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1. [2024·常州中考]如图,在纸上画有∠AOB,将两把直尺按图示摆放,直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上,则 (
A.$d_1$与$d_2$一定相等
B.$d_1$与$d_2$一定不相等
C.$l_1$与$l_2$一定相等
D.$l_1$与$l_2$一定不相等
A
)A.$d_1$与$d_2$一定相等
B.$d_1$与$d_2$一定不相等
C.$l_1$与$l_2$一定相等
D.$l_1$与$l_2$一定不相等
答案
1.A
解析
【分析】首先回忆角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。先明确图中各线段的几何意义：$d_1$是点P到$∠ AOB$的边OB的距离，$d_2$是点P到$∠ AOB$的边OA的距离，已知点P在$∠ AOB$的平分线上，结合角平分线的性质即可判断$d_1$和$d_2$的关系；而$l_1$、$l_2$是直尺上对应线段的长度，没有条件能证明二者一定相等或一定不等，可直接排除相关选项。
【解析】根据角平分线的性质：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。
由题图可知，$d_1$是点P到OB的距离，$d_2$是点P到OA的距离，
已知点P在$∠ AOB$的平分线上，因此点P到OA、OB的距离相等，即$d_1=d_2$，故A选项正确，B选项错误；
$l_1$、$l_2$为两把直尺上标注的线段长度，没有对应定理或条件能推出二者一定相等或一定不等，因此C、D选项错误。
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【点评】本题考查角平分线性质的基础应用，解题关键是准确识别$d_1$、$d_2$是角平分线上的点到角两边的距离，结合性质即可快速得出答案。
【难度系数】0.9
【解析】根据角平分线的性质：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。
由题图可知，$d_1$是点P到OB的距离，$d_2$是点P到OA的距离，
已知点P在$∠ AOB$的平分线上，因此点P到OA、OB的距离相等，即$d_1=d_2$，故A选项正确，B选项错误；
$l_1$、$l_2$为两把直尺上标注的线段长度，没有对应定理或条件能推出二者一定相等或一定不等，因此C、D选项错误。
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【点评】本题考查角平分线性质的基础应用，解题关键是准确识别$d_1$、$d_2$是角平分线上的点到角两边的距离，结合性质即可快速得出答案。
【难度系数】0.9
2.[与T8互为孪生题]如图,点P在∠AOB的平分线上,点P到OA边的距离等于5,D是OB边上任意一点,则PD的最小值是（
A.6
B.5
C.4
D.3
B
）A.6
B.5
C.4
D.3
答案
2.B
解析
【分析】
解题思路分两步走：第一步，回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知P在∠AOB的平分线上，到OA的距离为5，可推出P到OB的距离也为5；第二步，回忆点到直线的距离的性质：点到直线的所有连线中，垂线段最短，因此OB上任意点D到P的最短距离就是P到OB的垂线段长度，即可得到PD的最小值。
【解析】
∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
∴根据角平分线的性质，点P到OB边的距离为5。
又
∵点到直线的连线中，垂线段最短，D是OB边上的任意一点，
∴PD的最小值就是点P到OB边的垂线段长度，即PD的最小值为5。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短
【点评】
本题是基础应用类题目，将角平分线的性质和垂线段最短的性质结合考查，解题的关键是明确PD的最小值即为点P到OB边的距离，熟练掌握两个基本性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
解题思路分两步走：第一步，回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知P在∠AOB的平分线上，到OA的距离为5，可推出P到OB的距离也为5；第二步，回忆点到直线的距离的性质：点到直线的所有连线中，垂线段最短，因此OB上任意点D到P的最短距离就是P到OB的垂线段长度，即可得到PD的最小值。
【解析】
∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
∴根据角平分线的性质，点P到OB边的距离为5。
又
∵点到直线的连线中，垂线段最短，D是OB边上的任意一点，
∴PD的最小值就是点P到OB边的垂线段长度，即PD的最小值为5。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短
【点评】
本题是基础应用类题目，将角平分线的性质和垂线段最短的性质结合考查，解题的关键是明确PD的最小值即为点P到OB边的距离，熟练掌握两个基本性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
3. [2024·合肥包河区期末]如图，OM是$∠ AOB$的平分线，C是OM上一点，$CD ⊥ OA$，$CE ⊥ OB$，垂足分别为点D，E. F是OM上一点（不与点C重合），连接DF，EF. 求证：$∠ DFO=∠ EFO$. 
