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3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(4,2)，P是x轴上任意一点，当PA+PB取最小值时，点P的坐标为
(2,0)
。答案
3.(2,0)
解析
【分析】
本题属于“将军饮马”类最短路径问题，解题思路如下：首先观察到A、B两点都在x轴上方，属于直线x轴同侧的两点，要在x轴上找一点P使得PA+PB最小，根据轴对称的性质，我们可以作其中一个点关于x轴的对称点，将PA转化为与它相等的线段，把同侧两条线段和的最值问题转化为异侧两点之间线段最短的问题，再通过求直线解析式得到直线与x轴的交点，即为所求点P的坐标。
【解析】
1. 作点A关于x轴的对称点A'，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，已知A(0,2)，可得A'的坐标为(0,-2)。
2. 由轴对称的性质可知PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB，根据“两点之间线段最短”，当A'、P、B三点共线时，PA'+PB取得最小值，即PA+PB取得最小值。
3. 设直线A'B的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A'(0,-2)$、$B(4,2)$代入解析式：
把$x=0$，$y=-2$代入得：$b=-2$；
把$x=4$，$y=2$，$b=-2$代入得：$2=4k-2$，解得$k=1$。
因此直线A'B的解析式为$y=x-2$。
4. 点P在x轴上，其纵坐标为0，令$y=0$，代入$y=x-2$得：$0=x-2$，解得$x=2$，故点P的坐标为$(2,0)$。
【答案】
$(2,0)$
【知识点】
轴对称性质；一次函数解析式求法；最短路径问题
【点评】
本题是轴对称在最短路径问题中的典型应用，解题关键是通过轴对称将同侧线段和转化为异侧线段和，利用两点之间线段最短确定最优路径，再结合一次函数的相关计算得到交点坐标，能较好地考查学生对几何最值模型的掌握和一次函数的应用能力。
【难度系数】
0.7
本题属于“将军饮马”类最短路径问题，解题思路如下：首先观察到A、B两点都在x轴上方，属于直线x轴同侧的两点，要在x轴上找一点P使得PA+PB最小，根据轴对称的性质，我们可以作其中一个点关于x轴的对称点，将PA转化为与它相等的线段，把同侧两条线段和的最值问题转化为异侧两点之间线段最短的问题，再通过求直线解析式得到直线与x轴的交点，即为所求点P的坐标。
【解析】
1. 作点A关于x轴的对称点A'，根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，已知A(0,2)，可得A'的坐标为(0,-2)。
2. 由轴对称的性质可知PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB，根据“两点之间线段最短”，当A'、P、B三点共线时，PA'+PB取得最小值，即PA+PB取得最小值。
3. 设直线A'B的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A'(0,-2)$、$B(4,2)$代入解析式：
把$x=0$，$y=-2$代入得：$b=-2$；
把$x=4$，$y=2$，$b=-2$代入得：$2=4k-2$，解得$k=1$。
因此直线A'B的解析式为$y=x-2$。
4. 点P在x轴上，其纵坐标为0，令$y=0$，代入$y=x-2$得：$0=x-2$，解得$x=2$，故点P的坐标为$(2,0)$。
【答案】
$(2,0)$
【知识点】
轴对称性质；一次函数解析式求法；最短路径问题
【点评】
本题是轴对称在最短路径问题中的典型应用，解题关键是通过轴对称将同侧线段和转化为异侧线段和，利用两点之间线段最短确定最优路径，再结合一次函数的相关计算得到交点坐标，能较好地考查学生对几何最值模型的掌握和一次函数的应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 在$4×4$的正方形网格中，格点(网格线的交点)$A$，$B$和直线$l$的位置如图所示，点$P$在直线$l$上.
(1)请分别在图1和图2中作出点$P$，使$PA+PB$的值最小；
(2)请分别在图3和图4中作出点$P$，使$PA-PB$的值最大.
(1)请分别在图1和图2中作出点$P$，使$PA+PB$的值最小；
(2)请分别在图3和图4中作出点$P$，使$PA-PB$的值最大.
