登录
8. [与 T2 互为孪生题]如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BD$为$∠ ABC$的平分线,过点$D$作直线$l // AB$,$P$为直线$l$上的一个动点.若$△ BCD$的面积为$16$,$BC=8$,则线段$AP$的最小值为
4
.答案
8.4
解析
【分析】
要找线段AP的最小值，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”，可知当AP垂直于直线l时，AP的长度最小。接下来结合已知条件推导点A到直线l的距离：首先利用△BCD的面积和BC的长度求出CD的长，再根据角平分线的性质得到点D到AB的距离，最后结合l//AB，利用平行线间距离处处相等即可求出AP的最小值。
【解析】
在Rt△BCD中，∠C=90°，已知$S_{△ BCD}=16$，$BC=8$，根据三角形面积公式：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × BC × CD$
代入已知条件得：$\frac{1}{2} × 8 × CD = 16$
解得$CD=4$。
∵BD是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴点D到BC的距离等于点D到AB的距离。
点D到BC的距离为CD的长度4，因此点D到AB的距离为4。
又
∵直线$l // AB$，平行线间的距离处处相等，
∴直线l与AB之间的距离为4，即点A到直线l的距离为4。
根据垂线段最短可知，当AP⊥l时，AP取得最小值，最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短，平行线的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线性质、垂线段最短和平行线的性质，解题的关键是先明确AP取最小值的情况，再通过线段关系转化求出对应距离，掌握基础几何性质是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.6
要找线段AP的最小值，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”，可知当AP垂直于直线l时，AP的长度最小。接下来结合已知条件推导点A到直线l的距离：首先利用△BCD的面积和BC的长度求出CD的长，再根据角平分线的性质得到点D到AB的距离，最后结合l//AB，利用平行线间距离处处相等即可求出AP的最小值。
【解析】
在Rt△BCD中，∠C=90°，已知$S_{△ BCD}=16$，$BC=8$，根据三角形面积公式：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × BC × CD$
代入已知条件得：$\frac{1}{2} × 8 × CD = 16$
解得$CD=4$。
∵BD是∠ABC的平分线，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴点D到BC的距离等于点D到AB的距离。
点D到BC的距离为CD的长度4，因此点D到AB的距离为4。
又
∵直线$l // AB$，平行线间的距离处处相等，
∴直线l与AB之间的距离为4，即点A到直线l的距离为4。
根据垂线段最短可知，当AP⊥l时，AP取得最小值，最小值为4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短，平行线的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线性质、垂线段最短和平行线的性质，解题的关键是先明确AP取最小值的情况，再通过线段关系转化求出对应距离，掌握基础几何性质是解决此类题的核心。
【难度系数】
0.6
9. 在$△ ABC$中，D是BC边上的点(不与点B，C重合)，连接AD.
(1) 如图
，当D是BC边上的中点时，$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=$
(2) 如图，当AD是$∠ BAC$的平分线时，设$AB=m$，$AC=n$，求$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}$的值；(用含$m$，$n$的式子表示)
(3) 如图，延长AD到点E，使得$AD=DE$，连接BE. 如果$AC=2$，$AB=4$，$S_{△ BDE}=6$，$S_{△ ABC}=9$，求证：AD平分$∠ BAC$.
(1) 如图
，当D是BC边上的中点时，$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=$$1:1$
；(2) 如图，当AD是$∠ BAC$的平分线时，设$AB=m$，$AC=n$，求$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}$的值；(用含$m$，$n$的式子表示)
(3) 如图，延长AD到点E，使得$AD=DE$，连接BE. 如果$AC=2$，$AB=4$，$S_{△ BDE}=6$，$S_{△ ABC}=9$，求证：AD平分$∠ BAC$.
答案
9.(1)$1:1$
(2)$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=\frac{m}{n}$
(3)证明略.
(2)$S_{△ ABD}:S_{△ ACD}=\frac{m}{n}$
(3)证明略.