答案
证明：
∵ OM是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴ CD=CE，∠ODC=∠OEC=90°。
在Rt△ODC和Rt△OEC中，
$\{\begin{array}{l} OC=OC \\ CD=CE \end{array} $
∴ Rt△ODC ≌ Rt△OEC（HL），
∴ OD=OE。
∵ OM平分∠AOB，
∴ ∠DOF=∠EOF。
在△ODF和△OEF中，
$\{\begin{array}{l} OD=OE \\ ∠DOF=∠EOF \\ OF=OF \end{array} $
∴ △ODF ≌ △OEF（SAS），
∴ ∠DFO=∠EFO。
∵ OM是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴ CD=CE，∠ODC=∠OEC=90°。
在Rt△ODC和Rt△OEC中，
$\{\begin{array}{l} OC=OC \\ CD=CE \end{array} $
∴ Rt△ODC ≌ Rt△OEC（HL），
∴ OD=OE。
∵ OM平分∠AOB，
∴ ∠DOF=∠EOF。
在△ODF和△OEF中，
$\{\begin{array}{l} OD=OE \\ ∠DOF=∠EOF \\ OF=OF \end{array} $
∴ △ODF ≌ △OEF（SAS），
∴ ∠DFO=∠EFO。
解析
【分析】
要证明∠DFO=∠EFO，可通过证明两个角所在的三角形全等实现。首先利用角平分线的性质得到CD=CE，结合公共边OC，用HL判定Rt△ODC和Rt△OEC全等，得到OD=OE；再结合角平分线得到∠DOF=∠EOF，加上公共边OF，用SAS判定△ODF和△OEF全等，根据全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
证明：
∵ OM是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴ CD=CE，∠ODC=∠OEC=90°。
在Rt△ODC和Rt△OEC中，
$\{\begin{array}{l} OC=OC \\ CD=CE \end{array} $
∴ Rt△ODC ≌ Rt△OEC（HL），
∴ OD=OE。
∵ OM平分∠AOB，
∴ ∠DOF=∠EOF。
在△ODF和△OEF中，
$\{\begin{array}{l} OD=OE \\ ∠DOF=∠EOF \\ OF=OF \end{array} $
∴ △ODF ≌ △OEF（SAS），
∴ ∠DFO=∠EFO。
【答案】
∠DFO=∠EFO
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于角平分线与全等三角形的综合基础题，解题的关键是先通过直角三角形全等得到OD=OE的过渡条件，再结合角平分线性质和公共边证明目标三角形全等，解题时要注意挖掘公共边、公共角这类隐含条件。
【难度系数】
0.7
要证明∠DFO=∠EFO，可通过证明两个角所在的三角形全等实现。首先利用角平分线的性质得到CD=CE，结合公共边OC，用HL判定Rt△ODC和Rt△OEC全等，得到OD=OE；再结合角平分线得到∠DOF=∠EOF，加上公共边OF，用SAS判定△ODF和△OEF全等，根据全等三角形对应角相等即可得证。
【解析】
证明：
∵ OM是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴ CD=CE，∠ODC=∠OEC=90°。
在Rt△ODC和Rt△OEC中，
$\{\begin{array}{l} OC=OC \\ CD=CE \end{array} $
∴ Rt△ODC ≌ Rt△OEC（HL），
∴ OD=OE。
∵ OM平分∠AOB，
∴ ∠DOF=∠EOF。
在△ODF和△OEF中，
$\{\begin{array}{l} OD=OE \\ ∠DOF=∠EOF \\ OF=OF \end{array} $
∴ △ODF ≌ △OEF（SAS），
∴ ∠DFO=∠EFO。
【答案】
∠DFO=∠EFO
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于角平分线与全等三角形的综合基础题，解题的关键是先通过直角三角形全等得到OD=OE的过渡条件，再结合角平分线性质和公共边证明目标三角形全等，解题时要注意挖掘公共边、公共角这类隐含条件。
【难度系数】
0.7
4. 如图,已知$DB ⊥ AB, DC ⊥ AC, DB=DC$.若$∠ BAC=80°$,则$∠ BAD=$ (
A.$10°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$
D
