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4. 如图，AD平分$∠ BAC$，$AD=AB$，$CM⊥ AD$于点$M$. 请你猜想线段$AB$，$AC$之和与线段$AM$之间的数量关系，并证明. 
类型4 已知角平分线，作垂线构造等腰三角形
基本图形
已知条件：$OE$是$∠ AOB$的平分线，$C$是$OA$上一点，$CE⊥ OE$
辅助线作法：延长$CE$，交$OB$于点$D$
可用结论：$\mathrm{Rt}△ CEO ≌ \mathrm{Rt}△ DEO$，$△ OCD$是等腰三角形
类型4 已知角平分线，作垂线构造等腰三角形
基本图形
已知条件：$OE$是$∠ AOB$的平分线，$C$是$OA$上一点，$CE⊥ OE$
辅助线作法：延长$CE$，交$OB$于点$D$
可用结论：$\mathrm{Rt}△ CEO ≌ \mathrm{Rt}△ DEO$，$△ OCD$是等腰三角形
答案
4. 猜想：$AB+AC=2AM$，证明略。
解析
【分析】
解题时首先抓住题目核心条件：①AD是∠BAC的角平分线；②CM⊥AD；③AB=AD。首先对应题干给出的“角平分线+垂线构造等腰三角形”的基本模型，第一步考虑通过辅助线构造等腰三角形，将AC转化为等长线段，同时建立AM的2倍线段。我们可以延长AM到E使ME=AM，利用CM垂直AM的条件得到AC=CE，构造出等腰△ACE，得到AE=2AM。接下来要把AB、AC的和与AE联系起来，结合AB=AD的条件，通过倒角证明DE=CE=AC，即可得到AE=AD+DE=AB+AC，最终推导出三者的数量关系。
【解析】
猜想：$AB+AC=2AM$，证明如下：
延长$AM$到点$E$，使$ME=AM$，连接$CE$。
1. $\because CM⊥ AM$，且$AM=ME$，
$\therefore CM$是线段$AE$的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质可得：$AC=CE$，
$\therefore ∠ CAD=∠ E$（等边对等角）。
2. $\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$，
$\therefore ∠ BAD=∠ E$，
$\therefore AB// CE$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ B=∠ DCE$（两直线平行，内错角相等）。
3. $\because AB=AD$，
$\therefore ∠ B=∠ ADB$（等边对等角），
又$\because ∠ ADB=∠ EDC$（对顶角相等），
$\therefore ∠ DCE=∠ EDC$，
$\therefore CE=DE$（等角对等边）。
4. 结合$AC=CE$可得：$DE=AC$，
又$\because AE=AD+DE$，$AD=AB$，$AE=AM+ME=2AM$，
$\therefore 2AM=AB+AC$，即$AB+AC=2AM$。
【答案】
$\boldsymbol{AB+AC=2AM}$
【知识点】
角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是角平分线类辅助线的典型考题，核心考查“角平分线+垂线构造等腰三角形”的模型应用，解题的关键是通过辅助线将分散的AB、AC两条线段转化到同一条线段AE上，再结合等腰三角形的性质建立与AM的数量关系，能够有效锻炼几何辅助线构造逻辑和倒角推导能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先抓住题目核心条件：①AD是∠BAC的角平分线；②CM⊥AD；③AB=AD。首先对应题干给出的“角平分线+垂线构造等腰三角形”的基本模型，第一步考虑通过辅助线构造等腰三角形，将AC转化为等长线段，同时建立AM的2倍线段。我们可以延长AM到E使ME=AM，利用CM垂直AM的条件得到AC=CE，构造出等腰△ACE，得到AE=2AM。接下来要把AB、AC的和与AE联系起来，结合AB=AD的条件，通过倒角证明DE=CE=AC，即可得到AE=AD+DE=AB+AC，最终推导出三者的数量关系。
【解析】
猜想：$AB+AC=2AM$，证明如下：
延长$AM$到点$E$，使$ME=AM$，连接$CE$。
1. $\because CM⊥ AM$，且$AM=ME$，
$\therefore CM$是线段$AE$的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质可得：$AC=CE$，
$\therefore ∠ CAD=∠ E$（等边对等角）。
2. $\because AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CAD$，
$\therefore ∠ BAD=∠ E$，
$\therefore AB// CE$（内错角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ B=∠ DCE$（两直线平行，内错角相等）。
3. $\because AB=AD$，
$\therefore ∠ B=∠ ADB$（等边对等角），
又$\because ∠ ADB=∠ EDC$（对顶角相等），
$\therefore ∠ DCE=∠ EDC$，
$\therefore CE=DE$（等角对等边）。
4. 结合$AC=CE$可得：$DE=AC$，
又$\because AE=AD+DE$，$AD=AB$，$AE=AM+ME=2AM$，
$\therefore 2AM=AB+AC$，即$AB+AC=2AM$。
【答案】
$\boldsymbol{AB+AC=2AM}$
【知识点】
角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题是角平分线类辅助线的典型考题，核心考查“角平分线+垂线构造等腰三角形”的模型应用，解题的关键是通过辅助线将分散的AB、AC两条线段转化到同一条线段AE上，再结合等腰三角形的性质建立与AM的数量关系，能够有效锻炼几何辅助线构造逻辑和倒角推导能力。
【难度系数】
0.6
5. [2024·合肥庐江期中]如图,在锐角三角形ABC和Rt△ABD中,∠ADB=90°,AD平分∠BAC,连接CD,CD=AC.
