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1. [2025·阜阳太和期末]如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AC=6$，$BC=8$，$AB=10$。如果点$D$，$E$分别为$BC$，$AB$上的动点，那么$AD+DE$的最小值是（
A.$8.4$
B.$9.6$
C.$10$
D.$10.8$
B
）A.$8.4$
B.$9.6$
C.$10$
D.$10.8$
答案
1.B
解析
【分析】
本题属于利用轴对称求线段和最小值的典型问题，解题思路如下：①我们需要将两条折线段AD、DE转化为可以直接求最小值的线段，由于点D在BC上运动，因此作点A关于直线BC的对称点A'，根据轴对称的性质，AD恒等于A'D，因此AD+DE可转化为A'D+DE；②根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，当A'、D、E三点共线，且A'E垂直于AB时，A'D+DE的和最小，最小值就是点A'到直线AB的垂线段A'E的长度；③最后利用三角形面积的两种计算方法即可求出A'E的长度。
【解析】
解：作点A关于直线BC的对称点A'，
∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴点A'在AC的延长线上，且A'C=AC=6，故AA'=AC+A'C=12。
过点A'作A'E⊥AB，垂足为E，A'E交BC于点D，此时AD+DE=A'D+DE=A'E，根据垂线段最短可知，A'E的长度就是AD+DE的最小值。
利用等面积法计算A'E的长度：
△ABA'的面积可通过两种方式计算：
1. 以AA'为底，BC为高：$S_{△ ABA'}=\frac{1}{2} × AA' × BC = \frac{1}{2} × 12 × 8 = 48$
2. 以AB为底，A'E为高：$S_{△ ABA'}=\frac{1}{2} × AB × A'E = \frac{1}{2} × 10 × A'E$
联立两个式子可得：$\frac{1}{2} × 10 × A'E = 48$
解得：$A'E = \frac{48}{5}=9.6$
即AD+DE的最小值为9.6。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质，垂线段最短，三角形面积计算
【点评】
本题考查最短路径问题的求解，核心是通过轴对称将折线段的和转化为点到直线的距离，结合等面积法计算线段长度，这类问题的关键是找准对称点，明确取最小值的情况。
【难度系数】
0.6
本题属于利用轴对称求线段和最小值的典型问题，解题思路如下：①我们需要将两条折线段AD、DE转化为可以直接求最小值的线段，由于点D在BC上运动，因此作点A关于直线BC的对称点A'，根据轴对称的性质，AD恒等于A'D，因此AD+DE可转化为A'D+DE；②根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，当A'、D、E三点共线，且A'E垂直于AB时，A'D+DE的和最小，最小值就是点A'到直线AB的垂线段A'E的长度；③最后利用三角形面积的两种计算方法即可求出A'E的长度。
【解析】
解：作点A关于直线BC的对称点A'，
∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∴点A'在AC的延长线上，且A'C=AC=6，故AA'=AC+A'C=12。
过点A'作A'E⊥AB，垂足为E，A'E交BC于点D，此时AD+DE=A'D+DE=A'E，根据垂线段最短可知，A'E的长度就是AD+DE的最小值。
利用等面积法计算A'E的长度：
△ABA'的面积可通过两种方式计算：
1. 以AA'为底，BC为高：$S_{△ ABA'}=\frac{1}{2} × AA' × BC = \frac{1}{2} × 12 × 8 = 48$
2. 以AB为底，A'E为高：$S_{△ ABA'}=\frac{1}{2} × AB × A'E = \frac{1}{2} × 10 × A'E$
联立两个式子可得：$\frac{1}{2} × 10 × A'E = 48$