答案
解：
(1) 作出使$PA+PB$值最小的点$P$：
① 图1：连接$AB$，线段$AB$与直线$l$的交点即为所求点$P$。依据两点之间线段最短，此时$PA+PB=AB$，取得最小值。
② 图2：作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，线段$A'B$与直线$l$的交点即为所求点$P$。由轴对称性质得$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB=A'B$，依据两点之间线段最短，此时$PA+PB$取得最小值。
(2) 作出使$PA-PB$值最大的点$P$：
① 图3：作点$B$关于直线$l$的对称点$B'$，连接$AB'$并延长，与直线$l$的交点即为所求点$P$。由轴对称性质得$PB=PB'$，因此$PA-PB=PA-PB'$，根据三角形两边之差小于第三边，$PA-PB'≤ AB'$，当$A,B',P$三点共线时取等号，此时$PA-PB$取得最大值。
② 图4：连接$AB$并延长，与直线$l$的交点即为所求点$P$。根据三角形两边之差小于第三边，对直线$l$上任意异于$P$的点$P'$，都有$P'A-P'B＜AB$，当$A,B,P$三点共线时$PA-PB=AB$，此时$PA-PB$取得最大值。
按上述方法得到的点$P$即为各图中满足要求的点。
(1) 作出使$PA+PB$值最小的点$P$：
① 图1：连接$AB$，线段$AB$与直线$l$的交点即为所求点$P$。依据两点之间线段最短，此时$PA+PB=AB$，取得最小值。
② 图2：作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，线段$A'B$与直线$l$的交点即为所求点$P$。由轴对称性质得$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB=A'B$，依据两点之间线段最短，此时$PA+PB$取得最小值。
(2) 作出使$PA-PB$值最大的点$P$：
① 图3：作点$B$关于直线$l$的对称点$B'$，连接$AB'$并延长，与直线$l$的交点即为所求点$P$。由轴对称性质得$PB=PB'$，因此$PA-PB=PA-PB'$，根据三角形两边之差小于第三边，$PA-PB'≤ AB'$，当$A,B',P$三点共线时取等号，此时$PA-PB$取得最大值。
② 图4：连接$AB$并延长，与直线$l$的交点即为所求点$P$。根据三角形两边之差小于第三边，对直线$l$上任意异于$P$的点$P'$，都有$P'A-P'B＜AB$，当$A,B,P$三点共线时$PA-PB=AB$，此时$PA-PB$取得最大值。
按上述方法得到的点$P$即为各图中满足要求的点。
解析
【分析】
解决这类线段最值问题，需先判断点A、B与直线l的位置关系，再对应选择解法：
1. 求$PA+PB$最小值：
若A、B在直线l异侧，根据两点之间线段最短，直接连接AB，与l的交点即为P；若A、B在直线l同侧，需通过轴对称将其中一个点对称到l的另一侧，转化为异侧点的情况，再连线找交点。
2. 求$PA-PB$最大值：
根据三角形两边之差小于第三边，当三点共线时差取最大值。若A、B在直线l同侧，直接延长AB与l相交即可；若A、B在直线l异侧，需通过轴对称将其中一个点对称到l的同侧，再延长连线找交点。
【解析】
(1) 作出使$PA+PB$值最小的点$P$：
① 图1：A、B在直线$l$异侧，连接$AB$，线段$AB$与直线$l$的交点即为所求点$P$。依据两点之间线段最短，此时$PA+PB=AB$，取得最小值。
② 图2：A、B在直线$l$同侧，作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，线段$A'B$与直线$l$的交点即为所求点$P$。由轴对称性质得$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB=A'B$，依据两点之间线段最短，此时$PA+PB$取得最小值。
(2) 作出使$PA-PB$值最大的点$P$：