(1)判断:$S_{△ ABC}$
(2)作$△ ABC$的中线BE,交AD于点F.若$S_{四边形ABDC}=27$,则$S_{△ BDF}-S_{△ AEF}=$
(1)判断:$S_{△ ABC}$
=
$S_{△ ABD}$.（填“＞”“＜”或“=”）(2)作$△ ABC$的中线BE,交AD于点F.若$S_{四边形ABDC}=27$,则$S_{△ BDF}-S_{△ AEF}=$
9
.答案
5.(1)= (2)9
解析
【分析】
(1) 比较两个三角形面积可优先判断是否存在同底等高的关系：首先由角平分线定义得∠BAD=∠CAD，再结合CD=AC推出∠CAD=∠CDA，等量代换可得∠BAD=∠CDA，进而判定AB//CD，此时△ABC和△ABD同底AB，高为平行线AB、CD之间的距离，因此面积相等。
(2) 求面积差可利用图形中公共部分转化：观察可知S△ABD = S△BDF + S△ABF，S△ABE = S△AEF + S△ABF，两式相减可得S△BDF - S△AEF = S△ABD - S△ABE。结合BE是中线可知S△ABE=½S△ABC，再由第一问结论得S△ABD=S△ABC，因此所求差值为½S△ABC。再结合全等三角形、平行线性质推出S△ACD=½S△ABC，结合四边形总面积即可求出S△ABC，代入计算得最终结果。
【解析】
(1) 证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵CD=AC，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠BAD=∠CDA，
∴AB//CD，
△ABC和△ABD同底AB，且AB与CD之间的距离相等（即两三角形AB边上的高相等），
∴S△ABC = S△ABD，故填“=”。
(2) 解：
延长BD交AC的延长线于点G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠GAD，
∵∠ADB=90°，
∴∠ADG=∠ADB=90°，
又
∵AD=AD，
∴△ABD≌△AGD（ASA），
∴BD=DG，AB=AG，即D是BG中点，
由(1)知AB//CD，
∴CD是△ABG的中位线，
∴C是AG中点，CD=½AB，
∵AB//CD，△ABC和△ACD的高相等（平行线间距离处处相等），
∴S△ACD = ½S△ABC，
∵S四边形ABDC = S△ABC + S△ACD = 27，
∴S△ABC + ½S△ABC = 27，解得S△ABC=18，
∵BE是△ABC的中线，
∴S△ABE = ½S△ABC = 9，
由(1)知S△ABD = S△ABC=18，
∵S△ABD = S△BDF + S△ABF，S△ABE = S△AEF + S△ABF，
两式相减得：S△ABD - S△ABE = S△BDF - S△AEF，
∴S△BDF - S△AEF = 18 - 9 = 9。
【答案】
(1) = (2) 9
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定与性质，三角形中线的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线、全等三角形、平行线和三角形面积转化的相关知识，解题的核心是通过角度关系推出平行线，再利用公共部分对面积差进行转化，难度适中，对学生的逻辑推理和图形观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 比较两个三角形面积可优先判断是否存在同底等高的关系：首先由角平分线定义得∠BAD=∠CAD，再结合CD=AC推出∠CAD=∠CDA，等量代换可得∠BAD=∠CDA，进而判定AB//CD，此时△ABC和△ABD同底AB，高为平行线AB、CD之间的距离，因此面积相等。
(2) 求面积差可利用图形中公共部分转化：观察可知S△ABD = S△BDF + S△ABF，S△ABE = S△AEF + S△ABF，两式相减可得S△BDF - S△AEF = S△ABD - S△ABE。结合BE是中线可知S△ABE=½S△ABC，再由第一问结论得S△ABD=S△ABC，因此所求差值为½S△ABC。再结合全等三角形、平行线性质推出S△ACD=½S△ABC，结合四边形总面积即可求出S△ABC，代入计算得最终结果。
【解析】
(1) 证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵CD=AC，
∴∠CAD=∠CDA，
∴∠BAD=∠CDA，
∴AB//CD，
