1. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，利用尺规作图的方法作$AB$边上的垂直平分线$MN$与$∠ BAC$的平分线$AD$，$MN$，$AD$相交于点$P$.（保留作图痕迹，不写作法）

解：
按要求完成尺规作图，保留全部作图圆弧痕迹：
1. 作出∠BAC的平分线AD，标注AD；
2. 作出AB边上的垂直平分线MN，标注MN；
3. 标注MN与AD的交点为点P。

【分析】
解决本题需要用到两种基础尺规作图方法，解题思路清晰：首先回忆角平分线的尺规作图规则，先完成∠BAC的平分线AD的绘制，再回忆线段垂直平分线的尺规作图规则，完成AB边垂直平分线MN的绘制，最后标注两条线的交点P即可，作图全程所有辅助圆弧都需要保留，不能擦除。
【解析】
1. 作∠BAC的平分线AD：以A为圆心取适当长度为半径画弧，分别与AB、AC交于两点，再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAC内部交于一点，连接A与该点并延长交BC于D，即得到角平分线AD；
2. 作AB的垂直平分线MN：分别以A、B为圆心，取大于$\frac{1}{2}AB$的长度为半径画弧，两弧在AB上下两侧各交于一个点，过这两个交点作直线，标注为MN，即得到AB的垂直平分线；
3. 找到MN和AD的交点，标注为P，保留所有作图圆弧痕迹即可。
【答案】
按要求完成尺规作图，保留全部作图圆弧痕迹：
1. 作出∠BAC的平分线AD，标注AD；
2. 作出AB边上的垂直平分线MN，标注MN；
3. 标注MN与AD的交点为点P。
【知识点】
角平分线尺规作图；线段垂直平分线尺规作图；尺规作图规范
【点评】
本题是基础操作类题型，核心考查对常见基本尺规作图步骤的掌握程度，作图时要注意痕迹完整清晰、标注规范，不要遗漏作图辅助痕迹。
【难度系数】
0.8

2. 尺规作图:如图,已知$△ ABC$,$∠ BAC=90°$.
(保留作图痕迹,不写作法)
(1)过点$C$作$CD⊥ BC$,垂足为点$C$;
(2)作$BC$边上的高$AE$.

解：
按要求完成尺规作图，保留全部作图痕迹：
(1) 过点C作出垂直于BC的直线CD，点C为垂足，直线CD即为所求；
(2) 过点A作出BC的垂线段AE，垂足E在BC边上，线段AE即为所求的BC边上的高。

【分析】
这是尺规作图类基础题，解题时对应两种垂线作图方法即可：①第(1)问中点C在直线BC上，要作CD⊥BC于C，使用“过直线上一点作已知直线的垂线”的尺规作图方法即可；②第(2)问BC边上的高是过直线BC外的点A作BC的垂线段，垂足落在BC边上，对应“过直线外一点作已知直线的垂线”的作图方法，作图过程中需保留所有画弧痕迹，无需写作法。
【解析】
(1) 作CD⊥BC，垂足为C：
以C为圆心，取适当长度为半径画弧，交BC于两个点；再分别以这两个点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；过点C和这个交点作直线CD，即为所求，此时CD⊥BC。
(2) 作BC边上的高AE：
以A为圆心，取适当长度为半径画弧，与BC边交于两个点；再分别以这两个点为圆心，取大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于一点；过点A和这个交点作直线，与BC边交于E，线段AE即为所求，此时AE⊥BC。
作图全程保留所有画弧痕迹即可。
【答案】
按要求完成尺规作图，保留全部作图痕迹：
(1) 过点C作出垂直于BC的直线CD，点C为垂足，直线CD即为所求；
(2) 过点A作出BC的垂线段AE，垂足E在BC边上，线段AE即为所求的BC边上的高。
【知识点】
过直线上一点作已知直线的垂线；过直线外一点作已知直线的垂线；三角形高的定义
【点评】
本题考查基本尺规作图能力，解题关键是熟练掌握作垂线的操作方法，需注意区分所求图形类型：第(1)问要求作直线，第(2)问要求作垂线段，二者不要混淆，作图时要保留完整痕迹，不得随意擦除。
【难度系数】
0.8

3. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明$∠ AOC = ∠ BOC$的依据是（）


A.SAS
B.ASA
C.SSS
D.AAS

3.C

【分析】
要解决这道题，首先回忆尺规作角平分线的操作步骤，从作图过程中提取出相等的线段，再结合全等三角形的判定定理判断三角形全等的依据，即可得到角相等的原理。首先明确作图得到的三组相等边：以O为圆心画弧可得OM=ON；分别以M、N为圆心画弧可得MC=NC；两个三角形还有公共边OC=OC，根据三条边对应相等即可判定三角形全等，全等后对应角相等，就能推出∠AOC=∠BOC。
【解析】
连接MC、NC，根据角平分线的尺规作图过程可得：
1. 以O为圆心、任意长为半径画弧时，半径相等，因此$OM=ON$；
2. 分别以M、N为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧交于点C，因此$MC=NC$；
3. OC是$△ OMC$和$△ ONC$的公共边，因此$OC=OC$。
在$△ OMC$和$△ ONC$中：
$\begin{cases}OM=ON\\MC=NC\\OC=OC\end{cases}$
∴$△ OMC ≌ △ ONC$（SSS）
根据全等三角形对应角相等，可得$∠ AOC = ∠ BOC$，因此推导的依据是SSS。
【答案】
C
【知识点】
角平分线尺规作图；SSS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题考查角平分线尺规作图的原理，解题关键是从作图步骤中提取出相等的线段，结合全等三角形的判定定理分析，属于基础题型，熟练掌握尺规作图的操作步骤是解题的前提。
【难度系数】
0.8