解析
【分析】
(1) 求解两个三角形的面积比，观察可知△ABD和△ACD共享从A向BC作的高，根据三角形面积公式，同高的两个三角形面积比等于对应底的长度比，已知D是BC中点，BD=CD，因此可直接得出面积比。
(2) AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D向AB、AC作高，两条高长度相等，此时△ABD和△ACD的面积比就等于底边AB和AC的长度比，代入m、n即可得到结果。
(3) 首先由AD=DE，可知△ABD和△BDE等底同高，面积相等，先求出△ABD的面积，再结合△ABC的总面积算出△ACD的面积，得到二者的面积比；结合AB、AC的长度，可推导得出D到AB、AC的距离相等，根据角平分线的判定定理，即可证明AD平分∠BAC。
【解析】
(1) 过点A作AH⊥BC于点H。
∵ D是BC中点，
∴ BD=CD，
∵ $S_{△ABD}=\frac{1}{2} · BD · AH$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2} · CD · AH$，
∴ $S_{△ABD}:S_{△ACD}=BD:CD=1:1$。
(2) 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 根据角平分线的性质，得DE=DF，
∴ $S_{△ABD}=\frac{1}{2} · AB · DE=\frac{1}{2}m· DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2} · AC · DF=\frac{1}{2}n· DF$，
∴ $S_{△ABD}:S_{△ACD}=AB:AC=\frac{m}{n}$。
(3) 证明：
∵ AD=DE，△ABD和△BDE以AD、DE为底时，高均为点B到直线AE的垂线段长度，
∴ $S_{△ABD}=S_{△BDE}=6$，
∵ $S_{△ABC}=9$，
∴ $S_{△ACD}=S_{△ABC}-S_{△ABD}=9-6=3$，
∴ $S_{△ABD}:S_{△ACD}=6:3=2:1$，
又
∵ AB=4，AC=2，
∴ $AB:AC=4:2=2:1$，
设点D到AB的距离为$h_1$，到AC的距离为$h_2$，
则$S_{△ABD}=\frac{1}{2}· AB · h_1$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}· AC · h_2$，
∴ $\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}· AB · h_1}{\frac{1}{2}· AC · h_2}=\frac{AB· h_1}{AC· h_2}=\frac{4h_1}{2h_2}=\frac{2h_1}{h_2}=\frac{2}{1}$，
解得$h_1=h_2$，即点D到∠BAC两边AB、AC的距离相等，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得AD平分∠BAC。
【答案】
(1) $1:1$
(2) $\frac{m}{n}$
(3) AD平分∠BAC，证明成立。
【知识点】
三角形面积计算，角平分线的性质，角平分线的判定
【点评】
本题从基础到拓展，结合三角形面积公式考查角平分线的性质与判定，重点训练了面积法在几何证明中的应用，帮助理解面积比与线段比之间的转化关系，属于角平分线相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求解两个三角形的面积比，观察可知△ABD和△ACD共享从A向BC作的高，根据三角形面积公式，同高的两个三角形面积比等于对应底的长度比，已知D是BC中点，BD=CD，因此可直接得出面积比。
(2) AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D向AB、AC作高，两条高长度相等，此时△ABD和△ACD的面积比就等于底边AB和AC的长度比，代入m、n即可得到结果。
(3) 首先由AD=DE，可知△ABD和△BDE等底同高，面积相等，先求出△ABD的面积，再结合△ABC的总面积算出△ACD的面积，得到二者的面积比；结合AB、AC的长度，可推导得出D到AB、AC的距离相等，根据角平分线的判定定理，即可证明AD平分∠BAC。
【解析】
(1) 过点A作AH⊥BC于点H。
∵ D是BC中点，
∴ BD=CD，
∵ $S_{△ABD}=\frac{1}{2} · BD · AH$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2} · CD · AH$，
∴ $S_{△ABD}:S_{△ACD}=BD:CD=1:1$。
(2) 过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。
∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ 根据角平分线的性质，得DE=DF，
∴ $S_{△ABD}=\frac{1}{2} · AB · DE=\frac{1}{2}m· DE$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2} · AC · DF=\frac{1}{2}n· DF$，
∴ $S_{△ABD}:S_{△ACD}=AB:AC=\frac{m}{n}$。
(3) 证明：
∵ AD=DE，△ABD和△BDE以AD、DE为底时，高均为点B到直线AE的垂线段长度，
∴ $S_{△ABD}=S_{△BDE}=6$，
∵ $S_{△ABC}=9$，
∴ $S_{△ACD}=S_{△ABC}-S_{△ABD}=9-6=3$，
∴ $S_{△ABD}:S_{△ACD}=6:3=2:1$，
又
∵ AB=4，AC=2，
∴ $AB:AC=4:2=2:1$，
设点D到AB的距离为$h_1$，到AC的距离为$h_2$，
则$S_{△ABD}=\frac{1}{2}· AB · h_1$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}· AC · h_2$，
∴ $\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}· AB · h_1}{\frac{1}{2}· AC · h_2}=\frac{AB· h_1}{AC· h_2}=\frac{4h_1}{2h_2}=\frac{2h_1}{h_2}=\frac{2}{1}$，
解得$h_1=h_2$，即点D到∠BAC两边AB、AC的距离相等，
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得AD平分∠BAC。
【答案】
(1) $1:1$
(2) $\frac{m}{n}$
(3) AD平分∠BAC，证明成立。
【知识点】
三角形面积计算，角平分线的性质，角平分线的判定
【点评】
本题从基础到拓展，结合三角形面积公式考查角平分线的性质与判定，重点训练了面积法在几何证明中的应用，帮助理解面积比与线段比之间的转化关系，属于角平分线相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
10.选做题:请在A,B两题中任选一题作答,并写出完整的答题过程.