△ABC和△ABD同底AB，且AB与CD之间的距离相等（即两三角形AB边上的高相等），
∴S△ABC = S△ABD，故填“=”。
(2) 解：
延长BD交AC的延长线于点G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠GAD，
∵∠ADB=90°，
∴∠ADG=∠ADB=90°，
又
∵AD=AD，
∴△ABD≌△AGD（ASA），
∴BD=DG，AB=AG，即D是BG中点，
由(1)知AB//CD，
∴CD是△ABG的中位线，
∴C是AG中点，CD=½AB，
∵AB//CD，△ABC和△ACD的高相等（平行线间距离处处相等），
∴S△ACD = ½S△ABC，
∵S四边形ABDC = S△ABC + S△ACD = 27，
∴S△ABC + ½S△ABC = 27，解得S△ABC=18，
∵BE是△ABC的中线，
∴S△ABE = ½S△ABC = 9，
由(1)知S△ABD = S△ABC=18，
∵S△ABD = S△BDF + S△ABF，S△ABE = S△AEF + S△ABF，
两式相减得：S△ABD - S△ABE = S△BDF - S△AEF，
∴S△BDF - S△AEF = 18 - 9 = 9。
【答案】
(1) = (2) 9
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定与性质，三角形中线的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线、全等三角形、平行线和三角形面积转化的相关知识，解题的核心是通过角度关系推出平行线，再利用公共部分对面积差进行转化，难度适中，对学生的逻辑推理和图形观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
6.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=BC$,D是边AC上一点,$AE⊥ BD$交BD的延长线于点E,且$AE=\frac{1}{2}BD$,$DF⊥ AB$于点F.求证:$CD=DF$.
答案
证明：
延长AE交BC的延长线于点G。
∵ AE⊥BD，∠ACB=90°，
∴ ∠AED=∠BCD=90°，
∴ ∠ADE + ∠DAE = 90°，∠BDC + ∠DBC = 90°，
又∵ ∠ADE=∠BDC，
∴ ∠GAC=∠DBC。
在△ACG和△BCD中：
$\{\begin{array}{l}∠GAC=∠DBC \\AC=BC \\∠ACG=∠BCD=90°\end{array} $
∴ △ACG ≌ △BCD（ASA），
∴ AG=BD。
∵ $AE=\frac{1}{2}BD$，
∴ $AE=\frac{1}{2}AG$，即AE=EG。
在△ABE和△GBE中：
$\{\begin{array}{l}AE=GE \\∠AEB=∠GEB=90° \\BE=BE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △GBE（SAS），
∴ ∠ABE=∠GBE，即BD平分∠ABC。
又∵ DC⊥BC，DF⊥AB，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ CD=DF。
延长AE交BC的延长线于点G。
∵ AE⊥BD，∠ACB=90°，
∴ ∠AED=∠BCD=90°，
∴ ∠ADE + ∠DAE = 90°，∠BDC + ∠DBC = 90°，
又∵ ∠ADE=∠BDC，
∴ ∠GAC=∠DBC。
在△ACG和△BCD中：
$\{\begin{array}{l}∠GAC=∠DBC \\AC=BC \\∠ACG=∠BCD=90°\end{array} $
∴ △ACG ≌ △BCD（ASA），
∴ AG=BD。
∵ $AE=\frac{1}{2}BD$，
∴ $AE=\frac{1}{2}AG$，即AE=EG。
在△ABE和△GBE中：
$\{\begin{array}{l}AE=GE \\∠AEB=∠GEB=90° \\BE=BE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △GBE（SAS），
∴ ∠ABE=∠GBE，即BD平分∠ABC。
又∵ DC⊥BC，DF⊥AB，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ CD=DF。
解析
【分析】