解得：$A'E = \frac{48}{5}=9.6$
即AD+DE的最小值为9.6。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质，垂线段最短，三角形面积计算
【点评】
本题考查最短路径问题的求解，核心是通过轴对称将折线段的和转化为点到直线的距离，结合等面积法计算线段长度，这类问题的关键是找准对称点，明确取最小值的情况。
【难度系数】
0.6
2. [2024·宣城期末]如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=66°$，$BD$平分$∠ ABC$，$P$为线段$BD$上一动点，$Q$为边$AB$上一动点，当$AP+PQ$的值最小时，$∠ APQ$的度数为（
A.$33°$
B.$76°$
C.$57°$
D.$66°$
D
）A.$33°$
B.$76°$
C.$57°$
D.$66°$
答案
2.D
解析
【分析】
这是轴对称解决线段最值的典型问题，解题思路如下：①首先BD是∠ABC的角平分线，根据角平分线的轴对称性，点A关于BD的对称点一定落在BC边上；②利用轴对称性质将AP转化为对称点到P的线段，此时AP+PQ可转化为两条共端点线段之和，根据垂线段最短，当两线段共线且与AB垂直时，线段和最小；③最后结合轴对称性质、三角形内角和即可计算出∠APQ的度数。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，∠ABC=66°，
∴$∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=33°$。
作点A关于BD的对称点$A'$，由角平分线的轴对称性可知$A'$落在BC边上，连接$A'P$，根据轴对称性质得$AP=A'P$，
∴$AP+PQ=A'P+PQ$。
根据垂线段最短，过$A'$作$A'Q⊥ AB$于Q，交BD于P，此时$AP+PQ$的值最小，且$∠ AQP=90°$。
由轴对称性质得$∠ BAP=∠ BA'P$，
在$Rt△ A'QB$中，$∠ A'QB=90°$，$∠ A'BQ=66°$，
∴$∠ BA'P=180°-90°-66°=24°$，即$∠ BAP=24°$。
在$Rt△ AQP$中，$∠ AQP=90°$，$∠ QAP=24°$，
∴$∠ APQ=180°-90°-24°=66°$。
【答案】D
【知识点】
轴对称的性质，垂线段最短，角平分线的性质
【点评】
本题将最短路径问题和角度计算结合，核心是利用角平分线的对称性转化线段，明确垂线段最短是确定动点位置的关键，能很好地考查几何转化思维。
【难度系数】
0.6
这是轴对称解决线段最值的典型问题，解题思路如下：①首先BD是∠ABC的角平分线，根据角平分线的轴对称性，点A关于BD的对称点一定落在BC边上；②利用轴对称性质将AP转化为对称点到P的线段，此时AP+PQ可转化为两条共端点线段之和，根据垂线段最短，当两线段共线且与AB垂直时，线段和最小；③最后结合轴对称性质、三角形内角和即可计算出∠APQ的度数。
【解析】
解：
∵BD平分∠ABC，∠ABC=66°，
∴$∠ ABD=∠ CBD=\frac{1}{2}∠ ABC=33°$。
作点A关于BD的对称点$A'$，由角平分线的轴对称性可知$A'$落在BC边上，连接$A'P$，根据轴对称性质得$AP=A'P$，
∴$AP+PQ=A'P+PQ$。
根据垂线段最短，过$A'$作$A'Q⊥ AB$于Q，交BD于P，此时$AP+PQ$的值最小，且$∠ AQP=90°$。
由轴对称性质得$∠ BAP=∠ BA'P$，
在$Rt△ A'QB$中，$∠ A'QB=90°$，$∠ A'BQ=66°$，
∴$∠ BA'P=180°-90°-66°=24°$，即$∠ BAP=24°$。
在$Rt△ AQP$中，$∠ AQP=90°$，$∠ QAP=24°$，
∴$∠ APQ=180°-90°-24°=66°$。
【答案】D
【知识点】
轴对称的性质，垂线段最短，角平分线的性质
【点评】
本题将最短路径问题和角度计算结合，核心是利用角平分线的对称性转化线段，明确垂线段最短是确定动点位置的关键，能很好地考查几何转化思维。
【难度系数】
0.6