)A.$10°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$40°$
答案
4.D
解析
【分析】
首先梳理已知条件：DB⊥AB、DC⊥AC说明DB是点D到边AB的距离，DC是点D到边AC的距离，又给出DB=DC，结合角平分线的判定定理，可推出AD是∠BAC的角平分线，角平分线会把对应角分成两个大小相等的小角，因此∠BAD等于∠BAC的一半，代入已知的∠BAC的度数即可求出结果。
【解析】
解：
∵DB⊥AB，DC⊥AC，且DB=DC，
∴AD平分∠BAC（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，
又
∵$∠ BAC=80°$，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}×80°=40°$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定定理，角平分线的定义
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查角平分线判定定理的直接运用，解题的关键是结合已知的垂直、线段相等的条件，快速判断出AD是∠BAC的角平分线，熟练掌握角平分线的判定规则就能快速求解。
【难度系数】
0.8
首先梳理已知条件：DB⊥AB、DC⊥AC说明DB是点D到边AB的距离，DC是点D到边AC的距离，又给出DB=DC，结合角平分线的判定定理，可推出AD是∠BAC的角平分线，角平分线会把对应角分成两个大小相等的小角，因此∠BAD等于∠BAC的一半，代入已知的∠BAC的度数即可求出结果。
【解析】
解：
∵DB⊥AB，DC⊥AC，且DB=DC，
∴AD平分∠BAC（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}∠ BAC$，
又
∵$∠ BAC=80°$，
∴$∠ BAD=\frac{1}{2}×80°=40°$。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定定理，角平分线的定义
【点评】
本题是基础应用类题目，核心考查角平分线判定定理的直接运用，解题的关键是结合已知的垂直、线段相等的条件，快速判断出AD是∠BAC的角平分线，熟练掌握角平分线的判定规则就能快速求解。
【难度系数】
0.8
5.如图,用一把直尺的一边压住射线OB,再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线OA,并且与第一把直尺交于点P,则射线OP是∠AOB的平分线的依据是
.
.
答案
5.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
解析
【分析】
首先明确两把完全相同的直尺宽度是相等的，点P到OA的距离等于上方直尺的宽度，点P到OB的距离等于下方直尺的宽度，因此可得点P到∠AOB两边的距离相等。再结合角平分线的判定定理，即可推出射线OP是∠AOB的平分线的依据。
【解析】
由于两把直尺完全相同，因此它们的宽度相等，即点P到射线OA的距离与点P到射线OB的距离相等，且点P在∠AOB的内部。根据角平分线的判定定理，可得出射线OP是∠AOB的平分线，因此对应的依据就是角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
【答案】
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
【知识点】
角平分线的判定、点到直线的距离
【点评】
本题结合生活中的直尺工具考查角平分线的判定定理，属于基础应用题，解题关键是理解直尺的宽度对应点到角两边的距离，将实际场景转化为几何条件即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先明确两把完全相同的直尺宽度是相等的，点P到OA的距离等于上方直尺的宽度，点P到OB的距离等于下方直尺的宽度，因此可得点P到∠AOB两边的距离相等。再结合角平分线的判定定理，即可推出射线OP是∠AOB的平分线的依据。
【解析】
由于两把直尺完全相同，因此它们的宽度相等，即点P到射线OA的距离与点P到射线OB的距离相等，且点P在∠AOB的内部。根据角平分线的判定定理，可得出射线OP是∠AOB的平分线，因此对应的依据就是角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
【答案】
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
【知识点】
角平分线的判定、点到直线的距离
【点评】