① 图3：A、B在直线$l$异侧，作点$B$关于直线$l$的对称点$B'$，连接$AB'$并延长，与直线$l$的交点即为所求点$P$。由轴对称性质得$PB=PB'$，因此$PA-PB=PA-PB'$，根据三角形两边之差小于第三边，$PA-PB'≤ AB'$，当$A,B',P$三点共线时取等号，此时$PA-PB$取得最大值。
② 图4：A、B在直线$l$同侧，连接$AB$并延长，与直线$l$的交点即为所求点$P$。根据三角形两边之差小于第三边，对直线$l$上任意异于$P$的点$P'$，都有$P'A-P'B＜AB$，当$A,B,P$三点共线时$PA-PB=AB$，此时$PA-PB$取得最大值。
【答案】
图1：线段$AB$与直线$l$的交点；
图2：点$A$关于直线$l$的对称点$A'$与点$B$的连线和直线$l$的交点；
图3：点$B$关于直线$l$的对称点$B'$与点$A$的连线延长线和直线$l$的交点；
图4：线段$AB$的延长线与直线$l$的交点。
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系
【点评】
本题是轴对称在最值问题中的典型应用，核心是用转化思想调整点的位置关系，使之符合线段公理、三角形三边关系的应用条件，解题时要注意区分线段和最小、差最大两种模型的适用场景，避免混淆作法。
【难度系数】
0.7
解决这类线段最值问题，需先判断点A、B与直线l的位置关系，再对应选择解法：
1. 求$PA+PB$最小值：
若A、B在直线l异侧，根据两点之间线段最短，直接连接AB，与l的交点即为P；若A、B在直线l同侧，需通过轴对称将其中一个点对称到l的另一侧，转化为异侧点的情况，再连线找交点。
2. 求$PA-PB$最大值：
根据三角形两边之差小于第三边，当三点共线时差取最大值。若A、B在直线l同侧，直接延长AB与l相交即可；若A、B在直线l异侧，需通过轴对称将其中一个点对称到l的同侧，再延长连线找交点。
【解析】
(1) 作出使$PA+PB$值最小的点$P$：
① 图1：A、B在直线$l$异侧，连接$AB$，线段$AB$与直线$l$的交点即为所求点$P$。依据两点之间线段最短，此时$PA+PB=AB$，取得最小值。
② 图2：A、B在直线$l$同侧，作点$A$关于直线$l$的对称点$A'$，连接$A'B$，线段$A'B$与直线$l$的交点即为所求点$P$。由轴对称性质得$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB=A'B$，依据两点之间线段最短，此时$PA+PB$取得最小值。
(2) 作出使$PA-PB$值最大的点$P$：
① 图3：A、B在直线$l$异侧，作点$B$关于直线$l$的对称点$B'$，连接$AB'$并延长，与直线$l$的交点即为所求点$P$。由轴对称性质得$PB=PB'$，因此$PA-PB=PA-PB'$，根据三角形两边之差小于第三边，$PA-PB'≤ AB'$，当$A,B',P$三点共线时取等号，此时$PA-PB$取得最大值。
② 图4：A、B在直线$l$同侧，连接$AB$并延长，与直线$l$的交点即为所求点$P$。根据三角形两边之差小于第三边，对直线$l$上任意异于$P$的点$P'$，都有$P'A-P'B＜AB$，当$A,B,P$三点共线时$PA-PB=AB$，此时$PA-PB$取得最大值。
【答案】
图1：线段$AB$与直线$l$的交点；
图2：点$A$关于直线$l$的对称点$A'$与点$B$的连线和直线$l$的交点；
图3：点$B$关于直线$l$的对称点$B'$与点$A$的连线延长线和直线$l$的交点；
图4：线段$AB$的延长线与直线$l$的交点。
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系
【点评】
本题是轴对称在最值问题中的典型应用，核心是用转化思想调整点的位置关系，使之符合线段公理、三角形三边关系的应用条件，解题时要注意区分线段和最小、差最大两种模型的适用场景，避免混淆作法。
【难度系数】
0.7
5.已知 P 为∠AOB 内一点,分别作点 P 关于OA,OB 的对称点 $ P_1,P_2 $,连接 $ P_1P_2,P_1P_2= $
6.若 M 是 OA 上的动点,N 是 OB 上的动点,则 $ △ PMN $ 周长的最小值是（