A:如图,在△ABC中,∠ABC=100°,CE平分∠ACB交AB于点E,点D在AC上,且∠CBD=20°.求证:
(1)BA是△CBD的外角平分线;
(2)DE平分∠BDA.
B:如图,△ABC的外角∠DAC的平分线交边BC的垂直平分线PQ于点P,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,连接PB,PC.
(1)试探究线段BD与CE之间的数量关系,并说明理由;
(2)若∠CAD=84°,∠APB=24°,求∠ACB的度数.
我选做题.(填"A"或"B")
A:如图,在△ABC中,∠ABC=100°,CE平分∠ACB交AB于点E,点D在AC上,且∠CBD=20°.求证:
(1)BA是△CBD的外角平分线;
(2)DE平分∠BDA.
B:如图,△ABC的外角∠DAC的平分线交边BC的垂直平分线PQ于点P,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,连接PB,PC.
(1)试探究线段BD与CE之间的数量关系,并说明理由;
(2)若∠CAD=84°,∠APB=24°,求∠ACB的度数.
我选做题.(填"A"或"B")
答案
10.A:证明:(1)$\because ∠ABC=100°,∠CBD=20°$,
$\therefore ∠PBA=180°-∠ABC=80°$,
$∠DBA=∠ABC-∠CBD=80°$,
$\therefore ∠PBA=∠DBA$,
$\therefore BA$是$△ CBD$的外角平分线.
(2)过点E作$EF⊥BP,EG⊥BD,EH⊥AD$,垂足分别为点F,G,H(图略).
易知$EF=EG,EF=EH,\therefore EG=EH$.
$\because EG⊥BD,EH⊥AD,\therefore DE$平分$∠BDA$.
B:(1)$BD=CE$.
理由:$\because$ 点P在边BC的垂直平分线上,$\therefore BP=CP$.
$\because AP$是$∠DAC$的平分线,$PD⊥AB,PE⊥AC$,
$\therefore DP=EP$.
在$\mathrm{Rt}△ BDP$和$\mathrm{Rt}△ CEP$中,$\because \begin{cases} BP=CP, \\ DP=EP, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDP ≌ \mathrm{Rt}△ CEP(\mathrm{HL}),\therefore BD=CE$.
(2)$\because ∠CAD=84°$,$AP$平分$∠CAD$,
$\therefore ∠DAP=∠PAE=42°$.
又$\because ∠APB=24°,\therefore ∠ABP=∠DAP-∠APB=18°$.
由(1)知$\mathrm{Rt}△ BDP ≌ \mathrm{Rt}△ CEP$,
$\therefore ∠ECP=∠DBP=18°$.
设$∠ACB=α$,$\therefore ∠PBC=∠PCB=α+18°$.
$\because ∠CAD=∠ABC+∠ACB=∠ABP+∠PBC+∠ACB$,
$\therefore 84°=18°+(α+18°)+α$,解得$α=24°$,$\therefore ∠ACB=24°$.
$\therefore ∠PBA=180°-∠ABC=80°$,
$∠DBA=∠ABC-∠CBD=80°$,
$\therefore ∠PBA=∠DBA$,
$\therefore BA$是$△ CBD$的外角平分线.
(2)过点E作$EF⊥BP,EG⊥BD,EH⊥AD$,垂足分别为点F,G,H(图略).
易知$EF=EG,EF=EH,\therefore EG=EH$.
$\because EG⊥BD,EH⊥AD,\therefore DE$平分$∠BDA$.
B:(1)$BD=CE$.
理由:$\because$ 点P在边BC的垂直平分线上,$\therefore BP=CP$.
$\because AP$是$∠DAC$的平分线,$PD⊥AB,PE⊥AC$,
$\therefore DP=EP$.
在$\mathrm{Rt}△ BDP$和$\mathrm{Rt}△ CEP$中,$\because \begin{cases} BP=CP, \\ DP=EP, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ BDP ≌ \mathrm{Rt}△ CEP(\mathrm{HL}),\therefore BD=CE$.
(2)$\because ∠CAD=84°$,$AP$平分$∠CAD$,
$\therefore ∠DAP=∠PAE=42°$.