要证明CD=DF，观察可知DC垂直于BC，DF垂直于AB，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，只需证BD平分∠ABC即可。题目给出AE⊥BD且$AE=\frac{1}{2}BD$，结合△ABC是等腰直角三角形（AC=BC，∠C=90°）的条件，对于线段的倍半关系，通常采用延长较短线段构造全等的方法，先将AE延长交BC延长线于G，证△ACG和△BCD全等得到AG=BD，进而推出E是AG中点，再证△ABE和△GBE全等得到角相等，即可证明BD是角平分线，最终得到CD=DF的结论。
【解析】
延长AE交BC的延长线于点G。
∵ AE⊥BD，∠ACB=90°，
∴ ∠AED=∠BCD=90°，
∴ ∠ADE + ∠DAE = 90°，∠BDC + ∠DBC = 90°，
又
∵ ∠ADE=∠BDC，
∴ ∠GAC=∠DBC。
在△ACG和△BCD中：
$\{\begin{array}{l}∠GAC=∠DBC \\AC=BC \\∠ACG=∠BCD=90°\end{array} $
∴ △ACG ≌ △BCD（ASA），
∴ AG=BD。
∵ $AE=\frac{1}{2}BD$，
∴ $AE=\frac{1}{2}AG$，即AE=EG。
在△ABE和△GBE中：
$\{\begin{array}{l}AE=GE \\∠AEB=∠GEB=90° \\BE=BE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △GBE（SAS），
∴ ∠ABE=∠GBE，即BD平分∠ABC。
又
∵ DC⊥BC，DF⊥AB，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ CD=DF。
【答案】
CD=DF
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的性质
3. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题考查几何证明中辅助线的构造，解题关键是通过延长较短线段的方法将线段倍半关系转化为相等关系，结合全等三角形的判定得到角平分线，再利用角平分线的性质证明线段相等，需要熟练掌握此类处理线段倍半关系的辅助线构造思路。
【难度系数】
0.6
要证明CD=DF，观察可知DC垂直于BC，DF垂直于AB，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，只需证BD平分∠ABC即可。题目给出AE⊥BD且$AE=\frac{1}{2}BD$，结合△ABC是等腰直角三角形（AC=BC，∠C=90°）的条件，对于线段的倍半关系，通常采用延长较短线段构造全等的方法，先将AE延长交BC延长线于G，证△ACG和△BCD全等得到AG=BD，进而推出E是AG中点，再证△ABE和△GBE全等得到角相等，即可证明BD是角平分线，最终得到CD=DF的结论。
【解析】
延长AE交BC的延长线于点G。
∵ AE⊥BD，∠ACB=90°，
∴ ∠AED=∠BCD=90°，
∴ ∠ADE + ∠DAE = 90°，∠BDC + ∠DBC = 90°，
又
∵ ∠ADE=∠BDC，
∴ ∠GAC=∠DBC。
在△ACG和△BCD中：
$\{\begin{array}{l}∠GAC=∠DBC \\AC=BC \\∠ACG=∠BCD=90°\end{array} $
∴ △ACG ≌ △BCD（ASA），
∴ AG=BD。
∵ $AE=\frac{1}{2}BD$，
∴ $AE=\frac{1}{2}AG$，即AE=EG。
在△ABE和△GBE中：
$\{\begin{array}{l}AE=GE \\∠AEB=∠GEB=90° \\BE=BE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △GBE（SAS），
∴ ∠ABE=∠GBE，即BD平分∠ABC。
又
∵ DC⊥BC，DF⊥AB，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ CD=DF。
【答案】
CD=DF
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的性质
3. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题考查几何证明中辅助线的构造，解题关键是通过延长较短线段的方法将线段倍半关系转化为相等关系，结合全等三角形的判定得到角平分线，再利用角平分线的性质证明线段相等，需要熟练掌握此类处理线段倍半关系的辅助线构造思路。
【难度系数】
0.6