本题结合生活中的直尺工具考查角平分线的判定定理，属于基础应用题，解题关键是理解直尺的宽度对应点到角两边的距离，将实际场景转化为几何条件即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 如图，E是BC的中点，$AB⊥BC$，$DC⊥BC$，AE平分$∠BAD$.下列结论错误的是 （
A.$∠AED=90°$
B.$∠ADE=∠CDE$
C.$DE=BE$
D.$AD=AB+CD$
第6题图 第7题图
C
）A.$∠AED=90°$
B.$∠ADE=∠CDE$
C.$DE=BE$
D.$AD=AB+CD$
第6题图 第7题图
答案
6.C
解析
【分析】
遇到角平分线和垂直的条件，可通过作辅助线构造角平分线上的点到角两边的距离，结合角平分线的性质与判定求解。首先过E作EF⊥AD于F，先由角平分线性质得BE=EF，结合E是BC中点推出EC=EF，证得DE平分∠ADC；再通过证明直角三角形全等推导线段和角的关系，逐一判断各选项即可。
【解析】
过点E作$EF⊥ AD$，垂足为F。
1. 判定B选项：
∵AE平分$∠ BAD$，$AB⊥ BC$，$EF⊥ AD$，
根据角平分线的性质，得$BE=EF$。
∵E是BC的中点，
∴$BE=EC$，
∴$EC=EF$。
又
∵$DC⊥ BC$，$EF⊥ AD$，
根据角平分线的判定，得DE平分$∠ ADC$，
∴$∠ ADE=∠ CDE$，B选项结论正确，不符合题意。
2. 判定D选项：
在$Rt△ ABE$和$Rt△ AFE$中：
$\begin{cases} AE=AE \\ BE=EF \end{cases}$
∴$Rt△ ABE≌ Rt△ AFE(HL)$，
∴$AB=AF$。
同理可证$Rt△ DCE≌ Rt△ DFE(HL)$，
∴$CD=DF$。
∴$AD=AF+FD=AB+CD$，D选项结论正确，不符合题意。
3. 判定A选项：
由全等得$∠ AEB=∠ AEF$，$∠ DEC=∠ DEF$，
∵$∠ AEB+∠ AEF+∠ DEC+∠ DEF=180°$，
∴$2(∠ AEF+∠ DEF)=180°$，即$∠ AED=∠ AEF+∠ DEF=90°$，A选项结论正确，不符合题意。
4. 判定C选项：
在$Rt△ DEF$中，DE是斜边，EF是直角边，
∴$DE＞EF$，
又
∵$EF=BE$，
∴$DE＞BE$，C选项结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质与判定；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质的综合应用题，作垂直构造辅助线是解题的突破口，需要熟练掌握角平分线性质和判定的应用，能通过全等三角形实现线段和角的等量转化。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线和垂直的条件，可通过作辅助线构造角平分线上的点到角两边的距离，结合角平分线的性质与判定求解。首先过E作EF⊥AD于F，先由角平分线性质得BE=EF，结合E是BC中点推出EC=EF，证得DE平分∠ADC；再通过证明直角三角形全等推导线段和角的关系，逐一判断各选项即可。
【解析】
过点E作$EF⊥ AD$，垂足为F。
1. 判定B选项：
∵AE平分$∠ BAD$，$AB⊥ BC$，$EF⊥ AD$，
根据角平分线的性质，得$BE=EF$。
∵E是BC的中点，
∴$BE=EC$，
∴$EC=EF$。
又
∵$DC⊥ BC$，$EF⊥ AD$，
根据角平分线的判定，得DE平分$∠ ADC$，
∴$∠ ADE=∠ CDE$，B选项结论正确，不符合题意。
2. 判定D选项：
在$Rt△ ABE$和$Rt△ AFE$中：
$\begin{cases} AE=AE \\ BE=EF \end{cases}$
∴$Rt△ ABE≌ Rt△ AFE(HL)$，
∴$AB=AF$。
同理可证$Rt△ DCE≌ Rt△ DFE(HL)$，
∴$CD=DF$。
∴$AD=AF+FD=AB+CD$，D选项结论正确，不符合题意。
3. 判定A选项：
由全等得$∠ AEB=∠ AEF$，$∠ DEC=∠ DEF$，
∵$∠ AEB+∠ AEF+∠ DEC+∠ DEF=180°$，
∴$2(∠ AEF+∠ DEF)=180°$，即$∠ AED=∠ AEF+∠ DEF=90°$，A选项结论正确，不符合题意。
4. 判定C选项：
在$Rt△ DEF$中，DE是斜边，EF是直角边，
∴$DE＞EF$，
又
∵$EF=BE$，
∴$DE＞BE$，C选项结论错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质与判定；全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是角平分线性质的综合应用题，作垂直构造辅助线是解题的突破口，需要熟练掌握角平分线性质和判定的应用，能通过全等三角形实现线段和角的等量转化。
