图形的旋转
【点评】
本题属于平面直角坐标系中图形变换的基础题型，既考查了对称、平移、旋转的坐标变换规律，也考查了动手作图能力，熟练掌握各类变换的坐标变化规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