A.4
B.5
C.6
D.7
6.若 M 是 OA 上的动点,N 是 OB 上的动点,则 $ △ PMN $ 周长的最小值是（
C
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
5.C
解析
【分析】
要解决△PMN周长最小值的问题，我们可以利用轴对称的性质转化线段长度：点关于直线对称时，直线上任意一点到该点和它的对称点的距离相等，据此可将△PMN周长的三条折线段转化为连接两个对称点的折线段，再结合“两点之间线段最短”的公理，就能找到折线段最短的情况，也就是周长的最小值。
【解析】
解：
∵ 点P关于OA的对称点是$P_1$，
∴ OA垂直平分线段$PP_1$，因此对OA上任意动点M，都有$PM=P_1M$。
同理，点P关于OB的对称点是$P_2$，
∴ OB垂直平分线段$PP_2$，因此对OB上任意动点N，都有$PN=P_2N$。
则△PMN的周长$=PM+MN+PN=P_1M+MN+P_2N$。
根据“两点之间，线段最短”，当M、N分别是线段$P_1P_2$与OA、OB的交点时，$P_1M+MN+P_2N$的长度最小，最小值就是线段$P_1P_2$的长度。
由题可知$P_1P_2=6$，因此△PMN周长的最小值是6。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，两点之间线段最短
【点评】
本题是轴对称求解线段和最值的典型题型，解题核心是通过轴对称变换将分散的折线段转化为共线的线段和，结合线段公理即可快速得到最值，充分体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7
要解决△PMN周长最小值的问题，我们可以利用轴对称的性质转化线段长度：点关于直线对称时，直线上任意一点到该点和它的对称点的距离相等，据此可将△PMN周长的三条折线段转化为连接两个对称点的折线段，再结合“两点之间线段最短”的公理，就能找到折线段最短的情况，也就是周长的最小值。
【解析】
解：
∵ 点P关于OA的对称点是$P_1$，
∴ OA垂直平分线段$PP_1$，因此对OA上任意动点M，都有$PM=P_1M$。
同理，点P关于OB的对称点是$P_2$，
∴ OB垂直平分线段$PP_2$，因此对OB上任意动点N，都有$PN=P_2N$。
则△PMN的周长$=PM+MN+PN=P_1M+MN+P_2N$。
根据“两点之间，线段最短”，当M、N分别是线段$P_1P_2$与OA、OB的交点时，$P_1M+MN+P_2N$的长度最小，最小值就是线段$P_1P_2$的长度。
由题可知$P_1P_2=6$，因此△PMN周长的最小值是6。
【答案】
C
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，两点之间线段最短
【点评】
本题是轴对称求解线段和最值的典型题型，解题核心是通过轴对称变换将分散的折线段转化为共线的线段和，结合线段公理即可快速得到最值，充分体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.7
6.如图，$∠ MON=45°$，$P$为$∠ MON$内一点，$A$为$OM$上一动点，$B$为$ON$上一动点.当$△ PAB$的周长取最小值时，$∠ APB$的度数为（
A.$45°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$135°$
B
）A.$45°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$135°$
答案
6.B
解析
【分析】
要使△PAB的周长最小，即PA+AB+PB的和最小，根据轴对称的性质，我们可以通过作点P关于OM、ON的对称点，将三条线段的和转化为两点之间的线段长度（两点之间线段最短），得到周长最小时A、B的位置；再利用轴对称对应角相等的性质，结合三角形内角和定理、已知的∠MON=45°，逐步推导求出∠APB的度数。
【解析】