4. 如图,在$△ ABC$中,根据尺规作图的痕迹,判断下列说法不一定正确的是 ()

A.$AF=BF$
B.$DF ⊥ AB$
C.$∠ AFD + ∠ FBC = 90°$
D.$∠ BAF = ∠ CAF$

4.D

【分析】
首先识别图中的尺规作图痕迹：直线DF是线段AB的垂直平分线，射线BE是∠ABC的角平分线。再结合垂直平分线的性质、角平分线的定义逐一分析每个选项：垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，且垂直平分线垂直于所平分的线段，可判断A、B选项；再结合直角三角形两锐角互余、全等三角形的性质可推导C选项成立；最后观察作图痕迹，不存在∠BAC的角平分线的作图痕迹，即可判断D选项不一定正确。
【解析】
由尺规作图痕迹可得：直线DF是线段AB的垂直平分线，射线BE是∠ABC的角平分线。
A.
∵点F在线段AB的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴$AF=BF$，该选项结论正确，不符合题意；
B.
∵DF是AB的垂直平分线，
∴$DF ⊥ AB$，该选项结论正确，不符合题意；
C.
∵$DF⊥AB$，
∴$∠ BDF=90°$，在$Rt△ BDF$中，$∠ BFD + ∠ FBD = 90°$。由DF垂直平分AB可知$AD=BD$，$∠ ADF=∠ BDF=90°$，又DF为公共边，
∴$△ ADF≌△ BDF$（SAS），
∴$∠ AFD=∠ BFD$；
∵BE平分$∠ ABC$，
∴$∠ FBC=∠ FBD$，代入得$∠ AFD + ∠ FBC = 90°$，该选项结论正确，不符合题意；
D. 图中没有作$∠ BAC$的角平分线的痕迹，无法证明AF平分$∠ BAC$，故$∠ BAF = ∠ CAF$不一定成立，该选项符合题意。
【答案】
D
【知识点】
线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，尺规作图识别
【点评】
本题考查尺规作图的识别与相关性质的应用，解题的关键是先准确判断出垂直平分线和角平分线两种作图类型，再结合对应性质逐一验证选项，注意题目要求选“不一定正确”的结论，避免看错要求丢分。
【难度系数】
0.7

5. 利用折纸可以作出角平分线.



(1) 如图 1, 若 ∠AOB = 58°, 则 ∠BOC = °.
(2) 折叠长方形纸片, OC, OD 均是折痕, 点 A 落在点 A'处, 点 B 落在点 B'处.
①如图 2, 当点 B'在 OA'上时, 判断 ∠AOC 与 ∠BOD 之间的数量关系, 并说明理由;
②如图 3, 当点 B'在 ∠A'OC 的内部时, 若 ∠AOC=44°, ∠BOD=61°, 则 ∠A'OB'的度数为 .

(1)29
(2)①$∠ AOC+∠ BOD=90°$.
理由:由折叠知$∠ AOC=∠ A'OC,∠ BOD=∠ B'OD$.
$\because ∠ AOC+∠ A'OC+∠ BOD+∠ B'OD=180°$,
$\therefore ∠ AOC+∠ BOD=90°$.
②$30°$

【分析】
(1) 由折纸作角平分线的操作可知OC是∠AOB的角平分线，根据角平分线将角分成两个相等的小角，直接用∠AOB的度数除以2即可得到∠BOC的度数。
(2) ① 折叠问题的核心性质是折叠前后对应角相等，因此可得∠AOC=∠A'OC，∠BOD=∠B'OD，再结合平角为180°的性质，将四个角的和转化为2倍的(∠AOC+∠BOD)，即可推出两个角的数量关系。
② 同样利用折叠前后对应角相等，先求出∠AOA'和∠BOB'的度数，再根据∠AOA'+∠BOB' = 平角度数 + ∠A'OB'的和差关系，代入数值计算即可得到∠A'OB'的度数。
【解析】
(1) 由折纸操作可知OC平分∠AOB，根据角平分线的定义：
$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×58°=29°$
(2) ① $∠ AOC+∠ BOD=90°$，理由如下：
由折叠的性质可得：$∠ AOC=∠ A'OC$，$∠ BOD=∠ B'OD$
$\because$ 点$B'$在$OA'$上，$∠ AOB$是平角，即$∠ AOB=180°$
$\therefore ∠ AOC+∠ A'OC+∠ BOD+∠ B'OD=180°$
代入等量关系得：$2∠ AOC + 2∠ BOD=180°$
两边同时除以2，可得：$∠ AOC+∠ BOD=90°$
② 由折叠的性质可得：$∠ A'OC=∠ AOC=44°$，$∠ B'OD=∠ BOD=61°$
$\therefore ∠ AOA'=∠ AOC+∠ A'OC=44°+44°=88°$
$∠ BOB'=∠ BOD+∠ B'OD=61°+61°=122°$
$\because ∠ AOA'+∠ BOB' = ∠ AOB + ∠ A'OB'$，且$∠ AOB=180°$
代入数值得：$88°+122°=180°+∠ A'OB'$
解得：$∠ A'OB'=210°-180°=30°$
【答案】
(1) $\boxed{29}$
(2) ① $\boxed{∠ AOC+∠ BOD=90°}$，理由见解析；② $\boxed{30°}$
【知识点】
角平分线的定义；折叠的性质；角的和差计算
【点评】
本题结合折纸操作考查角的相关计算，重点考查折叠前后对应角相等的性质，解题时需结合平角的定义找准角之间的和差关系，是角平分线相关的基础常考题型。
【难度系数】
0.7