又$\because ∠APB=24°,\therefore ∠ABP=∠DAP-∠APB=18°$.
由(1)知$\mathrm{Rt}△ BDP ≌ \mathrm{Rt}△ CEP$,
$\therefore ∠ECP=∠DBP=18°$.
设$∠ACB=α$,$\therefore ∠PBC=∠PCB=α+18°$.
$\because ∠CAD=∠ABC+∠ACB=∠ABP+∠PBC+∠ACB$,
$\therefore 84°=18°+(α+18°)+α$,解得$α=24°$,$\therefore ∠ACB=24°$.
解析
【分析】
(1) 要证明BA是△CBD的外角平分线，本质是证明BA平分△CBD顶点B处的外角∠PBD，即需证∠PBA=∠DBA。结合已知的∠ABC和∠CBD的度数，直接计算两个角的度数即可验证相等。
(2) 要证明DE平分∠BDA，根据角平分线的判定定理，只需证明点E到∠BDA的两边BD、AD的距离相等。我们可以过E作BP、BD、AD三边的垂线，结合CE是∠ACB的平分线、BA是△CBD的外角平分线，利用角平分线的性质，可得到这三条垂线段相等，进而推出E到BD和AD的距离相等，即可得证。
【解析】
我选做A题。
证明：
(1) $\because ∠ABC=100°,∠CBD=20°$,
$\therefore ∠PBA=180°-∠ABC=180°-100°=80°$,
$∠DBA=∠ABC-∠CBD=100°-20°=80°$,
$\therefore ∠PBA=∠DBA$,
$\therefore BA$是$△ CBD$的外角平分线。
(2) 过点E作$EF⊥BP,EG⊥BD,EH⊥AD$,垂足分别为点F,G,H。
∵ CE平分∠ACB，EH⊥AD，EF⊥BP，
∴ EF=EH（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵ BA是△CBD的外角平分线，EF⊥BP，EG⊥BD，
∴ EF=EG（角平分线上的点到角两边的距离相等），
$\therefore EG=EH$,
$\because EG⊥BD,EH⊥AD$,
$\therefore DE$平分$∠BDA$（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
【答案】
(1) BA是△CBD的外角平分线，得证；
(2) DE平分∠BDA，得证。
【知识点】
角平分线的定义；角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题围绕角平分线的相关定理展开考查，解题的核心是掌握角平分线性质和判定的区别与联系，通过作辅助线构造点到直线的距离，实现“角相等”和“距离相等”的互相转化，同时第一小问的结论可直接用于第二小问的推导，要注意前后问的关联性。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明BA是△CBD的外角平分线，本质是证明BA平分△CBD顶点B处的外角∠PBD，即需证∠PBA=∠DBA。结合已知的∠ABC和∠CBD的度数，直接计算两个角的度数即可验证相等。
(2) 要证明DE平分∠BDA，根据角平分线的判定定理，只需证明点E到∠BDA的两边BD、AD的距离相等。我们可以过E作BP、BD、AD三边的垂线，结合CE是∠ACB的平分线、BA是△CBD的外角平分线，利用角平分线的性质，可得到这三条垂线段相等，进而推出E到BD和AD的距离相等，即可得证。
【解析】
我选做A题。
证明：
(1) $\because ∠ABC=100°,∠CBD=20°$,
$\therefore ∠PBA=180°-∠ABC=180°-100°=80°$,
$∠DBA=∠ABC-∠CBD=100°-20°=80°$,
$\therefore ∠PBA=∠DBA$,
$\therefore BA$是$△ CBD$的外角平分线。
(2) 过点E作$EF⊥BP,EG⊥BD,EH⊥AD$,垂足分别为点F,G,H。
∵ CE平分∠ACB，EH⊥AD，EF⊥BP，
∴ EF=EH（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵ BA是△CBD的外角平分线，EF⊥BP，EG⊥BD，
∴ EF=EG（角平分线上的点到角两边的距离相等），
$\therefore EG=EH$,
$\because EG⊥BD,EH⊥AD$,
$\therefore DE$平分$∠BDA$（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
【答案】
(1) BA是△CBD的外角平分线，得证；
(2) DE平分∠BDA，得证。
【知识点】
角平分线的定义；角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
本题围绕角平分线的相关定理展开考查，解题的核心是掌握角平分线性质和判定的区别与联系，通过作辅助线构造点到直线的距离，实现“角相等”和“距离相等”的互相转化，同时第一小问的结论可直接用于第二小问的推导，要注意前后问的关联性。
【难度系数】
0.7