1. 分别作点P关于OM的对称点$P_1$，关于ON的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，与OM交于点A，与ON交于点B，此时△PAB的周长最小，最小值为$P_1P_2$的长度（依据：两点之间线段最短）。
2. 由轴对称的性质可得：$∠P_1AM=∠PAM$，$∠P_2BN=∠PBN$，因此$∠OAB=∠P_1AM$，$∠OBA=∠P_2BN$。
3. 在△OAB中，$∠MON=45°$，根据三角形内角和为180°，得$∠OAB+∠OBA=180°-∠MON=180°-45°=135°$。
4. 因此$∠PAM+∠PBN=∠OAB+∠OBA=135°$，则$∠PAB+∠PBA=(180°-2∠OAB)+(180°-2∠OBA)=360°-2(∠OAB+∠OBA)=360°-2×135°=90°$。
5. 在△PAB中，根据三角形内角和为180°，得$∠APB=180°-(∠PAB+∠PBA)=180°-90°=90°$。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，三角形内角和定理
【点评】
本题是利用轴对称解决线段和最值的典型题目，核心是通过作对称点将折线段和的最小值转化为两点之间线段最短，再结合角度的等量代换和三角形内角和公式求解所求角度，需要灵活运用轴对称性质和三角形角度计算规律。
【难度系数】
0.6
要使△PAB的周长最小，即PA+AB+PB的和最小，根据轴对称的性质，我们可以通过作点P关于OM、ON的对称点，将三条线段的和转化为两点之间的线段长度（两点之间线段最短），得到周长最小时A、B的位置；再利用轴对称对应角相等的性质，结合三角形内角和定理、已知的∠MON=45°，逐步推导求出∠APB的度数。
【解析】
1. 分别作点P关于OM的对称点$P_1$，关于ON的对称点$P_2$，连接$P_1P_2$，与OM交于点A，与ON交于点B，此时△PAB的周长最小，最小值为$P_1P_2$的长度（依据：两点之间线段最短）。
2. 由轴对称的性质可得：$∠P_1AM=∠PAM$，$∠P_2BN=∠PBN$，因此$∠OAB=∠P_1AM$，$∠OBA=∠P_2BN$。
3. 在△OAB中，$∠MON=45°$，根据三角形内角和为180°，得$∠OAB+∠OBA=180°-∠MON=180°-45°=135°$。
4. 因此$∠PAM+∠PBN=∠OAB+∠OBA=135°$，则$∠PAB+∠PBA=(180°-2∠OAB)+(180°-2∠OBA)=360°-2(∠OAB+∠OBA)=360°-2×135°=90°$。
5. 在△PAB中，根据三角形内角和为180°，得$∠APB=180°-(∠PAB+∠PBA)=180°-90°=90°$。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，三角形内角和定理
【点评】
本题是利用轴对称解决线段和最值的典型题目，核心是通过作对称点将折线段和的最小值转化为两点之间线段最短，再结合角度的等量代换和三角形内角和公式求解所求角度，需要灵活运用轴对称性质和三角形角度计算规律。
【难度系数】
0.6
7. [整体思想][2024·淮南期末]如图，已知$∠ AOB=20°$，$P$，$N$分别是射线$OB$，$OA$上的定点，$M$为射线$OA$上一动点，$Q$为射线$OB$上一动点.当$PM+MQ+QN$的值最小时，$∠ AMQ - ∠ ONQ$的度数为（
A.$40°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$10°$
A
）A.$40°$
B.$30°$
C.$20°$
D.$10°$
答案
7.A
解析
【分析】
这是典型的多条线段和最小的最值问题，解题思路如下：
1. 转化线段：要让$PM+MQ+QN$最小，我们利用轴对称将不在同一直线的线段转化为共线线段：作定点$P$关于$OA$的对称点$P'$，则$PM=P'M$；作定点$N$关于$OB$的对称点$N'$，则$QN=QN'$，此时$PM+MQ+QN=P'M+MQ+QN'$。
2. 确定最值位置：根据“两点之间线段最短”，当$P'、M、Q、N'$四点共线时，$P'M+MQ+QN'$的长度等于$P'N'$，为最小值，此时$P'N'$与$OA、OB$的交点就是所求的$M、Q$。