【难度系数】
0.7
7. [教材P142练习第2题改编]如图,在$△ ABC$中,AD是中线,$DE ⊥ AB$于点E,$DF ⊥ AC$于点F,且$DE=DF$.有下列结论:①$∠ BDE=∠ CDF$;②$∠ 1=∠ 2$;③AB上任意一点与AC上任意一点到点D的距离相等.其中正确的结论有
①②
.(只填序号)答案
7.①②
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：AD是△ABC的中线可得BD=CD，DE、DF分别垂直AB、AC且DE=DF。首先根据角平分线的判定定理可判断AD是否为角平分线，验证结论②；再利用HL判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，结合全等三角形的性质判断结论①；最后结合距离的定义分析结论③，明确“到两边的距离相等”不等于“两边上任意点到D的距离相等”，即可得出正确结论。
【解析】
1. 分析已知条件：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD；
∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF。
2. 判断结论②：
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可得AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，故②正确。
3. 判断结论①：
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ DE=DF\end{array} $
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
根据全等三角形对应角相等，可得∠BDE=∠CDF，故①正确。
4. 判断结论③：
DE=DF仅说明点D到AB、AC两边的垂线段长度相等，并非AB、AC上任意一点到点D的距离都相等，例如点A到D的距离远大于点F到D的距离，故③错误。
综上，正确的结论是①②。
【答案】
①②
【知识点】
角平分线的判定，直角三角形全等判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线判定和全等三角形的基础应用题，解题时要注意准确理解概念，区分“点到直线的距离”和“两点间的距离”，避免概念混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：AD是△ABC的中线可得BD=CD，DE、DF分别垂直AB、AC且DE=DF。首先根据角平分线的判定定理可判断AD是否为角平分线，验证结论②；再利用HL判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，结合全等三角形的性质判断结论①；最后结合距离的定义分析结论③，明确“到两边的距离相等”不等于“两边上任意点到D的距离相等”，即可得出正确结论。
【解析】
1. 分析已知条件：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD；
∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF。
2. 判断结论②：
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可得AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，故②正确。
3. 判断结论①：
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ DE=DF\end{array} $
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
根据全等三角形对应角相等，可得∠BDE=∠CDF，故①正确。
4. 判断结论③：
DE=DF仅说明点D到AB、AC两边的垂线段长度相等，并非AB、AC上任意一点到点D的距离都相等，例如点A到D的距离远大于点F到D的距离，故③错误。
综上，正确的结论是①②。
【答案】
①②
【知识点】
角平分线的判定，直角三角形全等判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是角平分线判定和全等三角形的基础应用题，解题时要注意准确理解概念，区分“点到直线的距离”和“两点间的距离”，避免概念混淆导致判断错误。
【难度系数】
0.7