3. 角度推导：利用轴对称的等角性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可算出$∠AMQ$与$∠ONQ$的差值。
【解析】
解：①作点$P$关于$OA$的对称点$P'$，点$N$关于$OB$的对称点$N'$，连接$P'N'$，分别交$OA、OB$于点$M、Q$，此时$PM+MQ+QN$的值最小，依据是两点之间线段最短。
②由轴对称性质得：$∠ONQ=∠ON'Q$，$∠P'OA=∠AOB=20°$，$∠N'OB=∠AOB=20°$。
③根据三角形外角性质：
$∠AMQ$是$△ OMQ$的外角，所以$∠AMQ = ∠AOB + ∠OQM = 20° + ∠OQM$；
又$∠OQM$是$△ ON'Q$的外角，所以$∠OQM = ∠N'OB + ∠ON'Q = 20° + ∠ON'Q$，结合$∠ON'Q=∠ONQ$，得$∠OQM=20°+∠ONQ$。
④把$∠OQM$代入$∠AMQ$的表达式：
$∠AMQ = 20° + 20° + ∠ONQ = 40° + ∠ONQ$
移项得：$∠AMQ - ∠ONQ = 40°$。
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，三角形外角性质
【点评】
本题将最短路径问题和角度计算结合，核心是通过轴对称完成线段的转化，找到对应最值的动点位置，再灵活运用角度的等量代换即可求解，需要学生熟练掌握轴对称性质和三角形外角定理的应用。
【难度系数】
0.6
这是典型的多条线段和最小的最值问题，解题思路如下：
1. 转化线段：要让$PM+MQ+QN$最小，我们利用轴对称将不在同一直线的线段转化为共线线段：作定点$P$关于$OA$的对称点$P'$，则$PM=P'M$；作定点$N$关于$OB$的对称点$N'$，则$QN=QN'$，此时$PM+MQ+QN=P'M+MQ+QN'$。
2. 确定最值位置：根据“两点之间线段最短”，当$P'、M、Q、N'$四点共线时，$P'M+MQ+QN'$的长度等于$P'N'$，为最小值，此时$P'N'$与$OA、OB$的交点就是所求的$M、Q$。
3. 角度推导：利用轴对称的等角性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的性质，即可算出$∠AMQ$与$∠ONQ$的差值。
【解析】
解：①作点$P$关于$OA$的对称点$P'$，点$N$关于$OB$的对称点$N'$，连接$P'N'$，分别交$OA、OB$于点$M、Q$，此时$PM+MQ+QN$的值最小，依据是两点之间线段最短。
②由轴对称性质得：$∠ONQ=∠ON'Q$，$∠P'OA=∠AOB=20°$，$∠N'OB=∠AOB=20°$。
③根据三角形外角性质：
$∠AMQ$是$△ OMQ$的外角，所以$∠AMQ = ∠AOB + ∠OQM = 20° + ∠OQM$；
又$∠OQM$是$△ ON'Q$的外角，所以$∠OQM = ∠N'OB + ∠ON'Q = 20° + ∠ON'Q$，结合$∠ON'Q=∠ONQ$，得$∠OQM=20°+∠ONQ$。
④把$∠OQM$代入$∠AMQ$的表达式：
$∠AMQ = 20° + 20° + ∠ONQ = 40° + ∠ONQ$
移项得：$∠AMQ - ∠ONQ = 40°$。
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，三角形外角性质
【点评】
本题将最短路径问题和角度计算结合，核心是通过轴对称完成线段的转化，找到对应最值的动点位置，再灵活运用角度的等量代换即可求解，需要学生熟练掌握轴对称性质和三角形外角定理的应用。
【难度系数】
0.6
8.[新课标—情境题]某班举行文艺晚会，桌子摆成两直排(如图中的OA，OB)，OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先到OA桌面上拿橘子，再到OB桌面上拿糖果，然后回到D处座位上.请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短.
答案
解：
① 作点C关于直线OA的对称点$C_1$；
② 作点D关于直线OB的对称点$D_1$；
③ 连接$C_1D_1$，分别交OA于点P，交OB于点Q；
④ 连接CP、DQ。
则小明沿路线$C \to P \to Q \to D$行走，所走的总路程最短。
① 作点C关于直线OA的对称点$C_1$；
② 作点D关于直线OB的对称点$D_1$；
③ 连接$C_1D_1$，分别交OA于点P，交OB于点Q；
④ 连接CP、DQ。
则小明沿路线$C \to P \to Q \to D$行走，所走的总路程最短。
解析
【分析】
这是典型的折线段最短路径问题，核心思路是通过轴对称将折线路径转化为直线路径，结合“两点之间线段最短”求解。首先明确总路程为拿橘子的点P到C的距离+P到拿糖果的点Q的距离+Q到D的距离，即$CP+PQ+QD$。根据轴对称性质，直线上任意一点到该直线同侧点和其对称点的距离相等，因此我们可以作C关于OA的对称点、D关于OB的对称点，将CP、DQ分别转化为对称点到P、Q的距离，此时总路程可转化为两个对称点之间的线段长度，此时路径最短。
【解析】
① 作点C关于直线OA的对称点$C_1$，根据轴对称性质，对OA上任意一点P，均满足$CP=C_1P$；
② 作点D关于直线OB的对称点$D_1$，根据轴对称性质，对OB上任意一点Q，均满足$DQ=D_1Q$；
③ 连接$C_1D_1$，分别交OA于点P，交OB于点Q；
④ 连接$CP$、$DQ$，此时总路程$CP+PQ+QD=C_1P+PQ+QD_1=C_1D_1$，根据两点之间线段最短，此时总路程最短。
【答案】
小明沿路线$C \to P \to Q \to D$行走，所走的总路程最短。
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 两点之间线段最短
3. 最短路径作图
【点评】
本题结合生活情境考查轴对称的实际应用，解题关键是掌握“对称转化”的思想，将分散的多段折线路径转化为两点之间的线段，这类问题是几何最值的基础题型，在生活场景中应用广泛，需熟练掌握对称点的作图方法和转化逻辑。
【难度系数】
0.7
这是典型的折线段最短路径问题，核心思路是通过轴对称将折线路径转化为直线路径，结合“两点之间线段最短”求解。首先明确总路程为拿橘子的点P到C的距离+P到拿糖果的点Q的距离+Q到D的距离，即$CP+PQ+QD$。根据轴对称性质，直线上任意一点到该直线同侧点和其对称点的距离相等，因此我们可以作C关于OA的对称点、D关于OB的对称点，将CP、DQ分别转化为对称点到P、Q的距离，此时总路程可转化为两个对称点之间的线段长度，此时路径最短。
【解析】
① 作点C关于直线OA的对称点$C_1$，根据轴对称性质，对OA上任意一点P，均满足$CP=C_1P$；
② 作点D关于直线OB的对称点$D_1$，根据轴对称性质，对OB上任意一点Q，均满足$DQ=D_1Q$；
③ 连接$C_1D_1$，分别交OA于点P，交OB于点Q；
④ 连接$CP$、$DQ$，此时总路程$CP+PQ+QD=C_1P+PQ+QD_1=C_1D_1$，根据两点之间线段最短，此时总路程最短。
【答案】
小明沿路线$C \to P \to Q \to D$行走，所走的总路程最短。
【知识点】
1. 轴对称的性质
2. 两点之间线段最短
3. 最短路径作图
【点评】
本题结合生活情境考查轴对称的实际应用，解题关键是掌握“对称转化”的思想，将分散的多段折线路径转化为两点之间的线段，这类问题是几何最值的基础题型，在生活场景中应用广泛，需熟练掌握对称点的作图方法和转化逻辑。
【难度系数】
0.7
